(SKKN 2022) rèn luyện kĩ năng giải dạng toán sự tương giao của các đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

MỤC LỤC Trang PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1) Lí chọn đề tài……………………………………………… 2) Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 3) Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 4) Phương pháp nghiên cứu………………………………………… PHẦN 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận ……………………………………………………… II Thực trạng vấn đề…………………………………………… III Giải pháp thực ……………………………………… …… IV Hiệu sáng kiến ………………………………………… PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1) Kết luận………………………………………………………… 2) Kiến nghị………………………………………………………… 2 3 3 16 17 17 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………… 19 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1) Lí chọn đề tài Trong điều kiện nay, giáo dục nước nhà dần chuyển cho thay đổi, cải cách nhằm bắt kịp với giáo dục tiên tiến giới đáp ứng yêu cầu hội nhập, vai trò người thầy trở nên quan trọng hết Người thầy tổ chức, điều khiển hoạt động để học sinh phát tri thức nắm bắt tri thức sở phát triển lực tư duy, khả phân tích, nhìn nhận vấn đề; kích thích đam mê sáng tạo học tập học sinh, hình thành phát triển phẩm chất, lực cho học sinh Trau dồi kiến thức, làm nhiệm vụ người thầy hướng đổi phương pháp dạy học giai đoạn Chủ đề “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” nội dung chương trình Tốn THPT Từ kỳ thi THPTQG năm 2017, nội dung thường chiếm khoảng 20% đề thi mơn tốn Trong đó, tốn “sự tương giao đồ thị hàm số” nội dung này, với câu hỏi bốn mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT năm gần Tuy nhiên tập chủ đề sách giáo khoa, sách tập chưa nhiều, chưa đa dạng chưa sát với đề thi tốt nghiệp Tuy internet nguồn tài liệu tham khảo nhiều đa dạng việc tìm tài liệu phù hợp với mục đích giảng dạy đối tượng học sinh nhiều thời gian Trong trình giảng dạy ôn luyện thi cho học sinh, nghiên cứu phân dạng cho chủ đề này, với mong muốn giúp em học sinh lớp 12 làm quen, dần thành thạo kĩ giải dạng toán này, đồng thời làm phong phú thêm tài liệu dạy học cho thân Với lí trên, tơi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ giải dạng toán Sự tương giao đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12” làm sáng kiến kinh nghiệm, áp dụng cho năm học 2020-2021 2021-2022 2) Mục đích nghiên cứu - Nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên, phát huy tính tích cực, hứng thú học sinh học mơn tốn nói chung học chuyên đề “sự tương giao đồ thị hàm số” nói riêng - Học sinh tự tạo hệ thống tập cho riêng bước đầu hình thành cho học sinh phương pháp tự học - Phát bồi dưỡng học sinh đạt điểm cao kì thi tốt nghiệp THPT kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh - Giúp giáo viên chủ động tài liệu dạy học chuyên đề ôn luyện thi 3) Đối tượng nghiên cứu Chương I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” – Giải tích 12, tốn liên quan đến khảo sát hàm số, cụ thể: toán tương giao đồ thị hàm số Phân dạng nêu phương pháp giải cho dạng 4) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu, sách tham khảo liên quan đến ứng dụng đạo hàm, đề thi tốt nghiệp năm - Phương pháp thực nghiệm: tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng cho hiệu việc sử dụng giải pháp - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận 1) Vai trị hoạt động giải tốn Trong q trình dạy học, việc phát triển phẩm chất, lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng, xuyên suốt Người thầy không truyền thụ kiến thức mà cần phải quan tâm nhiều đến phương pháp học học sinh, phát triển tư Một biện pháp để phát triển lực, phẩm chất cho học sinh hoạt động giải toán Chức toán khơng bó hẹp tập áp dụng, mà cịn hoạt động trung tâm q trình dạy học tốn Thơng qua hoạt động giải tốn, học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, nâng cao lực hoàn thiện phẩm chất Hoạt động giải tốn gồm bước sau: - Tìm hiểu tốn - Tìm kiếm phương hướng giải (chương trình giải) - Lựa chọn phương hướng giải tiến hành giải theo hướng chọn - Tiến hành soạn lời giải - Kiểm tra, đánh giá kết 2) Một số vấn đề lý thuyết a) Sự tương giao đồ thị Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị Tọa độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) Phương trình hồnh độ giao điểm là: (C1 ) và hàm số (C2 ) y = g ( x) có đồ thị (C2 ) nghiệm hệ phương trình: f ( x) = g ( x )  y = f ( x)   y = g ( x) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị b) Một số phép biến đổi đồ thị: Cho hàm số y = f ( x) - Tịnh tiến đồ thị - Tịnh tiến đồ thị - Tịnh tiến đồ thị - Tịnh tiến đồ thị (C ) lên (C ) a sang phải (C ) sang trái - Cách vẽ đồ thị hàm số (C ) - Cách vẽ đồ thị hàm số (C ) đơn vị xuống (C ) hoành Phần đồ thị qua trục hồnh có đồ thị a a y = f ( x) a (a > 0) đơn vị đơn vị đơn vị ta đồ thị hàm số ( a > 0) (a > 0) (a > 0) y = f ( x) + a ta đồ thị hàm số ta đồ thị hàm số ta đồ thị hàm số : giữ nguyên phần đồ thị (C ) y = f ( x) − a y = f ( x − a) y = f ( x + a) nằm phía trục nằm phía trục hồnh thay đối xứng y = f(x) : bỏ phần đồ thị (C ) nằm phía bên trái trục tung, (C ) giữ nguyên phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung lấy đối xứng phần qua trục tung II Thực trạng vấn đề Bài toán “sự tương giao đồ thị hàm số” liên quan đến khảo sát hàm số thường có đề thi tốt nghiệp, thi đại học nhiều năm Từ trước năm 2017, môn Tốn thi tốt nghiệp thi đại học hình thức tự luận nên tập chủ đề thường mức độ vận dụng chưa đa dạng Từ năm 2017 đến nay, mơn Tốn thi trắc nghiệm, nên câu hỏi đa dạng nhiều, phủ bốn mức độ, nhiều câu hỏi dạng truyền thống xuất nhiều dạng khai thác nhiều khía cạnh chủ đề khảo sát hàm số, đòi hỏi nhiều kĩ hơn: kĩ đọc đồ thị, đọc bảng biến thiên, giải biện luận phương trình… Các câu hỏi vận dụng khơng túy đơn vị kiến thức mà thường tích hợp kiến thức ba năm học Câu hỏi mức độ nhận biết, thơng hiểu địi hỏi độ xác, nhanh nhạy, hiểu kiến thức, mẹo nhỏ liên hệ kiến thức tổng hợp Sau học xong chương mà chưa có ơn luyện theo chun đề, theo dạng bài, học sinh lúng túng làm đề thi làm chưa nhanh, chưa tốt Qua thi khảo sát học kỳ 1, kết sau: Lớp Sĩ số 12A1 (2020-2021) 44 Điểm Điểm từ đến Điểm từ đến 25 Điểm từ trở lên 12A10 50 20 18 10 (2020-2021) 12A5 46 11 23 12 (2021-2022) Để ôn luyện cho học sinh hiệu hơn, đồng thời chuyển từ dạy học kiến thức, kĩ sang dạy học phát triển phẩm chất, lực cho học sinh, cách dạy chủ đề phải thay đổi Cần phân dạng câu hỏi theo phương pháp giải, theo mức độ nhận thức cách có hệ thống hơn, từ dạy học phù hợp với đối tượng học sinh III Giải pháp thực 1) Dạng 1: Tìm giao điểm hai đồ thị hàm số cách giải phương trình Phương pháp chung: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C1 ) hàm số y = g ( x) có đồ thị - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: - Giải phương trình trên, tìm hồnh độ giao điểm nghiệm - Tìm tung độ giao điểm - Tọa độ giao điểm y0 = f ( x0 ) ( x0 ; y0 ) (hoặc y0 = g ( x0 ) x0 (C2 ) f ( x) = g ( x ) (1) (chú ý điều kiện) ) Chú ý: số giao điểm = số nghiệm PT hoành độ giao điểm Tùy theo yêu cầu toán để linh hoạt lời giải, cụ thể: - Nếu toán hỏi số giao điểm tìm số nghiệm PT (1), khơng cần tìm x0 - PT (1) thường PT đưa PT bậc hai Ta lưu ý số PT thường gặp: *PT bậc ba tìm nghiệm x0 , PT  x = x0 ⇔ ( x − x0 )(ax + bx + c) = ⇔   ax + bx + c = (2) Đưa PT bậc hai Chú ý nghiệm PT (2) so với *PT ax + bx + c = , đặt t = x , (t ≥ 0) x0 , đưa PT bậc hai at + bt + c = *PT ax + b = kx + l cx + d x≠− đưa PT bậc hai, ý điều kiện d c m = f ( x) y = f ( x) - PT (1) cô lập tham số thành PT , ta khảo sát hàm số (thường lập bảng biến thiên), dựa vào giải yêu cầu toán (phương pháp phần sau) - Đối với hàm số bậc ba, sử dụng kết liên hệ số giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh điều kiện cực trị Ví dụ: đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành điểm phân biệt hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn yCD yCT < - Những câu hỏi mức độ nhận biết, thơng hiểu dạng tốn thường hỏi số giao điểm, tọa độ giao điểm hai hàm số cụ thể, giáo viên cần lưu ý rèn kĩ bản: giải phương trình, tính tốn cẩn thận, xác, nhanh nhẹn Những câu hỏi mức độ vận dụng thường tốn có tham số, tìm điều kiện tham số, cần rèn luyện cho học sinh kĩ giải biện luận phương trình, lưu ý tìm điều kiện ẩn Nếu phương trình đưa phương trình bậc hai thường sử dụng hệ thức Vi-et Ví dụ minh họa: VD1: (NB)[trích đề thi TN THPT năm 2020 đợt 2] Số giao điểm đồ thị hàm số trục hoành là: A B C thị hàm số A y0 = điểm nhất, kí hiệu B y0 = ( x0 ; y0 ) y0 = D VD3: (TH)[trích đề thi thử TNTHPT năm 2021 – Sở GD-ĐT Cà Mau] Gọi y= giao điểm đồ thị hàm số A P=4 B x2 − x + x−2 P=3 với trục hồnh Tìm tổng C P =1 y = −2 x + y0 tọa độ điểm Tìm C với D VD2: (NB)[trích đề minh họa đề thi THPTQG năm 2017] Biết đường thẳng y = x3 + x + y = − x3 + x y0 = −1 A( x A ; y A ), B ( xB ; yB ) P = x A + xB cắt đồ D P=2 y= VD4: (VD)Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị hàm số A C m ∈ (−∞;1) ∪ (1; +∞) m ∈ (3 − 3;3 + 3) VD5: (VD) Đồ thị hàm số A m3 2x +1 x − điểm phân biệt cắt trục hoành điểm với giá trị C m≤3 m D m là: tuỳ ý VD6: (VDC) [trích đề thi thử THPTQG năm 2017 lần – Sở GD-ĐT Bắc Giang] Cho hàm số y = x − (2m + 3) x + (6m + 7) x − 4m − đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A m ∈ { − 2; 4} B đường thẳng A, B, C m ∈ {2; 4} xA = cho d : y = x +1 C S ∆OBC = m ∈ { − 2;3} y= VD7: (VDC)[trích đề thi THPTQG năm 2018] Cho hàm số nhiêu điểm A thuộc (C ) cho tiếp tuyến M ( x1 ; y1 ), N ( x2 ; y2 ) ( M , N ≠ A) A thỏa mãn (C ) A cắt (C ) y1 − y2 = 6( x1 − x2 ) B Tìm m để đường thẳng d cắt D x − x m ∈ { − 2;5} có đồ thị (C ) Có bao hai điểm phân biệt ? C D Bài tập tự luyện: 1) [trích đề thi KSCL lớp 12 năm 2021 – Sở GD-ĐT Cần Thơ] Số giao điểm đồ thị hàm số f ( x) = x3 + x − A g ( x) = x − là: B C 2) [trích đề thi THPTQG năm 2017] Cho hàm số đúng? A C (C ) (C ) cắt trục hoành hai điểm cắt trục hoành ba điểm B D y = ( x − 2)( x + 1) (C ) (C ) D có đồ thị (C ) Mệnh đề cắt trục hồnh điểm khơng cắt trục hồnh y= 3) [trích đề thi thử TNTHPT năm 2021 lần – Sở GD-ĐT Bắc Giang] Đồ thị hàm số trục hồnh điểm có hồnh độ bằng: A -1 B 4) Đồ thị hàm số A C y = x4 − 2x2 + đồ thị hàm số B 5) Tập tất giá trị tham số ( C ) : y = − x3 + x A ( −1;1) y = f (2 x − 1) B ( −∞;1] y = − x2 + có tất điểm chung? D m d : y = x + m2 để đường thẳng C f ( x ) = x3 − 3x + đường thẳng A y= D (− 2; ) x ∈ [ 1; 2] C a đồ thị hàm số D để đồ thị hàm số B y = x3 + ( a + 10) x − x + C 10 cắt trục D 11 2x − x + có đồ thi ( C ) điểm A( −5;5) Tìm m để đường thẳng y =  − x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt M N cho tứ giác OAMN hình bình hành B m= 0; m= A m= C m= D m=- 9) [trích đề thi THPTQG năm 2017] Tìm tất giá trị thực tham số y = mx − m + A cắt đồ thị hàm số là: B A ¡ Số giao điểm có hồnh độ 7) Có giá trị nguyên âm tham số hoành điểm? đồ thị D -2 C y= 8) Cho hàm số cắt ba điểm phân biệt là: 6) Cho hàm số x−2 x +1 cắt đồ thị hàm số m ∈ (−∞;0] ∪ [4; +∞) y = x3 − 3x + x + B m∈¡ ba điểm C A, B, C m ∈ (− ; +∞) m để đường thẳng phân biệt cho D m ∈ (−2; +∞) AB = BC y= 10) Cho hàm số A B 2x + x +1 Độ dài đoạn thẳng có đồ thị AB ( C) Biết đường thẳng B 2 11) Tìm tất giá trị thực tham số m= A A 2 , gốc tọa độ O m= B y= 12) Cho hàm số x −1 2− x B A 13) Cho hàm số 11 C m để đồ thị hàm số A, B C m=0 D y = x − mx điểm A B m ∈ ( −15; −8 ) y = f ( x) xác định cắt trục hồnh điểm m D Khơng có giá trị AM + AN 2 vng góc với có đồ thị (C) điểm A(-2;1) Đường thẳng  x4  g ( x) = f  − x + 12 + m ÷   cho tiếp tuyến (C) hai điểm phân biệt M, N cho khoảng sau? m ∈ ( −20; −12 ) cắt ( C) có giá trị nhỏ bằng: phân biệt d : y = x+m d : y = mx − 2m − cắt đồ thị nhỏ Hỏi m thuộc khoảng C m ∈ ( −5;6 ) ¡ D f ′ ( x ) = x − 3x − , có , tìm giá trị ngun m ∈ ( −10; −3) m ∈ [ −30;10] để hàm số hàm số g′( x) cắt trục Ox điểm phân biệt A 18 B 10 C 16 D 15 2) Dạng 2: dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm số giao điểm hai đồ thị, tìm số nghiệm phương trình Phương pháp chung: số giao điểm hai đồ thị hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = g ( x ) y = f ( x) y = g ( x) Bài toán bản: Biện luận số nghiệm phương trình: số), ta làm sau: f ( x) = m (*) ( m tham - Vẽ đồ thị (hoặc lập bảng biến thiên) hàm số - Vẽ đường thẳng y = m (d ) - Khi m (C ) ) thay đổi tăng dần, di chuyển đường thẳng lên, quan sát số giao điểm (gọi đồ thị là đường thẳng song song trùng với trục hoành, cắt trục tung điểm có tung độ m y = f ( x) (C ) (d ) (d ) vng góc với trục tung từ số nghiệm phương trình Một số trường hợp đơn giản thường gặp: y = f ( x) *Hàm số hàm bậc ba có hai cực trị: khơng cần vẽ đồ thị lập bảng biến thiên, ta sử dụng kết sau: - Với - Với - Với  m < yCT m > y CD   m = yCT m = y CD  PT (*) có nghiệm PT (*) có nghiệm yCT < m < yCD *Hàm số y = f ( x) PT (*) có nghiệm hàm bậc bốn trùng phương có ba cực trị: khơng cần vẽ đồ thị lập bảng biến thiên, ta sử dụng kết sau: (xét với - Với - Với - Với - Với m < yCT PT (*) có nghiệm yCT < m < yCD Trường hợp ) PT (*) vơ nghiệm  m = yCT m > y CD  m = yCD a>0 PT (*) có nghiệm PT (*) có nghiệm ( a4 có đồ thị đường 11 f ( x) = Số nghiệm thực phương trình A B VD3: (TH) Tìm giá trị A là: m < m =  m B C để đồ thị hàm số m 3 D y = f ( x) có đồ thị đường cong C m D x − 15 x + 36 x = 2m để phương trình C 27 < m < 14 có nghiệm: 0 14  f ( f ( x )) = D [ −π ;3π ] phương trình C f ( cos x ) − = f ( x) có đồ thị D 12 VD7: (VD)[trích đề thi THPTQG năm 2019] Cho hàm số đồ thị hình vẽ bên f ( x) , hàm số f '( x ) liên tục ¡ có f ( x) < x + m m x ∈ (0; 2) Bất phương trình ( tham số thực) nghiệm với : A m ≥ f (2) − B m ≥ f (0) C m > f (2) − VD8: (VDC)[trích đề thi TN THPT năm 2020 đợt 2] Cho hàm số Có giá trị nguyên tham số thực phân biệt thuộc khoảng A 25 (0; +∞) m để phương trình y = f ( x) D m > f (0) có bảng biến thiên sau: f ( x − x) = m có ba nghiệm ? B 30 C 29 VD9: (VDC)[trích đề thi TN THPT năm 2020 đợt 1] Cho hàm số bậc bốn cong hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x f ( x) + 2) = D 24 y = f ( x) có đồ thị đường là: 13 A B 12 C D VD10: (VDC)[trích đề thi THPTQG năm 2019] Cho hàm số bậc ba f ( x − 3x) = Số nghiệm thực phương trình A y = f ( x) có đồ thị hình vẽ là: B C D Bài tập tự luyện: 1) [trích đề thi KS cuối năm 2020-2021 – Sở GD-ĐT Hà Nam] Tập hợp tất giá trị tham số thực A m để phương trình (−2; +∞) x − x + 3m = 4   −∞; ÷ 3  B có ba nghiệm phân biệt là:  4 − ; ÷  3 C D 2) [trích đề thi TN THPT năm 2020 đợt 2] Cho hàm số bậc bốn hình vẽ f ( x) = − Số nghiệm thực phương trình A 3) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đường cong là: B y = f ( x) (−4; 4) C D có bảng biến thiên sau: 14 f ( x) − f ( x) − = Số nghiệm thực phương trình A 4) Cho hàm số B y = f ( x) có đồ thị ( C) C B ( C) đường thẳng C m 1 D để đường thẳng y = 4m cắt đồ thị hàm số bốn điểm phân biệt? m≥− A D y=− 5) Tìm tất giá trị thực tham số y = x4 − 8x2 + 3 hình bên Số giao điểm có hồnh độ dương đồ thị A là: 13 − 6) Cho hàm số bậc bốn B y = f ( x) 13