(SKKN 2022) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương mũ và lôgarit bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số cho học sinh lớp 12

MỤC LỤC PHẦN II NÔI DUNG PHẦN I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Thế giới ngày phát triển nhanh chóng với phát triển khoa học, cơng nghệ, truyền thơng Vì mục tiêu giáo dục đặt phát triển xã hội người phát triển tồn diện để đáp ứng nghiệp cơng nghiệp hóa, đại hóa đất nước Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, dạy học mơn Tốn nói riêng u cầu cấp bách Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ lơgarit có vị trí quan trọng chương trình mơn Tốn bậc trung học phổ thông (THPT), nội dung thiếu kì thi tốt nghiệp THPT thi học sinh giỏi (HSG) lớp 12 Phương trình, bất phương trình mũ lơgarit đa dạng phong phú, để giải địi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức, kĩ giải phương trình, bất phương trình tích lũy từ đầu cấp học Rèn luyện kĩ giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit vừa mục đích vừa phương tiện làm cho học sinh nắm kiến thức bản, rèn luyện kĩ suy luận toán học, toán học hóa tình thực tế rèn luyện phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo, cẩn thận, xác góp phần phát triển lực toán học cho học sinh Trong đề thi tốt nghiệp THPT HSG để giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit mức độ vận dụng vận dụng cao địi hỏi học sinh phải có kỹ biến đổi linh hoạt vận dụng nhiều kiến thức học, mà kiến thức hay dùng tính chất đơn điệu hàm số Trong thực tế nhiều học sinh gặp dạng phương trình thường khơng giải được, phần địi hỏi tư cao chương trình tốn THPT lại có thời gian để dạy phần Do để giúp học sinh tiếp cận biết cách giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương mũ lơgarit phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12’’ Mục đích nghiên cứu - Thiết kế chủ đề dạy học phù hợp, xây dựng quy trình sử dụng hiệu để rèn luyện kỹ tự học cho học sinh dạy học phần giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit qua bồi dưỡng phát triển lực tự học cho học sinh - Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập phương pháp hàm số - Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào kỳ thi HSG cấp tỉnh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT - Học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số dạng tốn khác có liên quan giải hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số… Đối tượng nghiên cứu Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ lơgarit chương trình giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình giải tích lớp 12 4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT Thọ Xuân 4, tiến hành theo quy trình đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu 4.4 Phương pháp thống kê toán học Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Muốn học tốt mơn Tốn em học sinh phải nắm vững kiến thức mơn học cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư lôgic cách biến đổi linh hoạt Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Qua nghiên cứu muốn nêu lên vấn đề làm giúp cho học sinh THPT có thêm phương pháp giải gặp toán giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit coi không mẫu mực mức độ vận dụng vận dụng cao Tuy nhiên gặp toán giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức, kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình trình mũ lơgarit từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) hướng dẫn học sinh bảy dạng phương trình, bất phương trình mũ lơgarit thường gặp, số tốn vận dụng biến đổi số dạng tốn thường gặp thi ơn tốt nghiệp THPT ôn thi HSG Phương pháp “Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit” có tính đại, cách giải hay, ngắn gọn độc đáo Do giảm tải kiến thức bậc THPT mà số lượng tập sách giáo khoa (SGK) dùng phương pháp để giải cịn ít, SGK giới thiệu dạng tập mang tính chất tham khảo, phương pháp khơng phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Đối với học sinh khá, giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cần thiết giúp cho em có kỹ năng, kỹ xảo việc giải tập phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT HSG lớp 12 Thực trạng Do học sinh trường vùng nơng thơn nên việc học tập cịn nhiều hạn chế kiến thức trung học sở yếu, tiếp thu chậm, chưa tự hệ thống kiến thức Khi gặp toán chưa phân loại định hình cách giải, Qua việc khảo sát thi tốt nghiệp THPT, thi HSG lớp 12 việc học tập, làm tập dạng phương trình, bất phương trình có sử dụng phương pháp hàm số Tơi nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng có hướng giải Học sinh hoang mang gặp phương trình, bất phương trình mà trước dễ điểm, gặp khơng khó khăn phải sử dụng phương pháp hàm số để giải Các tập dùng phương pháp để giải thông thường tập dạng nâng cao, khó thuộc dạng khơng mẫu mực Phương pháp hàm số xem phương pháp giải toán đại, phương pháp sử dụng hay dạy phổ biến bậc THPT Khả vận dụng phương pháp bị hạn chế học sinh trung bình yếu, có hiệu cao học sinh giỏi Ở bậc THPT, tập SGK dùng phương pháp hàm số nên học sinh học cách qua loa Trong đề thi tuyển sinh số năm gần đề thi HSG lớp 12 hay đưa toán phải sử dụng phương pháp để giải Giải pháp thực Nhằm giúp cho học sinh có kĩ giải tập phương pháp hàm số, giúp cho em có kiến thức vững vàng có kết cao kì thi tuyển sinh Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp cho học sinh lớp 12 tiết tự chọn Giáo viên phải dựa vào trình độ lớp để đưa dạng tập từ đến nâng cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp Đối với học sinh ôn thi HSG ôn thi tốt nghiệp THPT cần tạo thành chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng có kỹ làm tốt 3.1 Kiến thức trang bị * Định nghĩa hàm số đơn điệu: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định K Ta nói: + Hàm số y = f ( x ) đồng biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f ( x ) nghịch biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) * Nhận xét: Cho y = f ( x ) đơn điệu K , ta có: Với ∀x1 , x2 ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 * Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y = f ( x) K ta dựa vào tính chất sau: + Tính chất 1: Nếu f ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈ K f ′ ( x ) = hữu hạn điểm K hàm số y = f ( x ) đồng biến K + Tính chất 2: Nếu f ′ ( x ) ≤ , ∀x ∈ K f ′ ( x ) = hữu hạn điểm K hàm số y = f ( x ) nghịch biến K [3] * Để giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit phương pháp hàm số ta thường sử dụng tính chất sau: + Tính chất 3: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục ( a; b ) thì: - Phương trình f ( x ) = k ( k ∈ R ) có nhiều nghiệm khoảng ( a; b ) Do x0 nghiệm phương trình f ( x ) = k x0 nghiệm phương trình tập ( a; b ) - ∀ u ; v ∈ ( a; b ) : f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v + Tính chất 4: Nếu hàm số f đồng biến hàm số g nghịch biến tập K phương trình f ( x ) = g ( x) có nhiều nghiệm thuộc K Do x0 nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) x0 nghiệm phương trình tập K + Tính chất 5: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục ( a; b ) : * y = f ( x ) đồng biến ( a; b ) thì: ∀u , v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v * y = f ( x ) nghịch biến ( a; b ) thì: ∀ u, v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u < v x + Tính chất 6: Hàm số y = a đồng biến a > nghịch biến < a < Hàm số y = log a x đồng biến a > nghịch biến < a < + Tính chất 7: Tổng hàm số đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) + Tính chất 8: Tích hàm số dương đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) + Tính chất 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập K f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ) Phương trình f ( x) = m có nghiệm tập K ⇔ K K Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm tập K ⇔ m ≤ max f ( x) K f ( x) Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm với x ∈ K ⇔ m ≤ K Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm tập K ⇔ m ≥ f ( x) K f ( x).[2] Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm với x ∈ K ⇔ m ≥ max K 3.2 Phương pháp Giải toán phương pháp hàm số phương pháp khó, phương pháp thường dùng để giải tập khó có dạng khơng mẫu mực Để giúp cho hoc sinh phân tích tốn tìm phương pháp giải, dạy học sinh tiến hành theo bước sau đây: + Bước 1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, bất phương trình dạng thích hợp + Bước 2: Thiết lập hàm số + Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến) + Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu hàm số để giải kết luận Cụ thể: Bước 1: Nhận dạng Đây bước quan trọng Thông thường toán dùng phương pháp để giải ta nhận dạng sau: - Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit không mẫu mực, tức dạng phương trình, bất phương trình: + Khơng thể sử dụng phép biến đổi thông thường biến đổi tương đương sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nghiệm tốn + Khơng thuộc vào dạng tập học phương pháp giải trình bày SGK phổ thông - Mối liên hệ hai vế phương trình Bước 2: Thiết lập hàm số Ở bước yêu cầu học sinh phải biết biến đổi phương trình, bất phương trình dạng thích hợp như: f ( x) = g ( x), f (u ) = f (v), f ( x ) ≥ g ( x ), f (u ) ≥ f (v ), quy tắc f , g hàm số ta cần xác lập Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu hàm số Để chứng minh tính đơn điệu hàm số ta dùng: Tính chất Tính chất Việc chứng minh tính đơn điệu hàm số đơn giản phương pháp đạo hàm Bước 4: Kết luận - Nếu từ tính chất đơn điệu hàm số ta suy nghiệm tốn giải kết thúc - Nếu toán cho biến đổi thành tốn đơn giản phải tiếp tục dùng phương pháp khác để giải tìm nghiệm tốn dừng lại.[2] 3.3 Các dạng toán cụ thể - Để giải tập phương trình, bất phương trình mũ lơgarit cách sử dụng tính đơn điệu hàm số thường chia thành dạng sau: Dạng 1: Giải phương trình f (x) = với f hàm số đơn điệu * Để giải phương trình ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình đưa phương trình dạng (nếu chưa có dạng trên) Bước 2: Xét hàm số y = f (x) D Chứng minh hàm số y = f (x) đồng biến hay nghịch biến D Bước 3: Tìm số x0 cho f (x0) = Lúc phương trình có nghiệm x = x0 (Chúng ta nhẩm nghiệm sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình) Bước 4: Kết luận.[2] - Chú ý: + Nếu hàm số y = f (x) đồng biến hay nghịch biến khoảng D khoảng có tối đa nghiệm + Phương trình f ( x) = k với f hàm số đơn điệu k số thực giải tương tự + Học sinh phải có khả nhận biết hàm số đơn điệu * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Phương trình log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) (1) có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải: Với phương trình khơng thể sử dụng phương pháp đưa số Khi gặp dạng thông thường đặt hai vế ẩn t , nhiên hai vế có hệ số nên ta đặt 6t Lời giải: Điều kiện: x>- Phương trình (1) Û 3log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) t t ìï x + = 32t ỉư ỉư t t ï Þ = +1 1= ỗỗ ữ + ỗỗ ữ t 3log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) = 6t ữ ữ ữ ( 2) ỗ9ữ ỗ9ứ ùù x +1= 23t è ø è ỵ Vế phải hàm nghịch biến, vế trái số nên phương trình có nghiệm 1 ỉư 8÷ ỉư 1ữ ỗ ỗ ( 1) Suy x = M 1= ỗ ữ ữ ỗ ữ+ ố ữị t = nghiệm phương trình ç ç9ø è9ø nghiệm phương trình cho Chọn B Ví dụ 2: Số nghiệm phương trình 1 + = x - x ln( x - 1) C D A B Hướng dẫn giải: Với phương trình thường chuyển vế xét hàm Lời giải: Điều kiện: 1< x ¹ 1 - x + Xét hàm f ( x) = + x ln( x - 1) 1 - 1< với x thỏa mãn 1< x ¹ Ta có f ¢( x) =- x ( x - 1) ln2 ( x - 1) Suy f ( x) nghịch biến khoảng xác định Ta có bảng biến thiên (BBT) Dựa vào BBT suy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Chọn C Dạng 2: Giải phương trình f (x) = g(x) với f hàm số đồng biến, g hàm số nghịch biến * Để giải toán ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình đưa phương trình dạng Bước 2: Xét hàm số y = f (x) y = g(x) D Chỉ rõ hàm số y = f (x) đồng biến hàm số y = g(x) nghịch biến D Bước 3: Tìm số x0 cho f ( x0 ) = g(x0 ) Lúc phương trình có nghiệm x = x0 Bước 4: Kết luận.[2] - Chú ý: Nếu khơng tìm nghiệm phương trình vơ nghiệm ta phải dùng phương pháp khác để phương trình vơ nghiệm * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Số nghiệm phương trình x = 12 − x A B C Hướng dẫn giải: Yêu cầu học sinh xét tính đơn điệu hai hàm số hai Lời giải: D x Ta có f ( x) = hàm đồng biến; g( x) = 12- 3x hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm Mà f ( 1) = g( 1) suy x=1 nghiệm Chọn B Ví dụ 2: Phương trình log2 ( x - 4) + x = log2 ( 8x +16) có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải: Với phương trình trước tiên sử dụng phương pháp đưa số Lời giải: Điều kiện: x> x ù= log ( 8x +16) Phương trình tương đương log2 é ê2 ( x - 4) û ú ë Û 2x ( x2 - 4) = 8x +16 Û ( x - 2) 2x = Û 2x = x- x Ta có f ( x) = hàm số đồng biến; g( x) = hàm số nghịch biến nên phương x- trình có nghiệm Mà f ( 3) = g( 3) suy x= nghiệm Chọn B Dạng 3: Giải phương trình: f (u ) = f (v) với f hàm số đơn điệu * Để giải toán ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình đưa phương trình dạng Bước 2: Xét hàm số y = f (t) D Chỉ rõ hàm số y = f (t) đơn điệu D Bước 3: Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v Bước 4: Giải dạng toán đơn giản kết luận.[2] - Chú ý: + Để giải phương trình dạng học sinh phải nhận biết mối quan hệ hai vế phương trình * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ≤ x ≤ 2022 3x+1 + x + = y + y A 2020 B 2021 C 2022 D 2023 Hướng dẫn giải: Với phương trình dễ dàng xét hàm đặc trưng Lời giải: x +1 y Ta có: + x + = + y ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) t t Xét hàm số f ( t ) = + t ⇒ f ′ ( t ) = ln + > 0, ∀t ∈ ¡ Do f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ x + = y ⇒ x = y − Vì ≤ x ≤ 2022 ⇔ ≤ y − ≤ 2022 ⇔ ≤ y ≤ 2023 Mà y ∈ ¢ nên y ∈ { 1;2;3; ;2023} Vậy có 2023 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn u cầu tốn Chọn D Ví dụ 2: Có cặp số nguyên dương ( x; y ) với x ≤ 2022 thỏa mãn log x+2 + x + x = y + y + y +1 A 2020 B Vô số C 1011 D 4040 Hướng dẫn giải: Với phương trình phải tách hai ẩn sang hai vế xét hàm đặc trưng Lời giải: Do x, y nguyên dương nên, ta có: x+2 2 log = y − x − x + y + ⇔ log ( x + ) − log ( y + 1) = ( y + 1) − ( x + ) + y +1 ⇔ log ( x + ) + ( x + ) = log 2 ( y +1) +  2 ( y +1)   2 Xét hàm số f ( t ) = log t + t ( 0;+∞ ) Ta có f ′ ( t ) = ( 1) + 2t > ∀t ∈( 0; +∞) ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0;+∞ ) t ln ( 1) ⇔ f ( x + ) = f ( y + ) ⇔ x + = y + ⇔ x = y Mà < x ≤ 2022 ⇒ < y ≤ 1011 Vậy có 1011 cặp số nguyên dương ( x; y ) Chọn C Ví dụ 3: Phương trình log2 ( ) 2x2 +1 +1 + x = log2 ( ) 2x2 +1- + 2x2 +1 có nghiệm nguyên? A B C D Hướng dẫn giải: Với phương trình phải khéo léo để biến đổi hàm đặc trưng thích hợp Hàm phải ln đơn điệu Sai lầm thường gặp biến đổi 2x2 log2 2x +1 +1 + x = log2 + 2x2 +1 2x2 +1 +1 ( Û 2log2 ) ( ) ( 2x2 +1 +1 - ) 2x2 +1 +1 = 2log2 x - x xét hàm f ( t) = 2log2 t - t ( 0;+¥ ) hàm số khơng đơn điệu ( 0;+¥ ) Lời giải: Điều kiện: x ¹ 10 Phương trình cho tương đương 2x2 log2 + x = log2 2x2 +1- + 2x2 +1 2x +1- ( Û log2 ( 2x2 ) - log2 ( ) 2x2 +1- + x = log2 ) x + x = 2log ( 2x +1- 1) + ( Û 1+ 2log2 x + x = 2log2 Û 2log2 ) ( ( ) 2x2 +1- + 2x2 +1 2x2 +1- + 2x2 +1 2 ) 2x2 +1- Xét hàm f ( t) = 2log2 t + t ( 0;+¥ ) +1> ( 0;+¥ ) ta x = 2x2 +1- Có f '( t) = t ln2 Û x +1= 2x2 +1 Û x = ±2 Chọn C Dạng 4: Giải bất phương trình: f (u) > f (v) với f hàm số đơn điệu * Để giải tốn ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D đưa bất phương trình dạng Bước 2: Xét hàm số y = f (t) D Chỉ rõ hàm số y = f (t) đơn điệu D Bước 3: Khi đó: Nếu hàm f đồng biến f (u) > f (v) ⇔ u > v Nếu hàm f nghịch biến f (u) > f (v) ⇔ u < v Bước 4: Giải dạng toán đơn giản kết luận.[2] - Chú ý: + Để giải bất phương trình dạng học sinh phải nhận biết mối quan hệ hai vế bất phương trình * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Có cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x ≤ 2022 ( y + y ) ≤ x + log ( x + 1) − ? A B C 3776 D 3778 Hướng dẫn giải: Với bất phương trình chuyển ẩn vế để tìm hàm đặc trưng Lời giải: y y Ta có ( + y ) ≤ x + log ( x + 1) − ⇔ 3.9 + y ≤ x + 3log ( x + 1) − ⇔ 32 y +1 + ( y + 1) ≤ ( x + 1) + 3log ( x + 1) ( 1) t t Xét hàm số f ( t ) = + 3t có f ′ ( t ) = ln + > 0, ∀t t Suy hàm số f ( t ) = + 3t đồng biến ¡ y +1 Do ( 1) ⇔ f ( y + 1) ≤ f ( log ( x + 1) ) ⇔ y + ≤ log ( x + 1) ⇔ − ≤ x 11 log 2023 − ≈ 2,96 Với giả thiết y nguyên dương suy y ∈ { 1;2} Với y = có 26 ≤ x ≤ 2022 suy có 1997 cặp số ( x; y ) thỏa mãn Với y = có 242 ≤ x ≤ 2022 suy có 1781 cặp số ( x; y ) thỏa mãn Vậy có tất 3778 cặp số ( x; y ) thỏa mãn đề Chọn D Ví dụ 2: Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình Vì x ≤ 2022 nên 32 y +1 − ≤ 2022 ⇔ y ≤ ( 2x + y ) 25 x +2 xy +2 y −3 + ( x − y ) ≤ B.1 A C D Hướng dẫn giải: Với bất phương trình đơn giản yêu cầu học sinh đặt ẩn phụ Lời giải: Ta có: 2 2 ( x + y ) 25 x +2 xy +2 y −3 + ( x − y ) ≤ ⇔ ( x + y ) 2( x+ y) +( x− y ) −3 + ( x − y ) − ≤ ( 1) 2 2 a = ( x + y ) ≥ a +b a −b Đặt  ( 1) đưa về: a.2 + b ≤ ⇔ a.2 ≤ ( −b ) b = ( x − y ) − ≥ −3 Vì a ≥ ⇒ −b ≥ t t t Xét hàm số f ( t ) = t.2 , t ∈ [ 0; +∞ ) có f ′ ( t ) = + t.2 ln > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) Suy f ( a ) ≤ f ( −b ) ⇔ a ≤ −b ⇔ a + b ≤ Suy ( 2x + y ) + ( x − y ) − ≤ ⇔ ( 2x + y ) + ( x − y ) ≤ 2 2 Với giả thiết x, y số nguyên nên ( 2x + y ) trường hợp sau: 2x + y x− y x y 0 0 −1 1 −1 ( x − y ) xảy −1 −1 −1 −1 0 1 2 1 − − − 0 3 3 3 2 1 1 − − − −1 3 3 3 Nhận Loại Loại Loại Nhận Nhận Loại Loại Loại Vậy có tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Chọn A Dạng 5: Tìm điều kiện để phương trình f (x, m) = có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 12 * Để giải toán ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình Bước 2: Đưa phương trình dạng f (x) = g(m) Bước 3: Xét hàm số y = f (x) D Bước 4: Giải dạng toán đơn giản kết luận.[2] * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Có giá trị ngun m thuộc đoạn [- 2022;2022] để phương trình 2 m.9x - 2x - ( 2m+1) 6x - 2x + m.4x - 2x = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;2) ? A 2018 B 2016 C 2019 D 2017 Hướng dẫn giải: Với phương trình phải chia cho biểu thức thích hợp để đưa phương trình bậc hai, đặt ẩn phụ lập m Lời giải: 2( x2- 2x) x2- 2x ỉư ỉư 3 Phng trỡnh ó cho tng ng vi m.ỗỗ ữ - ( 2m+1) ỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ + m= ỗố2ứ ỗ2ứ ố x2- 2x ổử 3ữ t t = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2ứ ộ2 ÷ , xỴ ( 0;2) nên t Ỵ ê ;1÷ ê ø ë3 ÷ Phương trình trở thành mt - ( 2m+1) t + m= Û m= Xét hàm f ( t) = t t - 2t +1 é2 ÷ ê ;1÷ ê3 ÷ ø ë t t - 2t +1 Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm m³ Kết hợp với giả thiết ta có mỴ { 6;7; 2022} : Có 2017 giá trị Chọn D Ví dụ 2: Tập tất giá trị tham số m để phương trình 3x + 3= m 9x +1 có nghiệm có dạng ( a;b] È { c} Tổng a+ b+ c A B 11 C 14 D 15 Hướng dẫn giải: Với phương trình nên đặt ẩn phụ để đưa phương trình đơn giản Lời giải: t +3 ( 1) Đặt t = 3x > Phương trình trở thành t + 3= m t +1 Û m= t +1 13 Xét hàm f ( t) = t +3 ( 0;+¥ ) Ta có f ¢( t) = t2 +1 Để phương trình cho có nghiệm Û phương trình ( 1) có nghiệm dương é1< m£ ê êm= 10 Chọn C ë 1- 3t ; f ¢( t) = Û t = ( t2 +1) t2 +1 Dạng 6: Tìm điều kiện để bất phương trình f (x, m) ³ (£ 0,> 0,< 0) có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước * Để giải tốn ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D bất phương trình Bước 2: Đưa bất phương trình dạng f (x) ≥ g(m), f (x) ≤ g(m), Bước 3: Xét hàm số y = f (x) D Bước 4: Giải dạng tốn đơn giản kết luận.[2] * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x + + − x ≤ m nghiệm với x ∈ ( −∞ ;log ) A m ≥ B m ≥ 2 C m < D m < 2 Hướng dẫn giải: Với bất phương trình nên đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình đơn giản Lời giải: Đặt x = t Vì x < log ⇒ < x < 2log ⇒ < t < u cầu tốn trở thành: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình t + + − t ≤ m , nghiệm với ∀t ∈ ( 0;5 ) Xét hàm số f ( t ) = t + + − t với t ∈ (0;5) 1 − Có f ′ ( t ) = t +3 5−t 1  −3 < t < f ′( t ) = ⇔ − =0⇔  ⇔ t =1 t +3 5−t  t + = − t Bảng biến thiên 14 Dựa vào bảng biến thiên ta có: m ≥ Chọn A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4 x − x −1 − ( − 2m ) 10 x A m < − x −1 + m.25 x B m ≥ − x −1 100 841 1  ≤ nghiệm với x ∈  ;2  2  100 C m ≤ D m ≤ 841 Lời giải: 1  ≤ 0, ∀x ∈  ;2  2  2 x − x −1 2( x − x −1) 5 5 1  ⇔ m − ( − 2m )  ÷ + m. ÷ ≤ 0, ∀x ∈  ;2  ( 1) 2 2 2  m.4 x − x −1 − ( − 2m ) 10 x − x −1 x − x −1 + m.25x x − x −1 5 Đặt t =  ÷ ⇒ t ′( x ) =  ÷ 2 2  2 Ta có t ∈  ;   25  − x −1 5 ln  ÷.( x − ) = ⇔ x = 2 ( 1) ⇔ m − ( − 2m ) t + m.t ≤ 0, ∀t ∈  2 t  2 ; ⇔m≤ , ∀t ∈  ;  t + 2t +  25   25  t (2)   t + 2t +  ;  ⇔ m ≤  25  Xét hàm số f ( t ) = t  2 ,t ∈ ;  t + 2t +  25  t = −1( l ) ′ f t = ⇔ − t + = ⇔ ( ) ,  ( t + 2t + 1) t = ( l )   100   10 ⇒ f ( t ) = 100 Ta có f  ÷ = , f  ÷=  2 841  ;   25  841   49 f ′( t ) = −t +  25  (2) ⇔ m ≤ 100 841 15 Vậy m ≤ 100 1  bất phương trình nghiệm với x ∈  ;2  Chọn D 841 2  Dạng 7: Tìm điều kiện để phương trình f (u(x,m)) = f (v(x,m)) có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước * Để giải toán ta tiến hành sau: Bước 1: Tìm tập xác định D phương trình Bước 2: Đưa phương trình dạng f (u(x,m)) = f (v(x,m)) Bước 3: Xét hàm số y = f (t) D Bước 4: Giải dạng toán đơn giản kết luận.[2] * Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Có số nguyên m để phương trình log ( x + m ) − 2log x = x − x − 2m − có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C D Lời giải: Điều kiện: x > log ( x + m ) − 2log x = x − x − 2m − ⇔ log ( x + m ) − 2log x = x − ( x + m ) − ⇔ log ( x + m ) + ( x + m ) + = log x + x ⇔ log 2 ( x + m ) + ( x + m ) = log x + x (1) Xét f ( t ) = log t + t , ( t > ) f '( t ) = + > , hàm số đồng biến (0; +∞) t ln 2 2 2 Khi (1) ⇔ f ( ( x + m ) ) = f ( x ) ⇔ ( x + m ) = x ⇔ x − x = 2m Xét hàm số g ( x ) = x − x, ( x > ) Phương trình có nghiệm thực dương −4 < 2m < ⇔ m ∈∅ suy khơng có giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B x Ví dụ 2: Cho phương trình + m = log ( x − m ) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ ( −2021;2022 ) để phương trình cho có hai nghiệm thực? A 20 B 21 C 2021 D 2020 16 Lời giải: Điều kiện: x > m Phương trình tương đương x + x = x − m + log ( x − m ) ⇔ x + x = 2log2 ( x− m ) + log ( x − m) (1) t t Xét hàm số f ( t ) = + t , ∀t ∈ ¡ ; Ta có: f ′ ( t ) = ln + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Từ (1) suy f ( x ) = f ( log ( x − m) ) ⇔ x = log ( x − m) ⇔ x − m = x ⇔ m = x − x x x Xét hàm số g ( x ) = x − ( m; +∞ ) Ta có: g ' ( x ) = − ln ; g ' ( x ) = ⇔ x ln = ⇔ x = log ( log e ) ⇒ g ( log ( log e ) ) = log ( log e ) − log e lim g ( x ) = m − 2m ; lim g ( x) = −∞ x→m+ x →+∞ Bảng biến thiên: m- 2m Do đó: Phương trình cho có nghiệm m − 2m < m < log ( log e ) − log e ⇔ m < log ( log e ) − log e ≈ −0,91 m ∈ ¢ Vì  nên m∈ { −2020; −2019; ; −1} m ∈ ( −2021;2022 ) Vậy có 2020 giá trị m Chọn D Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Qua nhiều năm giảng dạy trường THPT Thọ Xuân ôn thi tốt nghiệp THPT ôn thi HSG, sử dụng theo cách nêu để dạy cho học sinh - Kết nhận thấy số lượng học sinh giỏi hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Các năm gần thi tốt nghiệp THPT HSG lớp 12 xem dạng toán cần có đề thi Tơi thấy học sinh làm tốt dạng tốn mà khơng cịn vướng mắc Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi tốt nghiệp THPT thi HSG cấp tỉnh - Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm hai lớp có trình độ tương đương nhau, lớp 12A1 lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới, lớp 12A2 lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: Đề bài: 17 ( ) 2 x - 3x+1 = Câu Tích nghiệm phương trình log3 x - 3x + + + A B C D Câu Có cặp số nguyên dương ( x; y ) với x ≤ 2020 thỏa mãn log ( x − 1) + x − y = + y A B 1010 C D 2020 Câu Cho x, y số thực thỏa mãn bất phương trình: log ( x + ) + x − y ≥ y Biết ≤ x ≤ 20 , số cặp x, y nguyên thỏa mãn bất phương trình A B 33 C 35 D x x x Câu Cho phương trình m.9 - ( 2m+1) + m.4 £ Tìm tất giá trị ] tham số m để bất phương trình nghiệm với x thuộc ( 0;1 A m³ - B - £ m£ - C m³ - D m£ x +1 x x Câu Cho bất phương trình m.3 + (3m + 2)(4 − 7) + (4 + 7) > , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x ∈ ( −∞;0 ) 2+2 2−2 2−2 2−2 B m > C m ≥ D m ≥ − 3 3 x- 2+3 m- 3x +( x3 - 6x2 + 9x + m) 2x- = 2x+1 +1 có ba Câu Phương trình A m > nghiệm phân biệt mỴ ( a;b) Giá trị biểu thức T = b2 - a2 A 36 B 48 C 64 D 72 Câu Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ≤ y ≤ 2020  2x −  log  = y + − 2x ? ÷  y  A 2019 B 11 C D 2020 Câu Có cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn 2.2 x + x + sin y ≤ 2cos y A B C D Câu Có giá trị nguyên dương m nhỏ 2022 để phương trình x2 x+ +m x x3 + mx2 + x có nghiệm thực dương? e = x4 +1 A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 10 Có giá trị nguyên âm tham số m để phương trình x2+ 3x ( 32 x + 1) − ( 3x + m + ) 3x + m + = 3x + m + có nghiệm thực? A B C D 18 Số liệu thống kê kết thể hiện: Lớp n TN ĐC 40 40 0 0 Điểm số Xi 14 10 12 16 10 Bảng phân bố tần số kiểm tra xi TN 0.0 0.00 0.00 0.00 7.50 0.0 0.00 40.00 25.00 30.00 (%) ĐC (%) 22.50 35.00 17.50 12.50 5.00 0.00 0.00 0.00 10 5.00 0.00 Bảng phân bố tần suất Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua kiểm tra cho thấy: Lớp TN: - Điểm giỏi có tỷ lệ 35,00% - Tỷ lệ HS chiếm 35,00% - HS trung bình 30,00%, khơng có yếu Lớp ĐC: - Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi 00,00% - Tỷ lệ HS đạt điểm 00,00% - Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 35,00% - Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 65,00% Thông qua tỷ lệ chứng tỏ kết học tập HS lớp TN tốt lớp ĐC 19 PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Thọ Xuân Phương trình, bất phương trình mũ lơgarit nội dung quan trọng chương trình mơn tốn THPT nói chung Nhưng học sinh ơn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi HSG lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học gần đây, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình, bất phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh có học lực trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Giải toán “Ứng dụng tính chất đơn điệu hàm số” phương pháp hay, độc đáo, sử dụng lâu, không phổ biến bậc THPT Qua trình tham khảo, học hỏi bậc thầy trước, sử dụng phương pháp để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh Tôi xin phép mạnh dạn đưa ý tưởng để bạn đồng nghiệp em học sinh tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phần nhỏ ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán Mong đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ chuyên đề cao Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp em học sinh Kiến nghị đề xuất Đề nghị Ban chuyên môn nhà trường tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ 20 Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trương Văn Hòa TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Thư viện: violet.vn › Toán, internet Sách giáo khoa Giải tích 12 – bản, nâng cao (NXB Giáo dục) 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trương Văn Hịa Chức vụ đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn trường THPT Thọ Xn Kết Năm học Cấp đánh giá đánh TT Tên đề tài SKKN đánh giá xếp loại giá xếp xếp loại loại Tạo hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh thông qua giải tập sách giáo khoa Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2008 - 2009 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh thơng qua giải bìa tập sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2009 - 2010 22 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh thơng qua giải bìa tập sách giáo khoa Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2010 - 2011 Hướng dẫn học sinh sử dụng đạo hàm vào giải số dạng tập lượng giác tam giác Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2011 - 2012 Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2015 - 2016 Hướng dẫn học sinh sử dụng tích phân vào giải số toán thực tế chương trình Tốn lớp 12 Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2019 - 2020 Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2015 - 2016 23 ... cách giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘? ?Rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương mũ lơgarit phương pháp sử. .. sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12? ??’ Mục đích nghiên cứu - Thiết kế chủ đề dạy học phù hợp, xây dựng quy trình sử dụng hiệu để rèn luyện kỹ tự học cho học sinh dạy học phần giải phương. .. phương trình, bất phương trình mũ lơgarit qua bồi dưỡng phát triển lực tự học cho học sinh - Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập phương pháp hàm số - Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng,