(SKKN 2022) phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung của hai mặt phẳng trong không gian bằng quan hệ thuộc

1 Lời mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Về quan hệ mơn tốn có số lượng lớn quan hệ có tính chất bắc cầu, cụ thể: Q quan hệ có tính chất bắc cầu tức ‘ A, B, C đối tượng tốn học, A có quan hệ Q với B, B có quan hệ Q với C suy A có quan hệ Q với C’ quan hệ “ Thuộc” điểm, đường thẳng, mặt phẳng không gian mà tơi quan hệ có tính chất bắc cầu thế; điểm A thuộc đường thẳng d, đường thẳng d nằm mặt phẳng ( thuộc mặt (α ) phẳng (α ) ) suy điểm A thuộc mặt phẳng (α ) Trong môn Hình học khơng gian chương trình cấp THPT Điểm, Đường thẳng, Mặt phẳng đối tượng nhất, đối tượng có nhiều mối quan hệ phong phú nhiều quan hệ mang tính móng, ban đầu quan trọng Một mối quan hệ quan hệ “ Thuộc” (nằm trên, qua) mà đề tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm ( SKKN ) vận dụng vào việc xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng; lại vấn đề phổ biến ban đầu học mơn hình học khơng gian Phải nói đa số tập, định lý, tính chất mơn Hình học khơng gian mà để chứng minh, giải phải cần đến việc xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng, nên việc cần thiết trong chương trình mơn Hình học khơng gian khơng thể xếp, thống kê, cụ thể hóa cách xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng bao gồm dùng cách sử dụng quan hệ “ Thuộc” mà hàm chứa lời giải, chứng minh tập, định lý, tính chất 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích SKKN nghiên cứu “Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ Thuộc” nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học, nâng cao tiếp thu học lực mơn Hình Học học sinh, giúp học sinh dễ học mơn Hình Học Làm em hiểu rõ xác định điểm chung hai mặt phẳng quan hệ “ Thuộc”, xác định giao tuyến chung phương pháp xác định điểm chung nhờ quan hệ “ Thuộc” hai mặt phẳng không gian - Cách xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ Thuộc” - Cách xác định giao tuyến chung cách dùng quan hệ “ Thuộc” xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian - Làm rõ cách áp dụng vào dạy học thông qua số chứng minh định lý, tính chất tập, đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ‘Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ thuộc”’ dựa đối tượng dùng để nghiên cứu phương pháp chứng minh định lý, tính chất tập, đề thi 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp trừu tượng hố khoa học - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh, đối chiếu thống kê - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá, sơ đồ hóa…phỏng vấn, điều tra, khảo sát thực tế 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Năm 2021 tơi có gửi Sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) Sở GD&ĐT Thanh Hóa dự thi khơng giải, SKKN gửi Sáng kiến tâm đắc dạy học thực nghiệm năm học 2020 – 2021 2021 – 2022 đem lại hiệu cao, tổ chuên môn Hội đồng giáo dục Trung tâm cơng nhận góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần Hình học khơng gian lớp 11 Được góp ý đồng nghiệp, Hội đồng giáo dục trung tâm năm 2022 tiếp tục sửa đổi hồn thiện SKKN tơi gửi năm 2021 để gửi Sở GD&ĐT Thanh hóa dự thi viết SKKN Trong SKKN viết sửa đổi từ SKKN gửi năm 2021 số điểm sau - Sửa tên đề tài cũ thành tên + Tên đề tài cũ: “Hai phương pháp thường dùng xác định giao tuyến chung cách dùng quan hệ “Thuộc” xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian” + Tên đề tài mới: “Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ Thuộc” - Sửa lại cấu trúc, đánh số đề mục, lề, dãn dòng… với văn đạo hướng dẫn Sở GD&ĐT Thanh Hóa - Chỉ rõ Khái niệm, Định lý, Tính chất làm sở, đưa phương pháp xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian Đổi tên phần “Áp dụng” thành “Các toán minh họa”, Ví dụ 1, Ví dụ 2…thành Bài tốn 1, Bài toán 2… - Mục 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: rõ cụ thể Tác dụng SKKN đến chất lượng giảng dạy giáo dục thân, đồng nghiệp, đặc biệt cần phân tích đến tiến học sinh; ảnh hưởng SKKN đến phong trào giáo dục nhà trường - Trong đề tài gửi năm 2021 không giải tập tự luận, tập trắc nghiệm đề tài gửi lần có giải tập tự luận, tập trắc nghiệm ( câu hỏi trắc nghiệm ) Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm viết để rõ, mô rõ ‘ Xác định giao tuyến chung phương pháp xác định điểm chung phân biệt nhờ quan hệ “thuộc” hai mặt phẳng không gian’, nhằm giúp đỡ việc giảng dạy việc giảng dạy mơn hình học không gian cấp THPT đạt hiệu cao hơn, việc giải, chứng minh số lượng lớn tập, tính chất trở nên dễ dàng Tơi trình bày “Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ Thuộc” cụ thể sau 2.1.1 Phương pháp dùng quan hệ “Thuộc” chứng minh điểm thuộc mặt phẳng 2.1.1.1 Phương pháp a Khái niệm: Nếu điểm đường thẳng d thuộc mặt phẳng ta nói đường thảng d nằm (α ) ⊃ d (α ) hay (α ) chứa d ký hiệu (α ) d ⊂ (α ) hay Từ khái niềm ta có phương pháp chứng minh điểm thuộc mặt phẳng b Phương pháp Để chứng minh điểm A thuộc mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng { Cụ thể A∈d d ⊂ (α ) (α ) (α ) ta chứng minh A thuộc ⇒ A∈(α ) 2.1.1.2 Một số toán minh họa Bài toán 1: Tứ diện ABCD; M, N thuộc cạnh AB, AC cho MN cắt BC I Chứng minh a I thuộc mặt phẳng (DMN) b I thuộc mặt phẳng (BCD) Giải toán a { { b I ∈MN MN ⊂ ( DMN ) A M ⇒ I ∈( DMN ) N B I ∈ BC BC ⊂ ( BCD ) D ⇒ I ∈ ( BCD) C I Bài tốn 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, B’C’, AC, A’C’ I trung điểm MN Chứng minh I thuộc mặt phẳng (BB’QP) Giải tốn MP đường trung bình Lại  ∆ABC ⇒  MP / 1/ BC  MP = BC B ' C ' / / BC ⇒ B ' N / / BC B'N = điểm B’C’ nên BC A P M B Mặt khác N trung C I Q A’ N C’ B’ Vậy { B ' N / / MP B ' N = MP nên MPNB’ hình bình hành, từ suy I trung điểm MN I trung điểm B’P tức I ∈ B’P B ' P ⊂ ( BB ' QP ) ⇒ I ∈( BB ' QP ) (Đpcm) 2.1.1.3 Bài tập tự luận Bài tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với O trung điểm AC’ chứng minh O thuộc mặt phẳng BB’D’D Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC, N điểm tùy ý cạnh AD, G trọng tâm , P giao điểm AG MN Chứng minh P thuộc mặt phẳng (AMD) Giải tập Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên { AB / / C ' D ' AB = C ' D ' ⇒ nên O trung điểm AC’ trung điểm BD’ A B A B ⇒ O ∈ BD ' D C Vậy { O∈BD ' BD ' ⊂ ( BB ' D ' D ) ⇒ O ∈ ( BB ' D ' D ) A’ B’ D’ C’ Giải tập Theo Tương tự Vậy Mà { { { M ∈BC BC ⊂ ( AMD ) N ∈ AD AD ⊂ ( AMD ) M ∈( AMD ) N ∈( AMD ) A ⇒ M ∈ ( AMD ) N ⇒ N ∈ ( AMD ) B P D ⇒ MN ⊂ ( AMD ) M AG ∩ MN = P ⇒ P ∈ MN Từ { P∈MN MN ⊂ ( AMD ) G C ⇒ P ∈ ( AMD ) (đpcm) 2.1.1.4 Bài tập trắc nghiệm (Câu hỏi trắc nghiệm) Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ; Trên mặt phẳng ABCD đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB, BC M, N Gọi I trung điểm MN, hỏi khẳng đinh sau khẳng định A I thuộc mặt phẳng (CDA’B’) B I thuộc mặt phẳng (ACC’A’) C I thuộc mặt phẳng (BB’D’D) D I thuộc mặt phẳng (ABC’D’) Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’; Trong mặt phẳng (ABB’A’) đường thẳng song song với AA’ cắt AB, A’B’ M, N Trên hai cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho A’P cắt B’Q R khẳng định khẳng định sau A R thuộc mặt phẳng (ABB’A’) B R thuộc mặt phẳng (MNP) C R thuộc mặt phẳng (MNQ) D R thuộc mặt phẳng (MCC’) Giải câu Gọi O giao điểm AC BD theo định lý ta lét ta chứng minh I thuộc đường trung tuyến BO ∆ABC ⇒ I ∈ BD A M Trong mặt phẳng có đáp án A, B, C, D BD thuộc mặt phẳng (BB’D’D) B I D N C Vậy { I ∈BD BD ⊂( BB ’ D ’ D ) ⇒ I ∈ ( BB’D’D ) A’ B’ Chọn đáp án câu C D’ C’ Giải câu Ba mặt phẳng (A’B’R), (ACC’A’), A R M B (BCC’B’) cắt theo giao tuyến A’R, B’R CC’ Mà A’R ∩ B’R = R suy P Q giao tuyến A’R, B’R CC’ đồng quy R nên R ∈ CC ' Vậy ta có C A’ { R∈CC ' CC '⊂ ( MCC ’) N B’ ⇒ R ∈ ( MCC’) Chọn đáp án câu C’ D 2.1.2 Phương pháp chứng minh điểm điểm chung hai mặt phẳng dùng quan hệ “ Thuộc” chứng minh điểm thuộc hai mặt phẳng 2.1.2.1 Phương pháp: điểm chung (α ) (β ) Chứng minh A thuộc (α ) thuộc (β ) suy A Cụ thể { { { A∈ a a ⊂ (α ) A∈b b⊂(β ) ⇒ A∈(α ) ⇒ A∈( β ) ⇒ Alà điểm chung (α ) (β ) 2.1.2.2 Một số toán minh họa Bài toán 1: (Cụ thể từ Ví dụ trang 50 SGK Hình học 11) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên ba cạnh AB, AC, AD lấy điểm M, N K cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD I, đường thẳng KM cắt đường Thẳng BD J Chứng minh ba điểm H, I, J ba điểm chung hai mặt phẳng (MNK) (BCD) từ suy H, I, J thẳng hàng Giải toán A { { {{ { {{ { { I ∈ NK NK ⊂ ( MNK ) I ∈ CD CD ⊂ ( BCD ) ⇒ I ∈( MNK ) ⇒ I ∈( BCD ) ⇒ I điểm chung ( BCD) ( MNK ) J J ∈ MK MK ⊂ ( MNK ) ⇒ J ∈( MNK ) J ∈ BD BD ⊂ ( BCD ) ⇒ J ∈( BCD ) ⇒ MN ⊂ ( MNK ) H ∈ BD BD ⊂ ( BCD ) ⇒ H ∈( MNK ) ⇒ H ∈( BCD ) N K D C I ( BCD) ( MNK ) J làHđiểm ∈ MN chung M B H ⇒ ( BCD) ( MNK ) H điểm chung ( MNK ) Từ suy I, J, H nằm giao tuyến thẳng hàng ( BCD) nên chúng Bài toán 2: Cho hai hình bình hành ABCD, ABC’D’ có chung cạnh AB không nằm mặt phẳng Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD, ABC’D’; M, I trung điểm CC’, OO’ Chứng minh I điểm chung hai mặt phẳng (ACC’) (ABM) Giải toán D OO’ đường trung bình , M trung điểm O CC’ nên AM qua trung điểm I OO’ Vậy { { { I ∈OO ' OO ' ⊂ ( ACC ') I ∈ AM AM ⊂ ( ABM ) ⇒ I ∈( ACC ') ⇒ I ∈( ABM ) C B A ⇒ I I điểm chung hai mặt phẳng (ACC’) M O’ (ABM) D’ C’ 2.1.2.3 Bài tập tự luận Bài tập 1: ( Bài tập trang 53 SGK Hình học 11) Gọi M giao điểm đường thẳng d Chứng minh M điểm chung với mặt phẳng chứa d Bài tập 2: Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ Gọi G trọng tâm , M trung điểm A’C’, N trung điểm BC Chứng minh G điểm chung hai mặt phẳng (BB’M) (AA’N) Giải tập d Gọi Vậy (β ) { mặt phẳng chứa d M ∈d d ⊂ (β) ⇒ M ∈( β ) (đpcm) M Giải tập Gọi G’ trọng tâm thẳng hàng tức Vậy { ∆A ' B ' C ' G ∈ SG ' G∈SG ' SG '⊂ ( SMB ') , mà { ta biết S, G, G’ S ∈( SMB ') G '∈( SMB ') S ⇒ SG ' ⊂ ( SMB ' ) ⇒ G ∈ ( SMB ' ) A ( SMB ') mặt phẳng G ∈ ( BB’M ) G ( BB’M ) B C N ( 1) B’ A’ Mặt khác ( 1) { Từ (AA’N) (đpcm) G∈ AN AN ⊂ ( AA ' N ) ( 2) { ⇒ G ∈ ( AA ' N ) ( ) G∈( BB’ M ) G∈( AA ' N ) M G’ C’ ⇒G điểm chung hai mặt phẳng (BB’M) 2.1.2.4 Bài tập trắc nghiệm ( Câu hỏi trắc nghiệm) Câu 1: Cho tứ diện ABCD; M, N nằm cạnh BC, CD Gọi O giao điểm DM, BN K điểm tùy ý nằm AO cho K khác O Trong khẳng định sau khẳng định A K điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (ABN) B K điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (ADM) C K điểm chung hai mặt phẳng (ABN) (ADM) D K điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (ADM) (α ) Câu 2: Đường thẳng d cắt mặt phẳng M d, mệnh đề sau mệnh đề A M điểm chung hai mặt phẳng (α ) (β ) (β ) mặt phẳng chưa B M không điểm chung hai mặt phẳng C M nằm D M nằm { (β ) không nằm không nằm ⇒ AO ⊂ ( ADM ) A∈( ADM ) O∈( ADM ) { (α ) { { K∈AO AO∈( ADM ) K∈AO AO∈( ABN ) { (α ) (β ) (α ) ⇒ K ∈( ABN ) ( ADM ) ⇒ ( ABN ) B Chọn đáp án câu C Giải câu d ∩ (α ) = M ⇒ M ∈ ( α ) (β ) ⇒ (α) Từ { A ⇒ AO ⊂ ( ABN ) K điểm chung hai mặt phẳng Giải câu A∈( ABN ) O∈( ABN ) ⇒ K ∈( ADM ) Vậy (β ) D M ( 1) (β) ⇒ M ∈( β ) ( 2) N C d ( 1) mặt phẳng chứa d M ∈d d ⊂ (β) O ( 2) M suy M điểm chung hai mặt phẳng Chọn đáp án câu A 2.1.3 Phương pháp xác định giao tuyến chung phương pháp xác định hai điểm chung phân biệt nhờ quan hệ “Thuộc” hai mặt phẳng không gian 2.1.3.1 Phương pháp a Tính chất - Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác Từ suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung (α ) Đường thẳng chung d hai mặt phẳng phân biệt giao tuyến (α ) (β ) ký hiệu d = (α ) ∩ ( β ) (β ) gọi Vậy từ tính chất ta có phương pháp xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng sau b Phương pháp Nhờ quan hệ thuộc xác định hai điểm phân biệt hai điểm chung hai mặt phẳng suy đường thẳng qua hai điểm phân biệt giao tuyến chung hai mặt phẳng cho Cụ thể { { { { { { A∈ a a ⊂ (α ) ⇒ A∈(α ) A∈b b⊂ (β ) ⇒ A∈( β ) ⇒ B ∈a a ⊂ (α ) ⇒ B ∈ (α ) B ∈b b⊂ (β ) ⇒ B ∈( β ) ⇒ A điểm chung (α ) B điểm chung (α ) (β ) (β ) Suy đường thẳng AB giao tuyến hai mặt phẳng (α ) (β ) 2.1.3.2 Một số toán minh họa Bài toán 1: ( Câu b trang 54 SGK Hình học 11) Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ACD) Giải toán Do =1  BN BN BP NC ≠ ⇒ NP, CD  BP = ⇒ NC PD  PD cắt Gọi Q giao điểm NP CD 10 { { { Q ∈ NP NP ⊂ ( MNP ) ⇒ Q ∈ ( MNP ) Q ∈ CD CD ⊂ ( ACD ) ⇒ Q ∈ ( ACD ) A ⇒ M Q điểm chung B Lại có { { { Q ( ACD ) ( MNP) P N M ∈ MN MN ⊂ ( MNP ) M ∈ AC AC ⊂ ( ACD ) ⇒ M ∈ ( MNP ) C ⇒ ⇒ M ∈ ( ACD ) D ( ACD) ( MNP) Q điểm chung ( MNP) Vậy M, Q hai điểm chung hai mặt phẳng ( MNP) giao tuyến hai mặt phẳng ( ACD) nên MQ ( ACD) Bài toán 2: ( Câu b 10 trang 54 SGK Hình học 11) Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến mặt phẳng (SBM) (SAC) Giải toán M điểm thuộc miền Gọi { { { N = SM ∩ CD S ∈ SM SM ⊂ ( SBM ) S ∈ SA SA ⊂ ( SAC ) ∆SCD O = AC ∩ BN ⇒ S ∈ ( SBM ) ⇒ S ∈ ( SAC ) { O ∈ AC AC ⊂ ( SAC ) M ⇒ O ∈ ( SBM ) ⇒ O ∈ ( SAC ) D A ⇒ N O ( SAC ) ( SBM ) O điểm chung S ( SAC ) S điểm chung O ∈ BN BN ⊂ ( SBM ) ⇒ ( SBM ) { { nên SM cắt cạnh CD B ( SBM ) Vậy S, O hai điểm chung hai mặt phẳng ( MNP) giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) C nên SO ( ACD) 11 2.1.3.3 Bài tập tự luận ( Câu hỏi trắc nghiệm) Bài tập 1: (Bài tập trang 54 SGK Hình học 11) Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi I, K trung điểm hai đoạn thẳng AD BC a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) b Gọi M N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) Bài tập 2: ( Câu a trang 54 SGK Hình học 11) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD, cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD, gọi E giao điểm đường thẳng MP đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) (BCD) { Giải tập { { I∈AD AD⊂( KAD ) I∈IB IB⊂( IBC ) ⇒ I ∈( KAD ) ⇒ I ∈( IBC ) ⇒ M a ( IBC ) ( KAD) I điểm chung { { { K∈BC BC ⊂( IBC ) K∈KA KA⊂( KAD ) ⇒ K ∈( IBC ) ⇒ K ∈( KAD ) A B K C ( IBC ) ( KAD) Vậy K, I hai điểm chung hai mặt phẳng tuyến chung hai mặt phẳng và BI , DM hai đường thẳng nằm mặt phẳng P = BI ∩ DM { { { P∈BI BI ⊂( IBC ) ⇒ P∈( IBC ) P∈DM DM ⊂( DMN ) nên KI giao ( IBC ) ( KAD) Gọi D ( IBC ) ( KAD) b Q N ⇒ K điểm chung I P ⇒ P∈( DMN ) ⇒ CI , DN hai đường thẳng nằm mặt phẳng ( ABC ) cắt P điểm chung ( DMN ) ( IBC ) ( ACD ) cắt 12 Gọi Q = CI ∩ DN  { QCI∈⊂CI( IBC ) ⇒Q∈( IBC )  Q∈DN ⇒Q∈( DMN ) ⇒  { DN ⊂( DMN ) P, Q hai điểm chung hai mặt phẳng ( DMN ) ( IBC ) tuyến chung hai mặt phẳng { { {{ ( DMN ) Giải tập E∈MP MP ⊂( PMN ) ⇒ E∈( PMN ) E∈BC BC ⊂( BCD ) ⇒ E∈( BCD ) ⇒ E điểm chung N∈NP NP ⊂( PMN ) ⇒ N ∈( PMN ) N∈CD CD ⊂( BCD ) ⇒ N ∈( BCD ) nên PQ giao A M P ( BCD) ( PMN ) N điểm chung ( DMN ) ( IBC ) ( IBC ) { { Q điểm chung D B ⇒ ( BCD) ( PMN ) C N ( BCD) ( PMN ) E, N hai điểm chung hai mặt phẳng nên EN ( BCD) ( PMN ) giao tuyến chung hai mặt phẳng E 2.1.3.4 Bài tập trắc nghiệm (Câu hỏi trắc nghiệm) Câu 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D; M, N hai điểm nằm hai cạnh BC CD, O giao điểm hai đường thẳng BN DM Trong khẳng định sau, khẳng định A AO giao tuyến mặt phẳng (ABN) (ABD) B AO giao tuyến mặt phẳng (ADM) (ACD) C AO giao tuyến mặt phẳng (ABN) (BCD) D AO giao tuyến mặt phẳng (ABN) (ADM) Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh đối khơng song song Gọi I giao điểm AB CD, J giao điểm AD BC khẳng định khẳng định sau A SI giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) B SI giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCD) C SJ giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCD ) D SJ giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD) Giải câu A 13 { { { ⇒ A∈( ABN ) A∈AB AB⊂( ABN ) A∈AD AD⊂( ADM ) ⇒ A∈( ADM ) ⇒ ( ADM ) ( ABN ) A điểm chung B D M { { { ⇒ A∈( ABN ) O∈BN BN ⊂( ABN ) O∈DM DM ⊂( ADM ) ⇒O∈( ADM ) ⇒ O CN ( ADM ) ( ABN ) O điểm chung ( ABN ) ( ADM ) A, O hai điểm chung hai mặt phẳng ( ADM ) ( ABN ) giao tuyến chung hai mặt phẳng nên AO Chọn đáp án câu D { Giải câu { { S∈SA SA⊂( SAB ) ⇒ S∈( SAB ) S∈SC SC ⊂( SCD ) ⇒ S∈( SCD ) ⇒ { ( ADM ) ( ABN ) O điểm chung { { I∈AB AB⊂( SAB ) ⇒ I ∈( SAB ) I∈CD CD ⊂( SCD ) ⇒ I ∈( SCD ) A D ⇒ ( ADM ) S, I hai điểm chung hai mặt phẳng B I ( SCD ) ( SAB) J C ( ABN ) I điểm chung S ( SCD ) ( SAB) nên SI giao tuyến chung hai mặt phẳng Chọn đáp án câu B 2.1.4 Phương pháp xác định giao tuyến chung phương pháp xác định điểm chung nhờ quan hệ “thuộc” hai mặt phẳng không gian xác định giao tuyến song song với đường thẳng cố định 14 2.1.4.1 Phương pháp a Định lý (Dựa vào tiên đề Ơ–clit đường thẳng song song mặt phẳng) Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước , có đường thẳng song song với đường thẳng cho Từ định lý ta suy được: đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua song song với đường thẳng cho trước Bản thân giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng, từ định lý ta có phương pháp xác định giao tuyến hai mặt phẳng sau b Phương pháp Chứng minh A thuộc (β ) (α ) A thuộc (β ) suy A điểm chung (α ) Chứng minh giao tuyến hai mặt phẳng song song với đường thẳng cố định d ( AB, MN, RS….) suy giao tuyến hai mặt phẳng hoàn toàn xác định đường thẳng qua A song song với d ( AB, MN, RS….) Cụ thể { { { A∈ a a ⊂ (α ) ⇒ A∈(α ) A∈b b⊂ (β ) ⇒ A∈( β ) ⇒ Alà điểm chung (α ) ∆ (α ) (β ) (β ) Chứng minh giao tuyến song song với d ( Hoặc AB, MN, RS…) cố định Suy đường thẳng qua A song song với d ( Hoặc AB, MN, RS…) giao tuyến (α ) (β ) 2.1.4.2 Một số toán minh họa Bài toán 1: (Câu a Bài tập trang 63 SGK Hình học 11) (α ) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Cho mặt phẳng (α ) A qua M song song với hai đường thẳng AC BD Tìm giao tuyến với mặt tứ diện Giải toán Q 15 {{ M ∈(α ) ( gt ) M ∈ AB AB ⊂ ( ABC ) M điểm chung Gọi { Gọi d1 { (α ) { { B (ABC) d1 D P N C qua M ⇒ d1 / / AC N = d1 ∩ BC MN giao tuyến (ABC) hồn tồn xác định qua M song song với AC N ∈ d1 ⇒N d1 ⊂ ( α ) N ∈ BC BC ⊂ ( BCD ) ⇒ Gọi { d1 = (α ) ∩ ( ABC ) ( ABC ) ⊃ AC AC / / (α ) ⇒ ⇒ M ∈( ABC ) (α ) M ∈ (α ) N ∈ ( BCD ) d = (α ) ∩ ( BCD) ( BCD ) ⊃ BD BD / / (α ) d2 ⇒ (α ) N điểm chung (BCD) qua N ⇒ d / / BD P = d ∩ CD Gọi NP giao tuyến xác định qua N song song với BD d2 Một cách tương tự xác định giao tuyến (α ) (α ) (BCD) hồn tồn với mặt cịn lại Bài tốn 2: Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AD, BC Tìm giao tuyến (MNP) (ABC) Giải toán Gọi Q trung điểm BC MQ đường trung bình NP đường trung bình Gọi d = ( MNP) ∩ ( ABC ) ∆ACD d ∆ABC ⇒ MQ / / AC nên NP // AC =>ANP// (ABC) MQ//NP qua M M N 16 { ( MNP ) ⊃ NP NP / / ( ABC ) ⇒ d / / NP B Vậy giao tuyến d (MNP) (ABC) D qua M song song với NP Suy MQ Q P giao tuyến d cần tìm C 2.1.4.3 Bài tập tự luận Bài tập 1: Cho hai hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB không nằm mặt phẳng M điểm nằm ngồi mặt phẳng (CDFE) Tìm giao tuyến mặt phẳng: (MCD) (MEF) Bài tập 2: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) Và (SCD) Giải tập Do ABCD ABEF hình thang chung đáy lớn AB nên CD//AB EF//AB suy CD//EF Vậy giao tuyến hai D C mặt phẳng (MCD) (MEF) song song với CD M Mặt khác M điểm chung hai d A B mặt phẳng (MCD) (MEF) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng F E (MCD) (MEF) đường thẳng d qua M song song với d Giải tập S d Tứ giác ABCD hình thang nên AB//CD suy giao tuyến (SAB) (SCD) song song với AB Mặt khác S điểm chung (SAB) A B (SCD) nên giao tuyến (SAB) (SCD) đường thẳng d qua S song song với AB D C 2.1.4.4 Bài tập trắc nghiệm (Câu hỏi trắc nghiệm) Câu 1: Cho tứ diện ABCD; M, N trung điểm AB, AC P, Q hai điểm nằm cạnh BD CD cho PQ // BC Kết luận sau A PQ giao tuyến mặt phẳng (MNP) (ABD) B PQ giao tuyến mặt phẳng (MNP) (ACD) 17 C PQ giao tuyến mặt phẳng (MNP) (SAB ) D PQ giao tuyến mặt phẳng (MNP) (BCD) Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ M điểm nằm A’B’, N điểm nằm cạnh B’C’ cho MN//A’C’ Khẳng định sau đúng? A MN giao tuyến mặt phẳng (ACM) (A’B’C’) B MN giao tuyến mặt phẳng (ACM) (ABC) C MN giao tuyến mặt phẳng (ACM) (AA’B’B ) D MN giao tuyến mặt phẳng (ACM) (BB’C’C) Giải câu M, N trung điểm AB, AC nên MN đường trung bình ∆ABC ⇒ MN / / BC A M Hai mặt phẳng (MNP) (BCD) chứa hai N Đường thẳng song song MN BC nên giao tuyến hai mặt phẳng song song với BC {{ P D C Q P∈( MNP ) Mặt khác B P∈BD BD ⊂( BCD ) ⇒ P∈( BCD ) ⇒ P điểm chung ( MNP) (BCD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (BCD) đường thẳng qua P song song vơi BC, suy giao tuyến đường thẳng PQ Chọn đáp án câu D Giải câu A C Do ABC.A’B’C’ hình lăng trụ nên AC//A’C’ Vậy hai mặt phẳng (ACM) (A’B’C’) B chứa hai đường thẳng song song AC A’C’ nên giao tuyến hai mặt phẳng song song với A’C’ Mặt khác { A’ { { M ∈AM AM ⊂( ACM ) ⇒ M ∈( ACM ) M ∈A ’ B ’ A’ B ’⊂( A’ B ’ C ' ) ⇒ M ∈( A’ B’C ') ⇒ N C’ M C’ M điểm chung ( A ' B ' C ') ( ACM ) 18 Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (ACM) (A’B’C’) đường thẳng qua M song song vơi A’C’, suy giao tuyến đường thẳng MN Chọn đáp án câu A 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Mơn hình học nói chung chương trình cấp Trung học chia thành hai phần rõ ràng phần Hình học phẳng phần Hình học khơng gian, nói Hình học khơng gian nửa mơn Hình học cấp Trung học Vậy nên, khơng có lạ kỳ thi ( Học sinh giỏi cấp, Tốt nghiệp THPT Quốc Gia,….vv) thiếu nội dung thi Hình học khơng gian Một nội dung đa số gặp phải trình giải, chứng minh Hình khơng gian việc xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian Thực tiễn khác cho thấy mơn Hình học nói chung mơn Hình học khơng gian nói riêng đa số học sinh cảm thấy khó học hơn, khó hiểu so với mộ Đại Số, Giải Tích Đối với thầy giảng dạy gặp nhiều khó khăn truyền thụ kiến thức cho học sinh chứng minh, giải tập, tính chất Nhận thấy điều nên lần tơi chọn đề tài để viết Sáng Kiến Kinh Nghệm đề tài Hình học khơng gian Sáng Kiến Kinh Nghệm ‘ Hai phương pháp thường dùng xác định giao tuyến chung cách dùng quan hệ “ Thuộc” xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian ‘ Đa số tập, tính chất mà giải, chứng minh đòi hỏi phải biết cách tìm điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng cách thục học sinh tỏ lúng túng, mơ hồ không rõ ràng khiến người dạy gặp nhiều trở ngại Mặt khác thân lại nhận thấy vấn đề không khó lắm, mà khơng có học chương trình tài liệu hệ thống, mơ rõ, rõ cách làm Có nhiều cách xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian, khuôn khổ mặt nội dung Sáng Kiến Kinh Nghiệm chọn cách bản, hay sử dụng xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian ‘Hai phương pháp thường dùng xác định giao tuyến chung cách dùng quan hệ “ “ Thuộc” xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian ‘, mô phỏng, hệ thống rõ phương pháp làm, hi vọng hỗ trợ nhiều cho người dạy người học q trình dạy học Cịn nhiều phương pháp, kỹ thuật xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian khác mong đồng nghiệp, quý thầy cô, nhà nghiên cứu chung tay xây dựng hệ thống, mô cách khoa học, rõ ràng giúp phần nâng cao chất lượng người dạy người học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 19 Xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian liên tục sử dụng giải tốn hình học khơng gian, trình dạy học chương trình sách giáo khoa xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng thường xuyên phải làm; từ chứng minh định lý, tính chất, ví dụ mịnh họa, ví dụ vận dụng đến tập luyện tập v v Trước đây, giáo viên thường dùng giải pháp giảng dạy gặp đến đâu dạy, cách xác định điểm chung, giao tuyến chung đến tình tốn cụ thể giải khơng khái qt, định hình rõ phương pháp làm cụ thể Trong học sinh, học viên Trung Tấm GDNN – GDTX nói chung, Trung Tấm GDNN – GDTX Bá Thước nói riêng chất lượng đầu vào thấp mà mơn Hình học khơng gian lại mơn khó đố với đa số học sinh, người học nên hiệu giảng dạy không ý muốn Sáng kiến kinh nghiệm ‘Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ thuộc”’ mà nghiên cứu nhằm khắc phục nhược điểm giảng dạy nói trên, đem lại hiệu giảng dạy cách tốt 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi chữa tập chứng minh định lý, tính chất hình học khơng gian cần đến việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng nêu, định hình rõ phương pháp làm trình bày SKKN học sinh cảm thấy dễ hiểu hơn, thân thấy dễ dạy học sinh thành thạo việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng không gian tốt hẳn Khi đưa hội đồng Trung tâm, phổ biến đến đồng nghiệp đồng nghiệp hưởng ứng, vận dụng công nhận hiệu giảng dạy tốt hẳn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, tỉ lệ học sinh, học viên khá, giỏi tăng Học sinh, học viên trở nên yêu thích học phần Hình học khơng gian hơn, từ có ảnh hưởng tích cực đến phong trào học tập học sinh, học viên Trước dạy thực nghiệm học kỳ I lớp 11A, 11B năm học 2020 2021, lớp 11A, 11B năm học 2021 – 2022 ‘Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ thuộc”’ đề tài, tiến hành kiểm tra tiền thực nghiệm lực học sinh xác định giao tuyến hai mặt phẳng không gian hai năm học 2020 – 2021 2021 – 2022 sau 2.4.1 Kết kiểm tra trước dạy học thực nghiệm đề tài NĂM HỌC 2020 - 2021 BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC THỰC NGHIỆM LỚP 11 A Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 26 18 21 TỈ LỆ 0% 19% 69% 12% 0% 19% 81% BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC THỰC NGHIỆM LỚP 11 B Dưới Trên 20 ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 29 19 23 TỈ LỆ 0% 20,7% 65,5% 13,8% 0% 20,7% 79,3% NĂM HỌC 2021 - 2022 BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC THỰC NGHIỆM LỚP 11 A Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 34 26 29 TỈ LỆ 0% 14,7% 76,5% 8,8% 0% 14,7% 85,3% BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC THỰC NGHIỆM LỚP 11 B Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 38 29 33 TỈ LỆ 0% 13,2% 76% 10,5% 0% 13,2% 86,8% 2.4.2 Kết kiểm tra sau dạy học thực nghiệm đề tài Sau dạy thực nghiệm học kỳ I lớp 11A 11 B tiến hành kiểm tra lực học sinh xác định điểm chung giao tuyến hai mặt phẳng khơng gian Thì kết sau NĂM HỌC 2020 – 2021 BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM LỚP 11 A Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trun bình g bình SĨ SỐ 26 0 12 14 26 TỈ LỆ 0% 0% 0% 46,2% 53,8% 0% 100% BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM LỚP 11 B Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 29 0 14 15 29 TỈ LỆ 0% 0% 0% 48,3% 51,7% 0% 100% NĂM HỌC 2021 - 2022 BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM LỚP 11 A Dưới Trên ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Trung trung bình bình SĨ SỐ 34 0 16 18 34 TỈ LỆ 0% 0% 0% 47% 53% 0% 100% BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM LỚP 11 B 21 ĐIỂM 0-2 3-4 5-6 Dưới 7-8 9-10 Trun g bình 20 18 52,6% 47,4% 0% Trên trung bình SĨ SỐ 38 0 38 TỈ LỆ 0% 0% 0% 100% Nhận xét Qua kết tiết dạy kiểm tra dạy học thực nghiệm, thấy tư học sinh tăng lên nhiều sau dạy thực nghiệm Thể rõ qua kết hai lần kiểm tra Tập thể, lãnh đạo, hội đồng nhà trường ghi nhận hiệu tích cực đề tài áp dụng vào thực tế giảng dạy Kết luận, kiến nghị *) Kết luận ‘Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ thuộc”’ phương pháp đặc thù tương xứng với tính đặc thù mơn Hình Học khơng gian Có thể nói phương pháp phương pháp giúp học sinh định hình rõ việc xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ “ thuộc” xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian Quy định viết sáng kiến kinh nghiệm hạn chế nên SKKN chưa đưa giáo án dạy tiết cụ thể phương pháp *) Kiến nghị Đề tài SKKN phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, tuỳ vào khai thác người dùng, yêu cầu khai thác cho phù hợp Trong trình áp dụng sáng kiến, người áp dụng vào phương pháp có SKKN mà tùy trường hợp cụ thể để áp dụng cách linh hoạt Mong bổ sung thiếu sót, góp ý từ đồng nghiệp Mọi ý kiến xin gửi theo địa chi “ Tuanvhu@gmail.com” Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình Học lớp 11các tài liệu phương pháp dạy học tốn, sáng kiến kinh nghiệm có thư viện điện tử Violet XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng 06 năm 2022 CAM ĐOAN KHÔNG COPPY 22 Vũ Văn Tuấn 23 ... chung hai mặt phẳng không gian ? ?Hai phương pháp thường dùng xác định giao tuyến chung cách dùng quan hệ “ “ Thuộc? ?? xác định điểm chung hai mặt phẳng không gian ‘, mô phỏng, hệ thống rõ phương pháp. .. giao tuyến chung hai mặt phẳng Chọn đáp án câu B 2.1.4 Phương pháp xác định giao tuyến chung phương pháp xác định điểm chung nhờ quan hệ ? ?thuộc? ?? hai mặt phẳng không gian xác định giao tuyến. .. trình bày ? ?Phương pháp thường dùng xác định điểm chung, giao tuyến chung hai mặt phẳng không gian quan hệ Thuộc? ?? cụ thể sau 2.1.1 Phương pháp dùng quan hệ ? ?Thuộc? ?? chứng minh điểm thuộc mặt phẳng 2.1.1.1