PHẦN I MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ và hình ảnh. Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là môn hình học không gian . Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các trường hợp củ thể từ các bài toán đơn giãn.
uDaiHoc.com PHẦN I - MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chúng ta biết Tốn học nói chung nghành khoa học gắn liền với suy luận logic chặt chẽ, địi hỏi tính xác ngắn gọn Có nhiều ý kiến cho tốn học khô khan nhàm chán rắc rối kí hiệu trừu tượng ngơn từ hình ảnh Nhìn nhận vấn đề gần trường THPT đa số em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ lo sợ học mơn tốn đặc biệt mơn hình học khơng gian Vì vậy, để giúp em tự tin việc học tốn, tơi xây dựng “ Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng ” trường hợp củ thể từ toán đơn giãn Qua trình thực tơi thấy từ phương pháp giúp em giải tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng cách dễ dàng từ tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương pháp giải toán khác đặc biệt giúp em u thích hình học khơng gian nhiều Chính lí mà tơi định chọn đề tài PHẦN II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Khái niệm: “ Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ” Cách xác định góc hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản) - Giả sử hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến c - Từ điểm I bắt kỳ c ta dựng (P) đường thẳng a vng góc với c dựng (Q) đường thẳng b vng góc với c - Khi góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b - Tuy nhiên sử dụng phương pháp học sinh gặp khó khăn với tốn phức tạp việc chọn vị trí điểm I giao tuyến c để xác định đường thẳng a, b thoã mãn tốn - Để khắc phục khó khăn trên, nội dung sáng kiến nêu ba trường hợp thường gặp hướng khắc phục cụ thể cho trường hợp B CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP CỦA BÀI “ TỐN TÌM GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ” VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I TRƯỜNG HỢP Tìm góc hai mặt phẳng giao tuyến chúng cạnh đáy cuả hình chóp I.1 Các tốn Bài tốn 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng ABCD vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Giải: Theo giả thiết: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CB (1) Mặt khác: Xét tam giác vng ADC có AD = a, DC = a ⇒ AC = a Gọi I trung điểm AB ⇒ IC ⊥ IB IC = IB = AD = a Xét tam giác vng ICB ta có: CB = 22 IBIC + =a Xét tam giác vuông ACB ta có: AC + CB = 2a + 2a = 4a AB = 4a ⇒ AC + CB = AB ⇒ AC ⊥ CB (2) Từ (1) (2) ⇒ (SAC) ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB (3) Từ (2) (3) ⇒ góc SCA góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Nhận xét Trong tập dựa vào hai điều kiện để xét góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) là: S A B C D I A hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) hay SA ⊥ CB AC ⊥ CB Từ nhận xét giải toán sau: Bài tốn 1.2 Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành SA ⊥ (ABCD) Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Ta thấy toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để giải toán ta cần tạo nên điều kiện vng góc Giải: Theo giả thiết: SA ⊥ BC [vì SA ⊥ (ABCD)] Từ A dựng AH ⊥ CB H (1) ⇒ (SAH) ⊥ CB ⇒ SH ⊥ CB (2) Từ (1) (2) ⇒ góc SHA góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Bài tốn 1.3 Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD Đáy ABCD hình bình hành.Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Ta thấy tốn 1.3 chưa có hai điều kiện nhận xét trên, ta giải toán sau Giải: Gọi o = AC ∩ BD Theo giả thiết ta có: ΔSAC, ΔSBD cân S với SO đường trung tuyến S A B C D H C S A B D O H ⇒ )(ABCDSO BDSO ACSO ⊥⇒ ⊥ ⊥ [hay O hình chiếu S lên (ABCD)] Từ O dựng OH ⊥ BC H (1) ⇒ (SOH) ⊥ BC ⇒ SH ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ góc SHO góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) I.2 Phương pháp giải Xác định góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) a = ( α ) ∩ ( β ) thuộc mặt phẳng đáy Phương pháp giải: - Xác định hình chiếu O đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P ) - Từ O dựng đường thẳng OH ⊥ a H ⇒ góc SHO góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) I.3 Bài tập vận dụng Bài (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ (0 < ϕ < 90 ) Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo ϕ Bài Cho hình chốp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, Â = 60 , SA = SB = SD = 3a Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) II- TRƯỜNG HỢP Tìm góc hai mặt phẳng giao tuyến chúng cạnh bên hình chóp II.1 Các tốn Bài tốn 2.1 S A I B C D Hình chóp S.ABCD có ΔSAB, ΔSAD Xác định góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Giải: Gọi I trung điểm SA Theo giả thiết ΔSAB, ΔSAD ⊥ ⊥ ⇒ SADI SABI ⇒ góc BID góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Nhận xét: Trong tập 2.1 dựa vào điều kiện ΔSAB, ΔSAD nên xác định hai đường thẳng IB ⊂ (SAB); ID ⊂ (SAD) vng góc với SA I (I ∈ SA) Từ nhận xét giải tốn sau Bài tốn 2.2 Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cạnh a, SB = a Xác định góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Ta thấy, toán 2.2 khơng có điều kiện tam giác giống tốn 2.1 ta giải tốn 2.2 sau Giải: Gọi I trung điểm SA Theo giả thiết: SB = a = AB ⇒ BI ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK ⊥ SA I cắt AD K ⇒ góc BIK góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Bài toán 2.3 I S A B C D K Hình chóp S.ABCD Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) Ta thấy, tập điều kiện đặc biệt để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với SC điểm Vì ta giải sau Giải: Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH ⊥ SC H Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH ⊥ SC H cát DC K ⇒ góc BHK góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) II.2 Phương pháp giải Xác định góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) a = ( α ) ∩ ( β ) cạnh bên hình chóp - Trong mặt phẳng ( α ) dựng đường thẳng từ đỉnh vng góc với a H - Trong mặt phẳng ( β ) dựng HK ⊥ a H cắt cạnh ( α ) K ⇒ góc AHK góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) II.3 Bài tập vận dụng Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi C trung điểm CC’ Tính góc hai mặt phẳng (C AB) (ABC) Bài Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng cạnh a Đường cao SA = h Tính góc ϕ hai mặt phẳng (SBC) (SDC) theo a, h Chứng tỏ ϕ > 90 III - TRƯỜNG HỢP III.1 Các toán Bài toán Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Xác định góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) S K H A B C D S x A H B C K D Giải: Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có điểm chung S AB // CD Qua S dựng Sx // AB (//CD) ⇒ Sx = (SAB) ∩ (SCD) Dựng SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ Sx ⇒ góc HSK góc hai mặt phẳng (SAB) Dựng SK ⊥ CD ⇒ SK ⊥ Sx (SCD) Nhận xét Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) song song với mặt phẳng đáy III.2 Phương pháp giải Xác định góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) chứa hai đường thẳng a, b song song - Gọi S điểm chung ( α ) ( β ) - Qua S dựng đường thẳng SH ⊥ a - Qua S dựng đường thẳng SK ⊥ b ⇒ góc HSK góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) III.3 Bài tập vận dụng Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp a Xác định tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Bài Cho hình chữ nhật ABCD AB = a, BC = 2a Lấy điểm S không gian cho SO ⊥ (ABCD), SO = h Xác định tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Tính h theo a để (SAB) ⊥ (SCD) PHẦN III – KẾT LUẬN Sau tổ chức dạy học theo phương đề xuất lớp 11A2 với n = 46 học sinh (HS) dạy học phương pháp sách giáo khoa hình học 11 - ban lớp 11A4 với n = 36 HS, tổ chức kiểm tra hai lớp ta thu kết sau: Bảng x i - Điểm 10 Từ bảng ta tính thơng số thống kê * Tính trị trung bình số học: Cơng thứ tính n xf X ii ∑ = với n = 46; n = 36 * Lớp *Lớp Ta có: d = 44.1 21 =− XX X > X * Tính phương sai: Cơng thức tính )( 2 − − =∂ ∑ n Xxf ii Ta có bảng số liệu sau: Bảng Lớp x i 10 f i ∑ i f = x i f i ∑ ii fx = (x i X ) (x i X ) (x i X ) f i ∑ = Bảng Lớp x i 10 f i ∑ i f = x i f i ∑ ii fx = (x i X ) (x i X ) (x i X ) f i ∑ = * * Tính độ lệch chuẩn: Cơng thức tính )( 2 − − =∂=∂ ∑ n Xxf ii * Tính độ tin cậy: Cơng thức tính t = 2 2 21 2 21 nn XX mm XX m d d ∂ + ∂ − = + − = Ta có: t = Kết luận : • Từ kết thực nghiệm tính tốn ta thấy có sai lệch X X (cụ thể X > X ) • Giả sử sai lệch X X (cụ thể X > X ) không đáng tin cậy, tức phương pháp khơng có tác dụng; X > X trùng lặp ngẫu nhiên mà có Như vậy, để xem xét tác động tích cực phương pháp kiểm định tính khách quan kết thực nghiệm • Gọi H giả thiết thống kê: Sự sai lệch X X (cụ thể X > X ) không thực chất (tức ngẫu nhiên mà có) với mức ý nghĩa α = 0.05 = 5% • Gọi H đối giả thiết: Sự sai lệch X X (cụ thể X > X ) thực chất (tức tác động phương pháp mà có, khơng phải ngẫu nhiên mà có) • Theo tính tốn ta có: + Độ tin cậy t theo số liệu thực nghiệm: t = 2.88 • Với N = 46 + 36 -2 = 80 mức ý nghĩa α = 0.05 = 5% tra bảng Student (dạng II), cột N = từ 63 đến 175, ta t α = 2.0 , với xác suất tương ứng 95% • Với giá trị thực nghiệm t = 2.88, ta có kết so sánh: t > t α nghĩa ta bác bỏ giả thiết H chấp nhận giả thiết H Vậy: 10 Với độ tin cậy 95% (hay với sai số 5%) sai lệch X X (cụ thể X > X ) kết tác động sư phạm mà có ( áp dụng phương pháp cách rộng rãi) 11 TaiLieuDaiHoc.com ... tơi định chọn đề tài PHẦN II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Khái niệm: “ Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ” Cách xác định góc hai. .. ⊥ Sx ⇒ góc HSK góc hai mặt phẳng (SAB) Dựng SK ⊥ CD ⇒ SK ⊥ Sx (SCD) Nhận xét Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) song song với mặt phẳng đáy III.2 Phương pháp giải Xác định góc hai mặt phẳng. .. để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với SC điểm Vì ta giải sau Giải: Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH ⊥ SC H Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH ⊥ SC H cát DC K ⇒ góc BHK góc hai mặt