Vành lũy đẳng nửa nguyên tố

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRƯƠNG TRÍ DŨNG VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng – Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRƯƠNG TRÍ DŨNG VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã ngành: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Đà Nẵng – Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Học viên thực Trương Trí Dũng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Trương Trí Dũng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Iđêan vành nửa nguyên tố 1.2 Một số lớp vành đặc trưng 1.3 Về phần tử lũy đẳng 14 CHƯƠNG CẤU TRÚC CỦA VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ .17 2.1 Mở đầu 17 2.2 Một số tính chất iđêan vành lũy đẳng nửa nguyên tố 18 2.3 Vành ma trận số liên hệ vành lũy đẳng nửa nguyên tố với số lớp vành thường gặp 23 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu R M od − R I(R) A⊆B A⊂B inf sup R×S Mn (R) Z R N N∗ : : : : : : : : : : : : : : Nghĩa kí hiệu vành có đơn vị 6= phạm trù R-môđun phải tập tất phần tử lũy đẳng vành R A iđêan (tập con) B A iđêan (tập con) thực B cận cận tích trực tiếp hai vành R S vành ma trận vuông cấp n vành R vành số nguyên trường số thực tập hợp số tự nhiên (các số nguyên không âm) tập hợp số tự nhiên khác không MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số kết hợp chuyên nghiên cứu cấu trúc đại số với phép tốn nhân có tính kết hợp Là ngành đại số, tư tưởng, phương pháp kết đại số kết hợp thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực tốn học Nói đến đại số kết hợp, ta khơng thể khơng nói đến lý thuyết vành mơđun, hướng nghiên cứu quan trọng đại số kết hợp Có hai hướng để nghiên cứu vành môđun Hướng thứ sử dụng môđun (phạm trù M od − R) để nghiên cứu vành R Hướng thứ hai là, nghiên cứu nội vành, nghĩa để tìm hiểu vành, ta thường nghiên cứu cấu trúc con, chẳng hạn iđêan mối liên hệ chúng, đồng cấu Với cách làm đó, trước hết ta cần tìm hiểu iđêan nguyên tố Khái niệm iđêan nguyên tố khái niệm tổng quát hóa từ khái niệm số nguyên tố Một số nguyên p gọi số nguyên tố với số nguyên m, n cho mn = p m = p n = p Tổng quát, vành giao hoán R, iđêan P gọi iđêan nguyên tố với x, y ∈ R cho xy ∈ P x ∈ P y ∈ P Và vành R bất kỳ, iđêan P R gọi iđêan nguyên tố với iđêan I, J ⊆ R cho IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P Người ta chứng minh rằng, iđêan P vành R nguyên tố với a, b ∈ R cho aRb ⊆ P a ∈ P b ∈ P Khi lấy giao iđêan nguyên tố, ta iđêan gọi iđêan nửa nguyên tố Tương tự với kết ta vừa nhắc đến đây, người ta chứng minh iđêan P vành R nửa nguyên tố với a ∈ R cho aRa ⊆ P a ∈ P Đặc biệt, vành R nửa nguyên tố iđêan iđêan nửa nguyên tố Điều tương đương với: với a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R a = Ở đây, thay a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R a = điều kiện mạnh ata = với ∀t ∈ A, tập R a = 0, ta lớp vành lớp vành nửa nguyên tố Tác giả Grigore Călugăreanu nghiên cứu lớp vành với trường hợp A tập tất phần tử khả nghịch R, vành R có tính chất gọi vành khả nghịch nửa nguyên tố Trong báo mình, tác giả lớp vành khả nghịch nửa nguyên tố lớp thực lớp vành nửa nguyên tố, số tính chất quan trọng iđêan vành khả nghịch nửa nguyên tố, chẳng hạn, vành ma trận vành khả nghịch nửa nguyên tố vành khả nghịch nửa nguyên tố hay vành quy von Neumann vành khả nghịch nửa ngun tố Độc giả tìm hiểu chi tiết báo Grigore Călugăreanu ([3]) Với ý tưởng vậy, luận văn này, nghiên cứu lớp vành nói với A tập tất phần tử lũy đằng R, ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 0.1 Một iđêan P vành R lũy đẳng nguyên tố với a, b ∈ R, aeb ∈ P , với phần tử lũy đẳng e R, a ∈ P b ∈ P Một vành R gọi vành lũy đẳng nguyên tố iđêan iđêan lũy đẳng nguyên tố Định nghĩa 0.2 Một iđêan P vành R lũy đẳng nửa nguyên tố với a ∈ R, aea ∈ P , với phần tử lũy đẳng e R, a ∈ P Một vành R gọi vành lũy đẳng nửa nguyên tố iđêan iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố Nhắc lại rằng, iđêan nguyên tố hoàn toàn với a, b ∈ R, ab ∈ P a ∈ P b ∈ P Vì phần tử đơn vị R phần tử lũy đẳng nên iđêan nguyên tố hoàn toàn iđêan lũy đẳng nguyên tố, vậy, với iđêan, ta có ... trúc vành lũy đẳng nửa nguyên tố Chương trình bày số tính chất iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố vành lũy đẳng nửa nguyên tố Đặc biệt, ta chứng minh rằng, vành ma trận vành lũy đẳng nửa nguyên tố vành. .. dụ vành lũy đẳng nửa nguyên tố sau: Ví dụ 2.1.2 (1) Trường vành lũy đẳng nửa nguyên tố (2) Vành đa thức Z[x] vành lũy đẳng nửa nguyên tố (3) Vành ma trận tam giác   Mn (R) vành lũy đẳng 1 nửa. .. 1.1 Iđêan vành nửa nguyên tố Vành lũy đẳng nửa nguyên tố lớp lớp vành nửa nguyên tố Một hướng nghiên cứu kiểm tra xem tính chất với vành nửa nguyên tố có với vành lũy đẳng nửa ngun tố hay khơng