Để nghiên cứu vành lũy đẳng nửa nguyên tố, trước hết ta sẽ khảo sát một số tính chất cơ bản của iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố. Như ta đã biết, giao của các iđêan nửa nguyên tố là một iđêan nửa nguyên tố. Đối với iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố, ta cũng có tính chất tương tự.
Mệnh đề 2.2.1. Giao của một họ các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố là một iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử {Pi}i∈I là một họ các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R. Ta đã có \
i∈I
Pi là một iđêan của vành R. Hơn nữa, với mọi a ∈ R,
aea ∈ \
i∈I
Pi
với mọi phẩn tử lũy đẳng e ∈ I(R), khi đó aea ∈ Pi, với mọi i ∈ I, với mọi e ∈ I(R). Do đó, vì Pi là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố với mọi i ∈ I
nên a ∈ Pi với mọi i ∈ I, suy ra
a ∈ \ i∈I Pi. Vậy \ i∈I Pi
là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
Vì một iđêan lũy đẳng nguyên tố cũng là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nên giao của một họ các iđêan lũy đẳng nguyên tố cũng là một iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố. Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2.1, ta thấy rằng giao của tất cả các iđêan của một họ các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố chính là inf của họ đó. Ta cũng dễ dàng chỉ ra được rằng mọi họ các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố cũng có sup. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2. Tập hợp tất cả các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của một vành, với quan hệ thứ tự bao hàm, tạo thành một dàn đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử {Pi}i∈I là một họ các iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R. Khi đó \
i∈I
Pi là inf của {Pi}i∈I. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.1,
\
i∈I
Pi
là một iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố. Hơn nữa, giả sử P là một iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nào đó của R chứa trong các Pi,∀i ∈ I, tức là
P ⊆ Pi,∀i ∈ I. Do đó
P ⊆ \
i∈I
Pi.
Với mọi tập con A⊆ R, kí hiệu
A= ∩{P|P là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R chứa A}. Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.1, A là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của R và là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nhỏ nhất của R chứa A. Theo cách đặt này, ta có
[
i∈I
Pi
là sup của {Pi}i∈I. Thật vậy, giả sử Q là một iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nào đó của R chứa tất cả các Pi,∀i ∈ I, tức là
Pi ⊆Q,∀i ∈ I. Suy ra [ i∈I Pi ⊆ Q, do đó [ i∈I Pi ⊆ Q.
Mệnh đề 2.2.3 Tích của của một họ các vành là lũy đẳng nửa nguyên tố khi và chỉ khi mỗi thành phần của tích là một vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định trên cho trường hợp họ gồm hai vành R, S. Giả sử R×S là vành lũy đẳng nửa nguyên tố. Khi đó, với mọi r ∈ R, r 6= 0, r2 = 0, ta có:
(r,0) 6= (0,0) và (r,0)2 = (r2,0) = (0,0).
Vì R×S là vành lũy đẳng nửa nguyên tố nên tồn tại phần tử lũy đẳng
(e, f) ∈ I(R×S) sao cho
(rer,0) = (r,0)(e, f)(r,0) 6= 0.
Do đórer 6= 0. Mặc khác (e, f)2 = (e, f) nên e2 = e, tức là e ∈ I(R). Vậy
R là vành lũy đẳng nửa nguyên tố. Tương tự, ta cũng chứng minh được S
là vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
Ngược lại, giả sử R, S là các vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
∀(r, s) ∈ R×S,(r, s) 6= (0,0),(r, s)2 = (0,0),
khi đó r 6= 0 hoặc s 6= 0 và r2 = s2 = 0. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử r 6= 0. Vì R là vành lũy đẳng nửa nguyên tố nên tồn tại
e ∈ I(R) sao cho rer 6= 0. Suy ra
(r, s)(e,0)(r, s) = (rer,0)6= (0,0).
Mặt khác (e,0)2 = (e2,0) = (e,0) nên
(e,0)∈ I(R×S).
Vậy R×S là vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
Khi nghiên cứu các cấu trúc đại số, một kỹ thuật ta thường gặp đó là nghiên cứu ảnh của nó qua các đồng cấu. Tuy nhiên không phải đồng
cấu nào cũng bảo toàn tính lũy đẳng nửa nguyên tố. Định lý sau đây cho ta một số điều kiện để xác định các đồng cấu như vậy.
Định lý 2.2.4. Cho f : R → R0 là một đồng cấu vành. Khi đó:
(a) Nếu P là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R và ker f ⊆P
thì f(P) là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành Im f.
(b) Nếu P0 là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vànhR0 và f(I(R)) =
I(R0) thì f−1(P0) là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R.
Chứng minh. (a) Với mọi r0 ∈Im f: r0e0r0 ∈ f(P), với mọi phần tử lũy đẳng e0 ∈ I(Im f). Khi đó, tồn tại r ∈ R : f(r) =r0. Vì
(f(e))2 = f(e)f(e) =f(e2) = f(e)
với mọi e∈ I(R) nên f(e) là phần tử lũy đẳng của Im f. Ta có
f(rer) =f(r)f(e)f(r) = r0f(e)r0 ∈ f(P),
do dó tồn tại p∈ P sao cho f(rer) = f(p), suy ra
rer ∈ p+ker f ⊆ P+ker f = P.
Lại có P là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nên r ∈ P, suy ra r0 = f(r) ∈
f(P). Vậy f(P) là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
(b) Với mọi r ∈ R, rer ∈ f−1(P0) với mọi e ∈ I(R). Với mọi g0 ∈
I(R0), vì f(I(R)) = I(R0) nên tồn tại g ∈ I(R) sao cho f(g) =g0. Khi đó
f(r)g0f(r) =f(r)f(g)f(r) = f(rgr) ∈ P0.
Vì P0 là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố nên f(r) ∈ P0, suy ra r ∈ f−1(P0). Vậy f−1(P0) là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R.
Với mọi đồng cấu vành f : R →R0, ta luôn có f(I(R)) ⊆ I(R0). Tuy nhiên, chiều ngược lại chỉ xảy ra ở một số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn, xét R0 = R/A với A là một iđêan linh của R, khi đó mọi lũy đẳng nâng được modulo A tức là πA(I(R)) = I(R0) với πA : R → R/A là phép chiếu
chính tắc. Hơn nữa, dễ thấy ker πA = A nên áp dụng Định lý 2.2.4, ta có ngay Mệnh đề 2.2.5 sau đây.
Mệnh đề 2.2.5. Cho I là một iđêan của vành R và mọi lũy đẳng
của vành thương R/I nâng được modulo I. Khi đó, một iđêan của R/I là
lũy đẳng nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó có dạng P/I với P là một iđêan
lũy đẳng nửa nguyên tố của vành R chứa I.
Từ mệnh đề trên, ta có ngay hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.6. Cho P là một iđêan của vành R và mọi lũy đẳng nâng
được modulo P. Khi đó vành thương R/P là vành lũy đẳng nửa nguyên tố
khi và chỉ khi iđêan P là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.2.5, ta có ngay điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.9 cho ta biết vành đa thức trên một vành (nửa) nguyên tố là vành (nửa) nguyên tố. Hơn nữa, đối với vành giao hoán, các khái niệm (nửa) nguyên tố và lũy đẳng (nửa) nguyên tố là trùng nhau. Do đó ta có ngay định lý sau:
Định lý 2.2.7. Cho T là tập các biến, giao hoán lẫn nhau và giao
hoán với các phần tử của R. Khi đó:
(a) Vành đa thức R[T] là vành lũy đẳng nguyên tố khi và chỉ khi R
là vành lũy đẳng nguyên tố.
(b) Vành đa thức R[T] là vành lũy đẳng nửa nguyên tố khi và chỉ khi
R là vành lũy đẳng nửa nguyên tố.