Tích nửa trực tiếp và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ THU THỦY TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ THU THỦY TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lê Thị Thu Thủy LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt trình học tập rèn luyện Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị, bạn lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian học tập vừa qua Lê Thị Thu Thủy MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NHÓM VÀ p - NHÓM 1.1.1 Các định nghĩa số nhóm đặc biệt 1.1.2 Một số kết p - nhóm hữu hạn 11 1.1.3 Tích trực tiếp 13 1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM 15 1.2.1 Nhóm tự đẳng cấu 15 1.2.2 Nhóm tự đẳng cấu số nhóm hữu hạn 15 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 18 2.1.1 Tích nửa trực tiếp 18 2.1.2 Tích nửa trực tiếp 22 2.2 ỨNG DỤNG 25 2.2.1 Biểu diễn nhóm dihedral, nhóm quaternion tổng qt nhóm đối xứng qua tích nửa trực tiếp 25 2.2.2 Xây dựng phân loại nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ 29 2.2.3 Xây dựng phân loại nhóm cấp p3 , với p số nguyên tố lẻ 33 2.2.4 Xây dựng phân loại nhóm cấp 12 38 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán phân loại nhóm hữu hạn xác định tất nhóm khơng đẳng cấu có cấp cho trước A Cayley đặt vào năm 1878 chưa có lời giải đầy đủ Với hai nhóm H K cho trước, có nhiều cách xây từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện hai nhóm đó, Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm, đặc biệt tốn phân loại nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp hai nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ " TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p - nhóm - Tìm hiểu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Tìm hiểu quan hệ đẳng cấu nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Phân loại đẳng cấu số lớp nhóm cấp thấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các nhóm p - nhóm cấp thấp, đặc biệt nhóm có cấp 2p p3 , với p số nguyên tố, nhóm hữu hạn quen biết - Quan hệ đẳng cấu nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung luận văn Đặc biệt tài liệu tích nửa trực tiếp hai nhóm - Khảo sát nhóm tự đẳng cấu số nhóm cấp thấp - Dựa vào tài liệu thu thập để thực luận văn - Trao đổi thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược mơt số khái niệm kết cấu trúc nhóm p - nhóm để làm sở cho chương sau Chương 2: Tích nửa trực tiếp ứng dụng Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng phân loại số lớp nhóm bậc thấp CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p - nhóm hữu hạn, để làm sở cho chương sau, chi tiết liên quan xem tài liệu [1], [2], [4], [6], [7], [11] 1.1 NHÓM VÀ p - NHÓM 1.1.1 Các định nghĩa số nhóm đặc biệt Định nghĩa 1.1.1.1 [6] Cho tập hợp G với phép tốn hai ngơi G G×G→G (a, b) 7→ a ∗ b Cặp (G, ∗) gọi nhóm i) ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ii) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G iii) Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a (G, ∗) gọi nhóm giao hốn Có thể nói G nhóm thay cho nhóm (G, ∗) Nếu phép tốn ∗ ký hiệu + G gọi nhóm cộng, cịn phép tốn ∗ ký hiệu ◦, lúc G gọi nhóm nhân Một nhóm G gọi nhóm hữu hạn hay vô hạn tùy theo tập hợp G hữu hạn hay vô hạn Nếu G tập hữu hạn số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G ký hiệu |G| Nếu nhóm G vơ hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa 1.1.1.2 [6] Một tập H nhóm G gọi ổn định tích hai phần tử x, y H lại thuộc H Nếu H tập ổn định nhóm G, H cảm sinh phép tốn từ phép tốn nhóm G Định nghĩa 1.1.1.3 [6] Một tập ổn định H nhóm G gọi nhóm G, H với phép tốn cảm sinh lập thành nhóm Kí hiệu H G Định lý 1.1.1.4 [6] Giả sử H phận khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) H nhóm G ii) ∀x, y ∈ H, xy ∈ H x−1 ∈ H iii) ∀x, y ∈ H, xy −1 ∈ H Hệ 1.1.1.5 [6] Giao họ nhóm nhóm G nhóm nhóm G Định nghĩa 1.1.1.6 [4] Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G có chứa X, kí hiệu hXi hXi = {xε11 xε22 xεnn /xi ∈ X, εi = ±1}, với n số nguyên dương Nhận xét 1.1.1.7 hXi nhóm nhỏ G có chứa X Nếu hXi = G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G Định nghĩa 1.1.1.8 [4] Giả sử G G0 nhóm với phép tốn nhân Một ánh xạ ϕ : G → G0 gọi đồng cấu nhóm ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), với x, y ∈ G Cho X, Y hai nhóm tùy ý, ánh xạ f :X→Y x 7→ 1Y (1Y phần tử đơn vị Y) đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường Mệnh đề 1.1.1.9 [4] Giả sử ϕ : G → G0 đồng cấu nhóm Khi đó: i) ϕ chuyển đơn vị G thành đơn vị G0 , tức ϕ(1G ) = 1G0 ii) ϕ chuyển nghịch đảo phần tử x ∈ G thành nghịch đảo phần tử ϕ(x) = G0 , tức ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Định nghĩa 1.1.1.10 [4] i) Một đồng cấu nhóm đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu nhóm hay phép nhúng ii) Một đồng cấu nhóm đồng thời tồn ánh gọi toàn cấu iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời song ánh gọi đẳng cấu nhóm iv) Nếu có đẳng cấu nhóm ϕ : G → G0 ta nói G đẳng cấu với G0 kí hiệu G ∼ = G0 Định nghĩa 1.1.1.11 [4] Cho đồng cấu nhóm ϕ : G → G0 Ký hiệu Kerϕ = ϕ−1 (1G0 ) = {x ∈ G/ϕ(x) = 1G0 } Imϕ = ϕ(G) = {ϕ(x)/x ∈ G} ... CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 18 2.1.1 Tích nửa trực tiếp ngồi 18 2.1.2 Tích nửa trực tiếp. .. với tích p - nhóm cyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử 17 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày số khái niệm, tính chất tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng. .. cho luận văn thạc sĩ " TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p - nhóm - Tìm hiểu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Tìm hiểu quan hệ