số nguyên tố lẻ
Trước hết ta xét một trường hợp riêng, là phân loại đẳng cấu các nhóm cấp 6.
Mệnh đề 2.2.2.1. [11] Chỉ có đúng hai nhóm cấp 6( không đẳng cấu nhau) là C6 và D3.
Chứng minh.
Gọi G là một nhóm bất kỳ có cấp 6. Ta có |G| = 6 = 2.3. Theo Định lý Sylow thứ nhất 1.1.2.3 thì G có ít nhất một 2 – nhóm con Sylow K cấp 2 và ít nhất một 3 – nhóm con Sylow H cấp 3.
Vì [G : H] = 2 nên theo Mệnh đề 1.1.1.28 thì H / G. Đồng thời ta có K ≤ G,|K| = 2, khi đó HK = G và K ∩ H = {1}, theo Định lý 2.1.2.3 và Nhận xét 2.1.2.4, G ∼= H
oθK với θ là một đồng cấu từ nhóm K lên nhóm các tự đẳng cấu Aut(H).
Ta có: K ∼= C
2 = b/b2 = 1 = {1, b}. H ∼= C
3 = a/a3 = 1= 1, a, a2 .
α(a) = a2,∀a ∈ C3. Suy ra có hai đồng cấu từ nhóm K lên nhóm các tự đẳng cấu Aut(H) là đồng cấu tầm thường id và đồng cấu
θ : C2 → Aut(C3), với θ(1) = 1C3, θ(b) =α. Với đồng cấu tầm thường id, theo Nhận xét 2.1.1.4 thì G∼= C
3×C2 ∼= C
6. Với đồng cấu θ, ta có G ∼= C
3 oθ C2. Xét nhóm HoθK, ta có: (a,1K)2 = (a,1K)(a,1K) = (aθ(1K)a,1K)
= (a.1C3(a),1K) = (a2,1K).
(a,1K)3 = (a,1K)(a,1K)2 = (a,1K)(a2,1K) = (aθ(1K)a2,1K) = (a.1C3(a2),1K) = (a3,1K) = (1H,1K). (1H, b)2 = (1H, b)(1H, b) = (1Hθ(b)1H, b2) = (α(1H),1K) = (1H,1K). (1H, b).(a,1K).(1H, b) = (1Hθ(b)(a), b)(1H, b) = (α(a), b)(1H, b) = (a2, b)(1H, b) = (a2θ(b)(1H), b2) = (a2.α(1H), b2) = (a2, b2) = (a2,1K) = (a,1K)−1. Dễ dàng kiểm chứng được hai ánh xạ sau là đơn cấu
K →HoθK và H → HoθK b 7→ (1H, b) a 7→(a,1K)
Đồng nhất a ≡ (a,1K) và b ≡ (1H, b) thì nhóm HoθK có biểu biễn là
HoθK = a, b/a3 = b2 = 1, bab−1 = a−1.
Vì C6 là nhóm cyclic còn D3 là nhóm không giao hoán nên hai nhóm này cũng không đẳng cấu với nhau. Vậy chỉ có hai nhóm có cấp 6 không đẳng cấu với nhau là C6 và D3.
Tổng quát mệnh đề trên, ta có
Định lý 2.2.2.2. [7] Cho p là số nguyên tố lẻ. Khi đó mọi nhóm con có cấp 2p hoặc đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 2p hoặc đẳng cấu với nhóm dehidral Dp.
Chứng minh.
Giả sử G là một nhóm bất kỳ có cấp 2p, khi đó theo Định lý Sylow thứ nhất 1.1.2.3, thì G có ít nhất một p – nhóm con Sylow H cấp p và ít nhất một 2 – nhóm con Sylow K cấp 2. Vì [G : H] = 2 nên H / G. Đồng thời, khi đó HK = G và H ∩K = {1G}. Do đó G ∼= H
oθK, với θ là một đồng cấu từ nhóm K lên nhóm các tự đồng cấu Aut(H).
Ta có: K ∼= C
2 = b/b2 = 1 = {1, b}. H ∼= C
p = ha/ap = 1i = 1, a, a2, ..., ap−1 .
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, do H là nhóm cyclic cấp p nên Aut(H) là nhóm cyclic cấp p−1. Vì p là số nguyên tố lẻ nên p−1 là số chẵn, theo Hệ quả 1.2.2.5 thì trong nhóm Aut(H) chỉ có duy nhất một phần tử cấp 2.
Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ α : H → H, với α(a) = ap−1 là một tự đẳng cấu. Hơn nữa
α2(a) = α(α(a)) = α(ap−1) = a(p−1)2 = ap(p−2)+1 = a. Suy ra ord(α) = 2. Vậy α là phần tử cấp 2 duy nhất trong Aut(H).
Vì K = hbi là nhóm cyclic cấp 2 nên chỉ có hai đồng cấu từ K đến Aut(H) là đồng cấu tầm thường và đồng cấu θ : K → Aut(H), với
θ(b) = a.
Xét nhóm HoθK, ta có:
(a,1K)2 = (a,1K)(a,1K) = (aθ(1K)a,1K) = (a.1Cp(a),1K) = (a2,1K). (a,1K)3 = (a,1K)(a,1K)2
= (a,1K)(a2,1K) = (aθ(1K)a2,1K) = (a.1Cp(a2),1K) = (a3,1K).
Bằng quy nạp theo n ta có
(a,1K)n = (a,1K)(a,1K)n−1 = (a,1K)(an−1,1K) = (aθ(1K)an−1,1K) = (a.1Cp(an−1),1K) = (an,1K).
Vậy khi n = p thì (a,1K)p = (1H,1K)
(1H, b)2 = (1H, b)(1H, b) = (1Hθ(b)1H, b2) = (α(1H),1K) = (1H,1K). (1H, b)(a,1K)(1H, b) = (1Hθ(b)a, b)(1H, b) = (α(a), b).(1H, b) = (ap−1, b).(1H, b) = (ap−1θ(b)(1H), b2) = (ap−1.α(1H), b2) = (ap−1, b2) = (ap−1,1H) = (a,1K)−1.
Dễ dàng kiểm chứng được hai ánh xạ sau là hai đơn cấu K →HoθK và H → HoθK
b 7→(1H, b) a 7→(a,1K)
là HoθK = a, b/ap = b2 = 1, bab−1 = ap−1. Nhóm này là nhóm không giao hoán cấp 2p và đẳng cấu với nhóm Dp.
Với θ1 : K → Aut(H) là đồng cấu tầm thường theo Nhận xét 2.1.1.4 thì HoθK chính là H ×K ∼= C
p ×C2 ∼= C
2p.
Vì C2p là nhóm cyclic còn Dp là nhóm không giao hoán nên hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Vậy chỉ có hai nhóm có cấp 2pkhông đẳng cấu với nhau là C2p và Dp.