Bổ đề 2.2.4.1. [7] Mọi nhóm cấp 12 đều có một nhóm con chuẩn tắc cấp 3 hoặc một nhóm con chuẩn tắc cấp 4.
Gọi G là một nhóm bất kỳ có cấp 12. Ta có |G| = 12 = 22.3.
Theo định lý Sylow thứ nhất thì G có ít nhất một 2 – nhóm con Sylow H cấp 4 và có ít nhất một 3 – nhóm con Sylow K cấp 3.
Gọi s2 và s3 lần lượt là số các 2 – nhóm con Sylow và số các 3 – nhóm con Sylow của G thì theo định lý Sylow thứ ba:
s2 ≡ 1 mod (2) ⇒s2 = 1 hoặc s2 = 3 s3 ≡ 1 mod (3) ⇒s3 = 1 hoặc s3 = 4
Nếu s3 = 4 thì G có 2·4 = 8 phần tử cấp 3 và do đó số phần tử có cấp khác 3 của G là 4 nên số 2 – nhóm con Sylow G là s2 = 1. Vậy hoặc s3 = 1 hoặc s2 = 1, do đó H / G hoặc K / G.
Mệnh đề 2.2.4.2. [7] Cho G là một nhóm cấp 12. Nếu s2 = s3 = 1, thì G là nhóm giao hoán.
Chứng minh.
Gọi H và K lần lượt là 2 - nhóm con Sylow và 3 - nhóm con Sylow của G. Khi đó theo Hệ quả 1.1.2.6 thì H / G, K / G, và |H| = 4,|K| = 3. Theo Định lý 2.1.2.5 và Nhận xét 2.1.1.4, thì G = H ×K là nhóm giao hoán.
Mệnh đề 2.2.4.3. [7] Mọi nhóm không giao hoán cấp 12 và có một nhóm con chuẩn tắc cấp 4 đều đẳng cấu với nhóm thay phiên A4.
Chứng minh.
Giả sử G là một nhóm không giao hoán cấp 12, H / G, |H| = 4 và K ≤ G,|K| = 3. Khi đó H∩K = {1}, HK = G nên G∼= HoθK với θ là đồng cấu không tầm thường từ nhóm K lên nhóm tự đẳng cấu Aut(H).
- Nếu H ∼= C
4 thì Aut(C4) ∼= C
2 và do K ∼= C
3 nên θ là đồng cấu tầm thường, vô lý. Vậy, không có nhóm cấp 12 không giao hoán chứa
nhóm con chuẩn tắc là C4. - Nếu H ∼= C
2 × C2, C2 = hai, C2 = hbi và K ∼= C
3 sinh bởi c thì có đúng hai đồng cấu không tầm thường θ : K → Aut(H) xác định bởi θ(c) = ϕ4 và θ(c) = ϕ5.
Nếu θ(c) =ϕ4 thì G ∼= (C
2 ×C2)oθC3 thì nhóm này có biểu diễn là
a, b, c/a2 = b2 = c3 = 1, ab = ba, cac−1 = b, cbc−1 = ab (2.1) Vì ϕ4 và ϕ5 liên hợp theo Định lý 2.1.1.8 nên nhóm (C2 ×C2)oθC3
với θ(c) = ϕ5 đẳng cấu với nhóm xác định bởi (2.1).
Vậy, sai khác một đẳng cấu, có duy nhất một nhóm không giao hoán cấp 12 chứa nhóm con chuẩn tắc cấp 4.
Nhóm thay phiên A4 có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc cấp bốn là nhóm {1,(12) (34),(13) (24),(14) (23)}. Do đó nhóm G đẳng cấu với nhóm thay phiên A4.
Mệnh đề 2.2.4.4. [7] Mọi nhóm không giao hoán có cấp 12 và chứa nhóm con chuẩn tắc cấp 3 đều đẳng cấu với nhóm diheral D6 hoặc nhóm
C3oθC4. Hơn nữa hai nhóm D6 và C3oθC4 không đẳng cấu nhau. Chứng minh.
Giả sử G là nhóm cấp 12 không giao hoán, K / G,|K| = 3 và có H ≤ G,|H| = 4. Khi đó H ∩ K = {1}, HK = G, nên G ∼= K
oθH với θ là một đồng cấu không tầm thường từ nhóm H lên các nhóm tự đẳng cấu Aut(K).
- Khi K ∼= C
3 sinh bởi a và H ∼= C
4 sinh bởi b, có đúng một đồng cấu không tầm thường θ : H → Aut(K) xác định bởi θ(b) = ϕ. Do đó G∼= C
3oθC4. Nhóm này có biểu diễn là
- Khi K ∼= C
3 sinh bởi a và H ∼= C
2 × C2, C2 = hbi, C2 = hci, có đúng ba đồng cấu không tầm thường từ H lên Aut(K) là:
θ1(b) =ϕ θ1(c) = id , θ2(b) =id θ2(c) =ϕ và θ3(b) =ϕ θ3(c) = ϕ
Dễ dàng kiểm tra được θ2 = θ1ϕ3 và θ3 = θ1ϕ2 với ϕ2, ϕ3 ∈ Aut(C2 ×C2) trong Mệnh đề 1.2.2.8.
Do đó các nhóm C3oθ(C2×C2) với θ ∈ {θ1, θ2, θ3} đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với nhóm G ∼= C
3oθ(C2 × C2) với θ(b) = ϕ2 và θ(c) = id. Nhóm này có biểu diễn là:
a, b, c/a3 = b2 = c2 = 1, bc = cb, cac−1 = a, bab−1 = a2 (2.3) Lấy a, b ∈ G thì nhóm con của G xác định bởi
a, b/a3 = b2 = 1, bab−1 = a−1 là nhóm đẳng cấu với D3.
Vì bc = cb và ca = ac nên gọi C2 = hci thì xy = yx,∀x ∈ C3,∀y ∈ D3 vàC2∩D3 = {1}, D3C2 = GnênG ∼= D
3×C2 ∼= D6 (theo Định lý 1.1.3.9). Hai nhóm D6 và C3oθC4 không đẳng cấu nhau vì nhóm C3oθC4 có phần tử cấp 4, còn nhóm D6 không có phần tử cấp 4.
Hệ quả 2.2.4.5. Có năm nhóm cấp 12 sai khác nhau một đẳng cấu, trong đó có hai nhóm giao hoán là C12, C2 ×C2 ×C3 và ba nhóm không giao hoán là A4, D6, C3oθC4.
Chứng minh.
Giả sử G là một nhóm giao hoán cấp 12, theo Định lý 1.2.2.10 và Định lý 1.2.2.11 về cấu trúc nhóm giao hoán hữu hạn thì G ∼= C
12 hoặc G ∼= C
Mệnh đề 2.2.4.3 và Mệnh đề 2.2.4.4, chỉ có ba nhóm không giao hoán cấp 12 là A4, D6, C3oθC4, ba nhóm này đôi một không đẳng cấu nhau vì A4 có s2 = 1, còn D6 và C3oθC4 có s2 = 3. Vậy có năm nhóm cấp 12 sai khác nhau một đẳng cấu.
Nhận xét 2.2.4.6. Theo Hệ quả 1.1.2.6 và Mệnh đề 2.2.4.2 thì không tồn tại nhóm không giao hoán cấp 12 có chứa đồng thời nhóm con chuẩn tắc cấp 4 và nhóm con chuẩn tắc cấp 3.
KẾT LUẬN
Luận văn " Tích nửa trực tiếp và ứng dụng" đã thực hiện được mục tiêu đề ra, cụ thể là thu thập và đọc hiểu các tài liệu về tích nửa trực tiếp, từ đó trình bày lại các vấn đề sau
1) Trình bày khái niệm tích nửa trực tiếp của hai nhóm, cùng các kết quả liên quan.
2) Biểu diễn các nhóm dihedral, nhóm quaternion tổng quát và nhóm đối xứng qua tích nửa trực tiếp.
3) Dùng tích nửa trực tiếp để xây dựng và phân loại các nhóm có cấp 2p, cấp p3 với p là một số nguyên tố lẻ, và các nhóm có cấp 12.
Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn tiếp tục được hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, nhằm chứng tỏ tầm quan trọng và tính hiệu quả của tích nửa trực tiếp đối với bài toán xác định và phân loại nhóm hữu hạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Nguyễn Văn Bảy (2009), Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp n,
n ≤ 20, Luận văn thạc sỹ khoa học - Đại học Đà Nẵng.
[2] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Đại số và số học, tập I,II, NXB Giáo dục.
[3] Bùi Huy Hiền(1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục. [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. [5] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, NXB Giáo dục.
[6] Hoàng Xuân Sính (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. Tiếng Anh:
[7] Benjamin Baumslag, Bruce chandle (1968), Theory and problems of Group theory, Mcgraw – Hill book company.
Trang website:
[8] David Jao(2002), Semidirect Product of Groups, at http://planetmath.org/semidirectproductofgroups [9] Keith Conrad, Group of order p3, at
http://www.math.uconn.edu/kconrad/blurbs/grouptheory/groups p3.pdf
[10] Keith Conrad, Generalized Quaternions, at
[11] Milne J.S. (2008), Group Theory at
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf [12] Patrick J. Morandi, Semidirect Products (1998), at