Đại số lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ HIỀN ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Trần Thị Hiền LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Trần Đạo Dõng tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp ĐSK31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Trần Thị Hiền Mục lục Mở đầu Chương Các kiến thức sở 1.1 Đại số Lie 1.2 Iđêan đồng cấu 1.3 Đại số Lie Lũy linh Định lý Engel 1.4 Đại số Lie giải Định lý Lie 13 Chương Đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ 18 2.1 Đại số Lie nửa đơn tiêu chuẩn Cartan 18 2.2 Biểu diễn khả quy đầy đủ 27 2.3 Định lý Weyl cho đại số Lie nửa đơn 31 2.4 Biểu diễn đại số Lie sl(2, F) 33 2.5 Đại số Lie quy đại số Lie nửa đơn cổ điển 35 2.6 Phân tích Levi đại số Lie 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nghiên cứu cấu trúc biểu diễn đại số Lie nửa đơn toán quan trọng mang tính thời lý thuyết Lie lý thuyết biểu diễn Nhiều nhà toán học quan tâm lĩnh vực tập trung giải trọn vẹn cho nhiều lớp đại số Lie cụ thể Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie nửa đơn với gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống, chứng minh chi tiết kết biểu diễn đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày số khái niệm, định lý đại số Lie, đại số Lie lũy linh, định lý Engle, đại số Lie giải định lý Lie sử dụng chương sau Trong chương chúng tơi trình bày đại số Lie nửa đơn, đại số Lie nửa đơn cổ điển, tiêu chuẩn Cartan, đại số Lie quy, từ xét tính khả quy đầy đủ đại số Lie nửa đơn thông qua định lý Weyl ứng dụng để khảo sát phân tích Levi đại số Lie Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đại số Lie nửa đơn mối liên hệ với đại số Lie quy cấu trúc đại số Lie Đồng thời khảo sát tính khả quy đầy đủ biểu diễn thể cho lớp đại số Lie nửa đơn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: - Đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy - Biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan đến cấu trúc đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo mới, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo trao đổi với giáo viên hướng dẫn Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Đóng góp đề tài Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Góp phần làm rõ vai trị đại số Lie nửa đơn mối liên hệ với tính khả quy đầy đủ biểu diễn Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số Lie biểu diễn, khái niệm liên quan đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, định lý Lie Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2] [3] 1.1 Đại số Lie Cố định trường F Định nghĩa 1.1.1 Cho L không gian véctơ trường F xét [, ] : L × L −→ L (x, y) 7−→ [x, y] phép tốn L Khi đó, (L, [, ]) gọi đại số Lie trường F phép toán [, ] thỏa mãn a) [, ] song tuyến tính; tức là, ∀x, y, z ∈ L, ∀λ, β ∈ F ta có: [λx + βy, z] = λ[x, y] + β[y, z] [x, λy + βz] = λ[x, y] + β[x, z] b) [, ] phản xạ; tức [x, x] = 0, ∀x ∈ L c) [, ] thỏa mãn đồng thức Jacobi; tức [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[x, z], y] = 0, ∀x, y, z ∈ L Số chiều dimF (L) không gian véctơ L định nghĩa số chiều đại số Lie L [, ] gọi tích Lie Đại số Lie L gọi đại số Lie giao hoán [x, y] = 0, với x, y ∈ L Nhận xét 1.1.1 Từ điều kiện (b) ta suy điều kiện (b’) : [x, y] = −[y, x] Và CharF 6= (b) (b’) tương đương Với K không gian véctơ L, đó, K gọi đại số Lie L K đóng với tích Lie, tức : ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K Với phần tử x ∈ L, x 6= 0, ta ln có K = Fx đại số Lie chiều L với tích Lie tầm thường : [y, y ] = 0, ∀y, y ∈ K Từ lúc này, ta nói K đại số đại số Lie L hiểu K đại số Lie đại số Lie L Ví dụ 1.1.1 Với (A, ·) đại số Lie kết hợp F, ta định nghĩa phép toán [−, −] : A × A → A, (x, y) 7→ [x, y] = x · y − y · x Khi (A, [−, −]) đại số Lie F Đặc biệt, A = End(V ), với V không gian véctơ hữu hạn chiều F, phép nhân "·" phép hợp thành hai tự đồng cấu V, ta có (End(V ), [−, −]) đại số Lie Ta viết gl(V ) thay cho End(V ) hiểu End(V ) đại số Lie Nếu ta cố định sở V, ta đồng gl(V ) với đại số ma trận n × n F, ký hiệu gl(n, F) hay đơn giản gl(n), với dimgl(V ) = dimgl(n, F) = n2 Phép hợp thành hai tự đồng cấu V phép nhân hai ma trận tương ứng Bây ta xác định cụ thể tích Lie gl(n, F) cụ thể sau: Xét sở {eij } gl(n, F), với eij ma trận sau: phần tử vị trí (i, j) 1, phần tử cịn lại Phép nhân hai ma trận xác định sở: eij ekl = δjk eil , đây, δjk ký hiệu Kronecker, j = k trường hợp khác Do tính song tuyến tính tích Lie nên để xác định tích Lie, ta cần xác định sở {eij } sau: [eij , ekl ] = eij ekl − ekl eij = δjk eil − δli ekj ma trận có thành phần 0, 1, −1 Ví dụ 1.1.2 Xét sl(n) = sl(n, F) = {x ∈ gl(n, F)|T r(x) = 0}, T r(x) vết x Khi đó, sl(n) khơng gian véctơ sl(n) vì: T r(ax + by) = aT r(x) + bT r(y) = 0, ∀a, b ∈ F; x, y ∈ sl(n) Hơn nữa, sl(n) đại số gl(n) vì: T r([x, y]) = T r(xy) − T r(yx) = 0, ∀x, y ∈ sl(n) Khi đó, sl(n) gọi đại số Lie tuyến tính đặc biệt Nhận xét 1.1.2 dimsl(n) = n2 − n−1 Một sở sl(n) {e ij }i6=j ∪ {h  j }i=1 với hi = eii − ei+1,i+1 a b Với n = ta có sl(n) = c −a |a, b, c ∈ F có sở :       0 x = 0 , y = , z = −1 Với tích Lie : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h Ví dụ 1.1.3 Đại số symplectic đối xứng: sp(2l) = sp(2l, F) t = {x  ∈ gl(2l, F)|sx  = −x s}  m n = x = p q |m, n, p, q ∈ gl(l, F) thỏa mãn : nt = n, pt = t, mt = −q   I Ở xt chuyển vị x, s = −I 0l , Il đơn vị gl(l) Ta có l sp(2l) đại số Lie gl(2l) (vì đóng với tích Lie) Hơn nữa, sp(2l) đại số Lie (2, F), dim sp(2l) = 2l2 + l, với sở : eii − ei+1,i+1 , ≤ i ≤ l; eij − el+j,l+i , ≤ i 6= j ≤ l; ei,l+i , ≤ i ≤ l; ei,l+j + ej,l+i , ≤ i < j ≤ l; el+i,i , ≤ i ≤ l; el+i,j − el+j,i , ≤ i < j ≤ l Ví dụ 1.1.4 Đại số A F-đại số d ∈ EndF (A) Khi đó, ánh xạ tuyến tính d : A −→ A gọi vi phân thỏa mãn cơng thức Leibniz: d(a.b) = d(a).b + a.d(b) Tập vi phân A ký hiệu Der(A) Với d, d0 ∈ Der(A), ta có: [d, d0 ](a.b) = (dd0 − d0 d)(a.b) = d(d0 (a).b − a.d0 (b)) − d0 (d(a).b − a.d(b)) = (dd0 − d0 d)(a).b + a.(dd0 − d0 d)(b) = [d, d0 ](a).b − a.[d, d0 ](b) Do [d, d0 ] ∈ Der(A) Vậy Der(A) đại số Lie gl(A) Ví dụ 1.1.5 Với dim L = 2, giả sử L =< {e1 , e2 } >, ta xác định tích Lie khơng tầm thường L Từ tính phản giao hốn tích Lie, ta có: [e1 , e1 ] = [e2 , e2 ] = 0, [e1 , e2 ] = −[e2 , e1 ] Đặt [e1 , e2 ] = y = αe1 + βe2 6= Khi ta có: [e1 , y] = [e1 , αe1 + βe2 ] = α[e1 , e1 ]+β[e1 , e2 ] = βy, tương tự: [e2 , y] = −αy Do đó, chọn x cho L =< {x, y} > ta ln có [x, y] = λy, λ 6= tích Lie khơng tầm thường Thay x x/λ ta được: L =< {x, y} >, [x, y] = y Như có hai đại số Lie chiều( sai khác đẳng cấu) đại số Lie giao hoán đại số Lie xác định Ví dụ 1.1.6 Khơng gian R3 với tích có hướng a × b xác định sau: ! i j k (a1 , a2 , a3 ) × (b1 , b2 , b3 ) = det a1 a2 a3 b1 b2 b3 đại số Lie, với tích Lie: e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 Trong i, j, k sở tắc R3 1.2 Iđêan đồng cấu Định nghĩa 1.2.1 Không gian véctơ I đại số Lie L gọi iđêan L [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I Ví dụ 1.2.1 Hai iđêan tầm thường L là: L Ví dụ 1.2.2 Tâm L : Z(L) = {z ∈ L|[x, z] = 0, ∀x ∈ L} iđêan L Ta có: L giao hoán Z(L) = L Định nghĩa 1.2.2 Với L, L0 hai đại số Lie trường F , ánh xạ tuyến tính φ : L −→ L0 gọi đồng cấu đại số Lie nếu: φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], ∀x, y ∈ L Đồng cấu φ gọi đơn cấu Kerφ = 0, toàn cấu Imφ = L0 , đẳng cấu vừa đơn cấu, vừa toàn cấu ... thời khảo sát tính khả quy đầy đủ biểu diễn thể cho lớp đại số Lie nửa đơn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: - Đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy - Biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie. .. SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ Trong chương chúng tơi trình bày đại số Lie đơn nửa đơn, đại số Lie quy, biểu diễn khả quy đầy đủ ứng dụng để khảo sát phân tích Levi đại số Lie Các... Đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ 18 2.1 Đại số Lie nửa đơn tiêu chuẩn Cartan 18 2.2 Biểu diễn khả quy đầy đủ 27 2.3 Định lý Weyl cho đại số Lie nửa đơn