Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).

Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn).VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH VỀ CÔNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỂN BẤT KHẢ QUY CỦA SIÊU ĐẠI SỐ LIE gl(m|n) Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Mã số.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH VỀ CƠNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỂN BẤT KHẢ QUY CỦA SIÊU ĐẠI SỐ LIE gl(m|n) Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2020 Luận án hồn thành tại: Viện Tốn học-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tập thể hướng dẫn khoa học: GS TSKH PHÙNG HỒ HẢI TS NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại: Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Viện Tốn học Mở đầu Siêu đại số Lie cịn gọi đại số Lie Z2 -phân bậc, khái niệm ban đầu xuất nghiên cứu vật lý Trong ngành vật lý lý thuyết, đối tượng quan trọng, mơ tả tốn học tính siêu đối xứng hạt Trong phần tử bậc ¯0, hay gọi phần tử chẵn đại diện cho hạt boson, phần tử bậc ¯1, hay gọi phần tử lẻ, đại diện cho hạt fermion Siêu đại số Lie nói chung khơng phải đại số Lie, có thành phần bậc ¯0 đại số Lie Siêu đại số Lie lý thuyết biểu diễn chúng tương đối phức tạp Có nhiều tính chất quan trọng mà đại số Lie thỏa mãn cịn siêu đại số Lie khơng Ví dụ như, biểu diễn đại số Lie đơn hữu hạn chiều hồn toàn khả quy, siêu đại số Lie tính chất khơng cịn V Kac phân loại tất siêu đại số Lie đơn hữu hạn chiều thành kiểu: siêu đại Lie kiểu cổ điển (basic classical), siêu đại số Lie kiểu cổ điển lạ (strange classical) siêu đại số Lie kiểu Cartan Sau đó, Kac tiến hành phân loại biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều siêu đại số Lie kiểu cổ điển Khi xem xét biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều siêu đại số Lie đơn này, Kac chia chúng làm loại: biểu diễn bất khả quy điển hình biểu diễn bất khả quy khơng điển hình Đối với lớp biểu diễn bất khả quy điển hình, Kac thiết lập cơng thức tính đặc trưng chúng Đây cơng thức tương tự công thức đặc trưng Weyl biểu diễn bất khả quy đại số Lie đơn Kac cịn để ngỏ cơng thức đặc trưng ứng với lớp biểu diễn bất khả quy không điển hình Bài tốn tìm cơng thức đặc trưng cho biểu diễn bất khả quy khơng điển hình tốn phức tạp, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học vật lý Có thể kể đến như: I.N Bernstein D.A Leites (1980); A.B Balantekin I Bars (1981); P.H Dondi P.D Jarvis (1981); J van der Jeugt, J.W.B Hughes, R.C King J Thierry-Mieg (1990); I Penkov V Serganova (1994) Trong đó, đặc biệt phải kể đến cơng trình Van der Jeugt cộng Ở đấy, ông cộng đưa giả thuyết công thức đặc trưng biểu diễn bất khả quy gl(m|n) Vấn đề tìm cơng thức đặc trưng bất khả quy gl(m|n) để mở năm 1995, Serganova kết hợp kỹ thuật đại số hình học đưa cơng thức đặc trưng tổng quát Tuy nhiên, công thức Serganova phức tạp, khơng tiện cho việc tính tốn cụ thể Sau đó, vào năm 2007, Su Zhang dựa kỹ thuật Brundan đưa công thức đặc trưng khác, đơn giản dễ sử dụng cơng thức Serganova Có cách tiếp cận tự nhiên để tìm cơng thức đặc trưng biểu diễn bất khả quy siêu đại số Lie gl(m|n) người ta tìm cách làm tương tự đại số Lie Đó mơ tả đặc trưng biểu diễn bất khả quy thông qua S-hàm siêu đối xứng (một mở rộng hàm đối xứng Schur) Việc thực lớp biểu diễn bất khả quy hiệp biến (đó thành phần bất khả quy phân tích lũy thừa biểu diễn tự nhiên thành tổng thành phần bất khả quy) biểu diễn bất khả quy phản biến (đó thành phần bất khả quy phân tích lũy thừa biểu diễn đối ngẫu biểu diễn tự nhiên) Đối với lớp biểu diễn bất khả quy này, đặc trưng chúng S-hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch (giống với đại số Lie) Bây ta xét tích hỗn hợp gồm lũy thừa biểu diễn tự nhiên lũy thừa biểu diễn đối ngẫu biểu diễn tự nhiên Các thành phần bất khả quy tích gọi biểu diễn ten xơ trộn bất khả quy Đặc trưng biểu diễn ten xơ trộn bất khả quy nói chung lúc S-hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp, phân hoạch hỗn hợp kết hợp phân hoạch Vào năm 2006, Moens Van der Jeugt đưa giả thuyết cho lớp biểu diễn bất khả quy, gọi tới hạn, có đặc trưng S-hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp Mục tiêu luận án số lớp biểu diễn bất khả quy gl(m|n) mà đặc trưng S-hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp Kết trình bày chương 3, 4, Luận án chia thành chương Chương giới thiệu số ký hiệu khái niệm bản, đặc biệt hàm siêu đối xứng Schur Đây đối tượng mà muốn kết nối với đặc trưng biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều gl(m|n) Chương trình bày ngắn gọn lý thuyết biểu diễn siêu đại số Lie, chủ yếu siêu đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(m|n) Trong chương này, đưa lớp trọng gl(m|n) mà gọi lớp trọng đặc biệt Đây lớp trọng đóng vai trị quan trọng luận án chúng tơi Chương trình bày kết luận án Trong chương này, khảo sát đặc trưng biểu diễn bất khả quy gl(m|1) Kết Định lý 3.3.1, đó, chúng tơi đặc trưng bất khả quy tương ứng với trọng đặc biệt với S-hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn Chương trình bày số kết mở rộng Chương Trong chương này, khảo sát lớp biểu biễn bất khả quy tương ứng với trọng đặc biệt có dạng: (α1 , α2 , , αm ; −k, −k, , −k), với ≤ k ≤ m αm−k ≥ ≥ αm−k+1 Kết Định lý 4.2.1 Trong Chương 5, sử dụng số ý tưởng kỹ thuật chương trước để áp dụng cho trường hợp đại số Lie cổ điển Cụ thể, dựa kết cho siêu đại số Lie, thu công thức quy nạp để tính đặc trưng biểu diễn bất khả quy đại số Lie tuyến tính tổng qt Cơng thức quy nạp phát biểu Định lý 5.3.1 Như hệ quả, đưa công thức kiểu Jacobi-Trudi cho đặc trưng biểu diễn bất khả quy Kết phát biểu Định lý 5.3.2 Chương Các hàm đối xứng hàm siêu đối xứng Schur Mục đích chương nhằm giới thiệu số ký hiệu khái niệm mà sử dụng luận án, đặc biệt hàm đối xứng Schur hàm siêu đối xứng Schur 1.1 Phân hoạch phân hoạch hỗn hợp Mục giới thiệu khái niệm phân hoạch, phân hoạch hỗn hợp Chẳng hạn như, ta gọi phân hoạch dãy số nguyên không âm λ = (λ1 , λ2 , ), thỏa mãn λ1 ≥ λ2 ≥ Các số hạn dãy gọi thành phần λ Số thành phần khác λ gọi độ dài λ, ký hiệu l(λ) Tổng thành phần khác gọi trọng λ, ký hiệu |λ|, |λ| = λ1 + λ2 + Một phân hoạch số nguyên không âm N phân hoạch có trọng N Phân hoạch hỗn hợp cặp có thứ tự phân hoạch ν, µ, ký hiệu ν¯; µ 1.2 Vành đa thức đối xứng Trong mục này, chúng tơi trình bày đa thức đối xứng giới thiệu số sở vành Chẳng hạn như, hàm đối xứng er (x), r số nguyên dương, tổng tích P r biến phân biệt xi , nghĩa er (x) = 1≤i1