Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)
VI›N HÀN LÂM KHOA HOC VÀ CÔNG NGH› VI›T NAM VIfiNTỐNH O C NGUYEN LƯƠNG THÁI BÌNH VE CƠNG THÚCĐ¾CTRƯNG CUA BIEU DIENBATKHA QUY CUA SIÊUĐAISO LIEg l (m|n) Chuyên ngành: Đai so Lý thuyet so Mã so: 46 01 04 TểM TAT LUÔN N TIEN S TON HOC H NđI -2 LuÔnỏnochonthnhtai:ViắnToỏnhocViắnHnlõmKhoahocvCụng nghắ ViắtN a m TÔp the húng dan khoa hoc: GS TSKH PHÙNG HO HAI TS NGUYEN CHU GIA VƯDNG Phanbi¾n1: Phanbi¾n2: Phanbiắn3: LuÔn ỏn se oc baovắtrúcHđi ong cham luÔn ỏn cap Vi¾n hoptai:Vi¾nTốnhoc-Vi¾nHànlâmKhoahocvàCơngngh¾Vi¾t Nam vào hoi giị ngày tháng năm Có the tìm hieu ve luÔn ỏn tai: - Th viắn Quocg i a - Th viắn ViắnToỏnhoc Ma au SiờuaisoLiecũngoilaisoLieZ2-phõnbÔc,mđtkhỏiniắm ban au xuat hiắn cỏc nghiờn cnuvÔtlý.TrongngnhvÔtlý lý thuyet,õyl mđt oi tong quan trong, nú mụ ta toỏnhoctớnh siờuoixnngcuacỏchat.Trongúcỏcp h antnthuannhat bÔc 0,h ayc ịn goi phan tn chan đai di¾nchocác hat boson, cỏc phan tnthuannhatbÔc 1,haycũngoilcỏcphantnle,aidiắnchocỏchatfermi on Siờu so Lie núichungkhụng phai l so Lie, nhngnúcúthnhphanthuannhatbÔc 0laisoLie Siờu đai so Lievàlýthuyetbieu dien cuachúngtương đoi phnc tap Có nhieu tính chat quan mà đoivóiđai so Lie thoa mãn cịn đoivóisiêu đai so Lie khơng Ví dn như, moi bieu dien cua đai so Lie đơn hñu han chieu hồn tồn khaquy,nhưng đoivóisiêuđaisoLiethìtínhchatnàykhơngcịnđúngnđa V Kac phân loai tat ca siêu đai so Lie đơn hñu han chieu thành kieu: siêu đai Lie kieu co đien ban (basic classical), siêu đai so Lie kieu co đien la (strange classical)vàsiêu đai so Lie kieu Cartan Sau đó, Kac tien hành phân loai bieu dien bat kha quy hñu han chieu cua siêu đai so Lie kieu co đien ban Khi xem xét bieu dien bat kha quy hñu han chieu cua siêu đai so Lie đơnnày,Kac chiachúngra làm loai: bieu dien bat kha quy đien hìnhvàbieu dien bat kha quy khơng đien hình Đoivóilóp bieudien bat kha quy ien hỡnh, Kac ó thiet lÔp oc cụng thnc tớnh Ôc trng cuachỳng.õyl cụng thnc tng tu nh cụng thnc Ôc trngWeylcua bieu dien bat kha quy cua so Lie n Kacvancũn e ngo cụng thnc Ôc trưng nngvóilóp bieu dien bat kha quy khơng đien hỡnh Bi toỏn tỡm cụng thnc Ôc trngchobieu dien bat kha quy khơng đien hình tốn phnc tap, thuhỳtoc su quan tõm nghiờn cnu cua nhieu nh toỏnhocvvÔtlý.Cú thekeđ e n như:I.N.Bernstein vàD.A.Leites(1980);A.B.Balan tekinvà I Bars (1981);P.H.DondivàP.D.Jarvis (1981); J.vanderJ e u g t , J.W.BHughes,R.C.KingvàJ.Thierry-Mieg (1990);I Penkovvà V.Serganova(1994) Trongú,ÔcbiắtphaikeencụngtrỡnhcuaVanderJeu gtcựngcỏccđngsu.Day,ụngvcỏccđngsuóara giathuyetvecụng thnc Ôc trng cua cỏc bieu dien bat kha quy cuagl(m|n).Vane tỡm cụng thnc Ôc trng bat kha quy cuagl(m|n)vancòn đe mochođen năm 1995, khiSerganova kethop ky thuÔt cuaaisovhỡnhhocóaraoccụngthncÔctrngtongquỏt.Tuynhiờn, cụng thnc cuaSerganoval khỏ phnc tap, khụng tiắnchoviắc tính tốn cn the Sau đó,vàonăm 2007, SuvàZhang dua ky thuÔt cua Brundan ó a mđt cụng thnc Ôc trng khỏc, n gianvdesndnnghncụngthnccuaSerganova Cú mđt cỏch tiep cÔn tu nhiờn e tỡm cụng thnc Ôc trng cua bieu dien bat kha quy cua siêu đai so Liegl(m|n)là ngưòi ta tìm cách làm tương tu đai so Lie ú l mụ ta cỏc Ôc trng cua cỏc bieu dien bat kha quy thơng qua cácS-hàmsiêu đoi xnng (m®t mo rđngcuahmoixnngSchur).Viắcnythuchiắnocoivúilúp cỏc bieu dien bat kha quy hiắp bien (đó thành phan bat kha quy phân tích lũy thna cua bieu dien tu nhiên thành tong cua thành phan bat kha quy)vàbieu dien bat kha quy phan bien làcácthànhphanbatkhaquytrongphântíchcualũythnacuabieu (đó dien đoi ngau cua bieu dien tu nhiờn) oivúilúp cỏc bieu dien bat kha quyny,Ôc trưng cuachúngbangS-hàmsiêu đoi xnng liênketvóicácphânhoach(giongnhưvóiđaisoLie).Bâygiịtaxéttíchhon hop gom lũy thna cua bieu dien tu nhiênvàlũy thna cua bieu dien đoi ngau cua bieu dien tu nhiên Các thành phan bat kha quy tíchnàyđưoc goi bieu dien ten xơ tr®n bat khaquy.Ôc trng cua bieu dien ten x trđn bat kha quy nóichungkhơng phai lúc làS-hàmsiêu đoi xnng liênket vóiphân hoach hon hop, đóphânhoachhonhoplàsukethopcua2phânhoach Vào năm 2006, Moens Van der Jeugt đưa m®t gia thuyet cho m®t lóp bieu dien bat kha quy, oc goi l túi han, cú Ôc trng lS-hm siờu đoi xnng liên ket vói phân hoach hon hop Mnc tiờu cua luÔn ỏn l chi mđt so lúp cỏc bieu dien bat kha quy cuagl(m|n)m Ôc trng lS-hm siêu đoi xnng liên ket vói phân hoach hon hop Ket qua đưoc trình bày chương 3, 4,v5 LuÔnỏnocchiathnh5chng.Chng1giúithiắumđtsoký hiắuvkhỏi niắm c ban, Ôc biắt l cỏc hm siờu oi xnngSchur.õyl oi tong mchỳngtụimuon ketnoivúiÔc trng cua bieu dienbatkhaquyhđuhanchieucuagl(m|n) Chương trình bày ngan gon ve lý thuyet bieu dien cua siêu đai soLie,chuyeulàsiêuđaisoLietuyentínhtongqtgl(m| n).Trongchươngnày,chúngtơi đưa m®t lóp cuagl(m| n)màchúngtơi goi lóp Ôc biắt.õyl mđt lúp úngvaitrũ quan trong luÔn án cuachúngt i Chương trìnhbàym®t nhđngketqua chớnh cua luÔn ỏn.Trongchngny,chỳngtụi khao sỏt Ôc trng cua bieu dien bat khaquycuagl(m|1).Ketquachớnhl %nhlý3.3.1,oú,chỳngtụichiraÔctrngbatkhaquytngnngvúitron gÔcbiắtbangvúi S-hm siờu oi xnng liờn ket vói phân hoach hon hopm-chuan Chương4trìnhbàym®tsoketquamor®ngcuaChương3.Trongchươngn ày,chúngtơi khao sát lúp cỏc bieu bien bat kha quy tng nngvúitrong Ôc bi¾t códang: (α1, α2, , αm;−k,−k, ,−k), vói0≤k≤mvàαm−k≥0≥αm−k+1.Ket qua Đ%nh lý 4.2.1 TrongChng 5,chỳngtụi sn dnng mđt so ý tongvky thuÔt cua chươngtrưócđe áp dnngchotrưịng hop cua đai so Lie co đien Cn the, dua cácketquachosiêu đai so Lie,chúngtôi thu oc mđt cụng thnc quy nap e tớnh Ôc trng cua bieu dien bat kha quy cua đai so Lie tuyen tính tong qt Cơng thnc quy napnàyđưoc phát bieu %nh lý 5.3.1 Nh l mđt hắ qua,chỳngtụi a mđt cụng thnc kieu Jacobi-TrudichoÔc trng cua mđtbieu dien bat kha quy batkỳ.Ket quanàyđưoc phát bieu Đ%nh lý 5.3.2 Chương Các hàm đoixNngvàcác hàm siêu đoixNngSchur Mnc ớch cua chng ny l nham giúi thiắu mđt so ký hi¾u khái ni¾m ban mà chúng tụi sn dnng luÔn ỏn, Ôc biắt l cỏc hàm đoi xnng Schur hàm siêu đoi xnng Schur 1.1 Phânhoachvàcác phânhoachhonhap Mncnàygiói thi¾u khái ni¾m banvephân hoach, phân hoach hon hop Chang han như, ta goi m®t phân hoach m®tdãycác so ngun khơngâ m λ= (λ1, λ2, ), thoa mãn λ1≥λ2≥ Các so han cua dãy đưoc goi thành phan cuaλ So thành phan khác cuaoc goi l đ di cua, ký hiắu ll() Tong cua thành phan khác đưoc goi cua, ký hiắu l ||, ||=1+2+ MđtphõnhoachcuamđtsonguyờnkhụngõmNlmđtphõnhoach cú bangN Phõn hoach hon hop l mđt cÔp cú thn tu cỏc phõn hoach,à, kýhiắul;à 1.2 Vnhcỏc athNcoixNng Trongmncny,chỳngtụi trỡnhbyvecỏc a thnc oi xnngvgiúi thiắu mđt so c so cuavànhnày.Chang han như, hàm đoi xnngcơbaner(x),rlàm®tsongundương,làtongcuacáctíchcuarbien phân Σ biắtxi,ngha ler(x)=1i1