(Luận án tiến sĩ) lý thuyến biểu diễn của siêu đại số lie gl(m n)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA SIÊU ĐẠI SỐ LIE gl(m|n) LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA SIÊU ĐẠI SỐ LIE gl(m|n) Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TSKH PHÙNG HỒ HẢI TS NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG Hà Nội - 2020 Tóm tắt Mục đích luận án thiết lập công thức kiểu Jacobi-Trudi cho đặc trưng biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều siêu đại số Lie tuyết tính tổng quát gl(m|n), với m, n số nguyên dương Ở đây, công thức kiểu Jacobi-Trudi công thức biểu diễn đặc trưng bất khả quy cho trước dạng định thức ma trận mà hệ số đặc trưng lũy thừa đối xứng biểu diễn tự nhiên đối ngẫu Nội dung luận án chia thành chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức phân hoạch phân hoạch hỗn hợp Các hàm đối xứng liên kết với phân hoạch hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp đề cập Trong chương 2, chúng tơi trình bày số khía cạnh siêu đại số Lie biểu diễn chúng, đặc biệt siêu đại số Lie gl(m|n) Tương tự trường hợp cổ điển biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều siêu đại số Lie gl(m|n) phân loại trọng trội nguyên Tuy nhiên, điểm khác biệt lớn với lý thuyết biểu diễn đại số Lie xuất biểu diễn gọi khơng điển hình Trước kết thúc chương này, đưa khái niệm trọng đặc biệt tương ứng trọng với phân hoạch hỗn hợp Trong chương 3, quan tâm đến biểu diễn tương ứng với trọng đặc biệt gl(m|1) Chúng đặc trưng chúng cho hàm siêu đối xứng liên kết với trọng đặc biệt Ngồi ra, chúng tơi đặc trưng biểu diễn với trọng cao Λ, Λ bất kỳ, biểu diễn qua đặc trưng biểu diễn bất khả quy với trọng cao trọng đặc biệt Trong chương 4, quan tâm đến trọng đặc biệt có dạng Λ = (α1 , α2 , , αm ; −k, −k, , −k) siêu đại số Lie gl(m|n) Chúng chứng minh đặc trưng biểu diễn bất khả quy với trọng cao Λ cho hàm siêu đối xứng liên kết với trọng đặc biệt Từ đây, chúng tơi đưa cơng thức tính đặc trưng biểu diễn bất khả quy với trọng cao có dạng Λ = (λ1 , λ2 , , λm ; β, β, , β) Chương dành để trình bày chứng minh kết cổ điển đại số Lie tuyến tính tổng quát Cụ thể, đưa chứng minh cho mở rộng công thức Jacobi-Trudi Abstract The aim of this thesis is to establish a Jacobi-Trudi like formula for characters of finite dimensional irreducible representations of the general linear Lie super-algebra gl(m|n), where m, n are positive integers Here, by Jacobi-Trudi like formula, we mean a formula expressing the character of an irreducible representation as the determinant of a matrix whose entries are characters of symmetric powers of the standard representation or its dual The thesis is divided into chapters Chapter is devoted to recalling some basic background on partitions, mixed partitions, symmetric functions associated to partitions and supersymmetric functions associated to mixed partitions In chapter 2, we present some basic aspects of Lie super-algebras and their representations, with an emphasis on the case of gl(m|n) As an analogy with the classical case, the finite dimensional, irreducible representations of gl(m|n) are classified by integral dominant weights However, there is a big difference with the classical case of Lie algebras, namely, the presence of atypical representations in the Lie super-algebra case The chapter ends with the introduction of the concept of special weights and their correspondence with mixed partions In chapter 3, we are interested in the irreducible representations parametrized by special weights of gl(m|1) We show that their characters are given by super-symmetric functions associated to the corresponding special weights Furthermore, we also show that the character of the irreducible representation with highest weight Λ, for any Λ, can be expressed in terms of those corresponding to special weights In chapter 4, we consider the special weights of the Lie super-algebra gl(m|n) of the form Λ = (α1 , α2 , , αm ; −k, −k, , −k) We show that the character of the irreducible representation with highest weight Λ is given by the super-symmetric function associated to this special weight We also deduce a formula which computes the character of the irreducible representation with highest weight of the form Λ = (λ1 , λ2 , , λm ; β, β, , β) In Chapter 5, we present a new proof of a classical result for the classical general linear Lie algebra More precisely, we provide a new proof for a generalized Jacobi-Trudi formula Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH Lời cám ơn Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình thầy tơi, GS TSKH PHÙNG HỒ HẢI TS NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy dành nhiều thời gian, công sức, kiên nhẫn để truyền đạt cho kiến thức phương pháp nghiên cứu Thầy tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu, hội để tơi giao lưu với cộng đồng tốn học Đặc biệt, thầy TS Nguyễn Chu gia Vượng tận tình hướng dẫn tơi chỉnh sửa luận án Một lần nữa, xin gửi lời trân trọng cảm ơn đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phịng chức Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu, góp phần tạo điều kiện để tơi hồn thành luận án Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến thầy, cô bạn Viện Toán học, bạn nghiên cứu sinh chia sẻ, giúp đỡ học tập, sống Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa ToánỨng dụng Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Tôi đặc biệt gửi lời cảm ơn đến gia đình người thân tôi, vợ Tôi trân trọng biết ơn hy sinh người yêu thương Tác giả NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH Mục lục Mở đầu Các hàm đối xứng hàm siêu đối xứng Schur 1.1 Phân hoạch phân hoạch hỗn hợp 1.1.1 Phân hoạch lược đồ Young 1.1.2 Lược đồ lệch bảng 1.1.3 Phân hoạch hỗn hợp 1.2 Vành đa thức đối xứng 1.3 Hàm đối xứng Schur công thức Jacobi-Trudi cổ điển 1.3.1 Hàm đối xứng Schur liên kết với phân hoạch 1.3.2 Công thức Jacobi-Trudi cổ điển 1.3.3 Quy tắc Littlewood-Richardson 1.3.4 Hàm đối xứng Schur liên kết với phân hoạch hỗn hợp 1.4 Hàm siêu đối xứng 1.4.1 Hàm siêu đối xứng hàm siêu đối xứng đầy đủ 1.4.2 Hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch 1.4.3 Hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp 9 11 13 13 16 16 17 17 19 22 Siêu đại số Lie biểu diễn 2.1 Siêu đại số Lie 2.2 Đại số bao phổ dụng siêu đại số Lie 2.3 Siêu đại số Lie tuyến tính tổng quát g = gl(m|n) 27 28 31 32 23 23 25 2.4 2.5 2.3.1 Mô tả gl(m|n) 2.3.2 Một số khái niệm 2.3.3 Đại số Cartan hệ nghiệm đơn Biểu diễn 2.4.1 Biểu diễn bất khả quy đặc trưng biểu diễn 2.4.2 Biểu diễn với trọng cao 2.4.3 Biểu diễn điển hình biểu diễn khơng điển hình 2.4.4 Các môđun hiệp biến, phản biến, tenxơ trộn S -hàm siêu đối xứng Trọng đặc biệt, phân hoạch hỗn hợp chuẩn mối quan hệ chúng 2.5.1 Trọng đặc biệt 2.5.2 Phân hoạch hỗn hợp chuẩn mối quan hệ với trọng đặc biệt 32 33 34 37 37 39 41 42 43 43 46 Công thức kiểu Jacobi-Trudi cho đặc trưng biểu diễn bất khả quy gl(m|1) 3.1 Giới thiệu 3.2 Một số khái niệm 3.2.1 Siêu đại số Lie gl(m|1) 3.2.2 Trọng điển hình trọng khơng điển hình 3.2.3 Đặc trưng gl(m|1) 3.3 Liên hệ đặc trưng bất khả quy S -hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp 3.3.1 Sự tương ứng trọng đặc biệt phân hoạch hỗn hợp 3.3.2 Đặc trưng bất khả quy S -hàm siêu đối xứng 50 51 51 52 53 53 56 57 58 Công thức kiểu Jacobi-Trudi cho lớp đặc trưng biểu diễn bất khả quy gl(m|n) 63 4.1 Giới thiệu 63 4.2 Định lý 65 Chứng minh Xem [28, (8.4)(i)] Trong trường hợp λ trọng trội nguyên bất kỳ, gọi sλ (x) hàm Schur mở rộng (xem (3.8)) Ta có, ch(L(λ)) = sλ (x), (5.2) Lưu ý rằng, với số nguyên t m xi )t s(λ1 −t,λ2 −t, ,λm −t) (x) sλ (x) = ( (5.3) i=1 5.2.2 Sự tương ứng trọng phân hoạch hỗn hợp Nhắc lại rằng, ν¯; µ phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn l(µ) + l(ν) ≤ m (5.4) Gọi Q tập hợp phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn Với ≤ k ≤ m, đặt Qk tập hợp phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn ν¯; µ thỏa mãn điều kiện l(ν) = k , Qk = {¯ ν ; µ m-chuẩn |l(ν) = k} (5.5) Giả sử λ = (λ1 , λ2 , , λm ) trọng trội nguyên gl(m) Khi đó, tồn số nguyên k , ≤ k ≤ m, cho λm−k ≥ > λm−k+1 Ký hiệu, P tập hợp trọng trội nguyên Pk = {λ = (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ P |λm−k ≥ > λm−k+1 } Khi đó, ta có m P = Pk (5.6) k=0 Bổ đề 5.2.2 Tồn song ánh P Q, thu hẹp lên Pk lại song ánh từ Pk vào Qk , với ≤ k ≤ m 92 Chứng minh Giả sử λ trọng P , λ = (λ1 , λ2 , , λm ), thỏa mãn λm−k ≥ > λm−k+1 Khi đó, phân hoạch hỗn hợp ν¯; µ, tương ứng với λ, xác định sau: µ = (λ1 , λ2 , , λm−k ), ν = (−λm , , −λm−k+1 ) Dễ thấy tương ứng ánh xạ đơn ánh ánh xạ Pk lên Qk Ngược lại, lấy phân hoạch hỗn hợp ν¯; µ Qk trọng trội nguyên tương ứng λ cho λ = (µ1 , µ2 , , µm−k , −νk , , −ν1 ) Rõ ràng λ ∈ Pk Điều đồng nghĩa với tương ứng toàn ánh Như vậy, ta chứng minh xong bổ đề Sự tương ứng tạo kết nối đặc trưng bất khả quy gl(m) hàm đối xứng Schur mở rộng sλ (x) Sau đây, ta phát biểu chứng minh tính chất hàm Schur mở rộng Bổ đề 5.2.3 Giả sử x = (x1 , x2 , , xm ) ν¯; µ phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn Qk Khi đó, ( x ,x x )k sµ (x )sν¯ (x ) = sν;µ (x), E(x , x ) (5.7) tổng vế trái chạy tất tập hợp x , x , mà {x1 , x2 , , xm } = x ∪ x #x = m − k , #x = k Chứng minh Xét vế trái phương trình (5.7), có x )k sµ (x )sν¯ (x ) E(x , x ) ( LHS := x ,x =( ( −ν1 x) x +x x )k s(µ1 +ν1 , ,µm−k +ν1 ) (x )s(−νk +ν1 , ,−ν2 +ν1 ,0) (x ) E(x , x ) 93 Áp dụng Mệnh đề 1.3.2, có LHS = ( x)−ν1 s(µ1 +ν1 ,µ2 +ν1 , ,−ν2 +ν1 ,0) (x) = sν;µ (x) 5.3 Một cơng thức dạng quy nạp công thức đặc trưng Trong mục này, giả sử gl(m) đại số Lie tuyến tính tổng quát với k , ≤ k ≤ m, gl(m − k) gl(k) đại số Chúng tơi chứng minh, đặc trưng bất khả quy gl(m) tính qua đặc trưng bất khả quy gl(m − k) gl(k) Trước hết, giới thiệu quy tắc Giả sử r := {r1 , r2 , , rm−k } ⊂ {1, 2, , m} s := {rm−k+1 , rm−k+2 , , rm } = {1, 2, , m}\r, với k số nguyên không âm nhỏ hay m Cho f hàm đa thức theo biến x1 , x2 , , xm−k Ký hiệu, χr (f ) hàm đa thức thu từ f cách thay xi xri Nghĩa là, f = P (x1 , x2 , , xm−k ), χr (f ) = P (xr1 , , xrm−k ) (5.8) Định lý 5.3.1 Giả sử λ = (λ1 , λ2 , , λm ) trọng trội nguyên đại số Lie gl(m) giả sử k số nguyên , k = 0, 1, , m Khi đó, α = (λ1 , λ2 , , λm−k ), β = (λm−k+1 , , λm ) trọng trội nguyên gl(m − k), gl(k), ( ch L(λ) = r,s xr )k χr (ch L(α)) χs (ch L(β)) , E(xr , xs ) 94 (5.9) tổng chạy r, s mà {1, 2, , m} = r ∪ s #r = m − k , #s = k Chứng minh Cố định cặp r, s, đặt f := m−k k i=1 xi ) ch L(α) ch L(β) m−k k (x − x ) i m−k+j i=1 j=1 ( Áp dụng quy tắc (5.8), ta có m−k i=1 ( χr∪s (f ) = m−k i=1 xri )k k j=1 (xri − xrm−k+j ) λ × w∈Sm−k × w∈Sk m−k (w)w(xrλ11 +m−k−1 xλr22 +m−k−2 xrm−k ) 1≤i