Tổng nửa trực tiếp của các đại số lie

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN TUẤN ANH TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN TUẤN ANH TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực Các nội dung tham khảo từ tài liệu trích dẫn cụ thể, rõ ràng Trần Tuấn Anh LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Trần Đạo Dõng tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số Khóa 33 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Trần Tuấn Anh TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Tổng nửa trực tiếp đại số Lie Ngành: Đại số Lý thuyết số Họ tên học viên: Trần Tuấn Anh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đạo Dõng Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Mục đích luận văn tìm hiểu tổng nửa trực tiếp đại số Lie, xét mở rộng tổng trực tiếp đại số Lie Chúng nghiên cứu số tính chất tâm, đồng cấu, biểu diễn liên hợp đạo hàm tổng nửa trực tiếp Dạng Killing tổng nửa trực tiếp với thành phần thứ hai iđêan thành phần thứ xem xét Phép dựng tổng nửa trực tiếp đại số Lie thể phân tích Levi, qua đại số Lie tổng nửa trực tiếp hai thành phần, nửa đơn giải Ngồi ra, chúng tơi thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie Từ khóa: đại số Lie, tổng trực tiếp, tổng nửa trực tiếp, dạng Killing, lũy linh, giải được, nửa đơn, đạo hàm, biểu diễn liên hợp, mở rộng, định lí Levi Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài PGS TS Trần Đạo Dõng Trần Tuấn Anh INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Semidirect sum of Lie algebras Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Tran Tuan Anh Supervisor: Assoc Prof Tran Dao Dong Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: The aim of the thesis is to study for the concept of the semidirect sum of Lie algebras, it can be view as a generalization of the direct sum of Lie algebras We investigate some properties of center, homomorphism, adjoint representation and derivative of the semidirect sum The Killing form of the semidirect sum where the second component is an ideal of the first one is considered as well The construction of the semidirect sum appears in the Levi decomposition which expresses a Lie algebra as a sum of two components, semisimple and solvable Moreover, we also express a semidirect sum as an extension of Lie algebras Key words: Lie algebra, direct sum, semidirect sum, Killing form, nilpotent, solvable, semisimple, derivation, adjoint representation, extension, Levi’s theorem Supervisor’s confirmation Student Assoc Prof Tran Dao Dong Tran Tuan Anh DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu : : : : : : : : : : : Im ϕ : Ker ϕ : Mat(n, K) : rad(g) : sl(n, R) : so(n) : Tr A : Z(g) : Tích Lie A B Biểu diễn liên hợp g Tập tự đẳng cấu nhóm G a đẳng cấu với b Số chiều đại số Lie g Đại số đạo hàm g Tập tự đồng cấu không gian vectơ V Tổng nửa trực tiếp g h theo đồng cấu τ Đại số Lie tự đồng cấu không gian vectơ V Đại số Lie ma trận vuông cấp n trường K Tập đồng cấu đại số Lie từ g vào h Ảnh ánh xạ ϕ Hạt nhân ánh xạ ϕ Tập ma trận vuông cấp n trường K Căn đại số Lie g Đại số Lie nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, R) Đại số Lie nhóm trực giao đặc biệt SO(n) Vết ma trận A Tâm đại số Lie g [A, B] ad g Aut G a∼ =b dim(g) Der(g) End V g ⊕τ h gl(V ) gl(n, K) Hom(g, h) MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại số Lie đồng cấu 1.2 Biểu diễn liên hợp đại số Lie lũy linh 1.3 Dạng Killing đại số Lie 11 1.4 Đại số Lie giải 12 1.5 Đại số Lie nửa đơn 14 CHƯƠNG TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE17 2.1 Đạo hàm đại số Lie 17 2.2 Tổng nửa trực tiếp đại số Lie 24 2.3 Các tính chất tổng nửa trực tiếp 27 2.4 Dạng Killing tổng nửa trực tiếp 31 2.5 Một số hệ tính chất liên quan 33 2.6 Một số ứng dụng tổng nửa trực tiếp 36 KẾT LUẬN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 44 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cho g đại số Lie trường K Đạo hàm đại số Lie g tốn tử tuyến tính ∂ g cho thoả qui tắc Leibniz tương ứng với tích Lie, tức ∂([A, B]) = [∂(A), B] + [A, ∂(B)] với phần tử A, B g Khi đó, tập hợp Der(g) tốn tử đạo hàm đại số Lie gọi đại số đạo hàm g Cho trước phần tử A đại số Lie g, toán tử adA g xác định công thức adA (B) = [A, B], với B g, đạo hàm g gọi đạo hàm g Xét g h hai đại số Lie trường K τ đồng cấu tuyến tính từ g vào Der(h) Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp) đại số Lie g h định nghĩa không gian vector tích g × h với tích Lie [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X) với A, B g X, Y h Ký hiệu g ⊕τ h Trong trường hợp đặc biệt τ (A)Y = 0, với A g X h, tổng nửa trực tiếp g h quy tổng trực tiếp hai đại số Lie g h với tích Lie [(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ]) với A, B g X, Y h Nghiên cứu cấu trúc biểu diễn đại số Lie, có tổng nửa trực tiếp đại số Lie, tốn mang tính thời lý thuyết Lie lý thuyết biểu diễn Với mong muốn tìm hiểu thêm tính chất biểu diễn liên hợp, đạo hàm tổng nửa trực tiếp đại số Lie, với gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Tổng nửa trực tiếp đại số Lie" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn chủ yếu tập trung sâu vào tìm hiểu khái niệm, định nghĩa tính chất liên quan đến tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với biểu diễn liên hợp đạo hàm đại số Lie Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo cập nhật, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng hợp tài liệu, trình bày báo cáo tổng quan đầy đủ tổng nửa trực tiếp đại số Lie Góp phần làm rõ mối liên hệ tổng nửa trực tiếp đại số Lie với đạo hàm biểu diễn liên hợp Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp đại số Lie để tìm hiểu định lí Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương: Chương trình bày kiến thức sở đại số Lie, iđêan đồng cấu đại số Lie Phần lớn nội dung chương hệ thống khái niệm, tính chất biểu diễn liên hợp đại số Lie, đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đại số Lie nửa đơn ví dụ liên quan Chương nội dung luận văn Trong chương này, tơi trình bày khái niệm số tính chất đạo hàm đại số Lie, từ xây dựng khái niệm tổng nửa trực tiếp đại số Lie Kết chương chứng minh số tính chất tổng nửa trực tiếp đại số Lie mối liên hệ với đạo hàm biểu diễn liên hợp đại số Lie Ngồi ra, tơi trình bày sơ lược ứng dụng tổng nửa trực tiếp để tìm hiểu định lí Levi, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie t, x, y ∈ R g= 0 đại số Lie gl(3, R) Ta có: g0 = g  0 x!  0 y x, y ∈ R g = [g, g] = 0 1 g = [g , g ] = {0} Suy g đại số Lie giải Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau: Mệnh đề 1.4.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Với k ∈ N ta có gk ⊆ gk Từ Mệnh đề 1.4.3 ta suy rằng: Nếu g đại số Lie lũy linh g giải Mệnh đề 1.4.4 Cho ϕ : g → h toàn cấu đại số Lie Khi đó, ϕ(gk ) = hk , ∀k ∈ N Hệ 1.4.5 Nếu g đại số Lie giải ϕ : g → h đồng cấu đại số Lie ϕ(g) đại số Lie giải Các mệnh đề sau cho ta số tính chất đại số Lie giải Mệnh đề 1.4.6 Cho g đại số lie giải Khi đó, đại số Lie con, đại số Lie thương g giải Mệnh đề 1.4.7 Cho g đại số Lie Nếu a iđêan giải g cho g/a giải g giải Mệnh đề 1.4.8 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, tồn iđêan giải R g chứa tất iđêan giải khác, gọi g, kí hiệu R = rad g 13 Định lí cho tiêu chuẩn để kiểm tra tính giải Phép chứng minh định lí tham khảo tài liệu [3, Theorem 1.43] Định lý 1.4.9 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K (K ⊂ C) Khi đó, g đại số Lie giải với X ∈ g, ∀Y ∈ [g, g] ta có B(X, Y ) = hay  "0 a 0 Ví dụ 1.4.10 Xét đại số Lie g = B(g, [g, g]) = #  b c a, b, c ∈ R 0 Ta có g đại số Lie chiều Chọn E= 0 0 0 ( " # 0 , F = 0 0 0 " # 0 , G= 0 0 " sở g Khi [E, F ] = 0, [F, G] = 0, [E, G] = F Suy ra, với X, Y ∈ g: X = αE + βF + γG , Y = aE + bF + cG, với α, β, γ, a, b, c ∈ R Ta có: adX (E) = −γF , adX (F ) = , adX (G) = αF Ma trận adX sở {E, F, G} # " 0 AadX = −γ α 0 Tương tự ta có: adY (E) = −cF , adY (F ) = , adY (G) = aF Ma trận adY sở {E, F, G} " # 0 Bad Y = −c a 0 Khi đó, ma trận adX ◦ adY sở {E, F, G} C = AadX BadY = Suy dạng Killing g: B(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY ) = Tr(C) = Vì B(X, Y ) = 0, ∀X, Y ∈ g nên g đại số Lie giải #) 14 1.5 Đại số Lie nửa đơn Định nghĩa 1.5.1 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K a) g gọi đơn g khơng giao hốn khơng tồn iđêan khác không thực g b) g gọi nửa đơn g khơng có iđêan giải khác không nào, tức rad(g) = {0} Nhận xét 1.5.2 1) Nếu g đại số Lie đơn g = [g, g] Do g khơng giải 2) Nếu g đại số Lie đơn g đại số Lie nửa đơn 3) Nếu g đại số Lie nửa đơn Z(g) = Kết cho thấy từ đại số Lie hữu hạn chiều ta thu đại số Lie nửa đơn dạng đại số Lie thương Mệnh đề 1.5.3 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g/ rad(g) nửa đơn Đối với đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie giải thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.5.4 Mỗi đại số Lie chiều đơn giải Ví dụ 1.5.5 Xét đại số Lie chiều (" # ) a b −a c a, b, c ∈ R g= −b −c Với X, Y ∈ g: a b X = −a c −b −c " Ta có # a0 b 0 c0 , Y = −a −b0 −c0 " # −bc0 + b0 c ac0 − a0 c 0 −ab0 + a0 b [X, Y ] = XY − Y X = bc − b c −ac0 + a0 c ab0 − a0 b " Suy [g, g] = g nên g không giải Do g đại số Lie đơn # ... dựng tổng nửa trực tiếp đại số Lie thể phân tích Levi, qua đại số Lie tổng nửa trực tiếp hai thành phần, nửa đơn giải Ngoài ra, thể tổng nửa trực tiếp dạng mở rộng đại số Lie Từ khóa: đại số Lie, ... g đại số Lie giải ϕ : g → h đồng cấu đại số Lie ϕ(g) đại số Lie giải Các mệnh đề sau cho ta số tính chất đại số Lie giải Mệnh đề 1.4.6 Cho g đại số lie giải Khi đó, đại số Lie con, đại số Lie. .. hiểu tổng nửa trực tiếp đại số Lie, xét mở rộng tổng trực tiếp đại số Lie Chúng nghiên cứu số tính chất tâm, đồng cấu, biểu diễn liên hợp đạo hàm tổng nửa trực tiếp Dạng Killing tổng nửa trực tiếp