2.6.1. Phân tích Levi của đại số Lie
Định nghĩa 2.6.1. Đại số Lie g được gọi là đại số Lie thu gọn nếu với mỗi
iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g=a⊕b.
Nhận xét 2.6.2. Mỗi đại số Lie nửa đơn là một đại số Lie thu gọn. Điều
ngược lại nói chung là không đúng.
Định lý 2.6.3. Mỗi đại số Lie thu gọn g đều có dạng phân tích
g= [g,g]⊕Z(g).
Chứng minh. Nếu g là đại số Lie nửa đơn thì kết quả là tầm thường. Do đó ta chỉ xét các đại số Lie không nửa đơn.
Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp theo dimg rằng mỗi đại số Lie thu gọng đều phân tích thành tổng trực tiếp của các iđêan đơn và các iđêan 1 chiều.
• Với dimg = 1 là hiển nhiên. Nếu dimg = 2 thì g không đơn nên tồn tại iđêan không tầm thường a. Vì g là đại số Lie thu gọn nên tồn tại iđêan b sao cho g=a⊕b. Rõ ràng a,b là các iđêan 1 chiều.
• Giả sử kết quả đúng với đại số Lie có số chiều bé hơndimg. Ta chứng minh kết quả cũng đúng vớidimg. Thật vậy, đại số Lie g không là nửa đơn nên g không đơn. Do đó tồn tại iđêan a không tầm thường.
Vì g là đại số Lie thu gọn nên có iđêan b của g sao cho g = a⊕b. Ta có dima < dimg,dimb < dimg nên áp dụng giả thiết quy nạp cho a,b ta được điều phải chứng minh. Do đó g =a1⊕...⊕aj⊕aj+1⊕...⊕ak, trong đó a1, ...,aj là các iđêan 1 chiều và aj+1, ...,ak là các iđêan đơn.
Ta có [an,am] = 0 với n 6= m và [ai,ai] = 0 với i = 0,1, ..., j vì chúng là các iđêan 1 chiều. Từ đó ta có [g,g] =aj+1⊕...⊕ak.
Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra Z(g) = a1⊕...⊕aj.
Dễ thấy rằng a1⊕...⊕aj ⊂Z(g).
Ngược lại, với mọi X ∈ Z(g), X = X1 +...+Xk, Xi ∈ ai. Khi đó, với mọi Y ∈ai,[X, Y] = 0 suy ra [Xi, Y] = 0. Do đó Xi∈Z(ai). Suy ra Xi= 0, i=j+ 1, ..., k.
Trong trường hơp g là một đại số Lie thu gọn, gcó dạng phân tích như trong Định lý 2.6.3 với [g,g] là đại số Lie nửa đơn và Z(g) chính là căn của g.
Với g là đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý, áp dụng tính khả quy đầy đủ của biểu diễn, ta có thể biểu thịg dưới dạng tổng nửa trực tiếp của một đại số Lie con nửa đơn và căn của g. Điều này thể hiện trong định lý sau đây:
Định lý 2.6.4. (Định lý phân tích Levi). Cho g là một đại số Lie hữu
hạn chiều với r = radg. Khi đó, tồn tại một đại số Lie con h của g đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn g/r sao cho đại số Lie g là tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie h và r.
Về phép chứng minh chi tiết định lí này có thể tham khảo ở tài liệu [6].
2.6.2. Mở rộng của đại số Lie
Định nghĩa 2.6.5. Cho a và b là hai đại số Lie. Đại số Lie g gọi là một mở
rộng của a bởi b nếu
0−→b−→i g−→p a−→0 là dãy khớp các đại số Lie.
Về mặt ký hiệu, ta sẽ đồng nhất bvới ảnh của nó trong gvà xét bnhư là một iđêan của g. Đại số Lie a được đồng nhất với g/b.
Định nghĩa 2.6.6. Hai mở rộng 0−→b−→i g−→p a−→0 và 0−→b i 0 −→g0 p 0 −→a−→0
được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một đồng cấuf :g→g0 sao cho biểu đồ sau giao hoán
0 //b i //g p // f a //0 0 //b i0 //g0 p0 //a //0.
Mệnh đề 2.6.7. Quan hệ "tương đương của hai mở rộng"là một quan hệ
tương đương trên tập hợp các mở rộng của a bởi b. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Dễ thấy rằng quan hệ này thỏa mãn luật phản xạ và luật bắc cầu. Để kiểm tra luật đối xứng, ta chỉ cần kiểm tra rằng nếu f :g → g0 xác định sự tương đương giữa hai mở rộng thì f là song ánh.
Thật vậy, lấy Y ∈g sao cho f(Y) = 0. Ta có: p(Y) = p0◦f(Y) = 0.
Suy ra Y ∈Kerp= Imi. Do đó, tồn tại X∈b sao cho i(X) =Y.
Ta có
i0(X) =f ◦i(X) =f(Y) = 0.
Vì i0 là đơn ánh nên X = 0. Suy ra Y =i(X) = 0. Do đó f là đơn ánh. Lấy Y0 ∈g0. Vì p là toàn ánh nên tồn tại Y ∈g sao cho p(Y) =p0(Y0).
Ta có
p0(Y0−f(Y)) =p0(Y0)−p0◦f(Y) =p(Y)−p(Y) = 0.
Suy ra
Y0−f(Y) = Kerp0 = Imi0.
Do đó, tồn tại X ∈b sao cho i0(X) = Y0−f(Y). Từ đây ta có:
Y0=f(Y) +i0(X) =f(Y) +f ◦i(X) =f(Y +i(X)), với Y +i(X)∈g.
Suy ra f là toàn ánh. Vậy f là một song ánh.
Bổ đề 2.6.8. Cho f :g→h và g :h →g là các đồng cấu đại số Lie sao cho
f◦g = Idh. Khi đó, f là toàn cấu đại số Lie, g là đơn cấu đại số Lie. Hơn nữa,
g= Kerf⊕Img.
Chứng minh. Rõ ràng f là toàn cấu đại số Lie và g là đơn cấu đại số Lie.
Với mọi X ∈g, ta có:
f(X) = (f◦g)(f(X)) =f(g(f(X))).
Suy ra f(X−(g◦f)(X)) = 0. Điều này có nghĩa là X−(g◦f)(X)∈Kerf.
Từ đó ta có g= Kerf + Img.
Hơn nữa, nếu X ∈Kerf ∩Img thì f(X) = 0 và X =g(Y) với Y nào đó của h.
Khi đó Y = (f ◦g)(Y) = f(X) = 0. Suy ra X = 0. Vậy g= Kerf ⊕Img.
Mệnh đề 2.6.9. Cho 0 −→ b −→i g −→p a → 0 là một mở rộng của a bởi b.
Khi đó, tồn tại một đại số Lie con c của g bù với b nếu và chỉ nếu có một đồng cấu s:a→g sao cho p◦s= Ida.
Chứng minh. Giả sử tồn tại c là một đại số Lie con của g bù với b, tức là ta cóg=b⊕c. Khi đó, ánh xạ hạn chế p|c của phép chiếup trênc xác định một đẳng cấu từ c vào a=g/b.
Thật vậy, với mọi X ∈g, X+b∈g/b, tồn tại B ∈b và C ∈c sao cho X =B+C. Suy ra X−C =B ∈b. Từ đây ta có: X+b=C+b=p|c(C). Do đó p|c là một toàn cấu. Hơn nữa, Ker(p|c) = Kerp∩c=b∩c= 0.
Suy ra p|c là một đơn cấu. Khi đó, ta có c∼=a=g/b.
Xét phép nhúng
j :c,→g Y 7→(0, Y) là một đơn cấu đại số Lie và phép chiếu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
p:g→a (X, Y)7→Y là một toàn cấu đại số Lie.
Ta định nghĩa ánh xạ
s =j ◦(p|c)−1:a→g Y 7→(0, Y).
Khi đó, s là một đồng cấu đại số Lie vì với mọi X, Y ∈a, ta có: [s(X), s(Y)] = [(0, X),(0, Y)]
= (0,[X, Y]) =s([X, Y]). Hơn nữa, với mọi Y ∈a, ta có:
(p◦s)(Y) =p(s(Y)) =p(j◦(p|c)−1)(Y) = (p◦(p|c)−1)(Y) = Ida(Y).
Ngược lại, giả sử tồn tại đồng cấu s:a→g sao cho p◦s = Ida.
Áp dụng Bổ đề 2.6.8, ta có:
g= Kerp⊕Ims= Imi⊕Ims∼=b⊕Ims.
Khi đó, c= Ims là đại số Lie con của g bù với b.
Định nghĩa 2.6.10. Cho 0 → b −→i g −→p a →0 là một mở rộng của a bởi
b. Ta nói mở rộng đã cho là:
• mở rộng tầm thường nếu tồn tại iđêan i của g sao cho g=b⊕i,
• mở rộng không cốt yếu nếu tồn tại đại số Lie con c của g sao cho g=b⊕c,
• mở rộng tâm nếu b⊂Z(g).
Định nghĩa 2.6.11. Dãy khớp ngắn 0−→b−→i g−→p a→0 được gọi là chẻ
ra nếu tồn tại một đồng cấu s:a→g sao cho p◦s = Ida.
Từ định nghĩa mở rộng không cốt yếu, kết hợp với Mệnh đề 2.6.9 ta có kết quả sau
Mệnh đề 2.6.12. Dãy khớp ngắn 0−→b−→i g−→p a→0 chẻ ra nếu và chỉ
nếu mở rộng g của a bởi b là mở rộng không cốt yếu.
Chứng minh. Nếu dãy khớp ngắn 0 −→ b −→i g −→p a → 0 chẻ ra thì tồn tại một đồng cấu s:a→g sao cho p◦s= Ida.
Khi đó, theo Mệnh đề 2.6.9, tồn tại một đại số Lie con c củag bù với b. Suy ra g là một mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
Ngược lại, giả sử
0−→b−→i g−→p a→0 là mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
Khi đó, tồn tại một đại số Lie con c củag bù với b. Theo Mệnh đề 2.6.9, tồn tại đồng cấus :g→g sao cho p◦s = Ida.
Bổ đề dưới đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một mở rộng là mở rộng tầm thường.
Bổ đề 2.6.13. Mở rộng 0 −→ b −→i g −→p a → 0 là tầm thường nếu và chỉ
nếu g đẳng cấu với b×a.
Chứng minh. Giả sử rằng 0 −→ b −→i g −→p a −→ 0 là mở rộng tầm thường củaa bởi b.
Khi đó, tồn tại iđêan c là phần bù của b trong g, tức là ta có g=b⊕c. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong phép chứng minh của Mệnh đề 2.6.9 ta có đẳng cấu p|c :c→a.
Do đó ta có g=b⊕c∼=b×a.
Ngược lại, giả sử g∼=b×a. Khi đó, tồn tại một đẳng cấu ϕ:b×a→g.
Ta có a là phần bù của b trong b×a. Suy ra ϕ(a) là phần bù của ϕ(b) = b trong ϕ(b×a) = g.
Do đó mở rộng đã cho là mở rộng tầm thường.
Bổ đề 2.6.14. Mở rộng tâm không cốt yếu là mở rộng tầm thường.
Chứng minh. Cho 0−→b−→i g−→p a→0 là mở rộng tâm không cốt yếu của a bởi b.
Vì g là mở rộng tâm của a bởi b nên ta có b⊂Z(g).
Hơn nữa, vì mở rộng là không cốt yếu nên tồn tại c là đại số Lie con của g bù với b.
Khi đó, ta có:
[c,g] = [c,b] + [c,c] = [c,c]⊂c.
Suy ra clà một iđêan củag. Vậy mở rộng đã cho là mở rộng tầm thường. Bây giờ ta sẽ xây dựng tất cả các mở rộng không cốt yếu của abởi b. Xét mở rộng không cốt yếu có dạng
0−→b−→i g−→p a→0.
Vì mở rộng là không cốt yếu nên ta có thể cố định một đại số Lie con của g là bù với b. Ta sẽ đồng nhất đại số Lie con này vớia và khi đó xét g như là không gian vectơa×b.
Để xác định cấu trúc đại số Lie trên g, ta chỉ cần xác định tích Lie của nó. Tích Lie trên g có dạng như sau:
[(A, B),(A0, B0)] = [A+B, A0+B0]
= [A, A0] + [B, B0] + [A, B0] + [B, A0] = [A, A0] + [B, B0] + adA(B0)−adA0(B) với A, A0 ∈a, B, B0 ∈b và ad là biểu diễn liên hợp của g.
Ta có thể xét adA và adA0 như là các đạo hàm của b (vì b là một iđêan). Khi đó ta có một đồng cấu đại số Lie γ :a→Der(b) cho bởi γ(A) = adA, ∀A ∈a.
Từ đó g=a×b trở thành một đại số Lie với tích Lie:
[(A, B),(A0, B0)]γ = ([A, A0],[B, B0] +γ(A)(B0)−γ(A0)(B)) với mọi A, A0 ∈a và B, B0 ∈b.
Nói cách khác, g là tổng nửa trực tiếp của a và b theo đồng cấu γ.
Ngược lại, cho một đồng cấu đại số Lie τ : a → Der(b) với a,b là các đại số Lie con củag và g=a×b là tổng nửa trực tiếp của avà b, ta có thể xác định tích Lie trên g=a×b như sau:
[(A, B),(A0, B0)]τ = ([A, A0],[B, B0] +τ(A)(B0)−τ(A0)(B)) với mọi A, A0 ∈a và B, B0 ∈b.
Trong Mệnh đề 2.2.1, ta đã kiểm tra được rằng phép toán [, ]τ xác định như trên là một tích Lie.
Cấu trúc đại số Lie với tích Lie xác định như trên chính là tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie a và b.
Mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ hai chiều giữa mở rộng không cốt yếu và tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie.
Mệnh đề 2.6.15. Cho τ : a → Der(b) là một đồng cấu đại số Lie. Khi đó,
tổng nửa trực tiếp g=a⊕τ b của a và b xác định bởi tích Lie:
[(A, B),(A0, B0)]τ = ([A, A0],[B, B0] +τ(A)(B0)−τ(A0)(B)), ∀A, A0∈a, ∀B, B0∈b
là một mở rộng không cốt yếu của a bởi b. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngược lại, mỗi mở rộng không cốt yếu của a bởi b là một tổng nửa trực tiếp của a và b với tích Lie xác định như trên.
Chứng minh. Giả sử g=a⊕τ b là tổng nửa trực tiếp của a và b.
Xét phép nhúng
i:b,→g Y 7→(0, Y) là một đơn cấu đại số Lie và phép chiếu
p:g→a (X, Y)7→X là một toàn cấu đại số Lie.
Xét ánh xạ
s :a→g X 7→(X,0).
Khi đó, s là một đồng cấu đại số Lie vì với mọi X, Y ∈a, ta có: [s(X), s(Y)] = [(X,0),(Y,0)]
= ([X, Y],0) =s([X, Y]). Hơn nữa, với mọi Y ∈a, ta có
(p◦s)(Y) =p(s(Y)) =p(Y,0) =Y.
Suy ra p◦s= Ida.
Điều này chứng tỏ 0−→b−→i g−→p a→0 là dãy khớp ngắn chẻ ra.
Vậy g=a⊕τ b là mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie, dưới sự hướng dẫn khoa học, nhiệt tình của giáo viên hướng dẫn, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục đích nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể như sau:
• Đã trình bày tổng quan được một số kết quả về tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.
• Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ với biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.
• Áp dụng một số kết quả về dạng Killing của đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie nửa đơn vào tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.
• Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie để tìm hiểu về định lý Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại số Lie. Với những kết quả đã đạt được, trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm các ứng dụng của tổng nửa trực tiếp như: khảo sát biểu diễn cảm sinh lên tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie, xác định đại số Lie của tích nửa trực tiếp các nhóm Lie,...
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì thời gian hạn chế và năng lực của bản thân có hạn nên trong quá trình thực hiện luận văn không sao tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Tiếng Việt
[1] Trần Đạo Dõng (2017), Đại số Lie và nhóm Lie, Bài giảng sau đại học, Đại học Huế.
[2] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình Lý thuyết Vành và Môđun, Nhà xuất bản Đại học Huế.
Tiếng Anh
[3] A. W. Knapp (2002), Lie Groups beyond an introduction, Progress in Math, New York.
[4] N. Perrin (2015), "Introduction to Lie algebras", Lecture notes.
[5] Tadeusz Ostrowski (2013), "A note on semidirect sum of Lie algebras", Gen- eral Algebra and Applications, 233-247.
[6] Thomas Leister (2010), "Handout 1: The proof of Levi’s decomposition the- orem", School of Mathematical Sciences, University of Adelaide.
TRIIONG DAI TIQC SIJ'PHAM
so:36tzqo-DHSp (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
HoA xA ngr cHU xcula vrEr-NAM
DQc tgp - Tq do _ H4nh phric
DdNing, ngdv L6 rhang g nam 20tg
QUYET EINH
v6 vigc giao tI6 tii vi tr6ch nhi$m hu6ng d6n rufln vrn thTc sI
HIEU TRUONG TRIIONG DAI HQC SI-T PHAM
can cu Nghi dinh so :zzcp ngay 04 thang 4 ndm 1994 ctta Chinh phu vd viQc
thdnh lap Dai hgc Dd Ning; a
can c[r Th6ng tu's6 08/2014ITT-BGDDT ngay 2013/2014 ciaB6 GD&DT
v6 viec ban hdnh Quv ch6 to chrj'c va hoar ci6ng cria dai hlc'vu;;;;;;.";;;. #;oi; #H;
thhnh vi6n;
n. .,3can cri'Quytit dinh s6 6950/QE-EH?N ngdy 0Ut2t20t4 ciaGiam d5c Dai hoc
Dd Nang ban hinh Quy dinh nhiQm vu, quyen nan cria Dai hoc pa Narg,'.u. ."|['*di
dpc dai hoc thdnh vi6n vd c6c dcrn vi truc thuQc;
can cu Th6ng tu s6 l'l2}i4lTr-ndoor ngdy 1 5t5/2014 cia ts6 Girio duc vir
Ddo tao va viQc ban rranh euy ch6 Ddo rao trinh do thlc si;
r13 91:r grveldlnh s6 3699/QD-DHEN
"giy iztot20t6 cttaGiam d6c Dai hoc Di
N[ng ve vi6c c6ng nh6n hoc vi6n cao hoc trung tJySn;