Theo mục 2.5, mỗi đại số Lie quy L là khả quy đầy đủ nếu L được xét như là L-môđun qua biểu diễn liên hợp và L có thể phân tích dưới dạng tổng trực tiếp của thành phần nửa đơn [L, L] và tâm Z(L). Trong trường hợp L là đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý, áp dụng tính khả quy đầy đủ của biểu diễn, có thể biểu thị L dưới dạng tích nửa trực tiếp của một đại số Lie con nửa đơn và radical của L. Trước khi thể hiện tính chất này, chúng ta xét khái niệm tích nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Định nghĩa 2.6.1. Cho L là một đại số Lie, a là một đại số Lie con của L, b là một iđêan của L sao cho L = a⊕b là tổng trực tiếp của các không gian véctơ. Nếu a ∈ a, do b là iđêan của L nên ada|b ∈ Derb. Khi đó, đồng cấu π : a →Derb được cho bởi π(a)(b) = ada|b(b) = [a, b],∀a ∈
Như vậy, a,b và π xác định đại số Lie L, ta nói rằng L là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie a,b. Kí hiệu L = a⊕π b.
Khái niệm "tích nửa trực tiếp" tổng quát được xây dựng nhờ Mệnh để sau :
Mệnh đề 2.6.2. Cho a,b là các đại số Lie và π : a → Derb là một đồng cấu đại số Lie. Khi đó, tồn tại một cấu trúc đại số Lie duy nhất trên không gian véctơ tổng trực tiếp L = a⊕b giữ nguyên tích Lie trên
a và b, đồng thời thỏa mãn [a, b] = π(a)(b) với a ∈ a,∈ b. Với đại số L, ta có a là một đại số Lie con còn b là một iđêan của L.
Chứng minh. Rõ ràng, cấu trúc đại số Lie trên L thỏa mãn điều kiện của mệnh đề nếu tồn tại là duy nhất. Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của nó. Trên không gian véctơ L = a⊕b, xác định phép toán :
[g, g0]L = [a, a0]a + [b, b0]b+π(a)(b0)−π(a0)(b),∀g = (a, b), g0 = (a0, b0). Ta chứng minh [., .]L là một tích Lie thỏa mãn điều kiện của mệnh đề. Thật vậy, đồng nhất phần tử a ∈ a với phần tử (a,0) ∈ L và b ∈ b với phần tử (0, b) ∈ L, ta có
[a, a0]L = [a, a0]a + [0,0]b+π(a)(0)−π(a0)(0) = [a, a0]a [b, b0]L = [0,0]a + [b, b0]b+π(0)(b0)−π(0)(b) = [b, b0]b [a, b]L = [a,0]a+ [0, b]b+π(a)(b)−π(0)(0) = π(a)(b)
Hơn nữa, [., .]L tuyến tính theo từng biến vì [., .]a,[., .]b tuyến tính theo từng biến và π, π(x), x ∈ a là nhứng ánh xạ tuyến tính. Với mọi L = (a, b) ∈ L, ta có :
[g, g0]L = [a, a0]a + [b, b0]b+π(a)(b)−π(a0)(b) = 0
Vì [., .]L tuyến tính theo từng biến nên để chứng minh đồng nhất thức Jacobi cho ba phần tử bất kì thuộc L ta sẽ quy về các trường hợp :
(1). Nếu cả ba phần tử này đều thuộc a hoặc cả ba đều thuộc b thì đồng nhất thức Jacobi là rõ.
(2). Hai phần tử a1, a2 ∈ a và một phần tử b ∈ b
[[a1, a2], b]L = π([a1, a2])(b) = ([π(a1), π(a2)])(b) = (π(a1)◦π(a2)−π(a2)◦π(a1))(b)
= π(a1)(π(a2)(b))−π(a2)(π(a1)(b)) = [a1,[a2, b]]L −[a2,[a1, b]]L Suy ra [[a1, a2], b]L + [[a2, b], a1]L+ [[b, a1], a2]L = 0 (3) Một phần tử a ∈ a, hai phần tử b1, b2 ∈ b. Khi đó [a,[b1, b2]]L = π(a)([b1, b2]) = [π(a)(b1), b2] + [b1, π(a)(b2) = [[a, b1], b2]L + [[b1, a], b1]L] Suy ra [[a, b1], b2]L + [[b1, b2], a]L + [[b2, a], b1]L = 0
Như vậy, [., .]L là một tích Lie thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.
Định nghĩa 2.6.3. Cho a,b là những đại số Lie, π : a → Derb là một đồng cấu đại số Lie. Khi đó, đại số Lie L xác định bởi a,b và π như trong mệnh đề trên được gọi là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie a
và b. Ký hiệu L = a⊕πb.
Nhận xét 2.6.1. Tổng trực tiếp của các địa số Lie là một trường hợp đặc biệt của tích nửa trực tiếp của các đại số Lie, tương ứng với π = 0.
Định lí 2.6.4. (Định lý phân tích Levi) Cho L là một đại số Lie hữu hạn chiều với căn R = radL. Khi đó tồn tại một đại số Lie con h của L đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn L/R sao cho L là tích nửa trực tiếp của h và R
Chứng minh. Phép chứng minh chủ yếu dựa vào tính khả quy đầy đủ cho các biểu diễn của đại số Lie nửa đơn L/R. Chúng ta xét 3 trường hợp sau :
Trường hợp 1: [L, R] = 0, điều này có nghĩa là R = Z(L) = Kerad, với Z(L) là tâm của L và
ad :L →sl(L)
x 7→adx
là biểu diễn liên hợp của L. Từ đó ta có thể xác định biểu diễn
ρ : L/R →gl(L)
có các tính chất sau :
+ R là một không gian con bất biến của ρ- môđun L.
+ ρ là khả quy đầy đủ (do L/R là nửa đơn), suy ra tồn tại một phần bù bất biến h của R sao cho :
L = h⊕R,
với h là một đại số Lie con đẳng cấu với L/R.
Trường hợp 2: [L, R] 6= 0 và R không chứa các iđêan thực sự khác không nào.
Điều này có nghĩa là [L, R] = R.
Do R là giải được, suy ra R là abel (giao hoán).
Khi đó tương tự như phép chứng minh định lý Weyl về tính khả quy đầy đủ các đại số Lie nửa đơn, ta xác định được một biểu diễn τ của L trong gl(L):
τ : L →gl(L)
x 7→ τ(x) : gl(L) → gl(L)
ϕ 7→τ(x)ϕ = [adx, ϕ]. Xác định không gian con của gl(L) sau :
A := {ϕ ∈ gl(g)|ϕ(L) ⊂ R, ϕ|R = c.IdR} 6= {0}.
B := {ϕ ∈ A|ϕ|R = 0} ⊂ A.
C := {ad(x)|x ∈ R} ⊂ B.
Khi đó, A,B,C thỏa mãn các tính chất sau:
• dim(A/B) = 1 và τ(L)A ⊂ B.
• τ(R)A ⊂ C.
• A/B và A/C là các biểu diễn thương của L/R.
Bây giờ xét phép chiếu chính tắc : π : A/C → A/B.
Ta có π là τ đẳng biến nên suy ra Kerπ là bất biến đối với τ.
Do L/R là nửa đơn, kerπ có một phần bù bất biến 1-chiều trong
A/C = Kerπ ⊕K(ϕ+C). Ta thấy, ϕ0 ∈ A nên có thể giả thiết ϕ0|R = IdR.
Từ đó K(ϕ0 + C) = Kϕ0 + C là một biểu diễn 1-chiều của L/R nên là tầm thường, tức là τ(L)ϕ0 ∈ C.
Xét tập hợp h = {x ∈ L|Z(x)ϕ0 = 0}. Khi đó h thỏa các tính chất sau : + h là đại số Lie con của L.
+ h∩R = 0. + L = h⊕R.
Nói cách khác định lý đúng cho trường hợp này. Trường hợp 3: Đây là trường hợp tổng quát.
Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều dimR. Với dimR = 1 : Định lý quy về trường hợp 2.
Với dimR > 1 và tồn tại một iđêan không tầm thường s trong R (Nếu không ta quay về trường hợp 2).
Khi đó, radL/s = R/s. Theo giả thiết quy nạp, ta xác định được đại số Lie con h∗ trong L/s sao cho
L/s = h∗ ⊕R/s.
Xét phép chiếu chính tắc : p : L → L/s và p−1(h∗) = L. Ta có : π−1(h∗)∩ R = s và rad(π−1(h∗)) = s
Từ đó, áp dụng giả thiết quy nạp, tồn tại một đại số Lie con nửa đơn
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về đại số Lie nửa đơn, dưới sự hướng dẫn khoa học, nhiệt tình của giáo viên hướng dẫn, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu đề tài với những kết quả cụ thể sau :
• Đã trình bày tổng quan được một số kết quả về đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy.
• Khảo sát biểu diễn khả quy đầy đủ của đại số Lie nửa đơn theo ngôn ngữ môđun và thể hiện cho trường hợp đại số Lie sl(2, F), với F là một trường đóng đại số tùy ý.
• Ứng dụng tính khả quy đầy đủ của biểu diễn để khảo sát cấu trúc của các đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý thể hiện qua định lý phân tích Levi.
Với những gì khảo sát được, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hi vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về đại số Lie nửa đơn và biểu diễn. Mặc dù đã rất cố gắng, song do hạn chế về năng lực và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
1. A. Kirillov (2008),An introduction to Lie Groups and Lie algrebras, Lecture Notes in Math, Cambridge University Press, New york.
2. A.W.Knapp (2002), Lie Group beyond an introduction, Progress in Math, New york.
3. E.P. Van den Ban (2010), Lie Group, Lecture Notes, University of Utrecht, Holland.
4. G. Bellamy (2016), Lie Groups, Lie algrebras and their Representa- tions, Lecture Notes, University of Glasgow, UK.
5. James E. Humphreys (1972),Introduction to Lie Algrebras and Rep- resentation Theory, Springer-Verlag New York Inc.