Hàm beta một vòng trong mô hình chuẩn

Bài viết trình bày việc sử dụng phương trình CallanSymanzik để biểu diễn tập hợp các phép biến đổi trong nhóm tái chuẩn hóa dưới dạng giải tích và tính các biểu thức giải tích cho các hàm β một vòng cho các liên kết Yukawa trong mô hình chuẩn.

HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG Khoa Vật lý Tóm tắt: Trong báo chúng tơi sử dụng phương trình CallanSymanzik để biểu diễn tập hợp phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa dạng giải tích tính biểu thức giải tích cho hàm β vòng cho liên kết Yukawa mơ hình chuẩn GIỚI THIỆU Mơ hình chuẩn cơng nhận thơng qua thí nghiệm kiểm chứng đại ngày nay, nhiên chưa hồn chỉnh để mơ tả tự nhiên cách trọn vẹn Điều có nghĩa việc tìm hiểu nghiên cứu mở rộng mơ hình chuẩn cần thiết việc tìm hiểu chất hạt nói riêng hồn thiện lí thuyết vật lí hạt nói chung Một điểm hạn chế mơ hình chuẩn khơng giải thích cách động lực tượng phá vỡ đối xứng Theo đó, việc so sánh thang lượng mơ hình mơ hình mở rộng xảy phá vỡ đối xứng động lực thông qua hàm beta cho hệ số liên kết quan trọng Việc nghiên cứu phương trình nhóm tái chuẩn hố hàm beta vịng nhà vật lý hạt giới nghiên cứu Chẳng hạn, Cheng Li đưa biểu thức giải tích hàm beta vịng hai vòng cho hệ số liên kết gauge mơ hình chuẩn Tuy nhiên, mơ hình giải thích tồn khối lượng hạt thơng qua tượng phá vỡ đối xứng tự phát nên hàm beta vòng cho liên kết Yukawa mơ hình chuẩn chưa quan tâm Theo đó, chúng tơi chọn đề tài nhằm mục đích khảo sát thang lượng xảy tượng phá vỡ đối xứng động lực, từ có hướng để mở rộng mơ hình chuẩn phù hợp Đây vấn đề mà số đề tài nghiên cứu khoa học, luận văn cao học, khoá luận tốt nghiệp gần quan tâm nghiên cứu Bài báo đề cập đến việc sử dụng phương trình Callan-Symanzik thành lập biểu thức hàm β vòng cho hệ số liên kết Yukawa mơ hình chuẩn Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 62-66 HÀM BETA MỘT VÒNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 63 PHƯƠNG TRÌNH CALLAN-SYMANZIK Đạo hàm hàm Green khơng tái chuẩn hóa theo khối lượng tương đương với thêm vào toán tử đa hợp Ω0 = φ20 mang xung lượng không ∂Γ(n) (pi ) (n) = −ıΓφ2 (0; pi ), ∂µ20 (1) Γ(n) (pi ) phụ thuộc vào µ20 thông qua hàm truyền trần ı∆0 (p) = p2 ı , − µ20 + ıε (2) đó, ∂ ∂µ20  ı p − µ20 + ıε  = p2 ı ı (−ı) − µ0 + ıε p − µ20 + ıε (3) Dưới dạng hàm Green tái chuẩn hóa (1PI), ta viết (n) n/2 ΓR (pi ; λ, µ) = Zφ Γ(n) (pi ; λ0 , µ0 ), (n) Γφ2 R (p, pi ; λ, µ) = n/2 (n) Zφ−1 Γφ2 (p, pi ; λ0 , µ0 ) Zφ Sau (4) (5) vào (1) sử dụng mối liên hệ   ∂µ ∂ ∂λ ∂ ∂ (n) (n) Γ (pi ; λ, µ) = + Γ (pi ; λ, µ), ∂µ20 R ∂µ20 ∂µ2 ∂µ20 ∂λ R phương trình Callan-Symanzik lý thuyết λφ4 có dạng   ∂ ∂ (n) (n) µ +β − nγ ΓR (pi ; λ, µ) = −ıµ2 αΓφ2 R (0, pi ; λ, µ), ∂µ ∂λ (4) (5) (6) (7) đó, α, β γ hàm khơng thứ ngun ∂λ/∂µ20 , ∂µ2 /∂µ20 ∂ ln Zφ /∂µ20 γ = µ2 , ∂µ2 /∂µ20 ∂Zφ2 /∂µ20 α = ∂µ2 /∂µ20 β = 2µ2 (8) (9) (10) Trong tính tốn cụ thể cho hàm α, β γ, việc sử dụng phụ thuộc cut-off (Λ) số Zλ , Zφ thuận lợi Trong lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa với đại lượng khơng tái chuẩn hóa λ0 µ0 , tham số tái chuẩn hóa µ λ định nghĩa phương trình µ2 = µ20 + δµ2 , (11) 64 NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG ¯ 0, λ = Zλ (12) Z¯ = Zλ−1 Zφ2 , (13) với hàm λ0 µ0 Λ Xét phương diện thứ nguyên, λ Zi s phụ thuộc vào đại lượng không thứ nguyên λ0 Λ/µ0 Nếu µ0 thay µ = µ(λ0 , µ0 , Λ), λ = λ(λ0 , Λ/µ) Zi = Zi (λ0 , Λ/µ) Sử dụng quy tắc dây chuyền (chain) đạo hàm ∂ ∂µ2 ∂ λ(λ , Λ/µ)| = λ(λ0 , Λ/µ)|Λ,λ , Λ,λ ∂µ20 ∂µ20 ∂µ2 dẫn đến  ∂  ¯ ln Z(λ0 , Λ/µ) , ∂ ln Λ (15) ∂ [ln Zφ (λ0 , Λ/µ)] ∂ ln Λ (16) β = −λ γ=− (14) Như vậy, số hạng ln Λ biểu thức Zi s thiết lập, hàm β γ phương trình Callan-Symanzik xác định Giữa hàm α γ có mối liên hệ với Chẳng hạn n = α = 2(γ − 1) (n) (17) (n) Vì đại lượng tái chuẩn hóa ΓR Γφ2 R không phụ thuộc cut-off vào bậc λ nên hàm α, β γ không phụ thuộc cut-off Điều chứng tỏ γ không phụ thuộc cut-off Mọi hàm trừ hàm β phương trình (1.67) độc lập với cut-off; theo đó, hàm β khơng phụ thuộc cut-off Vì hàm α, β γ không thứ nguyên nên không phụ thuộc vào cut-off chứng tỏ chúng hàm sồ liên kết không thứ nguyên, nghĩa là, α = α(λ), β = β(λ) γ = γ(λ) Phương trình Callan-Symanzik tổng quát cho hàm Green chứa số toán tử đa hợp (composite) A, B, C sau  n o n o ∂ ∂ (n) (n) +β − nγ + γAB ΓAB = −ıµ2 α Γφ2 AB µ , (18) ∂µ ∂λ R R n o n o (n) −n/2 (n) −1 −1 GAB = ZA ZB · · · Zφ GAB , n oR n o (n) n/2 (n) −1 −1 ΓAB = ZA ZB · · · Zφ ΓAB , R γAB = − ∂ ln [ZA ZB ] ∂ ln Λ (19) (20) (21) HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 65 HÀM β MỘT VÒNG CHO CÁC HỆ SỐ LIÊN KẾT YUKAWA TRONG MƠ HÌNH CHUẨN Nhóm gauge sử dụng mơ hình chuẩn SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y tương ứng với hệ số liên kết gauge g1 , g2 , g3 Khi nghiên cứu thay đổi hệ số liên kết gauge theo g2 thang lượng, để thuận tiện hệ số liên kết α sử dụng, αi = i , i = 1, 2, 4π Bằng việc sử dụng quy tắc thứ nguyên, hàm β vòng cho hệ số liên kết gauge tính tốn có dạng sau α1 α2 α3 41 t, 10 × 2π 19 = 29.6 − t, × 2π = − t, 0.07 2π = 59 − (22) (23) (24)   E t = log Các phương trình vi phân (22), (23) (24) tính số 91.2 theo phương pháp Runge Kutta cho hình Từ hình vẽ, chúng tơi thấy rằng, hệ số liên kết α1 , α2 giảm lượng tăng Các hệ số t = 25.4 tương ứng lượng vào bậc 1023 GeV Trong đó, hệ số α3 tăng lượng tăng giá trị α2 gặp thang lượng 1023 GeV Như thế, xét đến tự tương tác trường gauge, thang lượng thống lớn thang Plank 1019 GeV (thang lượng lý thuyết trường lượng tử có hiệu lực) 66 NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG KẾT LUẬN Trong báo này, thu nhận biểu thức giải tích số cho hàm β vòng cho liên kết gauge mơ hình chuẩn Từ kết nghiên cứu phần trước chứng tỏ giới hạn mơ hình chuẩn, lý thuyết thống tương tác thực thang lượng thống lớn thang Plank Điều dẫn đến hệ tất yếu, cần thiết mở rộng mơ hình chuẩn hồn chỉnh thêm lý thuyết thống tương tác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viễn Thọ (2002), Cơ Sở Lý Thuyết Trường Lượng Tử, NXB Giáo dục [2] S Chatrchyan et al., [CMS Collaboration], Phys Lett B716, 30 (2012); G Aad et al., [ATLAS Collaboration], Phys Lett B716, (2012) [3] Salam A and Ward J C., Nuovo Cim 19, 165 (1961 [4] Englert F and Brout R., Phys Rev Lett 13, 321 (1964) [5] Guralnik G S., Hagen C R., and Kibble T W B., Phys Rev Lett 13, 585 (1964) [6] Aitchison I J R and Hey A J G (1990), gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction, Bristol [7] Gell-Mann, M.; Low, F.E (1954) "Quantum Electrodynamics at Small Distances" Physical Review 95 (5): 1300–1312 [8] T P Cheng and L F Li (1984), Gauge theory of elementary particle physics, Oxford [9] S Coleman (1985), Aspects of symmetry, Cambridge [10] Heisenberg W., Phys Rev Lett 77, (1932) Title: ONE LOOP BETA FUNCTION IN STANDARD MODEL Abstract: In this paper, we use the Callan-Symanzik equation to represent a set of transformations in the renormalization group by analytical form and calculate the analytical expressions for the one loop β function that generate the Yukawa unification in the standard model NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ... [ZA ZB ] ∂ ln Λ (19) (20) (21) HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 65 HÀM β MỘT VỊNG CHO CÁC HỆ SỐ LIÊN KẾT YUKAWA TRONG MƠ HÌNH CHUẨN Nhóm gauge sử dụng mơ hình chuẩn SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y...HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN 63 PHƯƠNG TRÌNH CALLAN-SYMANZIK Đạo hàm hàm Green khơng tái chuẩn hóa theo khối lượng tương đương với thêm... THÙY PHƯƠNG KẾT LUẬN Trong báo này, thu nhận biểu thức giải tích số cho hàm β vịng cho liên kết gauge mơ hình chuẩn Từ kết nghiên cứu phần trước chứng tỏ giới hạn mơ hình chuẩn, lý thuyết thống