Về nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận

Khái niệm nghịch đảo Moore-Penrose ra đời bởi hai nhà toán học độc lập E. H. Moore và nhà toán học R. Penrose. Bài viết trình bày việc tìm các biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose và một số ứng dụng của nó.

VỀ NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE CỦA MA TRẬN NGUYỄN THANH NGUYÊN Khoa Tốn học Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi tìm biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose số ứng dụng GIỚI THIỆU Khái niệm nghịch đảo Moore-Penrose đời hai nhà toán học độc lập E H Moore nhà toán học R Penrose Vào năm 1955 Penrose chứng tỏ với ma trận hữu hạn A thực phức , có ma trận X thỏa mãn phương trình sau (mà gọi phương trình Penrose) AXA = A XAX = X (AX)∗ = AX (XA)∗ = XA (1) (2) (3) (4) với A∗ ma trận chuyển vị liên hợp A Khi ta ký hiệu X A† A† gọi giả nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A Lý thuyết nghịch đảo Moore-Penrose phát triển cách nhanh chóng có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Do việc tìm tính chất đặc biệt biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose cho lớp ma trận đặc biệt vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà Tốn học giới Mục đích báo tìm biểu diễn tường minh cho nghịch đảo MoorePenrose số dạng ma trận đặc biệt số hướng tiếp cận để tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận Kết báo tổng quan lại số cách biểu diễn nghịch đảo MoorePenrose biết Từ cải tiến để đưa số biểu diễn khác cách tường minh hiệu Ngoài chúng tơi cịn giới thiệu số ứng dụng nghịch đảo Moore-Penrose thực tế phục hồi ảnh thông qua nghịch đảo Moore-Penrose Phương pháp hiệu phương pháp Lagrange trước Bài báo chia làm phần Phần Một số tính chất nghịch đảo Moore-Penrose Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 20-29 NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE CỦA MA TRẬN 21 Phần Cơng thức tính nghịch đảo Moore-Penrose Phần Ứng dụng nghịch đảo Moore-Penrose sử dụng MATLAB để tính nghịch đảo Moore-Penrose TÍNH CHẤT CỦA NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE Tuy nghịch đảo Moore-Penrose ma trận khơng hồn tồn có tính chất giống hệt nghịch đảo thơng thường, nhiều tính chất thỏa mãn ta thay nghịch đảo thông thường giả nghịch đảo Moore-Penrose Định lý sau chứng tỏ điều Định lý 2.1 [5] Cho A ∈ Cm×n , r (A† )† = A (A∗ )† = (A† )∗ (AT )† = (A† )T A∗ = A∗ AA† = A† AA∗ (A∗ A)† = A† A∗† A† = (A∗ A)† A∗ = A∗ (AA∗ )† Nếu A = A∗ AA† = A† A R(A) = R(AA† ) = R(AA∗ ) R(A† ) = R(A∗ ) = R(A† A) = R(A∗ A) 10 R(I − AA† ) = N (AA† ) = N (A∗ ) = N (A† ) = R(A)⊥ 11 R(I − A† A) = N (A† A) = N (A) = R(A∗ )⊥ Định lý sau thể tương đương định nghĩa ma trận giả nghịch đảo đưa Penrose năm 1955 với định nghĩa Moore đưa vào năm 1935 Định lý 2.2 Cho A ∈ Cm×n , ma trận A† ma trận nghịch đảo MoorePenrose A A† thỏa mãn tính chất sau AA† = PR(A) , A† A = PR(A† ) 2.1 Tính chất giải tích nghịch đảo Giả nghịch đảo Moore-Penrose có nhiều tính chất đặc biệt số "tính chất giải tích" nghịch đảo Moore-Penrose Tính chất cho cơng thức tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận 22 NGUYỄN THANH NGUYÊN Bổ đề 2.3 [4] Cho A ∈ Cn×n A ma trận đối xứng, PA = lim (A + λI)−1 A = lim A(A + λI)−1 λ→0 λ→0 Khi Định lý 2.4 [4] Cho A ∈ Cm×n r A† = lim (A∗ A + λI)−1 A∗ = lim A∗ (AA∗ + λI)−1 λ→0 λ→0 Ví dụ Với vectơ x ∈ Cn ta có   x = x† = (x∗ x)−1 x∗ = x∗  ∗ x 6= xx CƠNG THỨC TÍNH MA TRẬN MOORE-PENROSE Cho H ∈ Cm×n E1 , E2 , , Ek phép biển đổi dịng sơ cấp Khi tồn ma trận chuyển vị P cho   Ir K EHP = O O E = Ek Ek−1 E2 E1 Thuật toán 3.1 Để tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A cho trước ta thực bước sau Tìm dạng ma trận có hạng đầy đủ ma trận A - Bằng phép biển đổi sơ cấp dòng, chuyển ma trận A thành ma trận Hermite dạng chuẩn tắc - Xác định ma trận G biết  EA = G O  E = Ek Ek−1 E1 với Ek , Ek−1 , , E1 phép biến đổi sơ cấp dòng - Xác định ma trận chuyển vị P ma trận P1 P P1 ma trận r cột ma trận P với r hạng ma trận A - Đặt F = AP1 Khi A = F G Tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A qua công thức A† = G∗ (F ∗ AG∗ )−1 F ∗ NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE CỦA MA TRẬN 23 Dựa vào định lý 2.2 xây dựng thuật tốn tính nghịch đảo MoorePenrose ma trận A dựa vào việc xác định ảnh sở Cn qua A† Thuật tốn 3.2 Để tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A ta thực bước sau - Xác định sở R(A∗ ) N (A∗ ) - Xác định ảnh sở R(A∗ ) qua ma trận A Từ xác định ảnh sở Cn qua ma trận A† - Tính ma trận A† Định lý 3.3 [Công thức Cayley-Hamilton][4] Cho A ∈ Cn×n ma trận Hermite đa thức đặc trưng A viết thành PA (λ) = aλk (1 − λϕ(λ)) n − k hạng A Khi A khả nghịch A−1 = ϕ(A) trường hợp tổng quát A† = ϕ(A) + ϕ(0)[Aϕ(A) − I] Nếu H ∈ Cm×n đa thức đặc trưng H ∗ H xác định aλk (1 − λϕ(λ), H † = ϕ(H ∗ H)H ∗ Ta tính đa thức đặc trưng ma trận qua công thức sau PA (λ) = (−λ)n + C1 (−λ)n−1 + + Ck (−λ)n−k + + Cn Ck tổng định thức cấp k lập nên từ dòng cột với số giống 24 3.1 3.1.1 NGUYỄN THANH NGUYÊN Nghịch đảo Moore-Penrose ma trận khối tổng hai ma trận Nghịch đảo Moore-Penrose ma trận khối Khi tính tốn nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A ∈ Cm×n , kích thước ma trận hay độ phức tạp tốn tìm nghịch đảo giảm bớt ma trận A viết dạng ma trận khối sau  A= A11 A12 A21 A22  Do phần nghiên cứu cơng thức tính nghịch đảo MoorePenrose ma trận khối số dạng ma trận khối đặc biệt với r < m, n Khi đó, Định lý 3.4 [5] Cho ma trận A ∈ Cm×n r  P AQ = A11 A12 A21 A22  P Q ma trận chuyển vị A11 ∈ Cr×r r †  A =Q Ir T∗  ∗ −1 (Ir + T T ∗ )−1 A−1 11 (Ir + S S)  Ir S ∗  với −1 T = A−1 11 A12 S = A21 A11 Nhận xét 3.5 Nếu A ∈ Cr×n công thức trở thành r †  A =Q Ir T∗  (Ir + T T ∗ )−1 A−1 với T = A−1 A2 Định lý 3.6 Với Ai ma trận cấp ri × si , ta có      A1 0 A2 0 An †       =   A1 † 0 A2 † 0 An †      P 25 NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE CỦA MA TRẬN 3.1.2 Nghịch đảo tổng ma trận Định lý 3.7 [2] Cho ma trận A, B ∈ Cm×n Khi AB ∗ = (A + B)† = A∗ (AA∗ + BB ∗ )† + B ∗ (AA∗ + BB ∗ )† Nhận xét 3.8 Nếu đặt ma trận U =  A B † ∗  với AB ∗ = O ta có  ∗ † U = U (U U ) = A∗ (AA∗ + BB ∗ )† B ∗ (AA∗ + BB ∗ )†  Từ nhận xét thiết lập thuật tốn tính nghịch đảo Moore-Penrose tổng ma trận A, B AB ∗ = O dựa vào định lý 3.4 định lý 3.7 Chẳng hạn xét ma trận  A= 0   B = −3 −3  Ta có AB ∗ = O   Đặt U = −3 0 −3      † Khi U =  182     13 28 −28    42 −42   0   −39  26 Từ ta có       13 0 13    (A + B)† = 28 −28  + −39  = 28 −67  182 182 182 42 −42 26 42 −16 Nếu AB ∗ = A∗ B = O (A + B)† = A† + B † 3.2 3.2.1 Nghịch đảo Moore-Penrose số dạng ma trận đặc biệt Ma trận có hạng Cho ma trận A ∈ Cm×n rankA = Khi A† = A∗ T rA∗ A 26 NGUYỄN THANH NGUYÊN 3.2.2 Ma trận chéo  λ1   λ2   0 λn †       =   λ1 † 0 λ2 † 0 λn †    ,    λi = λ†i =  λi 6= λi 3.2.3 Ma trận trực giao Cho ma trận A ∈ Cm×n A = (aij ) ma trận cho aj = (i 6= j) với cột thứ i ma trận A  P m a2  i=1 i1  m P  a2i2  A† =  i=1    0 0 m P a2in †     ∗  A    i=1 Nhận xét 3.9 Nếu A ∈ Cn×n ma trận trực giao A† = A∗ 3.2.4 Ma trận Hermite Để tính nghịch đảo Moore-Penrose ma trận Hermite H ta thực bước sau - Tính đa thức đặc trưng PH (λ) tìm giá trị riêng khác H - Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng khác cách xét phương trình (H − λi I)x = - Trực chuẩn vectơ riêng - Tính H † = n P i=1 λ†i ci c∗i NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE CỦA MA TRẬN 27 ỨNG DỤNG CỦA NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE VÀ TÍNH NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE BẰNG MATLAB 4.1 Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý 4.1 Cho A ∈ Cm×n , b ∈ Cm Khi R(b) ⊆ R(A) AA† b = b Định lý 4.2 Cho A ∈ Cm×n b ∈ Cm Giả sử AA† b = b Khi với vectơ có dạng x = A† b + (I − A† A)y với y ∈ Cn (1) nghiệm hệ phương trình Ax = b Hơn nữa, tất nghiệm hệ phường trình Ax = b có dạng Nhận xét 4.3 Nếu phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm nghiệm x = A† b nghiệm bình phương tối tiểu phương trình Nếu phương trình tuyến tính Ax = b vơ nghiệm ta coi A† b "nghiệm gần đúng" phương trình 4.2 Nghịch đảo Moore-Penrose phục hồi ảnh kỹ thuật số [1] Trong trình phục hồi ảnh bị mờ, người ta sử dụng mối quan hệ thành phần xout xin xout hình ảnh xuống cấp X-quang số hóa xin gốc xác định hình ảnh phục hồi Mối quan hệ xout xin thể qua phương trình sau Hxin = xout Tuy nhiên, có vơ số nghiệm xin thỏa mãn phương trình Hxin = xout , nên việc bổ sung thêm tiêu chuẩn để tìm thấy vectơ phục hồi mạnh điều cần thiết Và tiêu chuẩn để phục hồi hình ảnh mờ mà thường sử dụng tối thiểu khoảng cách liệu hình ảnh, nghĩa là, tìm nghiệm bình phương tối tiểu phương trình Hxin = xout Như nêu phần 4.1, ta chứng minh nghiệm bình phương tối tiểu phương trình dạng Ax = b x˜ = A† b 28 NGUYỄN THANH NGUYÊN Hình 1: Hình ảnh X-quang Chúng ta nhận thấy kết xử lý hình ảnh qua hai phương pháp Lagrang giả nghịch đảo giống nhiên tốc độ xử lý ảnh dùng phương pháp nghịch đảo nhanh nhiều so với phương pháp Lagrang Và ứng dụng phổ biến nghịch đảo Moore-Penrose 4.3 Sử dụng MATLAB để tính nghịch đảo Moore-Penrose Phần mềm MATLAB 7.0 sử dụng Intel(R) Pentium(R) Dual CPU T2310@1.46GHz 1.47 GHz 32-bit system, RAM 2GB chạy Windows Vista Home Premium Operating System function Y=Moore(A) H=A’*A; [m,n]=size(H); r=rank(H); P=poly(H); k=m-r; [z,x]= size(P); v=x-k; for i=1:x if i>v | i