Bài viết đưa ra một số kiến thức cơ bản, một số ký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghịch đảo này. Trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận; Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng. Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có các phần tử trên trường C.
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY Khoa Toán học Tóm tắt: Trong báo chúng tơi thiết lập số đẳng thức hạng ma trận liên quan đến nghịch đảo Moorse-Penrose nghịch đảo Drazin GIỚI THIỆU Trong đại số tuyến tính, ma trận vuông A khả nghịch chi rank(A) = n Nhưng lớp ma trận không khả nghịch "khá lớn", nhằm khắc phục điều Moore-Penrose Drazin đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng ma trận Moore-Penrose đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng ma trận A cấp m × n ma trận X thõa mãn phương trình: AXA = A, XAX = X, (AX)∗ = AX, (XA)∗ = XA Sau X gọi nghịch đảo Moore-Penrose ký hiệu A† Drazin đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng ma trận vng A cấp n có số k ma trận X thõa mãn phương trình: Ak XA = Ak , XAX = X, AX = XA, X gọi nghịch đảo Drazin ký hiệu AD Ta thấy nghịch đảo suy rộng ma trận có tính chất gần giống với ma trận nghịch đảo thơng thường ma trận cho trước Ngay từ đời nghịch đảo suy rộng thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực lý thuyết đồ thị, phương trình vi phân giải tích hàm Mục đích báo nghiên cứu số đẳng thức hạng ma trận liên quan đến nghịch đảo suy rộng Vấn đề liên quan đến hạng ma trận nghịch đảo suy rộng thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới, số báo cuôn sách viết vấn đề như: [6] G.Marsaglia and G.P.H Styan, Equalities and inequalities for ranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra 2(1974) 269-292, [4] C.D.Meyer, Jr., Generalized inverses inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl Math 25(1973), 597-602, [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications, Yongge Tian Kết đạt báo chứng minh chi tiết đẳng thức hạng liên Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 5-19 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY quan đến nghịch đảo suy rộng, đẳng thức chứng minh nằm rãi rác sách [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications-Yongge Tian, chọn lọc trình bày Bài báo chia làm mục Sau mục giới thiệu Mục nói số kiến thức đại số tuyến tính Trong mục đưa số kiến thức bản, số ký hiệu đồng thời đưa cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose nghịch đảo Drazin giúp cho người đọc có nhìn rõ hai loại nghich đảo Trong Mục 3, trình bày số bổ đề hạng ma trận Cuối cùng, Mục chúng tơi trình bày số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng Lưu ý ma trận mà xét báo ma trận có phần tử trường C MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2.1 Một số khái niệm ký hiệu + Cho A ma trận cấp m × n C Lúc ta gọi A∗ ma trận chuyển vị liên hợp A tức A∗ = (bij )n×m bij = a ¯ji + Cho hai không gian U, V C có số chiều n m Ký hiệu L(U, V) tập hợp ánh xạ tuyến tính từ U vào V Ta biết L(U, V) C− không gian vectơ đẳng cấu với khơng gian Cm×n Do với ma trận A ∈ Cm×n , ta đồng với ánh xạ tuyến tính A : Cn → Cm , với Im(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn } ký hiệu R(A) Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu N (A) + Ký hiệu r(A) hạng ma trận A + Cho A, B hai không gian Cn Lúc ta định nghĩa tổng hai không gian A B là: A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B} Và A ∩ B = {0} lúc tổng hai khơng gian gọi tổng trực tiếp kí hiệu A ⊕ B + Cho ma trận C vuông cấp n trường C ma trận C gọi lũy đẳng C = C + Cho A ma trận vuông cấp n trường C Số nguyên không âm nhỏ k cho rank(Ak ) = rank(Ak+1 ) gọi số ma trận A, ký hiệu ind(A) Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy ma trận có số MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 2.2 2.2.1 Nghịch đảo Moore-Penrose nghịch đảo Drazin Nghịch đảo Moore-Penrose Cho A ma trận cấp m × n trường C Vào năm 1955 Penrose chứng minh tồn ma trận X thõa mãn bốn phương trình sau: AXA = A XAX = X (AX)∗ = AX (XA)∗ = XA lúc X ký hiệu A† , A† gọi nghịch đảo Moore-Penrose ma trận A Bây đưa cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose nhằm có nhìn rõ nghịch đảo này: Cho A ma trận cấp m × n trường C Lúc ta xem A ánh xạ tuyến tính với cặp sở tắc, ta xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose Ta có R(A∗ ) khơng gian C n , mặt khác r(A∗ ) = r(A), nên: A|R(A∗ ) : R(A∗ ) → R(A) → − → − → − → − song ánh, từ giả sử R(A∗ ) =< a0 , , a0 k > R(A) =< A( a0 ), , A( a0 k ) > → − → − − − − − ta viết lại R(A) =< → a 1, , → a k > → a = A( a0 ), , → a k = A( a0 k ) Sau ta − − − − − − bổ sung vào hệ {→ a 1, , → a k } vector → a k+1 , , → a m → a k+1 , , → a m → − → − ⊥ ∗ vector thõa mãn R(A) =< a k+1 , , a m >= N (A ), đồng thời ta bổ sung → − → − → − → − → − → − vào hệ { a0 , , a0 k } vector a0 k+1 , , a0 n vector a0 k+1 , , a0 n → − → − − − thõa mãn N (A) =< a0 k+1 , , a0 n >, lúc ta sở {→ a 1, , → a m } → − → − m 0 n C sở { a , , a n } C ta xây dựng ma trận B cặp sở : Cm → Cn → − → − a → a0 1 → → − → − a k → a0 k → − → − a → k+1 → → − → − am → 8 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY B xác định biết ảnh sở, lưu ý để viết ma trận B ta phải chuyển sở tắc, khơng khó khăn kiểm tra ma trận B thỏa mãn bốn phương trình nghịch đảo Moorse-Penrose B xác định biết ảnh sở, lưu ý để viết ma trận B ta phải chuyển sở tắc, khơng khó khăn kiểm tra ma trận B thỏa mãn bốn phương trình nghịch đảo moorse-penrose Cố định cặp sở ta chứng minh tính chất sau: (i) R(AA† ) = R(A) (ii) R(A† A) = R(A† ) (iii) R(A† ) = R(A∗ ) (iv) r(A† A) = r(A† ) = r(A∗ ) = r(A) = r(AA† ) 2.2.2 Nghịch đảo Drazin Cho A ∈ C n×n ind(A)=k Năm 1958 Drazin chứng minh tồn ma trận X ∈ C n×n thõa mãn Ak XA = Ak , (5) XAX = X, (6) AX = XA (7) X gọi nghịch đảo Drazin A ký hiệu AD Cũng nghịch đảo Moore-penrose ta tìm hiểu rõ cách xây dựng nghịch đảo Mệnh đề 2.1 ([2, Mệnh đề 2.2.3] Cho A ∈ Cn×n , ind(A)=k Khí Cn = R(Ak ) ⊕ N (Ak ) Bây ta xem A ánh xạ tuyến tính lúc ta có AR(Ak ) = R(Ak+1 ) = R(Ak ) Do A|R(Ak ) đẳng cấu nên A|R(Ak ) khả nghịch Mặt khác theo [Mệnh đề 2.1] x ∈ Cn phân tích x = u + v u ∈ R(Ak ), v ∈ N (Ak ) Từ ta xây dựng ma trận X sau: ( u u ∈ R(Ak ), A−1 |R(Ak ) Xu = u ∈ N (Ak ) Dễ dàng kiếm chứng X nghịch đảo Drazin Tiếp theo đến vài mệnh đề, giúp có nhìn rõ nghịch đảo MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Mệnh đề 2.2 Cho A ∈ Cn×n ind(A)=k Lúc ln tồn ma trận P khơng suy biến cho C A=P P −1 , N C ma trận không suy biến N ma trận lũy linh k Đồng thời −1 C −1 D A =P P 0 Mệnh đề 2.3 ([3, Mệnh đề 7.8.1, trang 147]) Cho A ∈ Cn×n có ind(A)=k Lúc mối số nguyên l ≥ k nghịch đảo yếu A2l+1 ta có AD = Al (A2l+1 )− Al , đặc biệt AD = Al (A2l+1 )† Al MỘT SỐ BỔ ĐỀ VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Sau đưa vài đẳng thức hạng sở để xây dựng đẳng thức Mục Bổ đề chúng tơi muỗn nói đến bổ sung thêm vectơ hàng hay cột vào ma trận làm tăng hạng ma trận đó, từ ta nhận bất đẳng thức hạng tương ứng sau: Bổ đề 3.1 Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n D ∈ Cl×k A A (i) r ≥ r(A), r ≥ r(B) B B (ii) r[A, B] ≥ r(A), r[A, B] ≥ r(B) Hai đẳng thức nêu công thức quen thuộc đại số tuyến tính, dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim A ∩ B A B không gian Cn , viết dạng ma trận Bổ đề 3.2 Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n D ∈ Cl×k A (i) r = r(A) + r(B) − dim R(A> ) ∩ R(B > ) B (ii) r[A, B] = r[A] + r[B] − dim R(A) ∩ R(B) 10 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY Chúng ta nhìn lại [Bổ đề 3.2], tìm ma trận B cho R(A) ∩ R(B) = {0} lúc làm đại lượng dim R(A) ∩ R(B) ý tưởng này, thơng qua việc xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose mà chúng tơi trình bày, bạn thấy R(I −AA† )∩R(A) = {0} dẫn đến R[(I −AA† )B]∩R(A) = {0} Từ nhận xét ta đến bổ đề Bổ đề 3.3 (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n D ∈ Cl×k (i) r[A, B] = r(A) + r(B − AA† B) = r(B) + r(A − BB † A) A (ii) r = r(A) + r(C − CA† A) = r(C) + r(A − AC † C) C Cùng với tính chất trên, cách sử dụng phép tốn ma trận khối đạt đẳng thức sau bạn đọc tham khảo chi tiết thông qua tài liệu Bổ đề 3.4 (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n D ∈ Cl×k A B (i) r C D (I − AA† )B = r(A) + r C(I − A† A) D − CA† B (ii) Giả sử R(B) ⊆ R(A) R(C ∗ ) ⊆ R(A∗ ) Lúc ta có: A B r = r(A) + r(D − CA† B), C D (iii) Cho A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 D cho ma trận D − C1 A†1 B1 − C2 A†2 B2 xác đinh Lúc ∗ A1 A1 A∗1 A∗1 B1 r(D − C1 A†1 B1 − C2 A†2 B2 ) = A∗2 A2 A∗2 A∗2 B2 − r(A1 ) − r(A2 ) C1 A∗1 C2 A∗2 D Qua việc tìm hiểu nghịch đảo Moore-Penrose, nghịch đảo Drazin [Mục 2.2.1, 2.2.2] nhận thấy ma trận AA† , A† A, I − AA† , AA† − I, AAD ma trận lũy đẳng, từ nảy sinh việc tìm đẳng thức hạng liên quan đến ma trận lũy đẳng, sau đưa số đẳng thức cần thiết Bổ đề 3.5 (Xem [7]) Cho P, Q ∈ Cn×n ma trận lũy đẳng Lúc (i) r[Q, P ] = r(Q) + r[−QP + P ] = r(P ) + r[Q − P Q], P (ii) r[P − Q] = + r[P, Q] − r(P ) − r(Q) Q MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 11 (iii) Cho P ∈ C m×m , Q ∈ C n×n A ∈ C m×n PA r[P A − AQ] = r + r[AQ, P ] − r(P ) − r(Q) Q Bổ đề 3.6 Cho A ma trận vuông (i) R(A∗ AA∗ ) = R(A∗ ) (ii) R(Ak ) = R(Ak A∗ ) Bổ đề 3.7 Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cn×m N ∈ C m×m Lúc (i) r(A − ABA) = r(A) + r(In − BA) − n = r(A) + r(Im − BA) − m A Chứng minh Xét ma trận khối phép biến đổi ma trận In − BA A A A A A khối ta có r(A) + r(In − BA)=r =r =r In − BA In − BA BA In A A − ABA A A − ABA =r =r =r =r(A − ABA) + n BA In In In Tương tự ta chứng minh r(A − ABA) = r(A) + r(Im − BA) − m (ii) r(Im − N ) = r(Im + N ) + r(Im − N ) − m Im − N Chứng minh xét ma trận khối băng phép biến đổi ma Im + N Im − N Im − N trận khối ta có r(Im +N )+r(Im −N )=r =r I +N Im − N Im + N m −1 I −N 0 (Im − N ) =r m =r 2Im Im + N 2Im Im + N −1 (Im − N ) =r =r(Im − N ) + m 2Im 12 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG LIÊN QUAN ĐẾN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG 4.1 Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Moorepenrose Một ma trận vuông A gọi ma trận EP R(A) = R(A∗ ) Ma trận EP có nhiều tính chất, tính chất liên quan đến ma trận EP AA† = A† A, điều ngược lại AA† = A† A A ma trận EP (Xem [3]) Và thiết lập số đẳng thức hạng ma trận, để tìm điều kiên ma trận vuông A ma trận EP Mệnh đề 4.1 Cho A ∈ C m×m Lúc hạng AA† − A† A thỏa mãn đẳng thức sau: r[AA† − A† A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A) = 2r[A − A2 A† ] = 2r[A − A† A2 ], Chứng minh Ta có AA† A† A ma trận lũy đẳng nên theo [2, Bổ đề 3.5] ta có † AA † † + r[AA† , A† A] − r[A† A] − r[AA† ] r[AA − A A] = r † AA Theo [2.2.1] r(A† A) = r(AA† ) = r(A) (1) Theo [1, 2, 3, 2.2.1] ta có R(AA† ) = R(A) R(A† A) = R(A† ) = R(A∗ ) nên r[AA† , A† A] = r[A, A∗ ] ([2, Bổ đề 3.2]) (2) † AA AA† = r( † )∗ = r[(AA† )∗ , (A† A)∗ ] = r[AA† , A† A] = r[A, A∗ ] r † AA AA (3) Ta có Từ (1), (2), (3) suy r[AA† − A† A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A) Bây ta xét 2r[A, A∗ ] − 2r(A) theo [Mệnh đề 2.1] ta có 2r[A, A∗ ] − 2r(A) = r[(I − AA† )A∗ )] = r([(I − AA† A∗ )]∗ ) = r[A(I − AA† )∗ ] = r[A(I − AA† )] = r[A − A2 A† ] Bằng cách chứng minh tương tự ta chứng minh 2r[A, A∗ ] − 2r(A) = 2r(A − A† A2 ), [Mệnh đề 4.1] chứng minh Từ [Mệnh đề 4.1], ta có Hệ 4.2 Cho A ∈ C m×m , lúc (i) AA† = A† A ⇐⇒ r[A, A∗ ] = r(A) ⇐⇒ A = A2 A† ⇐⇒ A = A† A2 ⇐⇒ R(A) = R(A∗ ), nghĩa A ma trận EP MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 13 (ii) AA† −A† A không suy biến ⇐⇒ r[A, A∗ ] = 2r(A) = m ⇐⇒ R(A)⊕R(A∗ ) = C m Mệnh đề 4.3 Cho A ∈ C m×m k số nguyên, k ≥ Lúc Ak r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A) A k † † k Chứng minh Ta viết A† Ak = A† AAk−1 Ak A† = Ak−1 AA† lưu ý A† A AA† ma trận lũy đẳng theo [3, Bổ đề 3.5], ta có † k AA k † † k † k k † r(A A − A A ) = r(A A − A A ) = r + r[Ak A† , A† A] − r(A† A) − r(AA† ) AA† (4) k ∗ † ∗ k ∗ k ∗ ∗ k ∗ k−1 ∗ Bởi R((A ) (A ) ) ⊆ R((A ) ) R((A ) ) = R((A ) ) = R((A ) A ) = R((Ak−1 )∗ A∗ (A∗ )† A∗ ) = R((Ak )∗ (A∗ )† A∗ ) ⊆ R((Ak )∗ (A† )∗ ) nên R((Ak )∗ (A† )∗ ) = R((Ak )∗ ), mặt khác † k ∗ † k AA AA ) = r[(Ak )∗ (A† )∗ , AA† ] = r( r † AA† AA Vì k A A† Ak k ∗ † ∗ † k ∗ = r[(A ) (A ) , AA ] = r[(A ) , A] = r ∗ r † A AA (5) Bời R(Ak A† ) ⊆ R(Ak ), R(Ak ) = R(Ak−1 A) = R(Ak−1 AA† A) = R(Ak A† A) ⊆ R(Ak A† ) nên R(Ak A† ) = R(Ak ), mặt khác R(A† A) = R(A† ) = R(A∗ ), r[Ak A† , A† A] = r[Ak , A∗ ] (6) Từ (4), (5), (6) r(A† A) = r(AA† ) = r(A) = r(A† ) ta thu k A k † † k r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A) A Mệnh đề 4.4 Cho A ∈ C m×m k số nguyên k ≥ Lúc k A k † k † (i) r[A(A ) − (A ) )A] = r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ) A A (ii) r[A(Ak )† − (Ak )† )A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A), r(A) = r(A2 ) Chứng minh Theo [3, Bổ đề 3.4] áp dụng cho A1 = Ak , A2 = Ak , B1 = I, B2 = A, C1 = A, C2 = I, D = ta có : k ∗ k k ∗ (A ) A (A ) (Ak )∗ r[A(Ak )† − (Ak )† )A]= −(Ak )∗ Ak (Ak )∗ (Ak )∗ A − 2r(Ak ) A(Ak )∗ (Ak )∗ 14 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY phép biến đổi sơ cấp ma trận khối ta có k ∗ k k ∗ (A ) A (A ) (Ak )∗ r −(Ak )∗ Ak (Ak )∗ (Ak )∗ A A(Ak )∗ (Ak )∗ k ∗ k k ∗ k ∗ k−1 k ∗ (A ) A (A ) (A ) A (A ) (Ak )∗ 0 (Ak )∗ = 0 (Ak )∗ A= 0 (Ak )∗ A A(Ak )∗ (Ak )∗ A(Ak )∗ (Ak )∗ k A =r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ) Như ta có A A Ak r[A(A ) − (A ) )A] = r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ) A A k † k † (Chứng minh đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4]) Chứng minh đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4] Giả sử r(A) = r(A2 ) lúc ta có R(A) = R(Ak ) R(A∗ ) = R((A∗ )k ) với k ≥ Bây ta chứng minh r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ], để chứng minh điều ta chứng minh R(Ak ) = R(A) R(A∗ Ak ) = R(A∗ ), nhận xét ta có R(Ak ) = R(A) ta chứng minh R(A∗ Ak ) = R(A∗ ): Hiển nhiên R(A∗ Ak ) ⊆ R(A∗ ), giả sử y ∈ R(A∗ ) = R(A∗ A) tồn z ∈ C m cho y = A∗ Az mặt khác ta có R(Ak ) = R(A) nên tồn x ∈ C m cho Az = Ak x, y = A∗ Ak z, suy y ∈ R(A∗ Ak ), R(A∗ ) ⊆ R(A∗ Ak ), từ điều kết hợp với R(A∗ Ak ) ⊆ R(A∗ ), ta thu R(A∗ ) = R(A∗ Ak ), r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ] (7) Ak A Tiếp theo ta chứng minh r k ∗ =r ∗ A A A k k ∗ A A Ta có r k ∗ =r k ∗ =r[(Ak )∗ , A(Ak )∗ ] từ dựa kỹ thuật chứng minh A A A A phần chứng minh r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ] với lưu ý R(AA∗ ) = R(A) (theo [Hệ 4.2]) ta chứng minh r[(Ak )∗ , A(Ak )∗ ]=r[A, A∗ ], Ak r k ∗ = r[A, A∗ ] A A (8) Từ đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4], (7), (8) r(Ak ) = r(A) (như nhận xét trên) ta thu đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4] Mệnh đề 4.5 Cho A ∈ C m×m Lúc MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 15 0 A2 (i) r[A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A] = r 0 A∗ − 2r(A) A2 A∗ A (ii) Nếu r(A) = r(A2 ) luc r[A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A]=2r[A, A∗ ] − 2r(A) Chứng minh A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A = A2 A† + A† A2 − 2A nên theo [3, Bổ đề 3.4] ta có ∗ A AA∗ A∗ r(A2 A† + A† A2 − 2A)=r A∗ AA∗ A∗ A2 phép biến đổi sơ cấp A2 A∗ A∗ 2A ∗ ∗ ∗ ∗ A AA A A AA∗ A∗ ma trận khối ta có r A∗ AA∗ A∗ A2 =r −A∗ A3 A∗ −A∗ A2 A2 A∗ A∗ 2A A2 A∗ A∗ 2A ∗ 0 A =r 0 −A∗ A2 theo [2, Bổ đề 3.6] ta R(A2 A∗ ) = R(A2 ) nên −A2 A∗ A∗ 2A 0 A∗ 0 0 A∗ R = R từ suy r 0 −A∗ A2 −A∗ A2 =r −A2 A∗ 2A −A2 A∗ A∗ 2A −A2 A∗ −A2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 (−A ) 0 (−A ) 0 A =r( 0 A A =r −A∗ A2 )=r −(A2 )∗ A A 2A∗ 0 (−A2 )∗ cách lý luận từ R[(A2 )∗ A] = R(A2 )∗ ta r 0 A ∗ −(A ) A 2A∗ 0 (A2 )∗ 0 A2 =r 0 A =r 0 A∗ đẳng thức [1, Mệnh đề 4.5] (A2 )∗ A A∗ A2 A∗ A chứng minh 0 A2 Và R(A) = R(A2 ) R[(A∗ )2 ] = R(A∗ ) ta suy r 0 A∗ −A2 A∗ 2A A −(A2 )∗ A 2A∗ A2 A∗ A 2 0 A2 A ∗ =r 0 A =r ∗ + r[A2 , A∗ ] = 2r[A, A∗ ] từ đẳng thức [2, Mệnh đề 4.5] A A2 A∗ chứng minh Hệ 4.6 r(A) = r(A2 ) A giao hoán với AA† − A† A ⇐⇒ A EP 16 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ đẳng thức [1, Mệnh đề 4.5] 4.2 Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Drazin Ở phần ta thiết lập số đẳng thức liên quan đến nghịch đảo Drazin cách dựa mối liên hệ nghịch đảo Drazin nghịch đảo Moore-Penrose với đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Moore-Penrose Mệnh đề 4.7 Cho A ∈ C m×m với Ind(A) = k Lúc (i) r(Im + AD ) = r(Im + A) (ii) [Im − (AD )2 ] = r(Im − A2 ) Chứng minh Theo giả thiết Ind(A) = k nên R(Ak ) = R(A2k+1 ) R[(Ak )∗ ] = R[(A2k+1 )∗ ] Áp dụng [2, Bổ đề 3.4] ta có r(Im − AD ) = r[Im − Ak (A2k+1 )† Ak ] 2k+1 A Ak =r − r(A2k+1 ) Ak Im 2k+1 A − A2k =r = r(A2k − A2k+1 ) + m − r(Ak ) Im (9) Mặt khác, bằngphép biến đổi ma trận 2k khối ta có 2k 2k−1 2k A A A −A r =r Im − A Im − A 2k−1 A A2k−1 − A2k =r Im − A Im − A 2k−2 A A2k−2 − A2k A A − A2k =r = = r Im − A Im − A Im − A Im − A A A − A2k A A2k A2k − A2k+1 A2k − A2k+1 =r =r =r =r Im Im − A2k Im A2k Im A2k Im = m + r(A2k − A2k+1 ) Vì r(A2k ) + r(Im − A) = m + r(A2k − A2k+1 ) (10) Thay (10) vào (9) với lưu ý r(A2k ) = r(Ak ) ta kết đẳng thức (i) chứng minh tương tự ta được, r(Im − AD ) = r(Im − A) MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 17 Đối với đẳng thức (ii) ta áp dụng [3, Bổ đề 3.5], ta có r(Im −(AD )2 ) = r(Im +AD )+r(Im −AD )−m = r(Im +A)+r(Im −A)−m = r(Im −A2 ) Định lý 4.8 Cho A ∈ C m×n với Ind(A)=k Lúc (i) r(A − AAD ) = r(A − AD A) = r(A − A2 ) (ii) AAD = AD A ⇐⇒ A2 = A Chứng minh r(A − AAD ) = r[A − Ak+1 (A2k+1 )† Ak ] 2k+1 A Ak =r − r(A2k+1 ) k+1 A A 2k+1 A − A2k =r − r(A2k+1 ) k+1 A A 2k+1 A − A2k =r − r(A2k+1 ) A = r(A2k+1 − A2k ) + r(A) − r(Ak ) = r(A2k ) + r(Im − A) − m + r(A) − r(Ak ) = r(A − A2 ) Định lý 4.9 Cho A ∈ Cm×m với Ind(A) = k Lúc k A † D r(AA − AA ) = r ∗ − r(Ak ) A Chứng minh Hai ma trận AA† AAD hai ma trận lũy đẳng nên theo [2, Bổ đề AA† † D 3.5] nên ta có r(AA − AA ) = r + r[AA† , AAD ] − r(AA† ) − r(AAD ) AAD Mặt khác ∗ ∗ AA† AA† A † D ∗ D ∗ ∗ k r = r[AA , (AA ) ] = r[A, (A∗) A ] = r[A, (A ) ] = r k D = r D AA AA A (11) r[AA† , AAD ] = r[A, Ak ](vì R(AAD ) = R(Ak )) (12) Từ (11), (12) r(AA† ) = r(A), r(AAD ) = r(Ak ) ta suy điều cầ chứng minh 18 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY Định lý 4.10 Cho A ∈ Cm×n với Ind(A)=k Lúc k A r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A) A † D D † Chứng minh Theo [3, Bổ đề 3.4] phép biến đổi ma trận khối ta có ∗ A AA∗ A∗ AD r(A† AD − AD A† ) = r −A∗ AA∗ A∗ − 2r(A) A∗ AD A∗ ∗ A AA∗ A∗ AD AA∗ A∗ AD = r 0 A∗ − 2r(A) A∗ AD A∗ 0 A∗ AD = r 0 A∗ − 2r(A) A∗ AD A∗ ∗ D AA + r[A∗ , AD A∗ ] − 2r(A) =r A∗ Ta có AD = Ak (A2k+1 )† Ak R(Ak A∗ ) = R(Ak ) nên R(AD A∗ ) = R(AD ) = R(Ak ) k A † D D † r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A) A Đó đẳng thức cuối mà muốn giới thiệu đến người đọc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Thanh Hương, Khóa Luận Tốt Nghiệp-Biễu diễn Nghịch Đảo Drazin Qua Ma Trận Phụ Hợp [2] Nguyễn Tý, Đồ thị hai phần nghịch đảo Drazin ma trận, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Huế, (2010) [3] S.L Campbell and C.D Mayer, Jr., Generalized inverses of linear transformations, Corrected reprint of the 1979 original Dover Publications, Inc., New York, 1991 [4] C.D.Meyer, Jr., Generalized inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl Math 25(1973), 597-602 MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 19 [5] C.R Rao and S.K Mitra, Generalized Inverse of Matrices and Its Applications, Wiley, New York, 1971 [6] G.Marsaglia and G.P.H Styan, Equalities and inequalities for ranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra 2(1974), 269-292 [7] Yongge Tian, Rank Equalities Related to Generalized Inverse of Matrices and Their Applications LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG BÙI THỊ LY SV lớp Toán 3, khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ... BÙI THỊ LY MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG LIÊN QUAN ĐẾN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG 4.1 Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Moorepenrose Một ma trận vuông A gọi ma trận EP R(A) = R(A∗ ) Ma trận EP... bày số bổ đề hạng ma trận Cuối cùng, Mục chúng tơi trình bày số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng Lưu ý ma trận mà xét báo ma trận có phần tử trường C MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN... rõ nghịch đảo MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Mệnh đề 2.2 Cho A ∈ Cn×n ind(A)=k Lúc ln tồn ma trận P không suy biến cho C A=P P −1 , N C ma trận khơng suy biến N ma trận lũy linh k