Phân tích ma trận trên trường vô hạn thành các giao hoán tử của các ma trận lũy đơn chỉ số 2

Bài viết Phân tích ma trận trên trường vô hạn thành các giao hoán tử của các ma trận lũy đơn chỉ số 2 nghiên cứu việc chứng minh được rằng mọi ma trận không vô hướng trong nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường có vô hạn phần tử đều có thể phân tích được thành tích của nhiều nhất hai giao hoán tử của các ma trận lũy đơn chỉ số 2 .

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Vol 19, No (2022): 1387-1392 Tập 19, Số (2022): 1387-1392 ISSN: 2734-9918 Website: https://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.8.3518(2022) Bài báo nghiên cứu * PHÂN TÍCH MA TRẬN TRÊN TRƯỜNG VƠ HẠN THÀNH CÁC GIAO HỐN TỬ CỦA CÁC MA TRẬN LŨY ĐƠN CHỈ SỐ Lê Quang Trường Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Lê Quang Trường – Email: truong.hcmue@gmail.com Ngày nhận bài: 07-8-2022; ngày nhận sửa: 18-8-2022; ngày duyệt đăng: 26-8-2022 TÓM TẮT Cho F trường A ma trận nhóm tuyến tính đặc biệt trường F Khi F trường số phức  , Hou (2021) A phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Trong báo này, mở rộng kết trường hợp F trường có vơ hạn phần tử Cụ thể, chúng tơi chứng minh ma trận không vô hướng nhóm tuyến tính đặc biệt trường có vơ hạn phần tử phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Từ khóa: giao hốn tử; ma trận khơng vơ hướng; ma trận lũy đơn số ; nhóm tuyến tính đặc biệt; trường vơ hạn Giới thiệu Phân tích ma trận thành tích ma trận có tính chất đặc biệt (như ma trận lũy đơn ma trận đối hợp) chủ đề thú vị nhiều nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Cho F trường, GL n ( F ) SL n ( F ) nhóm tuyến tính tổng qt nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trường F Một ma trận lũy đơn số k ma I n ma trận đơn vị GL n ( F ) Khi F trường trận A thỏa mãn ( A − I n ) = k số phức  , Fong Sourour (1986) chứng minh ma trận nhóm SL n (  ) tích ba ma trận lũy đơn (khơng có điều kiện ràng buộc số) Trong báo (Wang & Wu, 1991) đưa kết mạnh ma trận nhóm SL n (  ) tích nhiều bốn ma trận lũy đơn số Cite this article as: Le Quang Truong (2022) Decomposing matrices on an infinite field into commutators of unipotent matrices of index Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(8), 1387-1392 1387 Lê Quang Trường Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Một ma trận A ∈ GL n ( F ) gọi ma trận đối hợp ma trận nghịch đảo A nó, tức là, A2 = I n Kí hiệu [ X , Y ] = XYX −1Y −1 giao hoán tử hai ma trận X Y Phân tích ma trận thành giao hoán tử ma trận có tính chất đặc biệt chủ đề dành nhiều quan tâm nhà toán học Trong (Zheng, 2002), tác giả chứng minh F trường số phức trường số thực, ma trận SL n ( F ) tích nhiều hai giao hoán tử ma trận đối hợp Một kết khác báo gần Tran, Truong, Nguyen Mai (2022) F trường chứa ba phần tử n số nguyên dương lớn , ma trận SL n ( F ) tích nhiều hai giao hốn tử ma trận đối hợp Trong báo (Hou, 2021), tác giả chứng minh F =  , phần tử nhóm SL n (  ) phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Trong báo này, mở rộng kết trường hợp F trường có vơ hạn phần tử Một ma trận A ∈ SL n ( F ) gọi ma trận vô hướng tồn phần tử λ ∈ F cho A = λI n , ngược lại, ta gọi A ma trận không vô hướng Chúng tơi chứng minh định lí sau Định lí 1.1 Cho F trường có vơ hạn phần tử n số nguyên dương lớn Khi đó, ma trận khơng vơ hướng nhóm tuyến tính đặc biệt SL n ( F ) phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Nếu F trường đặc số ma trận ma trận lũy đơn số ma trận đối hợp Do đó, theo (Tran et al., 2022) ta có F trường có đặc số ma trận nhóm SL n ( F ) phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Vì vậy, báo này, xem xét trường hợp F trường có vơ hạn phần tử có đặc số khác Trong phần lại báo này, ta quy ước trường F trường có vơ hạn phần tử có đặc số khác ; σ ( A ) kí hiệu tập hợp tất giá trị riêng ma trận A Kết Nhận xét 2.1 (Hou, 2021) Cho G nhóm ma trận k số nguyên dương Khi đó, A ∈ G tích k giao hốn tử ma trận lũy đơn số ma trận đồng dạng A tích k giao hoán tử ma trận lũy đơn số 1388 Tập 19, Số (2022): 1387-1392 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM A 0 Cho A ma trận cỡ m × m B ma trận cỡ n × n Kí hiệu A ⊕ B =   ma  B trận cỡ ( m + n ) × ( m + n ) Dễ thấy, với A , A′ ma trận cỡ m × m B , B′ ma trận cỡ n × n ta ln có:  AA′   A   A′   =   BB′   B   B′   Hơn det ( A ⊕ B )= det A ⋅ det B Nhận xét 2.2 (Hou, 2021) Cho F trường Khi đó, A ∈ SL m ( F ) tích k giao hốn tử ma trận lũy đơn số B ∈ SL n ( F ) tích l giao hốn tử ma trận lũy đơn số A ⊕ B ∈ SL m + n ( F ) tích max {k ; l} giao hoán tử ma trận lũy đơn số Bổ đề 2.3 Ma trận λ  , với λ ≠ −1 ,  −2  0 λ  giao hoán tử hai ma trận lũy đơn số Chứng minh Hiển nhiên, bổ đề với λ = Nếu λ ≠ ±1 , với a ∈ F , λ  λ a   ,  −2  −2  0 λ  0 λ  hai ma trận đồng dạng với Mặt khác, ta lại có −1 λ +1  λ +1   2λ  2λ −1 −1 −1   λ 2 ( λ − λ −1 )   λ − λ −1  λ  λ −1 λ −1   λ       =    , λ −2   − λ + −   −λ   − λ + −   −λ    λ −  λ − λ −  λ −  giao hoán tử hai ma trận λ +1   2λ  λ −1 2 λ −  A= B=  − λ + −   −λ λ −   λ − λ −1    Dễ thấy A B ma trận lũy đơn số Từ Nhận xét 2.1 suy ma trận λ  , với λ ≠ −1 ,  −2  0 λ  giao hoán tử hai ma trận lũy đơn số Chúng ta sử dụng định lí đưa Sourour (1986) để chứng minh cho kết 1389 Lê Quang Trường Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Định lí 2.4 (Sourour, 1986) Cho A ma trận vuông cấp n × n khả nghịch khơng vơ hướng trường F , b j c j (1 ≤ j ≤ n ) phần tử F cho n ∏b c j =1 j j = detA Khi đó, tồn ma trận B C cấp n × n với giá trị riêng b1 , b2 , , bn c1 , c2 , , cn cho A = BC Hơn nữa, B C chọn để B ma trận tam giác C ma trận tam giác Cuối cùng, kết thúc việc chứng minh Định lí 1.1 Chứng minh Định lí 1.1 Trường hợp 1: n số chẵn Ta đặt n = 2k với k ∈ * Vì trường F có vơ hạn phần tử nên ta chọn a12 , a1−2 , a2 , a2 −2 , , ak , ak −2 n phần tử đôi phân biệt trường F Từ Định lí 2.4 suy ta chọn ma trận B C cho A = BC σ= ( B ) σ= (C ) {a , a1−2 , a2 , a2 −2 , , ak , ak −2 } Do đó, B C chéo hóa đồng dạng với ma trận chéo  a12  0 0  0    0 0  a1−2 0  0 0 a2 0 0  a2 −2  0 0        ak      k   =  ⊕  i =1    ak −2  0 0    −2  Từ Bổ đề 2.3, Nhận xét 2.1 Nhận xét 2.2 suy B C giao hoán tử ma trận lũy đơn số Do đó, A phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Trường hợp 2: n số lẻ Ta đặt = n 2k + với k ∈ * Vì trường F có vơ hạn phần tử nên ta chọn 1, a12 , a1−2 , a2 , a2 −2 , , ak , ak −2 n phần tử đôi phân biệt F Từ Định lí 2.4 suy ta chọn ma trận B C cho A = BC σ= ( B ) σ= ( C ) {1, a12 , a1−2 , a2 , a2 −2 , , ak , ak −2 } Do đó, B C chéo hóa đồng dạng với ma trận chéo 1390 Tập 19, Số (2022): 1387-1392 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 1 0 a  0  0 0    0  0 0 0  0 a1−2 0  0 a2  0   0 0 −2 a2    0 0    ak  0      =       ak −2  k  a ⊕ [ ] ⊕ i i =1  0   −2  Từ Bổ đề 2.3, Nhận xét 2.1 Nhận xét 2.2 suy B C giao hoán tử ma trận lũy đơn số Do đó, A phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Kết luận Cho F trường có vơ hạn phần tử n số nguyên dương lớn Khi đó, chứng minh ma trận không vô hướng nhóm tuyến tính đặc biệt SL n ( F ) phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số Chúng tiếp tục nghiên cứu với trường hợp ma trận vô hướng trường hợp trường F có hữu hạn phần tử Trường hợp F trường hữu hạn lại liên quan tới nhiều tốn mở khác Ví dụ F trường hữu hạn có đặc số ma trận lũy đơn số ma trận đối hợp Như vậy, việc phân tích ma trận thành tích giao hốn tử ma trận lũy đơn số đồng nghĩa với việc phân tích ma trận thành tích giao hoán tử ma trận đối hợp Vẫn câu hỏi mở liệu ma trận SL n (  ) phân tích thành tích hai giao hốn tử ma trận đối hợp hay không? (xem Tran et al (2022)) Chúng tơi hi vọng có câu trả lời cho trường hợp  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Fong, C K., & Sourour, A R (1986) The group generated by unipotent operators Proceedings of the American Mathematical Society, 97(3), 453-458 Hou, X (2021) Decomposition of matrices into commutators of unipotent matrices of index The Electronic Journal of Linear Algebra, 37, 31-34 Sourour, A R (1986) A factorization theorem for matrices Linear and Multilinear Algebra, 19(2), 141-147 1391 Lê Quang Trường Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tran, N S., Truong, H D., Nguyen, T T H, & Mai, H B (2022) On decompositions of matrices into products of commutators of involutions The Electronic Journal of Linear Algebra, 123-130 Wang, J H., & Wu, P Y (1991) Products of unipotent matrices of index Linear Algebra and its Applications, 149, 111-123 Zheng, B (2002) Decomposition of matrices into commutators of involutions Linear algebra and its applications, 347(1-3), 1-7 DECOMPOSING MATRICES ON AN INFINITE FIELD INTO COMMUTATORS OF UNIPOTENT MATRICES OF INDEX Le Quang Truong University of Science, Vietnam National University Ho Chi Minh City, Vietnam Corresponding author: Le Quang Truong – Email: truong.hcmue@gmail.com Received: August 07, 2022; Revised: August 18, 2022; Accepted: August 26, 2022 ABSTRACT Let F be a field and A a matrix in the special linear group over F Hou (2021) has shown that if F is the field of complex numbers, A can be decomposed into a product of two commutators of unipotent matrices of index In this paper, we will extend the above result for the case when F is an infinite field Particularly, we will prove that every nonscalar matrix over an infinite field can be decomposed into a product of at most two commutators of unipotent matrices of index Keywords: commutator; infinite field; nonscalar matrix; special linear group; unipotent matrices of index 1392 ... F trường hữu hạn có đặc số ma trận lũy đơn số ma trận đối hợp Như vậy, việc phân tích ma trận thành tích giao hốn tử ma trận lũy đơn số đồng nghĩa với việc phân tích ma trận thành tích giao hoán. .. xét 2. 1 (Hou, 20 21) Cho G nhóm ma trận k số nguyên dương Khi đó, A ∈ G tích k giao hốn tử ma trận lũy đơn số ma trận đồng dạng A tích k giao hoán tử ma trận lũy đơn số 1388 Tập 19, Số (20 22) :... đặc số ma trận ma trận lũy đơn số ma trận đối hợp Do đó, theo (Tran et al., 20 22) ta có F trường có đặc số ma trận nhóm SL n ( F ) phân tích thành tích nhiều hai giao hoán tử ma trận lũy đơn số