Bài viết Một số tính chất của nhóm con giao hoán tử và nhóm thương chỉ ra được các đặc trưng cơ bản của các giao hoán tử và dạng mũ của nó. Bài viết cũng đã chỉ ra được rằng G/[G, G] là nhóm Abel và đồng thời G có số mũ 2 thì G là nhóm Abel.
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON GIAO HỐN TỬ VÀ NHĨM THƯƠNG Võ Văn Minh1, Trần Văn Sự2 Tóm tắt: Cho nhóm G, ký hiệu nhóm giao hốn tử nhóm G ' G = [G, G ] Trong báo này, chúng tơi cung cấp số tính chất nhóm ' giao hốn tử G với số tính chất nhóm thương G G ' Từ khóa: Nhóm giao hốn tử; nhóm Abel; p-nhóm hữu hạn Giới thiệu Nhóm giao hốn tử nhóm thương có nhiều tính chất thú vị nghiên cứu lý thuyết nhóm, nhóm có vai trị quan trọng việc biểu diễn p-nhóm, nghiên cứu tính chất nhóm lũy linh ứng dụng biểu diễn xích, nghiên cứu tính khớp tính chẻ xích chuẩn tắc, v.v… Để biểu diễn p-nhóm hữu hạn với nhóm giao hốn tử cyclic, việc nghiên cứu tính chất nhóm giao hốn tử nhóm thương cần thiết Năm 1977, R Brauer [3] giới thiệu nhóm xạ ảnh (hay nhóm phép chiếu) hữu hạn để biểu diễn p-nhóm cho trước, với p số nguyên tố Năm 1978, đồng tác giả R.S.Dark M.L Newell [5] đưa điều kiện cần đủ giao hoán tử để thiết lập nên nhóm Năm 1979, Y-Cheng [4] nghiên cứu nhóm xạ ảnh (hay nhóm phép chiếu) dựa nhóm giao hốn tử cyclic Mục đích chúng tơi báo xây dựng lại vài tính chất lý thuyết nhóm liên quan đến nhóm giao hốn tử cyclic, ký ' hiệu G = [G, G ] với G nhóm xác định trước nhóm thương G ' ' nhóm giao hốn tử G = [G, G ] , ký hiệu G [G , G ] hay G G Cho G nhóm với phép tốn nhân “.”, ký (G, ) Xét phần tử tùy ý x, y, z ∈ G Giao hoán tử x y định nghĩa [ x, y ] = x −1 y −1 xy Ta định nghĩa dạng mũ x y sau y x = −1 −1 y= x y, y x x −1 y x −1 Ở x , y ký hiệu thay cho dạng nghịch đảo phần tử x y tương ứng ký hiệu x y thay cho x.y Tiếp theo, ta định nghĩa giao hoán tử cho phần tử x, y, z ký hiệu [x, y, z] xác định sau: 1 ThS., Trường Đại học Quảng Nam 2 TS., Trường Đại học Quảng Nam 56 VÕ VĂN MINH - TRẦN VĂN SỰ [ x, y, z ] = [[x, y], z ] Ta đặt G' = 〈{[ x, y ] : x, y ∈ G} 〉 [G, G ] = Khi đó, nhóm G’ gọi nhóm sinh giao hoán tử [x, y] Chú ý: - Nếu xy = yx ta nói x y giao hoán với - Nếu X, Y tập G, ký hiệu [ X , Y ] nhóm sinh giao hoán tử [x, y], nghĩa , Y ] {[ x , y ] : x ∈ X , y ∈ Y } [X= Hiển nhiên, ta ln có kết sau: [ X ,Y ] ≤ G Đặc biệt, G ' := [G, G ] nhóm hốn tử G Gọi K, H nhóm G, ta ln có khẳng định sau đúng: ( i ) [ H , K ] = [ K , H ] ( ii ) [ H , K ] 〈 H , K 〉 ( iii ) K G, G K nhóm abel G ' ⊆ K Trong báo ta quy ước ánh xạ đồng f −1 , x −1 tương ứng ánh xạ ngược phần tử khả nghịch ánh xạ f phần tử x Tâm nhóm G ký hiệu Z ( G ) Quy ước “ ⊆ ” thay tập “ ⊂ ” thay tập thực sự, “ ” thay nhóm chuẩn tắc “ ≤ ” thay nhóm Các kết báo nghiên cứu dựa cấu trúc nhóm G với phép tốn mà ngắn gọn ta thường bỏ trống phép toán “.” thực Kết Đầu tiên chúng tơi cung cấp phép tốn nhân phép nghịch đảo giao hoán tử Một số áp dụng giao hoán tử đề xuất 2.1 Mệnh đề Cho G nhóm x, y ∈ G tùy ý Ta có (i) (ii) [ x, y ][ y,x] = [ y,x][ x, y ] = [ x,y]−1 = [ y,x] −1 y −1 x −1 x −1 y x y y y= y x x (iii) x= (iv) x y = x[x, y ], y x = y[ y, x] Chứng minh −1 −1 −1 −1 (i) Ta có [x, y ] = x y xy [ y,x] = y x yx suy −1 −1 = y xyy −1 x −1 yx x −1 y −1 xx −1 yx = x −1 y −1 yx = x −1 x = (1) [x, y ][y,x] x= 57 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON GIAO HỐN TỬ VÀ NHĨM THƯƠNG (2) −1 −1 −1 −1 [ y,x = ][x, y ] y −1 x −1 yxx= y xy y −1 x −= yy −1 xy y= x xy y −1 y = Từ (1) (2) suy (ii) Suy từ (i) −1 [x, y ][y,x]=[y,x][x, y ] = y x x (iii) Ta có= −1 −1 −1 −1 x= y xy [x, y ] và= y −1 y x y= x yx [y,x] Áp dụng (i) suy điều phải chứng minh (iv) Suy từ chứng minh (iii) định nghĩa nhóm giao hoán tử Điều phải chứng minh Tiếp theo, ta có phép tính nhân kiểu lũy thừa hai giao hoán tử 2.2 Mệnh đề Cho G nhóm [x, yz ] = [x,z ][x, y ]z y (ii) [x,z ] [y,z ] = [xy, z ] x, y,z ∈ G tùy ý Ta có (i) pr m m r (iii) [x, y ] =1 ⇒ [x, y ] =[x, y ] ⇔ m ≡ n (mod p ) với p số nguyên tố r > tùy ý (iv) G/[G, G] nhóm Abel Chứng minh (i) Ta có −1 −1 −1 −1 −1 −1 = [x,z ][x, y ]z x −1 z −1 xzz= x y xyz x= z y xyz x −1 ( = yz ) x ( yz ) [x, yz ] (ii) −1 Ta [ x,z ] y [ y,z ] = y -1 x -1 z -1 xzyy -1 z -1 yz = y -1 x -1 z -1 xyz = ( xy ) z -1 ( xy ) z = [ xy, z ] (iii) Chứng minh trường hợp tổng quát r [x, y mp ] = -1 với m ≥ có (3) Với m =1 (3) thỏa mãn theo giả thiết Giả sử (3) với số tự nhiên m = k ≥ m =r k p+r Xét r với ta r r r pr [ x, y ( k +1) p ] = [ x, y kp y p ] = [ x, y p ][ x, y kp ] y = 1.1y = có Vậy (3) với số tự nhiên m ≥ Tiếp theo chứng minh = [x, y m ] [x, y n ] m ≡ n (mod p r ) r r Ta có m ≡ n (mod p ) ⇔ ∃ s : m = sp + n Suy r (3)) (iv) Thật dễ dàng ta có 58 r r n m = , y sp +n ] [x,= y sp y n ] [x, y n ][x, = y sp ]y [x, y n ] [x, y ] [x= [G, G ] ≤ G (4) (do VÕ VĂN MINH - TRẦN VĂN SỰ b: Với a ∈[G, G ], với x ∈ G ta có= [a,x] ∈ [G, G ] x ] a= ab ∈ [G, G ] Suy ra: a[ a, x= [G, G ] G ⇒ ∃ G / [G, G ] Vậy Xét a, b ∈ G / [G,G ] Ta có ab= a b ; ba=b a Mặc khác, = [a, b] (ba )−1 (ab)∈[G,G ] Suy ab = ba , hay a b = b a , ∀ a, b ∈G, [G, G ] Vậy G / [G, G ] nhóm Aben Điều phải chứng minh Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp, ta có kết sau 2.3 Định lý Cho G nhóm [xi , y j ] = z ij , ∀ i, j ≥ Giả sử zx = xz, zy = yz Ta có i j ij (i) [x , y ] = z , ∀ i, j ≥ = ( yx)i z i ( i-1)/ y i x i , ∀ i ≥ (ii) Chứng minh y y xz )2 = xy x2 (i) Theo giả thiết ta có xz = x suy y(= j j Bằng quy nạp suy ( xz ) = x với j ≥ Vì z giao hốn với x nên với mọiy i j ≥ có x j = x j z ji ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy quy nạp ta tính ( x j ) = x j z ji với i ≥ Thay i j, j i có điều cần chứng minh = ( yx)i z i ( i-1)/ y i x i , ∀ i ≥ (ii) Chứng minh Với i = ta có xy = yx theo giả thiết Giả sử (*) với số nguyên dương i = k ( k ≥ 1) Xét với i := k + ta có yi (*) = ( yx)k +1 (= yx)k ( yx) z k (k −1)/ y k x k ( yx) = z k ( k −1)/ y k +1 y −1 x k +1 (x −1 yx) = z k ( k −1)/ y k +1 y −1 x k +1 yz −1 = z k ( k −1)/ y k +1 x k +1 z k = z k ( k +1)/ y k +1 x k +1 59 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON GIAO HỐN TỬ VÀ NHĨM THƯƠNG Vậy (*) với số tự nhiên x, y,z ∈ G Điều phải chứng minh Trường hợp nhóm giao hốn tử gồm phần tử, ta có kết phân tích giao hốn tử sau 2.4 Định lý Cho G nhóm, x, y,z ∈ G H, K, L tập G Ta có (i) [x, y −1 , z ]y [y, z −1 , x]z [z, x −1 , y ]x = = [H, K, L] 1,= [K, L, H ] [ L, H, K] = (ii) Nếu Chứng minh (i) Tính cặp ta có = [x, y , z ]y [y,z −1 , x]z [[= x, y −1 ], z ]y [[y, z −1 ], x]z [x −1 yxy −1 , z ]y [y −1 zyz −1 , z ]z −1 = x −1 y −1 xz −1 x −1 yxy −1 zyy −1 z −1 yx −1 y −1 zyz −1 xz = x −1 y −1 xz −1 x −1 zyz −1 xz Hơn nữa, x −1 [[= z, x −1 ], y ] x z −1 x −1 zy −1 z −1 xzx −1 yx [z, x , y ] = Suy [x, y , z ] y [y, z −1 , x] z [ z, x −1 , y ] x −1 −1 −1 x= y x z −1 x −1 zy z −1 x z z −1 x −1 zy −1 z −1 x zx −1 yx (ii) Với x ∈ H, y ∈ K, z ∈ L ta có [x= , y −1 , z ] [y= , z −1 , x] suy [= x, y −1 , z ] y [y= , z −1 , x] z Áp dụng (i) ta [z, x −1 , y ]x = ⇒ [z, x −1 , y ] = Vậy, ta kết luận giao hoán tử [L, H, K] = Điều phải chứng minh Cơng thức biểu diễn mũ giao hốn tử mô tả sau 2.5 Định lý Cho G p-nhóm hữu hạn, x, y ∈ G , f tự đẳng cấu G hai số nguyên m, n Giả sử n y -n n = [x, f ] [x= , y ], [y, f ] [y,x ] Khi x f = x x m n y , y f = yx m n y Chứng minh Với số tự nhiên n, ta chứng minh quy nạp theo m đẳng thức sau: 60 [x,x m x n ] = [x, f ] (**) VÕ VĂN MINH - TRẦN VĂN SỰ Hiển nhiên (**) với m = Giả sử (**) với số tự nhiên m = k, nghĩa Với m = k + , ta có [x,x m=k x n ] = [x, f ] k n m=k+1 n k = x ] [x,x.x = x n ]=[x,x k y n ][x,x]x y [x, f ] (áp dụng mệnh đề 2.2) [ x,x Suy x f = xx m n y n n y [y,x m y = ] [y, y m ][y,x m ]= [y, f ]y -n n y ⇒ [y, f= ] yx m n y Điều phải chứng minh Nhận xét m n m n −1 = Ánh xạ f x m y n : G → G xác định f xm y n ( g ) ( x y ) g ( x y ) ∀g ∈ G, tự đẳng cấu G Do đó, ánh xạ f tự đẳng cấu G với f = f xm y n Cuối cùng, để kết thúc báo cung cấp số tính chất nhóm thương sau 2.6 Mệnh đề Cho G nhóm x, y, z phần tử G, x giao hốn với z Ta có khẳng định sau đúng: (i) Nếu nhóm G có số mũ G Abel (ii) Nếu G / Z (G ) cyclic G / Z (G ) G Abel -m m (iii) Nếu [x, y ] = [z , y ] z x ∈ CG ( y ) với số nguyên m Chứng minh (i) Xét u,v ∈ G tùy ý ta có (uv)= u= v= Suy 2 uvuv = uuvv = Áp dụng luật giản ước phía ta vu = uv , hay theo định nghĩa, G nhóm Abel (ii) Giả sử w ∈ G, w ảnh sinh G / Z (G ) Khi với t ∈ G có dạng t = zw j với số nguyên j z ∈ Z (G ) Vậy hai phần tử G giao hoán với nhau, G = Z (G ) Do Z(G) nhóm Abel nên G nhóm Abel (iii) Dùng định nghĩa nhóm tâm hóa sử dụng cơng thức 61 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON GIAO HỐN TỬ VÀ NHĨM THƯƠNG [x −1 , y −1 ] = [z -m , t −1 ] , định nghĩa giao hoán tử ta suy điều phải chứng minh Kết luận Bài báo đặc trưng giao hoán tử dạng mũ Bài báo G/[G, G] nhóm Abel đồng thời G có số mũ G nhóm Abel Các kết báo làm tảng để nghiên cứu p-nhóm giao hốn tử cyclic ứng dụng việc biểu diễn p-nhóm, nghiên cứu tính chất nhóm lũy linh nghiên cứu biểu diễn xích, nghiên cứu tính khớp tính chẻ xích chuẩn tắc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1998, Đại số đại cương, NXB GD, Nhà Máy In Bộ Tổng tham mưu [2] Hồng Xn Sính, 2000, Đại số đại cương, NXB GD [3] R Brauer, 1977, On finite projective Groups, Contributions to Algebra: A Collection of Papers Dedicated To Ellis Kolchin, New York [4] Y-Cheng, 1979, On finite projective groups with commutator subgroups, Amer, Math, Soe, Notice, 79T-A229, ISS A-509, 196 [5] R.S.Dark and M.L Newell, 1978, On conditions for commutators to form a subgroup, J.London Math, Soe, (2) 17, 251-262 SOME PROPERTIES OF THE COMMUTATOR SUBGROUP AND THE QUOTIENT GROUP VO VAN MINH, TRAN VAN SU Quang Nam University Abstract: Given a group G, let us denote the commutator subgroup of a group G be G’:=[G, G] In this paper, we provide some basis properties of the commutator subgroup G’ as well as some properties of the quotient group G / G’ Keywords: Commutator subgroup; Abel group; Finite p-group 62 ... 59 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON GIAO HỐN TỬ VÀ NHÓM THƯƠNG Vậy (*) với số tự nhiên x, y,z ∈ G Điều phải chứng minh Trường hợp nhóm giao hốn tử gồm phần tử, ta có kết phân tích giao hoán tử. .. với số nguyên j z ∈ Z (G ) Vậy hai phần tử G giao hoán với nhau, G = Z (G ) Do Z(G) nhóm Abel nên G nhóm Abel (iii) Dùng định nghĩa nhóm tâm hóa sử dụng cơng thức 61 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CON. .. thúc báo chúng tơi cung cấp số tính chất nhóm thương sau 2.6 Mệnh đề Cho G nhóm x, y, z phần tử G, x giao hoán với z Ta có khẳng định sau đúng: (i) Nếu nhóm G có số mũ G Abel (ii) Nếu G / Z (G