Toán 10 phương trình đường tròn

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường trịn Phương trình đường tròn (C) tâm I  a; b  , bán kính R là:  x  a    y  b   R 2 Phương trình x  y  2ax  2by  c  với điều kiện a  b  c  , phương trình đường trịn tâm I  a; b  bán kính R  a  b  c Phương trình tiếp tuyến Cho đường trịn (C):  x  a    y  b   R 2 Tiếp tuyến  (C) điểm M  x ; y  đường thẳng qua M vng góc với IM Nên có phương trình là:  :  x  a  x  a    y  a  y  a   R Chú ý:  : ax  by  c  tiếp tuyến (C)  d  I,    R PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn Phương pháp giải Cách 1: Đưa phương trình dạng: (C): x  y  2ax  2by  c  (1) Xét dấu biểu thức P  a  b  c Nếu P  (1) phương trình đường trịn (C) có tâm I  a; b  bán kính R  a  b  c Nếu P  (1) khơng phải phương trình đường trịn Cách 2: Đưa phương trình dạng:  x  a    y  b   P (2) 2 Nếu P > (2) phương trình đường trịn có tâm I  a; b  bán kính R  P Nếu P  (2) khơng phải phương trình đường trịn Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường trịn có dạng  x  3   y    Tìm tâm bán kính? A I  3; 2  ; R  B I  3;  ; R  3 C I  3; 2  ; R  D I  3;  ; R  Ví dụ 2: Cho đường trịn có phương trình x  y  6x  10y   Tìm tọa độ tâm đường tròn A I  3;5  B I  3; 5  C I  5;3 D I  5; 3 HDedu - Page 36 Ví dụ 3: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn A x  y  2x  4y   B 2x  2y  8x  4y   C x  y  6x  4y  13  D 5x  4y  x  4y   Ví dụ 4: Cho đường cong  Cm  : x  y  2mx   m   y   m  Tìm điều kiện để phương trình phương trình đường trịn A m  m  B  m  m  C  m  D m < Bài tập tự luyện Câu Cho đường tròn có dạng  x     y  3  36 Tìm bán kính đường trịn A 2 B Câu Tìm tâm đường tròn x  y  x  2y   1 A I  0;   2 B I 1;0  C D 59  C I 1; 1 1  D I  ; 1 2  Câu Cho  C  : x  y  2x  4y  m  Tìm m để (C) có bán kính R = A m = B m = C m  3 D m  4 HDedu - Page 37 Dạng 2: Viết phương trình đường trịn Phương pháp giải Cách 1: Tìm tọa độ tâm I  a; b  đường trịn (C) Tìm bán kính R đường trịn (C) Viết phương trình (C) theo dạng  x  a    y  b   R 2 Cách 2: Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x  y  2ax  2by  c  Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a,b,c Giải hệ để tìm a,b,c từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: A thuộc đường tròn (C)  IA  R (C) tiếp xúc với đường thẳng  A  IA  d  I;    R (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1   d  I; 1   d  I;    R Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình đường trịn có tâm I 1; 5  qua O  0;0  A  x  1   y    26 B  x  1   y    26 C  x  1   y    26 D  x  1   y    26 2 2 2 2 Ví dụ 2: Lập phương trình đường trịn có đường kính AB với A 1;1 B  7;5  A  C  :  x     y  3  13 C  C  :  x     y  3  14 B  C  :  x     y  3  14 D  C  :  x     y  3  13 2 2 2 2 Ví dụ 3: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm A 1;1 , B  1;  , C  0; 1 A x  y  x  y   C x  y  x  2y   B x  y  x  y   D 2x  2y  x  y   Ví dụ 4: Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  1;  tiếp xúc với đường thẳng d : x  2y   A  C  :  x  1   y    C  C  :  x  1   y    B  C  :  x  1   y    D  C  :  x  1   y    2 2 2 2 HDedu - Page 38 Ví dụ 5: Phương trình đường trịn (C) qua A 1;1 , B  3;3 có tâm I thuộc trục Ox có dạng: A x   y    18 B x  y  10  D  x    y  10 C 2x  2y  Ví dụ 6: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm đường thẳng d : 4x  3y   tiếp xúc với hai đường 1 : x  y   ,  : 7x  y   A  x     y    18 2 B  x     y    18 2 C  x     y    18 ,  x     y    18 2 2 D  x     y    ,  x     y    18 2 2 Bài tập tự luyện Câu Lập phương trình đường trịn (C) có tâm gốc tọa độ bán kính R = A x  y   B x  y  C  x  3   y  1  D  x  3   y  1  2 2 Câu Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;1 khoảng cách từ tâm đến điểm thuộc đường tròn A  x     y  1  25 C  x     y  1  B  x     y  1  D  x     y  1  25 2 2 2 2 Câu Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm A 1;  , B  1;0  , C  2;1 A x  y  x  y   C x  y  x  y   B x  y  2x  3y   D x  2y  x  y   Câu Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;3 tiếp xúc với Ox A  C  :  x     y  3  C  C  :  x     y  3  B  C  :  x     y  3  D  C  :  x     y  3  2 2 2 2 HDedu - Page 39 Dạng 3: Vị trí tương đối điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn Phương pháp giải  Vị trí tương đối điểm M đường trịn (C) Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính IM Nếu IM < R suy M nằm đường tròn Nếu IM = R suy M thuộc đường tròn Nếu IM > R suy M nằm ngồi đường trịn  Vị trí tương đối đường thẳng  đường trịn (C) Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính d  I;   Nếu d  I;   < R suy  cắt đường tròn hai điểm phân biệt Nếu d  I;   = R suy  tiếp xúc với đường tròn Nếu d  I;   > R suy  không cắt đường tròn Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng  đường tròn (C) số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm nghiệm hệ  Vị trí tương đối đường tròn (C) đường tròn  C  Xác định tâm I, bán kính R đường trịn (C) tâm I , bán kính R  đường trịn  C  tính II , R  R , R  R Nếu II > R  R  suy hai đường tròn khơng cắt ngồi Nếu II = R  R  suy hai đường tròn tiếp xúc với Nếu II < R  R  suy hai đường trịn khơng cắt lồng vào Nếu II = R  R  suy hai đường tròn tiếp xúc với Nếu R  R  < II < R  R  suy hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng (C) đường tròn  C  số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm nghiệm hệ Ví dụ minh họa  đường thẳng d : mx  y  2m   , m   Với giá trị tham số m đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x  y  2x  A m   ;1   3;   B m  1;3  11  C m   2;   2  11  D m   ;    ;   2  HDedu - Page 40  C1  : x  y  2x  4y   Ví dụ 2: Cho hai đường tròn  2  C2  : x  y  2x  2y  14  Xác định vị trí tương đối hai đường tròn? A Cắt B Đồng tâm C Đựng D Trùng Ví dụ 3: Cho hai đường tròn  C  : x  y  2x  2my  m   C  :  x     y  1  m Tìm m 2 để (C)  C  tiếp xúc B m  3 A m = C 1  m  D m  Ví dụ 4: Cho (C): x  y  4x  8y  16  (d): y  x  m Tìm m để (d) cắt (C) điểm A B cho OAB tam giác A m   B m   C m  D m < Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x  y  6x  2y   Viết phương trình đường thẳng d qua M  0;  cắt đường trịn (C) theo dây cung có độ dài A d1 : 2x  y   0, d : x  2y   B d1 : 2x  y   0, d : x  2y   C d1 : 2x  y   0, d : x  2y   D d1 : 2x  y   0, d : x  2y   Bài tập tự luyện Câu Cho  C1  :  x     y  1  16  C2  : x  y  6x  2y   Hai đường tròn trên: A Tiếp xúc B Tiếp xúc C Đựng D Ngoài Câu Cho  C  :  x  1   y  3     : y  mx  Tìm m để  cắt (C) A B cho IAB 2 A m  2  B m  C m  2  D m  1 HDedu - Page 41 Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến với đường tròn Phương pháp giải Cho đường tròn (C) tâm I  a; b  , bán kính R  Nếu biết tiếp điểm M  x ; y  tiếp tuyến qua M nhận vectơ IM  x  a; y  b  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x  a  x  x    y  b  y  y   Nếu khơng biết tiếp điểm dùng diều kiện: Đường thẳng  tiếp xúc đường tròn (C) d  I;    R để xác định tiếp tuyến Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm M  3;5  biết đường tròn (C) có phương trình là:  x  1   y  3  2 A x  2y  B x   13  C x  2y   D x  y  13  Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x  y  4x  4y   , điểm M  4;6  Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua M A 3x  4y  12  B 3x  4y   C 3x  4y  12  D 3x  4y   Ví dụ 3: Cho đường trịn (C) có phương trình: x  y  4x  8y  18  Tổng hệ số góc hai phương trình tiếp tuyến (C) qua A 1;1 là: A 10 B C 12 D Ví dụ 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x  y  8x  12  điểm E  4;1 Tìm tọa độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB A M 1;  B M  0;  C M  4;  D M  0;  Bài tập tự luyện Câu Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm M  3;  biết đường trịn (C) có phương trình là:  x  1   y    A 2x  2y   B x  y  14  C 2x  y  14  D x  y   Câu Cho đường trịn (C) có phương trình: x  y  4x  8y  18  Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A 1; 3 A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   HDedu - Page 42 PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Tìm độ dài bán kính đường trịn 16x  16y  16x  8y  11  A B C D Câu Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;0  R = A  x     y    B  x    y  2 C  x    y  D  x    y  2 Câu Viết phương trình đường trịn (C) có đường kính AB với A 1;1 , B  5;3 A  x  3   y    B  x  3   y    C  x  3   y    D  x  3   y    2 2 2 2 Câu Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  Cm  có phương trình x  y  2mx   m  1 y  12  Với giá trị m bán kính đường trịn nhỏ nhất? A m = C m   B m = 1 D m  Câu Trong mp Oxy, cho đường thẳng d1 : 2x  y   , d : 2x  y   Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 d 1  A  x    y  2 20  1  B  x    y  2 20  2 1 1   C  x    y   D  x    y  4 20 4 20   Câu Cho (C): x  y  8x  6y  Viết phương trình tiếp tuyến (C) O  0;0  thuộc (C) A 2x  3y  B 2x  3y  C 4x  3y  D 4x  3y  Câu Cho  Cm  : x  y  2mx   m  1 x  m   d : x  my   Tìm m để d qua tâm đường tròn A m = B m   m 1 C m  D m = Câu Cho  C  : x  y  4x  4y   A  6;  Tìm khẳng định A A nằm (C) B A nằm (C) C A trùng với tâm (C) D AI = 2R Câu Cho  C1  : x  y  2x  4y   0;  C2  : x  y  6x  2y   Hai đường tròn trên: A Tiếp xúc B Tiếp xúc C Đựng D Ngoài HDedu - Page 43 2 m2  m3  Câu 10 Cho đường tròn (C):  x   y  1 m 1   m 1   Tìm tập hợp tâm I (C) A Tập hợp đường thẳng 2x  3y  B Tập hợp đường thẳng 3x  2y  C Tập hợp đường thẳng x  y   D Tập hợp đường tròn  C  : x  y  3x  2y   Câu 11 Cho đường tròn  C  : x  y  2x  4y   Tìm trục Oy điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến (C) A M  0;  B M  0; 2  C M  0; 3 D M  0;3 Câu 12 Cho đường tròn  C  : x  y  4x  2y   Hãy viết phương trình tiếp tuyến  tiếp xúc với đường tròn điểm A  1;1 A 3x  2y   B 3x  2y   C 3x  2y   D 3x  2y   Câu 13 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C  : x  y  2x  6y   điểm M  2;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A,B cho M trung điểm AB A d : x  y   B d : x  y   C d : x  y   D d : x  y   Câu 14 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x     y  1  20 điểm M  3; 1 2 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) điểm phân biệt A, B cho diện tích IAB A 4x  3y   B 4x  3y   C 4x  3y   D 4x  3y   HDedu - Page 44 ...  I;   = R suy  tiếp xúc với đường tròn Nếu d  I;   > R suy  không cắt đường tròn Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng  đường tròn (C) số giao điểm chúng Tọa... đối điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn Phương pháp giải  Vị trí tương đối điểm M đường trịn (C) Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính IM Nếu IM < R suy M nằm đường tròn Nếu... để phương trình phương trình đường trịn A m  m  B  m  m  C  m  D m < Bài tập tự luyện Câu Cho đường tròn có dạng  x     y  3  36 Tìm bán kính đường trịn A 2 B Câu Tìm tâm đường