KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ. LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRỊ ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠNG CỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRỊ ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠNG CỤ Chun ngành : Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu độc lập hướng dẫn giáo viên hướng dẫn, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực TP Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên LỜI CẢM ƠN Người Tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành Thầy Khanh Tôi xin phép gọi Thầy Thầy Khanh thay TS Trần Lương Cơng Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy người hướng dẫn tận tình giúp đỡ tơi nhiều, ln theo sát để Tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Nguyễn Thị Nga, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương nhiệt tình giảng dạy cho chúng tơi kiến thức didactic tốn, cung cấp cho công cụ hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu em học sinh trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi thực thực nghiệm luận văn Cuối cùng, Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất bạn khóa, người tơi chia sẻ khó khăn suốt khóa học TP Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRỊ ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠNG CỤ CỦA TẬP HỢP 1.1 Sự hình thành phát triển lý thuyết tập hợp Cantor 1.1.1 Lực lượng tập vô hạn 1.1.2 Giả thuyết continuum 1.1.3 Các nghịch lý lý thuyết tập hợp Cantor 1.2 Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell 12 1.2.1 Hệ tiên đề lý thuyết Zermelo-Fraenkel 12 1.2.2 Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel lý thuyết lớp 13 1.2.3 Lý thuyết kiểu 14 1.3 Lý thuyết tập hợp toán học đại 15 1.3.1 Lý thuyết tập hợp chuyên luận Bourbaki 15 1.3.2 Vai trò lý thuyết tập hợp toán học đại 16 Kết luận chương 17 Chương VAI TRỊ ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠNG CỤ CỦA TẬP HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 18 2.1 Phân tích sách Đại số 10 18 2.1.1 Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa 18 2.1.2 Tập hợp - đối tượng dạy học chương trình Tốn THPT 19 2.2 Khảo sát chương trình Tốn THPT ban hành 29 2.2.1 Hàm số đồ thị 30 2.2.2 Phương trình bất phương trình_hệ phương trình hệ bất phương trình 33 2.2.3 Đại số tổ hợp 34 2.2.4 Xác suất thống kê 36 2.2.5 Hình học 39 Kết luận chương 41 Chương ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG 43 3.1 Độ lệch chuyển hóa sư phạm khái niệm tập hợp 43 3.1.1 Kết chương 43 3.1.2 Kết chương 44 3.1.3 Chuyển hóa sư phạm khái niệm tập hợp nối khớp hai vai trò đối tượng công cụ tập hợp 44 3.2 Nghiên cứu thực nghiệm 46 3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 46 3.2.2 Hình thức thực nghiệm 46 3.2.3 Phân tích tiên nghiệm phân tích hậu nghiệm tốn thực nghiệm 46 Kết luận chương 66 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông KNV : Kiểu nhiệm vụ Tr : Trang Nxb : Nhà xuất PT : Phương trình HPT : Hệ phương trình BPT : Bất phương trình HBPT : Hệ bất phương trình DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1 27 Bảng 2.2 Thống kê tập hai kiểu nhiệm vụ T1 T2 28 Bảng 2.3 Thống kê tập hai kiểu nhiệm vụ T8 T9 36 Bảng 2.4 Ngôn ngữ biến cố 37 Bảng 3.1 Bảng chọn giá trị biến Bài 51 Bảng 3.2 Kết số lượng học sinh chọn chiến lược giải 52 Bảng 3.3 Bảng lựa chọn giá trị biến dạy học 54 Bảng 3.4 Số lượng học sinh chọn theo bạn giải thích thường gặp 56 Bảng 3.5 Bảng chọn giá trị biến Bài 60 Bảng 3.6 Thống kê số lượng học sinh chọn chiến lược giải 62 MỞ ĐẦU Ghi nhận câu hỏi ban đầu Tập hợp đưa vào giảng dạy trung học phổ thông từ lớp 10 Hơn nữa, tập hợp lại giới thiệu chương I sách giáo khoa Đại số 10 Bên cạnh đó, tập hợp sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hốn vị; Quỹ tích… Các phép tốn tập hợp lại vận dụng triệt để việc giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm” [5, tr.10] Từ ghi nhận dẫn đến câu hỏi sau: Sự nối khớp vai trò đối tượng vai trị cơng cụ tập hợp thể sách giáo khoa thực tế giảng dạy trung học phổ thông? Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu đặt phạm vi Didactic toán, mà cụ thể thuyết nhân học hợp đồng Didactic Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tơi hình thành mối quan hệ thể chế tri thức tập hợp, bước chuyển hóa sư phạm việc dạy học tập hợp tổ chức tốn học (praxéologie) trình bày chương trình tốn trung học phổ thơng Qua phân tích thể chế, chúng tơi tìm ràng buộc qui tắc hợp đồng tồn chương trình Mục đích nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu luận văn nhằm mục đích là: nối khớp hai vai trò đối tượng công cụ tập hợp sách giáo khoa thực tế giảng dạy bậc trung học phổ thông Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu đặt hai câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học tri thức cần dạy lệch nào? Q2: Đối với kiểu nhiệm vụ có can thiệp tập hợp, sách giáo khoa cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa? Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: Mở đầu Chương 1: Khảo sát khoa học luận vai trị đối tượng cơng cụ tập hợp Chương 2: Vai trị đối tượng cơng cụ tập hợp sách giáo khoa toán THPT Chương 3: Đối chiếu thực nghiệm kiểm chứng Kết luận Phương pháp nghiên cứu Toàn nghiên cứu thực theo sơ đồ sau: Khảo sát khoa học luận Trả lời câu hỏi Phát biểu giả thuyết Phân tích thể chế Thực nghiệm Giải thích sơ đồ: Chúng thực khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích thể chế chương trình tốn trung học phổ thơng Từ việc phân tích đối chiếu giúp trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt phát biểu giả thuyết nghiên cứu Cuối thực nghiệm giúp bổ sung trả lời câu hỏi, việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu Phương hướng thực Dựa vào phương pháp nghiên cứu, định hướng nội dung chương sau: Chương 1: Khảo sát khoa học luận vai trị đối tượng cơng cụ tập hợp - Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp Cantor xuất ảnh hưởng nghịch lý đến lý thuyết - Việc giải nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp - Những lĩnh vực tốn học có diện lý thuyết tập hợp Chương 2: Vai trò đối tượng công cụ tập hợp sách giáo khoa tốn THPT - Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp - Việc xây dựng khái niệm tập hợp sách giáo khoa, qui ước để tránh nghịch lý - Những khái niệm xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp - Những kiểu nhiệm vụ giải nhờ khái niệm tập hợp Chương 3: Đối chiếu thực nghiệm kiểm chứng - Trả lời câu hỏi: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học tri thức cần dạy lệch nào? Q2: Đối với kiểu nhiệm vụ có can thiệp tập hợp, sách giáo khoa cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa? - Thực nghiệm PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRỊ ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠNG CỤ CỦA TẬP HỢP Chương trình bày kết khảo sát khoa học luận vai trị đối tượng cơng cụ tập hợp dựa tài liệu lịch sử toán học chuyên luận toán học Kết thu chương chương đối chiếu chương để xác định độ lệch chuyển hóa sư phạm khái niệm tập hợp nối khớp hai vai trò đối tượng công cụ tập hợp Nghiên cứu chương định hướng hai nhóm câu hỏi đây: Lý thuyết tập hợp đời nhằm giải vấn đề gì? Quá trình hình thành phát triển lý thuyết tập hợp gặp chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà toán học giải chướng ngại cách nào? Ngày nay, lý thuyết tập hợp sử dụng lĩnh vực tốn học ? Vai trị lý thuyết tập hợp lĩnh vực tốn học đó? Các tài liệu tham chiếu chương là: - Bourbaki N (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris - Dahan-Dalmendico A., Peiffer J (1986), Une histoire des mathématiques, routes et dédales, Éditions du Seuil - Phan Đình Diệu (2006), Logich tốn & sở toán học, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội - Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, giảng dành cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu hành nội 1.1 Sự hình thành phát triển lý thuyết tập hợp Cantor Theo mục từ Set and set theory trang web Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics 1, tên gọi naive set theory đời từ năm 1940 dùng phổ biến nước nói tiếng Anh Tên gọi tương đương tiếng Pháp (théorie naïve des ensembles) xuất sớm lời nói đầu Théorie axiomatique des ensembles Jean-Louis Krivine, xuất năm 1972 Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ lý thuyết tập hợp xây dựng phát triển Cantor, không sử dụng tiên đề tường minh Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) Naive Set Theory xuất năm 1960, xem lý thuyết tập hợp có trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel ngây thơ Trong luận văn này, tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ nội hàm chưa nhà tốn học thống 1.1.1 Lực lượng tập vô hạn: động lực đời lý thuyết tập hợp Trước Cantor, tập hợp quan niệm bản, sử dụng ngầm ẩn từ thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa 2) Trong Cơ bản, 9, mệnh đề 20, Euclide phát biểu chứng minh mệnh đề tồn vô hạn số nguyên tố Tuy nhiên, tập hữu hạn nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng tập vơ hạn lại đề tài nhiều tranh luận triết học Mặc dù thành nhiều hệ nhà nghiên cứu, lịch sử toán học xem Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918) người đặt móng cho lý thuyết tập hợp từ năm 1874 Việc nghiên cứu hội tụ chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor đến khái niệm tập dẫn xuất tập số Cho X tập số thực Tập dẫn xuất X’ X tập có từ X sau loại điểm cô lập Chẳng hạn, X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} điểm 1/n lập X nên X’ = {0} Ta xét tập dẫn xuất X’ - ký hiệu X” - thu X” = ∅ Địa http://jeff560.tripod.com/s.html, truy cập ngày 31/3/2014 Chúng dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà không dùng trước Công nguyên, sau Công nguyên sống Cơng ngun Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 Saint-Péterbourg (Nga), ngày 6-1-1918 Halle (Đức), quốc tịch Đức Lặp lại tiến trình này, ta xây dựng tập X số thực lấy dẫn xuất vô hạn lần Nếu ký hiệu X(n) tập dẫn xuất cấp n X X(n) tạo thành dãy tập giảm (theo quan hệ bao hàm) Tập dẫn xuất cấp vô hạn X - ký hiệu X(∞) - giao tất X(n) Cantor phát tồn tập số thực X mà X(∞) chứa điểm lập, cịn lấy dẫn xuất Có tập lấy dẫn xuất cấp ∞ + 1, ∞ + 2, , cấp ∞ + ∞ Dường tồn phép tính số học vô hạn Dựa vào điều này, Cantor xây dựng phát triển lý thuyết tập hợp […] số vô hạn ký hiệu chữ Hébreu ℵ (alep) có số Bản số vơ hạn nhỏ - số tập N số tự nhiên - ký hiệu ℵ (alep không) Bản số nhỏ lớn ℵ ký hiệu ℵ Một cách tổng quát, số viết dạng ℵ α với α số thứ tự Năm 1874, Cantor chứng minh card N = ℵ < 2ℵ = card R [10, tr.2] Việc Cantor chứng minh tập số thực có “nhiều” phần tử tập số tự nhiên cho thấy “số phần tử” (tức số) tập vơ hạn khơng hồn toàn giống Điều đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn Riêng tập vô hạn lại ông chia thành tập đếm tập khơng đếm Ơng cịn chứng minh tập số vô hạn tập vô hạn, nghĩa có vơ hạn tập vơ hạn Kết giúp rút nhận xét sau: - Quan niệm tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn xuất ngầm ẩn từ thời cổ đại Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đối tượng cận tốn học (objets paramathématiques) có tên gọi chưa có định nghĩa - Việc nghiên cứu hội tụ chuỗi lượng giác đưa Cantor đến toán khảo sát, so sánh phân loại lực lượng tập vô hạn mà lời giải trở thành phần quan trọng lý thuyết tập hợp Cantor Theo Cantor, tập E gọi hữu hạn tồn số tự nhiên n song ánh từ E đến tập số tự nhiên nhỏ n Đặc biệt, n = 0, E tập rỗng Số n gọi số E, ký hiệu n = E (ký hiệu Cantor) n = |E| n = card E Tập không hữu hạn gọi tập vô hạn Cantor định nghĩa tập đếm tập có lực lượng với N, tập khơng đếm tập vô hạn không lực lượng với N 7 - Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất Cours d'Analyse ơng định nghĩa khái niệm giới hạn dãy Cauchy - hai khái niệm cho phép định nghĩa số thực giới hạn dãy số hữu tỷ Năm 1872, Richard Dedekind (1831-1916) công bố báo Vorlesungen über Zahlentheorie (Tính liên tục số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ nhát cắt Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng tập vô hạn dựa tính chất số thực giới hạn Như vậy, trình xây dựng lý thuyết tập hợp Cantor gắn bó mật thiết với kiến thức lý thuyết số giải tích 1.1.2 Giả thuyết continuum Cantor thu kết card N = ℵ < card R Vì ℵ số nhỏ lớn ℵ nên ông có hệ thức ℵ < ℵ ≤ card R Hệ thức đưa ông đến suy xét câu hỏi đây: - Lực lượng đếm nhỏ lực lượng continuum - Giữa ℵ ℵ khơng có số khác ℵ số nhỏ lớn ℵ0 - Giữa ℵ card R có ℵ vấn đề ℵ < card R hay ℵ = card R? Nếu ℵ < card R, ta có ℵ < ℵ < card R, nghĩa tồn lực lượng lực lượng đếm lực lượng continuum Nếu ℵ = card R, ta có ℵ < ℵ = card R, nghĩa khơng có lực lượng lực lượng đếm lực lượng continuum Để trả lời câu hỏi đặt, Cantor đưa giả thuyết continuum không chứng minh hay bác bỏ Giả thuyết continuum khẳng định ℵ = 2ℵ , nghĩa khơng có tập hợp có lực lượng lớn lực lượng tập N nhỏ lực lượng tập R Nói cách khác, chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục bước nhảy Đây nguồn gốc tên gọi continuum [ ] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ tổ chức Paris năm 1900, Hilbert liệt kê 23 toán lớn mà kỷ 19 để lại cho kỷ 20, giả thuyết continuum đứng đầu danh sách 8 Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel (1906-1978) chứng minh giả thuyết continuum độc lập hệ tiên đề ZFC nên bác bỏ giả thuyết continuum lý thuyết ZFC Năm 1963, Paul Joseph Cohen (1934-2007) sử dụng phương pháp forcing để chứng minh chứng minh giả thuyết continuum từ hệ tiên đề ZFC [10, tr.3] Cơng trình Gưdel Cohen không chứng minh hay bác bỏ giả thuyết continuum nên giả thuyết toán lớn cần giải kỷ 21 Các nhà tốn học giới tiếp tục tìm tiên đề bổ sung vào hệ tiên đề ZFC xây dựng hệ tiên đề cho phép khẳng định bác bỏ giả thuyết continuum 1.1.3 Các nghịch lý lý thuyết tập hợp Cantor Theo Từ điển tốn học thơng dụng GS Ngơ Thúc Lanh chủ biên (2000), thuật ngữ nghịch lý dùng để kết trái với trực giác thông thường (nghịch lý loại 1) lập luận nhìn dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2) Phần đề cập đến số nghịch lý loại tiêu biểu (gọi tắt nghịch lý) lý thuyết tập hợp Cantor Toán học đại chia nghịch lý lý thuyết tập hợp Cantor thành hai nhóm lớn: nghịch lý liên quan đến ngơn ngữ chưa hình thức hóa nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng tập 1.1.3.1 Các nghịch lý liên quan đến ngơn ngữ chưa hình thức hóa Trong số nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa hình thức hóa, Kurt Gưdel nhà tốn học lôgic học sinh ngày 28-4-1906 Áo-Hung, nhập quốc tịch Tiệp Khắc năm 1918, quốc tịch Áo năm 1929, quốc tịch Đức năm 1938 quốc tịch Mỹ năm 1948, ngày 14-1-1978 Ông thường xem người Áo Ngoài việc xây dựng lý thuyết hàm đệ quy chứng minh tính đầy đủ phép tốn vị từ bậc nhất, Gưdel cịn chứng minh tính chặt chẽ tương đối giả thuyết continuum, theo ta khơng thể bác bỏ giả thuyết continuum tiên đề chấp nhận lý thuyết tập hợp (giả định tiên đề chặt chẽ) Cơng trình tiếng ơng định lý tính khơng đầy đủ, theo hệ tiên đề đủ mạnh để mô tả số học chứa mệnh đề số nguyên mà phủ định khẳng định từ tiên đề hệ Hệ tiên đề ZFC (tức hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel có bổ sung tiên đề chọn) hệ tiên đề Ernst Zermelo (1871-1953) Abraham Fraenkel (1891-1965) xây dựng vào đầu kỷ 20 nhằm tiên đề hóa lý thuyết tập hợp Cantor , tránh nghịch lý phát trước Paul Joseph Cohen sinh ngày 2-4-1934 Long Branch (Mỹ), ngày 23-3-2007 Palo Alto (Mỹ), nhà tốn học Mỹ Ơng tiếng chứng minh tính độc lập giả thuyết continuum với hệ tiên đề ZFC phương pháp forcing Cơng trình đem lại cho ông giải thưởng Field năm 1966 chọn ba nghịch lý tiêu biểu để phân tích: nghịch lý Cantor, nghịch lý Richard nghịch lý Berry 1.1.3.1.1 Nghịch lý Cantor Nghịch lý Cantor ơng phát năm 1899 Xét S tập tất tập hợp P(S) tập tập S Theo định lý Cantor 9, ta có card S < card P(S) Mặt khác, ánh xạ f : P(S) → S, E  f(E) = E đơn ánh nên card P(S) ≤ card S Ta thu hai bất đẳng thức mâu thuẫn với Để giải mâu thuẫn, Cantor phân biệt “số nhiều phù hợp” với “số nhiều không phù hợp” “Số nhiều phù hợp” tham gia tạo thành tập hợp “số nhiều không phù hợp” (chẳng hạn tập hợp tất tập hợp) “vô hạn tuyệt đối” thuộc thượng đế mà người hiểu Chúng đề cập đến việc giải nghịch lý Cantor trình bày lý thuyết lớp mục 2.2 chương 1.1.3.1.2 Nghịch lý Richard Nghịch lý Richard công bố năm 1905 Ông xét chỉnh hợp lặp chập 26 chữ tiếng Pháp thứ tự chỉnh hợp lặp theo thứ tự từ điển Một cách tương tự, ông tiếp tục xét thứ tự chỉnh hợp lặp chập 3, 4, 5… 26 chữ tiếng Pháp Với k ≥ cho trước, số chỉnh hợp lặp chập k 26 26k Tập hợp E chỉnh hợp lặp chập k (k = 2, 3, 4…) 26 chữ tiếng Pháp tập đếm Bất kỳ diễn đạt gồm hữu hạn từ tiếng Pháp tương ứng với phần tử E Ví dụ: Je vais l'école (Tôi đến trường) tương ứng với phần tử jevaisalecole ∈ E Đặc biệt, việc xác định số thực hữu hạn từ tương ứng với việc thiết lập chỉnh hợp lặp chập k 26 chữ tiếng Pháp Gọi G tập phần tử E tương ứng với việc xác định số thực hữu hạn từ, ta có G đếm thứ tự (với thứ tự E thu hẹp G) Gọi u i số thực xác định từ phần tử thứ i E Tập G' = {u i | i Được chứng minh năm 1891, định lý Cantor phát biểu số tập nhỏ số tập tập 10 ∈ N*} tập đếm gồm số thực xác định hữu hạn từ Ta xây dựng số thực N có cách viết hệ thập phân sau: - Phần nguyên N 0; - Nếu chữ số thứ n phần thập phân u n p chữ số thứ n phần thập phân N p + (khi p ≠ p ≠ 9) (khi p = p = 9) Với n ∈ N*, ta có N ≠ u n chúng có chữ số thập phân thứ n khác (cách xây dựng N cho phép tránh hai cách biểu diễn thập phân khác số thực, chẳng hạn 0,(9) = 1) Vậy N ∉ G' Mặt khác, N xác định hữu hạn từ nên N ∈ G' Ta thu hai kết mâu thuẫn Ta giải nghịch lý cách phân biệt hai mức độ ngơn ngữ: ngơn ngữ bình thường (đơi gọi ngôn ngữ đối tượng) ngôn ngữ sử dụng để mô tả lý thuyết xét (siêu ngôn ngữ thường chưa hình thức hóa) Khi định nghĩa tập đếm số thực định nghĩa số hữu hạn từ, ta hiểu từ thuộc ngôn ngữ cụ thể dân tộc Việc mơ tả số thực N thực số hữu hạn từ siêu ngơn ngữ Q trình xây dựng N cho thấy khơng thể mơ tả số hữu hạn từ ngôn ngữ đối tượng Khi mã hóa siêu ngơn ngữ thành ngơn ngữ đối tượng, nghịch lý Richard khơng cịn nghịch lý [10, tr.4] 1.1.3.1.3 Nghịch lý Berry Nghịch lý Berry dạng khác nghịch lý Richard, Russel phát năm 1906 đặt tên theo tên Berry (1867-1928) - thủ thư thư viện Bodley thuộc đại học Oxford Xét “Số tự nhiên nhỏ mô tả khơng q mười sáu từ” 10 Số có thuộc tập số tự nhiên mô tả phát biểu không mười sáu từ hay không? Gọi E tập số tự nhiên mô tả phát biểu không mười sáu từ n “số tự nhiên nhỏ mô tả không mười sáu từ” Trong nguyên văn tiếng Pháp, số mô tả mười lăm từ là: “Le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins” Về nguyên tắc, thay số 16 số lớn số từ mà ta sử dụng để mô tả số tự nhiên xét 10 11 Ta có n ∈ E (vì định nghĩa n có 15 từ) n ∉ E (vì n mô tả không 16 từ) Ta gặp lại mâu thuẫn tương tự nghịch lý Richard 1.1.3.2 Các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng tập Liên quan đến tính chất đặc trưng tập, chọn nghịch lý Russell để phân tích Quay lại nghịch lý Cantor, ký hiệu S tập tất tập hợp, ta có S (với tư cách tập) phần tử S (với tư cách tập tất tập hợp) Nói cách khác, S ∈ S hay S phần tử Nếu tránh nói đến tập tất tập hợp, ta nêu ví dụ khác tồn tập phần tử Gọi E tập tập hợp có phần tử, ta có N ∈ E Z ∈ E nên E ∈ E (vì E có phần tử) Điều khiến Russell xét G tập tập hợp phần tử đặt câu hỏi G ∈ G hay G ∉ G? Nếu G ∈ G G phần tử nên G ∉ G (theo định nghĩa) Nếu G ∉ G G khơng phải phần tử nên G ∈ G (theo định nghĩa) Mỗi trường hợp G ∈ G hay G ∉ G dẫn đến mâu thuẫn Nghịch lý Russell phát biểu dạng nghịch lý người thợ cạo: Ở làng Seville có ơng thợ cạo Tại làng này, tất đàn ông tự cạo râu nhờ thợ cạo Ông thợ cho biết: “Tôi cạo râu cho người đàn ông làng Seville không tự cạo râu được” Hỏi ông thợ cạo có cạo râu cho khơng? Việc khảo sát hai khả có khơng dẫn đến mâu thuẫn Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) ông thợ cạo không cạo râu cho người tự cạo râu, tức ông không cạo cho ông Nhưng ơng phải thuộc nhóm khơng tự cạo râu (nhóm 2) Nếu nhóm khơng tự cạo râu (nhóm 2) ơng thợ cạo cạo râu cho ơng ơng cạo râu cho người thuộc nhóm Lúc hố ơng lại tự cạo râu cho mình, nghĩa ơng thuộc nhóm Vậy ông thợ cạo thuộc nhóm nào? Điều dễ dàng giải người thợ cạo không sống làng Seville phụ nữ Tuy nhiên, câu chuyện xác định rõ người thợ cạo sống làng Seville đàn ông [10, tr.5] 12 Nghịch lý Russell mâu thuẫn lơ-gic phát sinh xác định tập hợp cách nêu đặc trưng Việc giải mâu thuẫn đòi hỏi phải xây dựng điều kiện tính hợp thức tính chất đặc trưng tập mà Cantor chưa thực Chúng quay lại nghịch lý Russell trình bày lý thuyết Zermelo-Fraenkel mục 2.1 1.2 Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell Cantor chưa giải triệt để nghịch lý lý thuyết tập hợp mình: ơng khơng đề xuất giải pháp số nghịch lý (chẳng hạn nghịch lý Russell) giải pháp ơng cịn mang tính hình thức (chẳng hạn “số nhiều phù hợp” hay “vô hạn tuyệt đối”) Sự tồn nghịch lý lý thuyết tập hợp Cantor tranh cãi xung quanh giả thuyết continuum địi hỏi phải có định nghĩa xác tập hợp Nhiều nhà toán học nghĩ đến phương pháp tiên đề mà Hilbert sử dụng vào năm 1899 xây dựng sở hình học Euclide Trong số nhiều cố gắng tiên đề hóa lý thuyết tập hợp Cantor, sử dụng nhiều hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-BernaysGödel hệ tiên đề Russell Lý thuyết tập hợp xây dựng hệ tiên đề tương ứng gọi lý thuyết ZF, lý thuyết lớp lý thuyết kiểu 1.2.1 Hệ tiên đề lý thuyết Zermelo-Fraenkel Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hoặc hệ tiên đề ZF) xây dựng từ tiên đề Ernst Zermelo (1871-1953) phát biểu năm 1908, cộng thêm tiên đề thay Abraham Adolf Halevi Fraenkel (1891-1965) bổ sung Thoralf Albert Skolem (1887-1963) người diễn đạt lại hệ tiên đề ZF dạng thường thấy ngày (xem phụ lục 1) Mục tiêu hệ tiên đề ZF loại bỏ sai lệch liên quan đến khái niệm trực giác tập hợp liên thuộc lý thuyết tập hợp Cantor Đặc biệt, tiên đề hệ tiên đề ZF quy định điều kiện tính chất đặc trưng tập cho phép giải nghịch lý người thợ cạo Russell