DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Anh Quốc DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Anh Quốc DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MƠI TRƯỜNG SKETCHPAD Chun ngành : Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn luận văn xác trung thực LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô: PGS-TS Lê Văn Tiến, PGS-TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Trần Lương Cơng Khanh nhiệt tình giảng dạy hai năm học qua Xin cảm ơn quý lãnh đạo, q thầy Phịng Sau Đại Học trường ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Tơi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Châu Văn Liêm tập thể học sinh lớp 10A6 giúp đỡ thời gian tiến hành thực nghiệm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Didactic tốn K23 tơi sẻ chia khó học tập suốt hai năm qua Cuối xin chân thành biết ơn người thân gia đình người bạn thân thiết cỗ vũ động viên suốt q trình học tập tơi NGUYỄN ANH QUỐC MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Lời cảm ơn Danh mục viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ MỞĐẦU Chương ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN 1.1 Lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn 1.2 Phạm vi tác động toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.2.1 Phạm vi tác động khái niệm giới hạn 1.2.2 Các toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.3 Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn 1.4 Chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn 1.5 Các quan điểm khái niệm giới hạn 10 1.6 Các tổ chức toán học tham chiếu 11 1.7 Kết luận chương I số câu hỏi nghiên cứu 12 Chương GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA THPT 14 2.1 Phân tích chương trình 14 2.1.1 Đối với chương trình chuẩn 14 2.1.2 Đối với chương trình nâng cao 16 2.2 Phân tích SGK 17 2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số 17 2.2.2 Định nghĩa dãy số có giới hạn 19 2.2.3 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn 22 2.2.4 Vai trò giới hạn dãy số 26 2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số 29 2.4 Kết luận chương 36 Chương THỰCNGHIỆM 39 3.1 Hình thức đối tượng thực nghiệm 39 3.2 Nội dung thực nghiệm 39 3.2.1 Tình tiếp cận phần mềm Sketchpad 40 3.2.2 Tình thực nghiệm 40 3.3 Dàn dựng kịch 45 3.4 Những lựa chọn cho tình thực nghiệm 47 3.5 Phân tích tiên nghiệm 48 3.5.1 Biến giá trị chúng 48 3.5.2 Chiến lược, quan sát được, ảnh hưởng biến môi trường phản hồi từ phần mềm 49 3.6 Phân tích hậu nghiệm 54 3.6.1 Phân tích Phiếu số (Pha 1) 54 3.6.2 Phân tích phiếu số (pha 2) 55 3.6.3 Phân tích phiếu số (pha 3) 57 3.6.4 Phân tích pha 65 3.6.5 Phân tích phiếu số (pha 5) 68 3.6.6 Phân tích phiếu số (pha 6) 68 3.6.7 Phân tích phiếu số (pha 7) 69 3.6.8 Phân tích pha 73 3.7 Kết luận thực nghiệm 75 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤCLỤC DANH MỤC VIẾT TẮT SBT : Sách tập SBTC11 : Sách tập chương trình chuẩn lớp 11 hành SBTN11 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 11 hành SGK :Sách giáo khoa SGKC11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hành SGKN11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hành SGVC11 : Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hành SGVN11 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hành THPT : Trung học phổ thông DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Thống kê kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số 31 Bảng 3.1 Thống kê kết chiến lược phiếu số 54 Bảng 3.2 Thống kê kết chiến lược phiếu số 55 Bảng 3.3 Thống kê kết chiến lược phiếu số 57 Bảng 3.4 Tổng hợp câu trả lời nhóm câu 3.1 57 Bảng 3.5 Tổng hợp câu trả lời nhóm câu 3.2 58 Bảng 3.6 Tổng hợp câu trả lời nhóm câu 3.4 63 Bảng 3.7 Thống kê câu trả lời phiếu số 68 Bảng 3.8 Thống kê kết chiến lược phiếu số 68 Bảng 3.9 Thống kê kết chiến lược phiếu số 69 Bảng 3.10 Tổng hợp câu trả lời nhóm câu 6.2 72 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Biểu diễn dãy số 33 Hình 2.2 Hình "mơ phỏng" tập 8a SGKN11 trang 135 .34 Hình 2.3 Biểu diễn dãy số (un) với .35 Hình 2.4 Biểu diễn dãy số (un) với với số lần lặp 100 36 Hình 3.1 Biểu diễn trục tọa độ 41 Hình 3.2 Biểu diễn vị trí đóng qn ta địch 42 Hình 3.3 Biểu diễn dãy số (un) với 43 Hình 3.4 Hình vng điều khiển hai điểm A B 44 Hình 3.5 hình vng……………………………………………………………43 Hình 3.6 Hình vẽ phép lặp .44 MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Theo SGVN11, giới hạn chương quan trọng Giải tích Đây chương khó Giải tích trường THPT Các khái niệm giới hạn mới, trừu tượng cách tiếp cận khái niệm khác với cách tiếp cận khái niệm trước Do khó khăn việc dạy học khái niệm giới hạn thời gian dạy học có hạn, nên xảy tình trạng, giáo viên số nơi quan tâm đến việc giảng dạy lí thuyết giới hạn dạy lí thuyết cách đối phó mà hướng dẫn học sinh giải tập cách máy móc Hơn nữa, hai SGK chương trình chuẩn nâng cao khơng dùng ngơn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn dãy số khó có định nghĩa mơ tả chất khái niệm giới hạn theo nhận định SGVC11 Mặt khác theo Bùi Thành Vinh (2013), quan điểm đại số hóa chiếm ưu gần tuyệt đối tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm giới hạn Điều cho thấy quan điểm xấp xỉ xuất mờ nhạt mà chất giới hạn xấp xỉ Ngày hỗ trợ công nghệ thông tin nhiều phần mềm dạy học tốn đời có ứng dụng mạnh mẽ Qua tìm hiểu chúng tơi nhận thấy phần mềm Sketchpad có nhiều chức thích hợp cho việc dạy học tốn nói chung việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số nói riêng Bởi vì, phép lặp phần mềm Sketchpad cho phép biểu diễn dãy số trục số bảng dạng động tạo hình ảnh “mơ phỏng” Những chức giúp học sinh dự đốn giới hạn dãy số đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, nhận thấy nhiều học sinh gặp số chướng ngại học khái niệm giới hạn, chẳng hạn nhiều học sinh cho “một tổng vô hạn ln có kết vơ hạn” Ngồi ra, nhiều học sinh nghĩ, tốn giới hạn mơn học thuộc lĩnh vực đại số khơng liên quan đến hình học Tuy nhiên, giới hạn lại có nguồn gốc từ hình học 2 Từ ghi nhận trên, nhận thấy cần thiết phải đặt câu hỏi sau: - Khái niệm giới hạn hình thành phát triển lịch sử?Những chướng ngại gắn liền với khái niệm giới hạn? - Xây dựng tình tiếp cận khái niệm giới hạn dãy sốtheo quan điểm xấp xỉ hỗ trợ phần mềm Sketchpad nào? - Tình cho phép học sinh vượt qua số chướng ngại học khái niệm giới hạn dãy số đồng thời thấy nối kết hình học đại số dạy học khái niệm giới hạn trợ giúp phần mềm Sketchpad? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi tiến hành chọn đề tài nghiên cứu: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số môi trường Sketchpad Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng tơi điểm qua số cơng trình nghiên cứu có nước liên quan đến giới hạn sau: - Luận văn thạc sĩ tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu vềkhái niệm giới hạn hàm số dạy - học toán: Đồ án Didactic mơi trường máytính bỏ túi - Luận văn thạc sĩ tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu Didacticvề khái niệm giới hạn dạy học toán trường trung học phổ thông - Luận văn thạc sĩ tác giả Lê Thành Đạt (2010): Dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số trường trung học phổ thông - Luận văn thạc sĩ tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái niệmgiới hạn vô hạn hàm số trường trung học phổ thông - Luận án tiến sĩ tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007): Nghiên cứudidactic mối liên hệ khái niệm giới hạn thập phân hố số thực mơitrường máy tính bỏ túi - Luận văn thạc sĩ tác giả Bùi Thành Vinh (2013): Sự nối khớp dạy học khái niệm giới hạn THPT trường Đại học sư phạm Qua việc tổng kết cơng trình chúng tơi nhận thấy chưa có cơng trình nghiên cứu việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số môi trường Sketchpad Đây cần thiết để thực đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi Để đạt điều chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, cụ thể: Lý thuyết nhân chủng học, lý thuyết tình Với khung lý thuyết chọn, câu hỏi xuất phát viết lại sau: Q1: Khái niệm giới hạn có đặc trưng khoa học luận nào?Những chướng ngại khoa học luận liên quan đến khái niệm giới hạn? Q2: Đối tượng khái niệm giới hạn dãy số trình bày thể chế dạy học THPT? Q3: Xây dựng đồ án dạy học phép học sinh tiếp cận với khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ, giúp học sinh vượt qua số chướng ngại khoa học luận học khái niệm giới hạn dãy số đồng thời giúp cho học sinh thấy nối kết đại số hình học dạy học khái niệm giới hạn dãy số? Để đạt mục tiêu đề phương pháp nghiên cứu mà chúng tơi chọn sơ đồ hóa sau Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn (tổng kết cơng trình có) Phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số THPT Xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng dụng cơng nghệ thơng tin (phần mềm Sketchpad) Lược đồ giải thích sau: trước hết nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn cách tổng kết cơng trình có Sau chúng tơi tiến hành phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số trường THPT 4 Từ làm sở để chúng tơi đưa tình dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng dụng công nghệ thông tin Tổ chức luận văn Luận văn cấu trúc phần Phần mở đầu Chương Đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn 1.1 Lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn 1.2 Phạm vi tác động toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.3 Các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn 1.4 Chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn 1.5 Các quan điểm khái niệm giới hạn 1.6 Các tổ chức toán học tham chiếu 1.7 Kết luận chương số câu hỏi nghiên cứu Chương Giới hạn dãy số chương trình Sách giáo khoa THPT 2.1 Phân tích chương trình 2.1.1 Đối với chương trình chuẩn 2.1.2 Đối với chương trình nâng cao 2.2 Phân tích SGK 2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số 2.2.2 Định nghĩa dãy số có giới hạn 2.2.3 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn 2.2.4 Vai trò giới hạn dãy số 2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số 2.4 Kết luận chương Chương Thực nghiệm 3.1 Hình thức đối tượng thực nghiệm 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.2.1 Tình tiếp cận phần mềm Sketchpad 3.2.2 Tình thực nghiệm 3.3 Dàn dựng kịch 3.4 Những lựa chọn cho tình thực nghiệm 3.5 Phân tích tiên nghiệm 3.5.1 Biến giá trị chúng 3.5.2 Chiến lược, quan sát được, ảnh hưởng biến môi trường phản hồi từ phần mềm 3.6 Phân tích hậu nghiệm 3.6.1 Phân tích pha 3.6.2 Phân tích pha 3.6.3 Phân tích pha 3.6.4 Phân tích pha 3.6.5 Phân tích pha 3.6.6 Phân tích pha 3.6.7 Phân tích pha 3.6.8 Phân tích pha 3.7 Kết luận chương Kết luận Chương ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Mục tiêu chương: Tổng kết cơng trình nghiên cứu có để tìm hiểu lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn, phạm vi tác động giới hạn, toán đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn, đặc biệt chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn quan điểm khái niệm giới hạn tổ chức toán học tham chiếu.Từ làm sở tham chiếu cho phân tích chương sau Tài liệu tham khảo sử dụng nghiên cứu chương Luận văn Thạc sĩ tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Luận văn Thạc sĩ tác giả Nguyễn Thành Long (2004) Luận văn Thạc sĩ tác giả Nguyễn Thị Phương Mai (2005) Luận văn Thạc sĩ tác giả Lê Thành Đạt (2010) Luận văn Thạc sĩ tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) 1.1 Lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn Theo Nguyễn Thành Long (2004), lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn chia thành ba giai đoạn sau: a) Giai đoạn 1: Tiến trình khái niệm vơ hạn (từ thời Hi Lạp cổ đại đến kỷ XVII), giai đoạn giới hạn chủ yếu liên quan đến đại lượng hình học tính diện tích, thể tích,…Nhận thức vơ hạn từ thái độ phủ định sang thái độ khẳng định Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất ngầm ẩn qua thuật ngữ “terminus”, “hội tụ” Mầm mống tư tưởng vô bé xuất Nhiều đối tượng không định nghĩa có sức thuyết phục dựa vào hiệu chúng Có thể nói giai đoạn khái niệm giới hạn lấy chế khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) xuất công cụ ngầm ẩn cho phép giải số toán chủ yếu thuộc phạm vi hình học b) Giai đoạn 2: Sự đời Giải tích vơ bé (từ kỷ XVII đến nửa đầu kỷ XVIII), giai đoạn này, giới hạn thức đặt tên (limit) Newton (1642 – 1727) Các nhà giải tích có ý tưởng trực giác khái niệm giới hạn họ sử dụng điều cách ngầm ẩn xác Tuy nhiên chưa có định nghĩa giới hạn thức chấp nhận Khái niệm giới hạn giai đoạn lấy chế công cụ chưa phải đối tượng nghiên cứu c) Giai đoạn 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (từ nửa sau kỷ XVIII đến kỷ XIX) giai đoạn với trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn chuyển hẳn sang lĩnh vực số Nhưng chưa có trí khái niệm giới hạn vô bé Thông qua gợi ý quan trọng D’Alembert (1717 – 1783) lý thuyết vững vàng giới hạn cần để xây dựng sở vững cho Giải tích Cauchy (1789 – 1857) người thực thành cơng gợi ý cách phát triển lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ε, δ” mà ngày thường dùng Trước tiên, ông định nghĩa hàm số, sau định nghĩa hội tụ, vơ bé, tính liên tục, tính khả vi tích phân xác định theo quan điểm giới hạn Tuy nhiên, lý thuyết giới hạn xây dựng khái niệm trực giác đơn giản hệ thống số thực Do muốn trình bày chặt chẽ lý thuyết giới hạn phải có hiểu biết sâu sắc lý thuyết số thực Weierstrass (1815 – 1897) vận động thực chương trình “số học hóa giải tích” thân số thực phải làm cho chặt chẽ từ rút tất khái niệm giải tích Định nghĩa giới hạn hàm số khái niệm lân cận ông đưa (năm 1880) Có thể nói giai đoạn hoàn thành nghiên cứu sở giải tích Các khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục, số thực…,đã định nghĩa tường minh Vậy giới hạn thức có chế khái niệm tốn học Nó định nghĩa đối tượng nghiên cứu nhà toán học đồng thời cơng cụ tường minh cho phép giải nhiều tốn Giải tích 1.2 Phạm vi tác động toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.2.1 Phạm vi tác động khái niệm giới hạn Nguyễn Thành Long (2004) khái niệm giới hạn xuất ngầm ẩn hình học từ thời cổ Hi Lạp đến kỉ XVI nhằm giải toán độ dài, diện tích, thể tích Các tốn làm nảy sinh việc tính tổng vơ hạn từ khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động đại số mức độ kĩ thuật Với nghiên cứu Newton lý thuyết fluxi tỉ số biến thiên khái niệm giới hạn vào học Theo hướng khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại số vô bé” vào kỉ XVIII, Euler Lagrange có nhiều cơng trình nhằm đại số hóa giải tích song cịn nhiều hạn chế Với cơng trình Cauchy Weierstrass khái niệm giới hạn xuất phạm vi số thực định nghĩa xác vào kỉ XIX Phạm vi tác động khái niệm giới hạn tóm tắt sau: Hình học → Cơ học (Cổ Hi Lạp) → (thế kỉ XVII) Đại số → Số (thế kỉ XVIII) (thế kỉ XIX) 1.2.2 Các toán liên quan đến khái niệm giới hạn Các toán mà khái niệm giới hạn có hội tác động • Tính diện tích hay thể tích chẳng hạn như: Xấp xỉ hình viên phân parabol tam giác, xấp xỉ tam giác cong hình chữ nhật, dùng tỉ số biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm giá trị hàm số đó, … • Tính tổng chuỗi số • Tính đạo hàm 1.3 Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn Đối tượng ưu tiên hàng đầu theo Nguyễn Thành Long (2004) khái niệm vơ hạn, vừa chướng ngại vừa động cơ, khơng hiểu khái niệm giới hạn khơng có quan điểm thỏa đáng vơ hạn Bên cạnh khái niệm có vai trị định lịch sử giới hạn như: diện tích, thể tích, cấu trúc đại lượng này, khái niệm thời gian nhiều nhà toán học quan tâm Các khái niệm có tính chất kĩ thuật như: dãy số, chuỗi số, vô bé, cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến lịch sử giới hạn Khái niệm hàm số giữ vai trò quan trọng làm cho giới hạn trở thành công cụ hoạt động lĩnh vực số Hơn nữa, khái niệm liên tục, đạo hàm tích phân cho phép xác rõ khái niệm giới hạn Mối quan hệ sâu xa số thực giới hạn giữ vai trò quan trọng theo Weierstrass có làm chặt chẽ hệ thống số thực định nghĩa chặt chẽ khái niệm giới hạn Ngồi cịn có khái niệm: chuyển động chất điểm, vận tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới, cận trên, cận dưới, điểm tụ xác định rõ phân biệt với khái niệm giới hạn 1.4 Chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn Theo Lê Thành Đạt (2010) chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn khía cạnh vơ hạn khái niệm này.Để có hiểu biết sâu sắc khái niệm vô hạn, theo luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Phương Mai (2005), có nhiều quan điểm khác vơ hạn: « Vơ hạn dạng vật chất không xác định sở giới Vô hạn số số lớn tất số nhỏ tất số Vơ hạn q trình liên tục, khơng có điểm kết thúc Vơ hạn phủ định hữu hạn Vơ hạn khơng có bờ, mênh mơng, vượt qua tất giới hạn biết, không xác định ranh giới Vô hạn hiểu cách trực giác hình ảnh xa hai đầu đường thẳng Vô hạn đại lượng dùng để lực lượng tập hợp vô hạn » [6, tr.19-20] Theo Lê Thành Đạt (2010), việc vận dụng quy tắc hữu hạn vào q trình vơ hạn dẫn đến số nghịch lí tốn học chẳng hạn như: “ Nghịch lý Asin đuổi rùa: Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa chạy với vận tốc 1km/h Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường 100km Hỏi A-sin rùa xuất phát lúc A-sin có đuổi kịp rùa khơng? D Zenon lý giải rằng, A-sin chạy đến vị trí A (100km) rùa chạy đến vị trí A1 (1km), A-sin chạy đến A1 rùa chạy đến vị trí A2 ( km ), … Do A-sin không đuổi kịp rùa Nghịch lí 100 xuất phát từ quan niệm cho tổng dãy số vô hạn không 10 thể số hữu hạn.” “ Nghịch lí chia đơi: Nếu cắt đơi đối tượng, cách lặp quy trình cách vơ hạn, mặt Tốn học ln cịn lại đoạn Ngược lại mặt vật lý ta biết có thời điểm ta khơng cịn cắt đơi nữa! Khó khăn chỗ ta trừ số vơ hạn độ dài ngày bé khó khăn để quan niệm tổng số hữu hạn.” [2, tr.13] Mặt khác theo luận văn thạc sĩ tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): “Cornu (1983) nghiên cứu chướng ngại khoa học luận xuất tiến triển suốt lịch sử khái niệm giới hạn Theo tác giả, chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn là: - “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hình học ngữ cảnh chuyển động học, “các đại lượng” quy phạm vi số mà khái niệm giới hạn hợp - Khía cạnh “siêu hình” khái niệm giới hạn: địi hỏi phải áp dụng kiểu suy luận toán học gắn với khía cạnh vơ hạn Đối với khái niệm này, khơng dãy suy luận logic, mà suy luận tiến trình vơ hạn - Khái niệm “vơ bé” hay “vơ lớn”: có tồn hay không đại lượng chưa không, chúng khơng thể “gán được” nữa? Có tồn hay không đại lượng “tan dần” mà cần qua “khoảnh khắc” chúng khơng? Có phải số nhỏ tất lượng (dương) cho trước khơng? - Một giới hạn đạt tới hay khơng? - Ngồi cịn có chướng ngại khác: mơ hình đơn điệu Một tổng vơ hạn số hữu hạn Hai đại lượng tiến không mà tỷ số chúng lại tiến lượng hữu hạn”.[10, tr1] 1.5 Các quan điểm khái niệm giới hạn Theo luận văn thạc sĩ Nguyễn Thành Long (2004) có ba quan điểm chủ yếu khái niệm giới hạn: • Quan điểm xấp xỉ 11 + Xấp xỉ hình học (phương pháp vét cạn Eudoxe, phép phân hoạch Fermat,…) + Xấp xỉ đại số (tính tổng chuỗi số,…) + Xấp xỉ số (xấp xỉ số vô tỉ dãy số thập phân) Quan điểm xấp xỉ thể rõ nét định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ε – δ Theo Bkoucher (1996) “Định nghĩa theo (ε,η ) khơng khác hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ” • Quan điểm động học Theo Bkoucher (1996)“đúng tên gọi nó, quan điểm gắn liền với chuyển động Nếu đại lượng biến thiên x dần giá trị đại lượng (theo nghìa lấy giá trị ngày giá trị a), đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghĩa hàm số x) dần giá trị b đại lượng x gần tới giá trị a đại lượng y gần tới b” Để làm rõ khác biệt quan điểm xấp xỉ quan điểm động học theo Bkoucher (1996):“Nếu khái niệm động học biến kéo theo hàm số, khái niệm xấp xỉ, độ xấp xỉ mà người ta muốn xác định xấp xỉ biến” • Quan điểm đại số: tìm cách xác định quy tắc, phép toán cho phép thao tác đối tượng mà không cần quan tâm đến chất đối tượng 1.6 Các tổ chức toán học tham chiếu Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) ra, nhóm nghiên cứu Bosch (2002) đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu khái niệm giới hạn sau đây: - OM1đại số giới hạn xoay quanh vấn đề tính giới hạn tồn thao tác đại số - OM2tôpô giới hạn xoay quanh vấn đề tồn giới hạn hàm số Hai tổ chức toán học tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) làm rõ sau: Tổ chức toán học OM1 xuất phát từ giả sử tồn giới hạn hàm số đặt vấn đề xác định giá trị giới hạn hàm số quen thuộc Vấn