Chuyên đề Phương pháp về chứng minh bất đẳng thức55208

Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH ti nghiờn c u khoa h c PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH BấT ĐẳNG THứC Giỏo viên h ng d n : Ngun ChiÕn Th¾ng Nhãm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015 DeThiMau.vn L I NĨI Trong mơn Tốn tr U ng THPT, b t đ ng th c ngày đ c quan tâm m c t có s c h p d n m nh m nh v đ p tính đ c đáo c a ph ng ng pháp k thu t gi i chúng c ng nh yêu c u cao v t cho i gi i B t đ ng th c m t nh ng d ng toán hay khó đ i v i h c sinh trình h c t p c ng nh k thi, tr đ i h c mà h u h t h c sinh THPT đ u ph i v c ng m t d ng th c h t k thi t qua Ngoài b t đ ng th c ng g p k thi h c sinh gi i toán c p t nh, Qu c gia, Olympic khu v c Olympic qu c t Các toán b t đ ng th c không nh ng rèn luy n t sáng t o, trí thơng minh mà cịn đem l i say mê u thích mơn Toán c a ng Trong đ tài nghiên c u khoa h c này, t p th l p 10 Toán tr i h c ng THPT Chuyên Qu ng Bình xin trình bày m t s v n đ v b t đ ng th c, m t s ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c nhóm tác gi đ c trình bày d tài g m vi t c a i d ng chuyên đ Nhóm tác gi DeThiMau.vn -2- M CL C L I NÓI U M C L C B T NG TH C AM-GM VÀ NG D NG B t đ ng th c AM-GM 1.1 nh lí 1.2 Ch ng minh 1.3 Các d ng th ng g p Ví d BƠi t p t gi i 23 B T NG TH C MINKOWSKI VÀ NG D NG 24 B t đ ng th c Minkowski 24 1.1 B t đ ng th c Minkowski d ng 24 1.1.1 nh lí 24 1.1.2 Ch ng minh 24 1.2 B t đ ng th c Minkowski d ng 25 1.2.1 nh lí 25 1.2.2 Ch ng minh 25 Ví d .25 BƠi t p t gi i 28 B T NG TH C HOLDER VÀ NG D NG 29 B t đ ng th c Holder .29 1.1 D ng t ng quát 29 1.1.1 nh lí 29 1.1.2 Ch ng minh 29 1.2 M r ng c a b t đ ng th c Holder 30 1.3 M r ng c a b t đ ng th c Holder 30 1.4 M r ng c a b t đ ng th c Holder 30 Ví d .30 BƠi t p t gi i 41 B T NG TH C CAUCHY-SCHWARZ 43 DeThiMau.vn -3- 1.B t đ ng th c Cauchy-schwarz .43 1.1 nh lí 43 1.2 Ch ng minh .43 1.3 H qu 45 Ví d .45 BƠi t p t gi i 78 B T NG TH C CHEBYSHEV 82 1.B t đ ng th c Cheybyshev .82 1.1 nh lí 82 1.2 Ch ng minh .82 Ví d .83 BƠi t p t gi i 96 B T NG TH C MUIRHEAD 97 Gi i thi u b t đ ng th c Muirhead 97 M t s khái ni m liên quan đ n B t đ ng th c Muirhead .97 2.1 B tr i 97 2.2 Trung bình lo i [a ] .98 2.3 T ng hoán v .98 2.4 T ng đ i x ng 98 2.5 L c đ Young 99 nh lý Muirhead .99 K thu t s d ng đ nh lí Muirhead 101 Ph ng pháp chung 101 S d ng đ nh lý Muirhead v i AM ậ GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 B t đ ng th c AM – GM 102 5.2 B t đ ng th c Holder 102 5.3 B t đ ng th c ASYM 102 5.4 S d ng đ nh lý Muirhead v i b t đ ng th c Schur 102 Ví d 103 BƠi t p t gi i 112 DeThiMau.vn -4- PH NG PHÁP PQR 114 Ki n th c liên quan 114 1.1 nh ngh a phỨp bi n đ i 114 1.2 Ph ng pháp pqr k t h p b t đ ng th c Schur 114 1.3 M r ng ph ng pháp pqr k t h p hàm s 117 BƠi t p t gi i 119 PH NG PHÁP PHÂN TệCH T NG BÌNH PH NG S.O.S 124 Lý thuy t vƠ ví d 124 1.1 nh lý k thu t phân tích 124 1.2 Các tiêu chu n k thu t s p x p bi n 130 1.3 ng d ng tìm h ng s k t t nh t 135 BƠi t p t gi i 137 M r ng 141 D NG PH S B T NG PHÁP S.O.S TRONG CH NG MINH NG TH C 142 L i nói đ u 142 Xơy d ng đ nh lí, tiêu chu n 142 Phơn tích c s 143 Các ng d ng c a ph ng pháp S.O.S 144 BƠi t p v n d ng 149 BƠi t p dƠnh cho b n đ c 151 PH NG PHÁP D N BI N 153 Ki n th c liên quan 153 Ví d minh h a 157 BƠi t p v n d ng 184 S D NG TI P TUY N TRONG VI C CH NG MINH B T NG TH C 187 Ph ng trình ti p n t ng quát 187 S d ng ti p n đ ch ng minh b t đ ng th c 187 Ví d 188 DeThiMau.vn -5- PH NG PHÁP NHÂN T LAGRANGE 203 C s lí thuy t 203 M t s ví d 204 BƠi t p v n d ng 215 K T LU N 218 DeThiMau.vn -6- B T NG TH C AM-GM VÀ oàn Qu c NG D NG t – Ngơ Hồng Thanh Quang B t đ ng th c AM-GM 1.1 nh lí nh lí (B t đ ng th c AM-GM) V i m i s th c d ng a1 , a , , a n ta có b t đ ng th c a1  a   a n n  a1a a n n ng th c x y ch a1  a   a n 1.2 Ch ng minh Ph ng pháp ắQuy n p Cauchy” V i n  2: Gi s a1  a  a1a 2   a1  a  2 0 a1  a  a1a (đúng) b t đ ng th c v i n  k ta s ch ng minh b t đ ng th c v i n  2k S d ng gi thi t quy n p ta có: a1  a   a k  a1  a   a k a k 1  a k    a k      2k 2 2k k    k a1a a k  k a k 1a k 2 a 2k   Gi s k a1 a k k a k 1 a 2k  2k a1a a k a 2k b t đ ng th c v i n  p ta s ch ng minh b t đ ng th c v i n  p 1 Th t v y, xét p  s : a1 , a , , a p 1  S d ng gi thi t quy n p v i n  p ta có: a1  a   a p 1  p 1 a1a a p 1 p  p a1 a p 1 p 1 a1 a p 1  p 1 a1a a p 1  a1  a   a p 1  p 1 a1a a p 1  p p 1 a1a a p 1 DeThiMau.vn -7-  a1  a   a p 1   p  1 p 1 a1a a p 1  a1  a   a p 1 p 1  p 1 a1 a p 1 Theo nguyên lí quy n p ta có b t đ ng th c v i m i n  2, n  ng th c x y ch a1  a   a n 1.3 Các d ng th ng g p n2 n3 n4 a , b  a , b, c  a , b, c, d  D ng a b  ab a bc  abc a bcd  abcd D ng  a b    ab    a bc     abc    a bcd     abcd   D u b ng a b a bc a bc d n i u ki n Ví d Ví d 1: (B t đ ng th c Nesbit) Ch ng minh r ng v i m i s th c khơng âm a , b, c ta có a b c    bc a c a b Gi i: Xét bi u th c sau a b c   bc a c a b b c a   M bc a c a b c a b   N bc a c a b S Ta có M  N  M t khác theo b t đ ng th c AM-GM DeThiMau.vn -8- a b bc ca   3 bc a c a b a c a b bc   3 NS bc a c a b M S V y M  N  2S   2S  hay a b c    bc a c a b ng th c x y ch a  b  c (đpcm) Nh n xét: Bài nhi u cách gi i khác nh ng có l cách hay nh t vi c ngh bi u th c M, N khơng ph i d dàng Ví d ph n cho ta th y đ c s c m nh s tinh t c a b t đ ng th c AM- GM, nh ng ch m i m t ví d đ n gi n Chúng ta s xét đ n k thu t thêm b t b t đ ng th c AM-GM qua ví d sau Ví d 2: Ch ng minh r ng v i m i s th c khơng âm a , b, c ta có a2 b2 c2 a bc    bc a c a b Gi i: S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có: a2 bc a2 b  c  2 a bc bc 4 b2 a c b2 a  c  2 b a c a c 4 c2 a b c2 a  b  2 c a b a b 4 C ng theo v b t đ ng th c ta có: a2 b2 c2 a bc     a bc bc a c a b a2 b2 c2 a bc    Hay bc a c a b DeThiMau.vn -9- ng th c x y ch a  b  c (đpcm) Nh n xét: ây d ng t p đánh giá m r i t AM sang GM N u nh ng m i ch ti p xúc qua b t đ ng th c AM-GM có th nh n xét r ng vi c tìm a2 bc a2 b  c đánh giá  2  a có v mang nhi u tính may m n Nh ng bc bc 4 không ph i v y, đ ý, m r i c a b t đ ng th c t i a  b  c Khi a a2 a  , ph i t o m t bi u th c đ v a có giá tr b ng , v a bc có th lo i đ c m u c a bi u th c a2 H n n a, v c a b t đ ng th c đ ng bc b c 1, t d dàng nh n bi u th c thêm vào ph i bc S d ng k t qu ta có th làm tốn sau: Ví d 3: [IMO 1995] Cho a , b, c  th a mãn abc  Ch ng minh r ng: 1    a b  c  b  a  c  c  a  b  Gi i: B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ (1) ng v i: abc abc abc 11 1        a b  c  b  a  c  c  a  b   a b c  1 2 11 1  a  b  c      1 1 1 2a b c    b c a c a b 1 t x  , y  , z  , ta quay tr l i ví d a b c Nh n xét: Bài có th gi i b ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz mà s xét ph n sau Ví d 4: Cho a , b, c  Ch ng minh r ng: ab bc ca a bc    a  b  2c b  c  2a c  a  2b DeThiMau.vn - 10 - Gi i: Ta có: 1 1  ab ab   ab    4a c bc  a  b  2c  a  c    b  c  1 1  bc bc   bc    4 a b bc  b  c  2a  a  b    b  c  1 1  ca ca   ca    4 a b bc  c  a  2b  a  b    b  c  C ng theo v b t đ ng th c ta đ c u ph i ch ng minh ng th c x y ch a  b  c Nh n xét: Trong ví d s d ng b t đ ng th c AM-GM d ng c ng m u s : Cho a1 , a , , a n s th c d ng Ta có: 1 1      n2 an   a1 a  a1  a   a n   ng th c x y ch a1  a   a n Ví d 5: Cho s a , b, c không âm, ch ng minh r ng: a3 a  b  c   b3 b3   a  c   c3 c3   a  b  1 Gi i: Xét b t đ ng th c ph sau:  x3   x2 x  0 Th t v y, theo b t đ ng th c AM-GM, ta có: 1  x 1  x  x2    x3  x2  x   x  x2  1 2 (1) Áp d ng vào tốn ta có: a3 a2    2 a b c 1bc bc 1  1    2 a   a  a  b  c  T ng t ta có DeThiMau.vn - 11 - b3 b3   a  c  c3 c3   a  b  C ng ba b t đ ng th c theo v ta đ b2  a  b2  c c2  a  b2  c c u ph i ch ng minh ng th c x y ch a  b  c Nh n xét: Bài toán thu c d ng t p đánh giá m r i c a b t đ ng th c t bi u th c GM sang AM i m khó c a ví d n m ch đ i bi n tìm b t đ ng th c ph (1) Bài t p cịn có th gi i b ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz Ví d [diendantoanhoc.net] Cho s th c d ng a , b, c th a mãn ab  bc  ca  Ch ng minh r ng: 1 1 1     1  1  1 ab bc ca a b c Gi i: B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i: ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a  ab  bc  ca    3 ab bc ca a2 cyc a b  3      cyc b cyc a cyc  a  b  a  c   a a Mà theo b t đ ng th c AM-GM  a  b  a  c     a a cyc C n ch ng minh a b b a 6 cyc  a b     6  cyc b cyc a  (hi n nhiên theo AM-GM) cyc V y b t đ ng th c cho đ c ch ng minh ng th c x y ch a  b  c  DeThiMau.vn - 12 - Nh n xét: V i toán trên, n u khéo léo s d ng gi thi t ab  bc  ca  tốn s tr nên đ n gi n Ví d 7: Cho s th c d ng a , b, c Ch ng minh: a b c a b bc c a      b c a c a a b b c Gi i: t a b c  x,  y,  z Khi đó, ta có: b c a a  b  yz 1 y   y 1 z c  a 1 z Bài toán quy v vi c ch ng minh: x 1 y 1 z 1   0 y 1 z 1 x 1   x2  1  z  1   y2  1  x  1   z2  1  y  1   x2 z  z2 y  y2 x  x2  y2  z2  x  y  z  D th y theo b t đ ng th c AM-GM ta có: x2 z  z2 y  y2 x  3 x3 y3 z3  ` x y z 2  x  y  z  K t thúc ch ng minh Nh n xét: bi n ý r ng bi u th c  x y z (vì x  y  z  ) ng th c x y ch a  b  c v ph i c a b t đ ng th c ch a phép c ng gi a c t m u nên vi c s d ng b t đ ng th c AM-GM m t cách tr c ti p vơ khó kh n Do ph ng án kh d nh t đ i bi n đ t o b t đ ng th c m i Bây gi , s xét t i m t k thu t m i vi c ch ng minh b t đ ng th c b ng AM-GM, k thu t đánh giá ph đ nh K thu t đ DeThiMau.vn c dùng đ ch ng - 13 - minh m t s b t đ ng th c áp d ng tr c ti p AM-GM b ng c d u r t hi u qu Ví d [ Bulgarian TST 2003] Cho s th c d ng a , b, c th a mãn a  b  c  Ch ng minh: S a b c    2 1 b 1 c 1 a Gi i: Bi n đ i s d ng b t đ ng th c AM-GM ta có: a ab ab ab     a a a 2 1 b 1 b 2b 2 b bc bc bc b b b 2 1 c 1 c 2c 2 c ca ca ca c c a 2 1 a 1 a 2a C ng theo v b t đ ng th c ta có: S  a  b  c  1  ab  bc  ca     ab  bc  ca  2 M t khác:   a  b  c    ab  bc  ca   ab  bc  ca  T suy S  ng th c x y ch a  b  c  Nh n xét: b t đ ng th c ban đ u, n u ta áp d ng tr c ti p b t đ ng th c AM- GM s b ng c d u Ví d : S  3 abc abc  3  (sai) 2 2b.2c.2a 1  b 1  c 1  a  2 Ta có tốn t ng quát c a toán trên: Cho s th c d ng a1 , a , , a n th a mãn a1  a   a n  n Ch ng minh r ng: a a1 a2 n    n  2  a  a3  a1 DeThiMau.vn - 14 - Ví d 9: Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh: a  b  c abc  ab  bc  ca    2   28  a b c  Gi i: Theo b t đ ng th c AM-GM ta có:   ab  bc  ca    a  b  c    a  b  c 6 2 2    ab  bc  ca   a  b  c    27   Suy ra: 27  ab  bc  ca   ab  bc  ca  ab  bc  ca   2 2 2 a b c  ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c  a  b  c C n ch ng minh: abc  27  ab  bc  ca  a  b  c 12  28 Theo b t đ ng th c AM-GM ta có:    a  b  c  27  ab  bc  ca   ab  bc  ca   5   55  (1) 12 4 27 abc 27  abc  27  abc  a  b  c a  b  c M t khác, ta có: 23 3 a 2b c 27abc  23 (2) T (1) (2) ta có u ph i ch ng minh ng th c x y ch a  b  c  Nh n xét: Trong toán n u không quan sát k l ng mà áp d ng b t a  b  c đ ng th c AM-GM s d n đ n ng ab  bc  ca  Qua cho th y đ a  b2  c2 hai b t đ ng th c đ ng b c ng c d u abc  27 nh ng c v đ p s c m nh c a ph i h p c chi u DeThiMau.vn - 15 - Ví d 10 [IMO 2005]: Cho s d ng x, y, z th a mãn x2  y2  z2  Ch ng minh r ng: x5  x2 y5  y2 z5  z2   0 x5  y2  z2 y5  z2  x2 z5  x2  y2 Gi i: B t đ ng th c cho đ c vi t l i nh sau: x cyc T ta suy ch c n xét tr  2 y z x  y2  z ng h p x2  y2  z2  B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i x 1  x2  cyc Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: x6 x6 x   x x 1 t a  x2 , b  y2 , c  z Suy ra: a  b  c  B t đ ng th c c n ch ng minh tr thành  2a cyc a 1  cyc  cyc 1 a 3 a 1 1 2a  a  2a  3  a  1  2a  3a  3 2a  a  2a  0 Khơng m t tính t ng qt, gi s a  b  c , suy a   c Xét tr (1) ng h p: +TH1: b  c  1, suy a  , đó: DeThiMau.vn - 16 - 2a  3a   2b3  3b   2c3  3c   Suy ra, (1) +TH2: b  c  1, suy a  , đó:  2a  a  2a  3   a  1  2a  a  3a  2  a3    a3       a3       0 2  a a a    Suy a 1  C n ch ng minh: 2a  a  2a  b 1 c 1   2b  b  2b  2c  c  2c  Ta có b đ : V i m i  x  1, ta có: x 1  2x  x  2x  Ta có (2) t ng đ (2) ng v i: x3   x  1 x  1 + N u x , ta có u ph i ch ng minh + N u x , ta có: x3   x  1 x  1  x3   x  1   x3  x  1   x2  x  1   x  1  B t đ ng th c (1) đ (đpcm) c ch ng minh ng th c x y ch a  b  c  Nh n xét: i m khó c a toán vi c đ a b t đ ng th c v d ng (1) nh b t đ ng th c AM-GM DeThiMau.vn - 17 - Bài tốn có th gi i b ng m t s khác nh Cauchy-Schwarz, S.O.S, U.C.T Ti p theo, s xét m t s ví d v s k t h p gi a b t đ ng th c AM-GM v i m t s b t đ ng th c c ng nh ph ng pháp khác u tiên s xét t i s k t h p gi a b t đ ng th c AM-GM CauchySchwarz: Ví d 11 [diendantoanhoc.net] Cho s th c d ng a , b, c Ch ng minh r ng: 1    a 3a  2b b 3b  2c c 3c  2a 5abc Gi i: 1 t a  , b  , c  B t đ ng th c c n ch ng minh tr thành: x y z x x x    zx  yz xy  zx yz  xy  x y z    z 3x  y x y  z y z  x Theo b t đ ng th c AM-GM Cauchy-Schwarz, ta có:  cyc x x  2 z x  y cyc x  y  z  x  y  z  x  3x  y  z   y  x  y  z   z  x  y  3z       x  y  z  x2  y2  z2    xy  yz  zx  x  y  z  x2  y2  z2   20  xy  yz  zx   xy  yz  zx 3  x  y  z  x2  y2  z2   2 20 x  y2  z2    xy  yz  zx  3 3 x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx 2 DeThiMau.vn  - 18 - B t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch a  b  c Ti p theo s s k t h p đ y ngo n m c gi a b t đ ng th c AM-GM Schur qua ví d sau đây: Ví d 12 [Vasile Cirtoaje]: Cho s khơng âm a , b, c cho a  b3  c3  Ch ng minh r ng: a 4b4  b4c4  c4a  Gi i: Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: bc  b3  c   a  3 T suy ra: b4c  4b3c3  a 3b3c3 T ng t ta có: a 4b  4a 3b3  a 3b3c3 (1) 4c3a  a 3b3c3 ca  4 C ng b t đ ng th c theo v ta đ a b b c c a  4 4 4 c:  a 3b3  b3c3  c3a   a 3b3  b3c3  c3a  C n ch ng minh:  a 3b3c3  a 3b3c3    a 3b3  b3c3  c3a   3a 3b3c3  M t khác, theo b t đ ng th c Schur, ta có:  a 3b3  b3c3  c3a  a  b3  c3   9a 3b3c3   a  b3  c3    a 3b3  b3c3  c3a   3a 3b3c3  V y b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch a  b  c  DeThiMau.vn - 19 - Nh n xét: Trong ví d trên, n u khơng phát hi n b t đ ng th c ph (1) vi c gi i r t khó kh n Ví d cịn có th gi i quy t b ng ph Cu i cùng, ta s xét đ n s ng pháp d n bi n k t h p gi a b t đ ng th c AM-GM ph ng pháp kh o sát hàm s Ví d 13 [Vi t Nam TST 2005]: Cho s a , b, c  Ch ng minh: a3 a  b Gi i: t b3  b  c   c3   c  a  b c a  x,  y,  z,  xyz  a b c B t đ ng th c c n ch ng minh tr thành:  1  x 1  y  1  z  Theo b t đ ng th c AM-GM ta có:  1  x 3   1  y 1  z  1   33  1  x 1  x 1  x 1   33  1  y  1  y  1  y 1   33  1  z  1  z  1  z  Ta c n ch ng minh: 1  x Ta có : 1  x  2  1  y 1  y   1  z  VT(1)  Gi s  (1)  x, y    xy  xy  x  y   xy  1  Suy ra: 2 (luôn đúng) 1 z z2  z       xy 1  z 2 z  1  z 2 z2  z  z  max  x, y, z  z  Xét hàm s : f ( z)  z2  z  z2  z  DeThiMau.vn - 20 - ... xin trình bày m t s v n đ v b t đ ng th c, m t s ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c nhóm tác gi đ c trình bày d tài g m vi t c a i d ng chuyên đ Nhóm tác gi DeThiMau.vn -2- M CL C L I NÓI U... -4- PH NG PHÁP PQR 114 Ki n th c liên quan 114 1.1 nh ngh a phỨp bi n đ i 114 1.2 Ph ng pháp pqr k t h p b t đ ng th c Schur 114 1.3 M r ng ph ng pháp pqr k... B T NG PHÁP S.O.S TRONG CH NG MINH NG TH C 142 L i nói đ u 142 Xơy d ng đ nh lí, tiêu chu n 142 Phơn tích c s 143 Các ng d ng c a ph ng pháp S.O.S