Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỉ23343

PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH VƠ T I PH NG PHÁP BI N IT NG NG Bình ph ng v c a ph ng trình a) Ph ng pháp  Thông th ng n u ta g p ph ng trình d ng : A  B  C  D , ta th ng bình ph ng v , u đơi l i g p khó kh n  Khi g p ph ng trình d ng: A  B  C Ta l p ph ng v ph ng trình  A  B  3 A.B   A  B  C s d ng phép th : A  B  C ta đ c ph ng trình : A  B  3 A.B.C  C Ví d Ví d 1) Gi i ph Gi i: k x  Bình ph ng trình sau : x   3x   x  x  ng v khơng âm c a ph ng trình ta đ c:  đ gi i ph ng trình khơng khó nh ng Ph ng trình gi i s r t đ n gi n n u ta chuy n v ph  x  3 3x  1  x  x  x  1 , ng trình : 3x   x   x  x  Bình ph ng hai v ta có : Th l i x=1 th a mãn Nh n xét : N u ph x  x   x  12 x  x  ng trình : f  x  g  x  h x  k  x Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta bi n đ i ph ng trình v d ng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình ph ng ,gi i ph ng trình h qu gi i xong nh ki m tra l i ngh m xem có th a mãn hay khơng? Ví d 2) Gi i ph ng trình sau : x3   x   x2  x   x  x 3 Gi i: i u ki n : x  1 Bình ph ng v ph ng trình ? N u chuy n v chuy n nh th nào? Ta có nh n xét : (2)  x3  x   x  x  x  , t nh n xét ta có l i gi i nh sau : x 3 x3   x   x2  x   x  x3 ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ Bình ph ng v ta đ c: x  1 x3   x2  x   x  x     x3  x   Th l i : x   3, x   l nghi m Qua l i gi i ta có nh n xét : N u ph Mà có : f  x  h  x   k  x    f  x  g  x  h x  k  x ng trình : ta bi n đ i Tr c c n th c 2.1) Tr c c n th c đ xu t hi n nhân t chung Ph ng pháp Khi g p ph ng trình vơ t mà ta có th nh m đ f  x  h  x  k  x  g  x c d ng tích  x  x0  A  x   ta có th gi i ph v đ c nghi m x0 ph A  x   vơ nghi m , ng trình ln đ a ng trình A  x   ho c ch ng minh gi i quy t tri t đ ta c n ý u ki n nghi m c a ph ng trình đ có th đánh giá ph ng trình A  x   b ng ph ng pháp đ o hàm ho c s d ng b t đ ng th c 1) Gi i ph Ví d ng trình sau : 3x  x   x    x  x  1  x  3x  Gi i: Ta nh n th y : 3x  x   x  x   2  x   v x      2   x  3x     x  2 Ta có th tr c c n th c v : 2 x  x  x    x  x  1  ( x  2)    3x2  5x   x  x     Gi i: 2) Gi i ph ph ng trình sau : 3x  x   x  3x   0 2  x   x  3x   D dàng nh n th y x=2 nghi m nh t c a ph Ví d  ng trình x  12   3x  x  x  12  x   x    x  ng trình có nghi m : Ta nh n th y : x=2 nghi m c a ph ng trình , nh v y ph ng trình có th phân tích v d ng  x   A  x   , đ th c hi n đ c u ta ph i nhóm , tách nh sau : x  12   x   x    x2  x  12   3 x  2  x2  x2     x2 x 1   x  2    3   x  2 x2     x  12  ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ D dàng ch ng minh đ 3) Gi i ph Ví d x2 c: x  12  ng trình : x   x  Gi i : k x  Nh n th y x=3 nghi m c a ph  x2 x 5 3 ng trình , nên ta bi n đ i ph x3 Ta ch ng minh :   x  1  x2   x3    x    x   x     x  3 1     0, x  ng trình    x  3  x  x    2 3 x3    x  1  x     1 x3  x 3  2 x  3x  x2 1   x3   V y pt có nghi m nh t x=3 Ví d 4) Gi i ph ng trình: x    x  x  x  Gi i: i u ki n:  x  Nh n th y ph ng trình có nghi m x  nên ta ngh đ n cách gi i ph ng trình b ng ph ng pháp nhân l ng liên h p x 3 x 3    x  3 x  1 PT  x     x   x  x    x 1 x  1 x   1    x  1(*)  x    x 1 1  1;     VT (*)   Ta có: x  1  x 1 1 M t khác x   VP(*)  x    (*) vô nghi m V y ph ng trình cho có nghi m nh t x=3 Ví d 5) Gi i ph ng trình: x  x    x   x  x  PT  x  x    x     x   x  x      x  x    x  2  x  x    x  x   2    x2   x  x   1      x  x    x  2x       x  2  x  x   x2  2x   0    x  1  0  x  2x     x  1 x  1   x2  x       x   T i ta phát hi n l ng x  x  ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ Ta th y x=-2 không nghi m c a ph ng trình nên ta chia hai v ph ng trình cho x+2 ta có x2  x 1 x2  x   Gi s ta c n thêm vào hai v ph ng trình m t l ng mx+n ta x2 x2  x 1 x  x   (mx  n)   (mx  n)  x2 có 1  m2  x  2(1  mn) x   n2  1  m  x2  (1  2m  n) x   2n x2 x  x   (mx  n)  m 2(1  mn)    m 2m  n  Ví d 6) Gi i ph ng trình: x    x  Gi i: i u ki n xác đ nh:  x  PT  x     x   x   Ta c n ch n m, n cho   x 3 x  1    3 x  x 1     x  3 2x  1 n2  T ta có m=0, n=3 2n  x   x  5x   2x  5x    x  1 x  3 1     x  3       x  1 x  3  x 1 x  1   x  1 * V i x    x  (th a mãn u ki n)    x  (2) * N u x   suy ra: x  1 2x  1  x 1 5 V i u ki n  x  , ta có: VP c a (2)  x     6;VT      2 Do pt(2) vơ nghi m Hay pt(1) khơng có nghi m khác V y pt(1) có nghi m nh t x  Ví d 7) Gi i ph ng trình sau: x3  x  x  16 x  12 x  x   x  x  x  Gi i: i u ki n: x3  x  x   x  x  x     x  Ph ng trình đ c vi t l i nh sau:  2( x  1)2  x3   (2 x  1)    (2 x  1)  (2 x  1)  4(2 x  1)    x  1  x  1      x   x  1 1     x  1  x  1   x3  1    (2 x  1)   A B A B  V i A  2( x  1)2  x   (2 x  1) B  (2 x  1)2  (2 x  1) (2 x  1)3  4(2 x  1)  (2 x  1)3  4(2 x  1)  Vì x   A  1; B     x   A B Suy PT  x    x  2 ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ 2.2) a v “h t m “ a) Ph ng pháp  N u ph ng trình vơ t có d ng A  B  C , mà : A  B   C dây C có th h ng s ,có th bi u th c c a x Ta có th gi i nh sau :  A  B  C  A  C  A  B   , ta có h :  A B     A B C A B b) Ví d Ví d 1) Gi i ph ng trình sau : x  x   x  x   x  Gi i: Ta th y : x  x   x  x    x       x  4 không ph i nghi m Xét x  4 Tr c c n th c ta có : 2x  2x  x   x  x  2  x   2x2  x   2x2  x   x   x  x   x  x   2  2x  x   x    V y ta có h :  x  2  x  x   x  x   x   Th l i th a; v y ph ng trình có nghi m : x=0 v x= x2  x   x  x   3x Ta th y :  x  x  1   x  x  1  x  x , nh v y không th a mãn u ki n trên.Tuy Ví d 2) Gi i ph ng trình : nhiên Ta có th chia c hai v cho x đ t t  tốn tr nên đ n gi n h n x Nh n th y x=0 không ph i nghi m, chia hai v pt cho x ta có tt  1 1   1   x x x x ta có ph ng trình m i t  t   t  t   vi c gi i ph ng trìn.h x hồn tồn đ n gi n Ta có 2 t2  t   t2  t 1   t  t   t  t   2t   t  t   t  t   T ta có h sau :  t2  t   t2  t 1  t  x  2t  10     2t   t  t     t     x    t  t   t  t 1     2t  ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ Ví d 3) Gi i ph ng trình: x  x  24  x  59 x  149   x Gi i: Ph ng trình xác đ nh v i m i x thu c R Ph ng trình có d ng:   5(5  x) 5(5  x )2   x    x  1  0  2 x  x  24  x  59 x  149 x x x x   24   59  149   x    5(5  x) 1   (*)  x  x  24  x  59 x  149 (*)  x  x  24  x  59 x  149  5( x  5) K t h p v i ph ng trình đ ta có h :  x  x  24  x  59 x  149  5( x  5)  x  x  24  x  10   x  x  24  x  59 x  149   x  x  4( L) x     x  19 (TM )     x x 24 (2 x 10)   19 V y ph ng trình có nghi m : x  5; x  3 Ph ng trình bi n đ i v tích  S d ng đ ng th c *) u  v   uv   u  1 v  1  *) au  bv  ab  vu   u  b  v  a   *) A2  B Ví d 1) Gi i ph Gi i: PT   ng trình :  x 1 1 x   x    x  3x  x  x  1     x  1  Ví d 2) Gi i ph ng trình : x   Gi i: + x  , không ph i nghi m + x  , ta chia hai v cho x: Ví d 3) Gi i ph ng trình: Gi i: i u ki n : x  1 PT   x   2x  3 x2  x  x2  x  x 1  x 1  x  1 x 1    1 x x     x 1   x  x   x x   x  x2  4x  x 1 x 1 1    x   ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ Ví d 4) Gi i ph 4x 4 x x3 x3 ng trình : Gi i: k: x  Chia c hai v cho  4x 4x 4x  x  : 1 2  1     x 1  x3 x3 x   Ví d 5) Gi i ph ng trình: x   x  x   x  x   Gi i: i u ki n  x  t a   x , b  x  1; a, b   ab   x  x  Ph ng trình cho tr thành: b  2a  2b  ab   a  b  b     a  b  b  - N u a=b  x  x    x  x   x  th a mãn u ki n đ - N u b=2 x    x  V y ph ng trình cho có nghi m nh t x=3  Dùng h ng đ ng th c k k Bi n đ i ph ng trình v d ng : A  B Ví d 1) Gi i ph ng trình : 3x  x 3x Gi i: k:  x  pt đ cho t ng đ ng 3  10 10   : x  3x  x     x  x     3 3  Ví d 2) Gi i ph ng trình sau : x   x  x  Gi i: k: x  3 ph 1  3 x   ng đ ng : x 1  3 x x     9x2     x  5  97  x    3 x  18 Ví d 3) Gi i ph Gi i : PT  ng trình t ng trình sau :  3 x  x    x  3 x  x   x   3x    x 1 II PH NG PHÁP T N PH Ph ng pháp đ t n ph thông th ng * i v i nhi u ph ng trình vơ vơ t , đ gi i có th đ t t  f  x  ý u ki n c a t n u ph ng trình ban đ u tr thành ph ng trình ch a m t bi n t quan tr ng h n ta có th gi i đ c ph ng trình theo t vi c đ t ph xem nh “hồn tồn ” Nói chung nh ng ph ng trình mà có th đ t hồn tồn t  f  x  th ng nh ng ph ng trình d ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ Ví d 1) Gi i ph ng trình: i u ki n: x  x  x  x  x   Nh n xét tt x  x2 1  x  x2 1  x  x  ph Thay vào tìm đ c x  Ví d 2) Gi i ph ng trình: x  x   x  Gi i i u ki n: x   t ng trình có d ng: t    t  t t  x  5(t  0) x  t2  Thay vào ta có ph ng trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t  t  22t  8t  27  16  (t  2t  7)(t  2t  11)  Ta tìm đ c b n nghi m là: t1,2  1  2; t3,4   Do t  nên ch nh n gái tr t1  1  2, t3   T tìm đ ng trình l: x   vàx   c nghi m c a ph Cách khác: Ta có th bình ph ng hai v c a ph ng trình v i u ki n x  x   Ta đ c: x ( x  3)  ( x  1)  , t ta tìm đ c nghi m t ng ng n gi n nh t ta đ t : y   x  v h ) đ a v h đ i x ng (Xem ph n d t n ph đ a Ví d 3) Gi i ph ng trình sau: x   x   i u ki n:  x  t y  x  1( y  0) ph ng trình tr thành: y  y    y  10 y  y  20  ( v i y  5)  ( y  y  4)( y  y  5)   y  T ta tìm đ c giá tr c a x  Ví d 4) Gi i ph 11  17  ng trình sau : x  2004  Gi i: đk  x  t y   x PT  1  y   21 1  17 (loaïi), y  2 y  x 1 1 x   y  1002    y   x  ThuVienDeThi.com ｨｴｴｰＺＯＯｭ･ｧ｡｢ｯｯｫＮｶｮＯ  3x  x ng trình sau : x  x x  Ví d 5) Gi i ph Gi i: i u ki n: 1  x  Chia c hai v cho x ta nh n đ c: x  x  1  3 x x , ta gi i đ c x t t  x ng trình : x  Ví d 6) Gi i ph x4  x2  2x    c:  x  Gi i: x  không ph i nghi m , Chia c hai v cho x ta đ 1  x  x x 1 , Ta có : t  t    t   x  x t t= x   Ví d 7) Gi i ph ng trình sau: x  x  x  x   x  x  L i gi i: i u ki n x   ; 1   0;1  x2 x N u x