CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT THCS NGUYỄN TRÃI

TÀI LIỆU, CHUN ĐỀ THCS MƠN TỐN vectorstock.com/3167070 Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT THCS NGUYỄN TRÃI WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :  Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC:  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x) ⇔  g ( x) ≥  f ( x) = g ( x)  1/  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x)  f ( x) ≥  3/ f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔  g ( x) ≥   f ( x) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x)  f ( x) ≥  n n f ( x) = g ( x) ⇔  g ( x) ≥ (n ∈ N * ) 4/  f ( x) = g ( x)  2/  g ( x) ≥ f ( x ) = g ( x) ⇔  (n ∈ N * ) 2n f ( x ) = g ( x )  n + n + 6/ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ x=3 ⇔ ⇔ x =  x + = (x − 1)  x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ ⇔ 2 x + = x HD: (1) ⇔  x ≥ ⇔ x − 2x − = x ≥  ⇔   x = −1 ⇔ x =  x =  Bài 3: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥  ⇔ 1 − x ≥   x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x) 1  x≤    x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − x +     −1 ≤x≤  −1   ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0 x2 + x =     x = −7 Bài 4: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ HD:ĐK:  ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ PT ⇔ x − (1 − x + ) =  x−2 =0 ⇔ ⇔  1− x + =  ( ) x =   x = −17  (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt cho tương đương: 3  10 10 −  = ⇔ x = x + 3x + x − = ⇔  x +  3 3  Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : x =  x + + = 3x 2 + + x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 ( ) Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 3x ( x + ) HD: pt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 Bài Giải biện luận phương trình: x − = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔  x − = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = HD: Ta có: x − = x − m ⇔  2 – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2 + m2 + Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ < m ≤ – Nếu m ≠ 0: x = + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x = m2 + 2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x − = x − m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) x ≥ m x ≥ m ⇔  2 2  x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = HD: Ta có: x − = x − m ⇔  – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + ≥m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ – Nếu m ≠ 0: x = + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − Tóm lại: – Nếu ≤ m ≤ m ≤ − Phương trình có nghiệm: x = m2 + 2m – Nếu − < m ≤ m > : phương trình vơ nghiệm Bài 10 Giải biện luận theo tham số m phương trình: x − x = m − m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) =  x − m =0 ⇔  x = − m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m)2 + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 3/ x + − 3x − = 5/ x + = − x − 6/ x + − x − = 12 − x 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 10/ 5x − + =0 13/ 16 x + 17 = x − 23 Bài 2: Giải phương trình: a) x − = x − d) + x + − x = g) x + = − x + 8/ x−2 −5 = 11/ − x + = 14/ 9/ = x − x 19 3x + + − x = 12/ 8− x −5 = 15/ 20 − − x = x − b) x − x + = c) x + x + = e) h) f) + x − − x = i) x − x − = 3x − + x − = 3x + − x + = x + Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + x − = 2m + x − x Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x + mx − = x − m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = e/ x − − c/ 3x − x + = g/ x −2 = 6− x x −4 7− x h/ x + − x − = x − 27 + x − 12 = −1 i/ −5 x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC:  f ( x) = g ( x ) ( f ( x) ≥ 0)  f ( x) = − g ( x) ( f ( x) < 0) Sử dụng đẳng thức sau: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔  II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) x + ≥ HD: (2) ⇔   x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + +  x ≥ −1 ⇔  (*)  x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ 2x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x + x − + x − x − = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = 2/ x − x + = 3/ x − x + = x − 4/ 5/ x − x + + x + x + = 6/ x − x + − x − x + = 10 7/ x − x + + x + x + = x − x + 8/ 9/ x + x − + x − x − = 10/ x − − x − + x − x − = 11/ x + − x + + x + 11 − x + = 12/ x − + x − + x + + x − = 13/ x + x − x + x + − = 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 15/ x − x + + x = 10 16/ x − x + + x = 2 x+ x+ 17/ 19/ 1 + x+ =2 x + x −1 + x − x −1 = x + x + = 5x + x2 − x + + x2 − x + = 1 x + x +1 − − = 18/ x+3 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = 20/ x − x + = − x 22/ x + − x − = PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 t Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = Thay vào tìm x = Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vaø x = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x − x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = y ≤ 5) ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = )( ( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x ) HD: ĐK: ≤ x ≤ Đặt y = − x phương trình trở thành: (1 − y ) ( y + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x +  1 HD: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:  x −  + x − = x x  Đặt t= x − 1± , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5  y=  Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔ ⇔ y =1  y =1  x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔  Là nghiệm phương trình cho  x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành :   + α   + β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp nếu:  P ( x ) = A ( x ) B ( x )  Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x3 + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1)( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1)( x + x + 1) 2 Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x3 + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ )  u = 2v ± 37 Tìm được: x = phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔  u = v 2  Bài Giải phương trình : x − 3x + = − x + x + (*) 4 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1)( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − (x + x + 1)( x − x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x + x + 1)( x − x + 1) 3 Đặt : u = x + x +  u ≥  ; v = x − x +  v ≥  4  phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v  4 Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x + x − = x − (*) HD:Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔  v = u  Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x3 − x + ( x + 2) − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y: x = y x3 − x + y − x = ⇔ x3 − xy + y = ⇔   x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − Bài 5:Giải phương trình: 10 x + = ( x + ) HD:ĐK: x ≥ −1 Pt ⇔ 10 x + x − x + = 3( x + 2) u = x + Đặt  v = x − x + (u , v ≥ 0) u = 3v  v = 3u Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) ⇔ ( 3u − v )( u − 3v ) = ⇔  Nếu u = 3v ⇔ x + = x − x + ⇔ x − 10 x + = (vô nghiệm)  x = − 33 Nếu v = 3u ⇔ x − x + = x + ⇔ x − 10 x − = ⇔   x = + 33 nghiệm b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài Giải phương trình : x + x − = x − x + u = x HD:Ta đặt :  ( u , v ≥ 0; u ≥ v ) phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v )( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x + x + 1 HD:Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) u = x + x ta có hệ : = − v x  Ta đặt :  Do u , v ≥ u =  1− v u = uv = u − v ⇔   1+ v u =  1+ 1+ v ⇔ x2 + x = ( x − 1) 2 Bài Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + ( x − x − 20 ) ( x + 1) − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) ta không HD:Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = Nhận xét : Không tồn số α , β để : x 2 u = x − x − 20 v = x + thể đặt :  Nhưng may mắn ta có : ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + )( x − 5)( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Ta viết lại phương trình: ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Từ phương trình tích 2x + − x + = x +1 −1 x + − x + = , 2x + − x ( )( ) ( )( ) Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ( ) Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + t = t = x − HD:Đặt t = x + ; t ≥ , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔  Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + HD:Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Bài 3:Giải phương trình: x + 3x + = ( x + 3) x + HD:Đặt t = x + 1; t ≥ Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = ⇔ (t - x)(t - 3) = t = x ⇔ t = Nếu t = x ⇔ x + = x (Vô lý) Nếu t = ⇔ x + = ⇔ x = ±2 Vậy: x = ±2 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) , Ta có a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b )( a + c )( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba  xy ( x + y ) = 30 , giải hệ ta tìm 3  x + y = 35 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau:  ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} −1 − x + x = Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: ≤ x ≤ −  Đặt  −1− x = u  x = v ⇒0≤u≤ − 1,0 ≤ v ≤ −1  u = −v   u + v =  ⇔ Ta đưa hệ phương trình sau:  u + v = −  − v  + v = −       Giải phương trình thứ 2: (v + 1) −  v +  = , từ tìm v thay vào tìm nghiệm 2  2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 5) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = ⇒ ( a + b)( a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b −  b − a = Vậy x −1 +1 = + x −1 ⇔ x −1 = − x ⇒ x = Bài Giải phương trình: 11 − 17 − 2x + 2x + = 5− x 5+ x HD:Điều kiện: −5 < x < Đặt u = − x , v = − y < u, v < 10 ( ) (u + v) = 10 + 2uv u + v = 10   Khi ta hệ phương trình:  4 2 8⇔  − − + 2(u + v) = (u + v) 1 −  =  u v  uv   Bài Giải phương trình: 629 − x + 77 + x = HD:ĐK: −77 ≤ x ≤ 629  u = 629 − x (u; v ≥ 0) Đặt   v = 77 + x ⇒ u + v = 8, u + v = 706 Đặt t = uv ⇒ t − 128t + 1695 =  t = 15 ⇔ t = 113 Với t = 15 ⇒ x = 11 Với t = 113 ⇒ x = 548 Bài Giải phương trình: x3 + x − + x3 + x + = HD:Với điều kiện: x3 + x − ≥ ⇒ x3 + x + > (1)  u = x3 + x − Đặt  Với v > u ≥ v = x + x + Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình  u+v =3  2 v − u = u + v = u+v =3 u =  ⇔ ⇔ ⇔ v = v − u = (v + u )(v − u ) =  x + x − = ⇔  x + x + =  x3 + x − = ⇔ x + x + = ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = (do x + x + > ∀x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} 2 3  1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ≤ x ≤1 HD: Điều kiện:   x≥0  x≥0 Bài Giải phương trình: − x =  − x  Với điều kiện (*),đặt u = x ; v = − x , với u ≥ 0, v ≤  1− x2 Ta có:  −  (*) = 1− u4  x  = v2  Do dó ta có hệ 12    u+v =  u+v = ⇔    − u = v2 u + v =    u+v = u+v =   3 ⇔ ⇔ 2 2 2  u + v ) − 2u v =  ( u + v ) − 2u.v  − 2u v =  (    u+v= u+v=     ⇔ ⇔  − 2u.v  − 2u v = 2u v − 16 u.v − 65 =    81      u + v =   − 194  u.v = 18  ⇔   u + v =    + 194  u.v = 18  ⇒ u v nghiệm phương trình  2 − 194 = 0( a ) y − y + 18   y − y + + 194 = 0(b)  18 • (b) vơ nghiệm • (a) có nghiệm 97 −3 1+ y1 = ; y2 = u = y u = y Do đó:  1 ∨  v1 = y  v = y1 1− 97 −3 1+ Vì u ≥ nên ta chọn u = y = 1+ ⇒ x=  97 1 + −3  ⇒ x =    97 −3  97 −3       1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1 + 9  4 Bài Giải phương trình: 18 + x + 64 − x =  97 − 3   HD:Với điều kiện 13  18  18 + x ≥ x ≥ − 18 64 ⇔ ⇔− ≤x≤  64 5 64 − x ≥  x≤   (*) Đặt u = 18 + x , v = 64 − x , với u ≥ 0, v ≥ u = 18 + x Suy  v = 64 − x Phương trình cho tương đương với hệ:  u+v = u+v =    2 u + v = 82 ⇔  u + v − 2(uv) = 82  v ≥ 0, v ≥  v ≥ 0, v ≥   ( ) Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S=4   2  S − P − P = 82  P ≥ 0, S ≥  ( )  S=4 S =4    ⇒  p − 32 P + 87 = ⇔  P = ∨ P = 29   P≥0 P≥0   (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: y =1 y2 − y + = ⇔  y = u = u = ∨ Do ta có:  v =  v =  18 + x =  18 + x = Suy  ∨  64 − x =  64 − x =  18 + x = 18 + x = 81 ⇔ ∨ 64 − x = 81  64 − x = 17 63 thoả mãn (*) ⇔x=− ∨x= 5 (2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là: 17   x1 = −   x = 63  5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II ( x + 1)2 = y + Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :  ( y + 1) = x + (1) (2) việc giải hệ đơn giản 14 Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f ( x ) cho (2) , y = x + − , ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + − 1) + ⇔ x + x = x + Vậy để giải phương trình : x + x = x + ta đặt lại đưa hệ (α x + β )2 = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây dựng y + = ax + b β) (α phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , ta có phương trình : β a (α x + β ) = ax + b + b − α α β α α Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : n (α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ đặt α y + β = n ax + b để đưa hệ , ý dấu α ??? n Tương tự cho bậc cao : (α x + β ) = a n ax + b + b − n Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : (α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ chọn Bài 1: Giải phương trình: x − x = 2 x − HD:Điều kiện: x ≥ Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1)2 − = 2 x −  x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau:   y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Cách 2: Đặt x − = t + a ⇒ x − = t + 2at + a Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x -  x − x = 2t − kết hợp với đầu ta có hệ phương trình:  t − 2t = x − Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau:  (2 y − 3) = x + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vơ nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Bài 3:Giải phương trình: x − x + = HD:ĐK: x ≥ −5 Pt ⇔ x − = x + ; x ≥ (*) Đặt x + = t + a ⇔ x + = t + 2at + a 15 Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình:  x − = t từ ta tìm nghiệm 2 t − = x Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4x + ( x > 0) 28 4x + 4x + =t+a ⇒ = t + 2at + a 28 28 4x + 1 = t + t + ⇒ 7t + 7t = x + Chọn a = ta được: 28  7 x + x = t + Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:   7t + 7t = x +  HD:Đặt Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: x + x + = x + PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 ≤ (a + b )( x + y ) Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a b = x y 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b ≥ ta có: a+b ≥ ab Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b b) Với ba số a, b, c ≥ ta có: a+b+c ≥ abc Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c c) Với bốn số a, b, c, d ≥ ta có: a+b+c+d ≥ abcd Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an ≥ ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A≥m ⇒ A≤M ⇒ MinA = m ⇒ MaxA = M Dấu ''='' xảy ⇔ f(x) = Dấu ''='' xảy ⇔ g(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B = Từ phương trình ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = 16 ( ta khai triển có phương trình : x + 12 + x − = x x − + − x ) Dùng bất đẳng thức  A ≥ m (1)  B ≤ m (2) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:  dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A = B Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = x +1 + x = Vậy ta có phương trình: − 2008 x + + 2008 x = ≥ , dấu x +1 + 1+ x x +1  A ≥ f ( x ) :  B ≤ f ( x) Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng :   A = f ( x ) A= B⇔   B = f ( x ) Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP: Bài Giải phương trình : 2 + x = x+9 x +1 HD:Đk: x ≥ 2   x     = x+9 + x +1  +   x +  x +       1 ⇔x= x +1  2  + x ≤ 2 Ta có :    x +1   ( Dấu ⇔ 2 = x +1 ) Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 HD:Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x ) = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ (13 + 27 ) (13 − 13 x + + x ) = 40 (16 − 10 x )  16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x (16 − 10 x ) ≤   = 64  2   x = + x2   1− x = Dấu ⇔  ⇔  10 x = 16 − 10 x  x = −  2 Bài Giải phương trình: x3` − 3x − x + 40 − 4 x + = HD:Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x3 − 3x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 Bài 4: Giải phương trình: − x + x − = x − 12 x + 38 HD:Ta có :VT2=( − x + x − )2 ≤ (1 + 1).(7- x + x - 5) = 17 Nên : < VT ≤ Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 ≥ Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 5: Giải phương trình: − x + 3x − + x + = HD:ĐK: x ∈ [1; 2] (1) PT ⇔ − x + 3x − = − x + (2) Từ (2) ta có: − x +1 ≥ ⇔ x +1 ≤ ⇔ x +1 ≤ ⇔ x ≤ (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 6:Giải phương trình : HD: Điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − 1 Áp dụng bất đẳng thức si ta có: x 4x − + 4x − ≥2 x x ⋅ 4x − 4x − = x Theo giả thiết dấu xảy khi: x = 4x − x 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ (x − 2) = ⇔ x = 2± Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2)2 = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± (Thoả mãn) Vậy : x = ± Bài 7:Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − HD: Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình cho vơ nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vơ nghiệm Bài 8:Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) HD: Ta có (1) ⇔  x + 2x + +  +  x + 2x + +  = −(x + 2x + 1) + 5    ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1)  18 Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = –1 Bài 9:Giải phương trình : HD: điều kiện x ≥ x+7 + = 2x + 2x − x +1 Dễ thấy x = nghiệm phương trình – Nếu ≤ x < : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.2 + = + VT < + 1+ x > ⇒ x +1 > +1 1+ 6 Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài Giải phương trình : x − + x = x3 − HD :Đk x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   x+3   ( x − 3) ( x + x + ) 3 x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − +   x+3 Ta chứng minh : + ( x − 1) + x − + =1+ x+3 ( ) x2 − + +  ⇒  x − 3 ⇒ ) )( ( − x + x − − x + x − x − = 3.x ( + ) + (x (x 2 + + ) ) = 3.x +2 (x − 3) = 27 x  x > ; x2 (9 − x4 ) ≥  x >  ⇒ ⇒ 4 4 2 ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x ) Giải hệ ta tìm x = Bài 6:Giải phương trình: 2x2 ( − + 2x ) = x+9  x ≥ − HD:ĐK:   x ≠ 21 Pt ⇔ ( x2 + + x ( − + 2x )( ) + + 2x ( x 18 + x + + x ⇔ x2 ⇔ + 2x = ⇔ x = − nghiệm ) = x+9 ) = x+9 Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 2) ( x + 3)( x + ) + ( x + 3)( x − 1) = ( x + 3) Tổng quát: α f ( x ) g ( x ) + β f ( x ) h ( x ) = λ f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + − BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1 − 12 + x2 − 22 + + 2005 x2005 − 20052 = Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z − = ( x1 + x2 + + x2005 ) (x + y + z) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1)2 x2 − x + = x − + x +1 = ( x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x3 + ) x −3 4− x = 9− x − x = x 27 x10 − x + 864 = x − − x − = −1 ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) x + 17 − x + x 17 − x = − 10 − x = x − )( x+4 =6 x+2 − x − 3x − = x2 + x + − x2 − x + = x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + 3+x 3x + x = x + x + − x x + 24 + = x + x + Bài 4: Giải phương trình sau: 25 − x − 10 − x = (7 − x ) − x + ( x − 5) x − 7− x + x −5 ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 2x + = x 3x + 3x − x + x = + x + 1− x = x2 − x + + x2 − x + + x2 − x + = + =2 ( x − 3)( x + 1) − ( x − 3) x +1 +3= x−3 x + x + 20 = x + 10 x2 + x + = 2 x + x − + = x − 20 − x + x − x − 12 = 48 + x 22 2x 1     x +  − 4 x + +6 = x  x  x − 20 + x −5 − x − 45 = 2+ x + + 2+ x 4x + + = 5− 2− x x− x −5 (7 − x ) = 2 − 2− x − 2x +1 − = +1 x + x2 − =4 − x + ( x − 5) x − 7− x + x −5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3−x 3+x a + b − x = + a − b − x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x x + x + − x + x + 28 = Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x Giải phương trình sau:   +   + +  x3 −  = 855   Bài 6:Cho phương trình: x + = x + 62− x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x − y = 48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 −x x +2 x d/ x + y = 2000 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9:Giải phương trình sau : x − 14 x + − x − x − 20 = x + 1 x −1 = 1− + x − 2x + x x x ( x − 1) ( x3 + = x3 + x + x + = x3 − x − 15 30 x − x ) = 2004 ( ( x − x − 10 = x − x − 10 ) ( x + − = x + 3x + x + ) x + x + 12 x + = 36 (1 + x ) + 3 − x + (1 − x ) = 2008 x − x + = 2007 x − x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 3 ) 30060 x + + x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x + 16 x + 18 + x − = x + 12 x + x − = x + x − + x3 − = 3x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = ( − x )( − x ) = x + ( − x )(10 − x ) x2 + = x − + 2x − x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x −1 + x +1 = x 3 x3 + (1 − x ) = x − x2 Bài 10: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x x + x + = 2x + 3x + 3x + 2 x +x+2 = 3x + b) x − x + 3x + = −3x − 23 c) x − x + = x − x + 12 d) 3x + 15 x + x + x + = e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = f) g) x + 3x + − 2 x + x + = − Bài 11: Giải phương trình: (1 − x ) x3 + x+ x x −1 = 2x2 + 5x + − 2x2 + 5x − = h) x + x + 11 = 31 + − x  (1 − x ) −  = x (1 − x ) 35 12 ( x − 3)( x + 1) + ( x − 3) (1 + x )  = + − x2  x +1 = −3 x −3 64 x − 112 x + 56 x − = − x − x − 2x − x2 − 2x2 + = Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + (1 + x )( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + =m x − x2 Giải phương trình với m = + Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm ngun sau: y = x + x −1 + x − x −1 x+ x+ x+ x = y y = + − x2 − x y = x + x + + x +1 y = x + 2x − + x − 2x − y = x −1 − x − + x + − x − Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x = y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x + x = x (Vế trái có 100 dấu căn) Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: ( a+b x2 + − x )( − a −b = − 20 ) y + − y = Tính x + y Bài 20:Giải phương trình: x + + x = Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: x − y2 + y − z2 + z − x2 = Chứng minh rằng: x + y + z = 24 Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b − c = a + b − c Chứng minh rằng: 2010 a + 2010 b − 2010 c = 2010 a + b − c Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: y = + 199 − x − x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a − b = 11 − 28 Bài 25:Giải phương trình: x + − x2 =1 − 2x2 Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: 1+ 1 1 1 20092 − + + + + + + + + = 2009 12 22 22 32 k ( k + 1) Bài 27:Giải phương trình: 1/ + x − + − x − = 2/ x + x2 + x − x2 = x + 3/ x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 45 − x + 25 x + 125 16 x + 80 + − =9 12 16 8/ x + 712671620 − 52408 x + 26022004 + x + 712619213 − 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 − 2010 x + x + 10/ ( x + 5)(2 − x) = x + 3x Bài 28:Giải phương trình sau: 15 x − x − = x − 15 x + 11 ( x + 5)(2 − x) = x + x (1 + x)(2 − x) = + x − x x + 17 − x + x 17 − x = 3x − + x − = x − + 3x − x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n − x + n (1 − x) = ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 − − x ) − x2 + − x2 = 25 ... Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15 :Giải phương trình. .. Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + (1 + x )( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + =m x − x2 Giải phương trình với... 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + x − = 2m + x − x Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x + mx