Chuyên đề Phương trình vô tỉ Toán 942153

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : Thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2/Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Phương pháp nâng lên lũy thừa g(x)  f (x)  g(x)   f (x)  [g(x)] Ví dụ Giải phương trình: x   x  (1)  x  x  x  Giải: (1)     x   x   x   x  3x  a) Dạng 1: Vậy: phương trình cho có nghiệm x = b) Dạng 2: f (x)  g(x)  h(x) Ví dụ Giải phương trình: x  Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có:   x  (2) x3 x2 5  2x   (x  3)(x  2)  25  (2)   (x  3)(x  2)  12  x 2  x  12 2  x  12  x6  2 25x  150  x  x   144  x  24x Vậy: phương trình cho có nghiệm x = c) Dạng 3: f (x)  g(x)  h(x) Ví dụ Giải phương trình: x   Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3)  x   12  x (3) x   12  x  x   x    (12  x)(x  7)  19x  x  84  x   4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16  76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 =  5x2 – 84x + 352 = 84 352  42 1764 1764 352    5 x2  x      5 x   x   5  25 25    42  44     5 x      x   x    (x  8) 5x  44   25    ThuVienDeThi.com  x1 = 44 ; x2 = 44 ; x2 = f (x)  g(x)  h(x)  k(x) Vậy: phương trình cho có hai nghiệm x1 = d) Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình: x  Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4)  x   x   x   (4) x   x  x 1  x   2x   x(x  9)  2x   (x  4)(x  1)   x(x  9)  (x  1)(x  4)  49  x  9x  14 x(x  9)  x  5x   45 + 14x + 14 x(x  9) = Với x ≥  vế trái phương trình ln số dương  phương trình vơ nghiệm Phương pháp trị tuyệt đối hóa x  4x   x  (1) Ví dụ Giải phương trình: Giải: (1)  (x  2)   x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1)  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = HD: Đáp số: x = Ví dụ Giải phương trình Giải: (2)   x   x   x  10  x   x   x  (2) x   x    x   2.3 x    x   x   x   1 | x   | 2.| x   1| Đặt y = x  (y ≥ 0)  phương trình cho trở thành: y  1 | y  | | y  1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau, phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình Cách điều kiện x ≥ x   5x   3x  Với x ≥ thì: Vế trái: x   5x   vế trái âm Vế phải: 3x  ≥  vế phải ln dương Vậy: phương trình cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x   5x   3x   x   8x   (5x  1)(3x  2) ThuVienDeThi.com   7x  (5x  1)(3x  2) Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vơ nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch hai vế Ví dụ Giải phương trình: 4 9    x  2x      x  2x     (x  2x  1)  3 5   Giải: Ta có (1)   3x  6x   5x  10x  14   2x  x (1) 3(x  1)   5(x  1)    (x  1)     Dấu “=” xảy  x = –1 Ta có: Vế trái ≥ Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu hàm số (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm nhất) Ví dụ Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ x7   2x  2x  x 1 Dễ thấy x = nghiệm phương trình  x  : VT =     Mà: VP >  x 1 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x  > 2.22 + =  VT <  – Nếu x   x 1  1 6 1  1 3 x 1 1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: Giải: Thử với x = Ta có: 3x  7x   x   3x  5x   x  3x  3.4  7.2   22   3.22  5.2   22  3.2   1   (1)  (3x  5x  1)  2(x  2)  (x  2)  3(x  2)  3x  5x   x  Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình  6 3 x 2x Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm 8 Thật vậy: Với x < :  4    3 x 2x 3 x 2x Ví dụ Giải phương trình: ThuVienDeThi.com Tương tự với < x < 2: Ví dụ Giải phương trình: Giải: (1)  6 3 x 2x 3x(2  9x  3)  (4x  2)(1   x  x )  (1)   3x 2      3x  (3x)   (2x  1)  (2x  1)     (3x)   (2x  1)  (2x  1)   1 biểu thức hai vế Vậy x =  5   nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng   ;  Ta chứng minh   Nếu 3x = –(2x + 1)  x =  nghiệm Với  1  x   : 3x < –2x – <  (3x)2 > (2x + 1)2  Suy ra:   (3x)    (2x  1)     3x  (3x)   (2x  1)  (2x  1)    (1) khơng có nghiệm khoảng Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm  d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt x 4x   2 x 4x  Ví dụ Giải phương trình Giải: điều kiện x 1 x Áp dụng bất đẳng thức a b   với ab > b a  x 4x   Nên: x 4x    Dấu “=” xảy  x  4x   x  4x   x 4x  2  x  4x     (x  2)   x     x   Với điều kiện x Phương pháp đưa phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: 2x   x   x  Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình: x    PT vơ nghiệm (x  3)( 2x   x   1)     2x   x   Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1)  x   2(x  1)  x    x   x (1)  x 1  1 x 2  x 1  1 x 1  ThuVienDeThi.com  x1 = 0; x2 = 24 25  Ví dụ Giải phương trình: x   x  x Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1)   x   11   x    x  (1)  x3  x  x    x = Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: x  x   (1) Giải Đặt x  = y (y ≥ 0) y2 = x +  x = y2 –  x2 = (y2 – 1)2  (2)  (y2 – 1)2 + y – =  y(y  1)(y2 + y  1) = Từ suy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ Giải phương trình: HD: ĐK: x ≥ Đặt (1)   x   1     0;  1;    x    x (1) x 1 1= y  x   1   x   1    y3 + y2 – =  (y – 1)(y2 + 2y + 2) =  y =  x = b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x  (3) Giải Đặt u = x  , v = x  x  (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 +  (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) = Giải ra, xác định x Kết là: x  Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ –2 (1)    37  37  ;      x5   x5    x   x  7x  10  (1)   x   (x  5)(x  2)  Đặt: x  = u, x  = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1)  (a – b)(1 + ab) = a2 – b2  (a – b)(1 – a + ab – b) =  (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 nghiệm x   3x  2x  (1) x  = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Đặt  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) = nghiệm phương trình  x   x  2x  (1) Ví dụ Giải phương trình: x x x Mà a + b + >  a = b  x = ThuVienDeThi.com Giải Đặt (1)  x x = u, x 2x  = v (u, v ≥ 0) x  5     2x     x     2x    u – (v2 – u2) – v = x  x  x  x  (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ x  3x   x   x   x  2x  (1) (x  1)(x  2)  x   x   (x  x)(x  3) Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ (1)  Đặt: x  = a, x  = b, x  = c (a, b, c ≥ 0): (1)  ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) =  a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x Giải Đặt : u   x ; v   x ; t   x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu  x (u ; v ; t ≥ 0) (u  v)(u  t)  (1)  Từ ta có hệ: (v  u)(v  t)  (2) (t  u)(t  v)  (3)  Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u  v)(v  t)(t  u)  Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  v  t    u  t    u  v   30 (4) 30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: 2(u  v  t)  31 30 31 30 (8)  u v t  30 60 Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u  60    30  11 30 239  x      v  60 120  60    19 30 t  60  d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình x   2x  Cách 1: Giải tương tự Ta x = 5 ThuVienDeThi.com Cách 2: Đặt x   u  u  v  u  2x   v Ta có hệ:    x =  v  2u   u  12 8 x  5 x  Ví dụ Giải phương trình:  x = u ,  x  v (u, v ≥ 0): u  v  u  u=3  Giải ta có x = nghiệm  v   v   v=2 u  v  13 Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt 25  x   x  Ví dụ Giải phương trình: 25  x = u,  x = v (u, v ≥ 0) u  v  u  v  u     Thế ngược trở lại: x = nghiệm    u  v  v  u  v  16 Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 1 x   x  Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt  x  u ;  x  v (u, v ≥ 0) u  v  x       x  3 u  v  Ví dụ Giải phương trình:  x   x   x2  Ví dụ Giải phương trình:  x  u, Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u  v)  2uv   x  v (u, v ≥ 0)   (u  v)  uv  Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: 97  x  x  (1) 97  x = u, x = v (u, v ≥ 0) u  v  u  u      (1)     v  v  u  v  97 Ví dụ Giải phương trình: x  2x   12(x  1) Giải Đặt Giải Đặt  4 x  u,  x  81   x  16 2x   v (1) u  v  4(u  v3 )  u  v3  3uv(u  v)  4(u  v3 ) u  v  3.(u  v).(u  2uv  v )   3.(u  v).(u  v)     kết u  v Giải biện luận phương trình vơ tỉ x2   x  m x  m x  m x2   x  m    2  x   x  4xm  m 2mx  (m  4)  Ví dụ Giải biện luận phương trình: Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2  m2  Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤   m  – Nếu m ≠ 0: x ThuVienDeThi.com + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: m2  – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x  2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm x2   x  m x  m x  m  x2   x  m    2  x   x  m  2mx 2mx  (m  3)  Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2  m2  Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤   m  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤  – Nếu m ≠ 0: x Tóm lại: – Nếu   m  m   Phương trình có nghiệm: x  m2  2m   m  m  : phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m – Nếu Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x  1)   có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x  m)( x  m  1)   x  m 0   x   m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m C.Một số sai lầm thường mắc phải Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp tốn: Giải phương trình x  = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x (1)  (*)  2x - = x2 - 4x +  x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - ThuVienDeThi.com (1  m) Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = Vậy nghiệm phương trình (1) x = + bị loại Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + 2 x = - Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x  điều kiện cần đủ 2 Khi gặp toán: Giải phương trình Học sinh thường đặt điều kiện x2  = x 1 x2    x   sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x +  điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp toán: Giải phương trình (x + 1) x3 =0 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: (x + 1) x    x  1 x3 =0    x   x  Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - khơng phải nghiệm phương trình B   Chú ý rằng: A B    A   B   bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp tốn: Giải phương trình x  x  = x2 -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông ThuVienDeThi.com Khi gặp tốn: Giải phương trình x 1 x2 (x+2) = x+1 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: x 1 x2 (x+2) = x+1  ( x  2)( x  1) =x+1 x     ( x  2)( x  1)  ( x  1)  x  1  x  1     (vô nghiệm)  x  3 x  x   x  2x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vô nghiệm Cần ý rằng: B A  AB A  0; B   B  AB A  0; B  Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vơ tỉ 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm pt  g ( x )  f ( x ) = g(x)    f ( x )  g ( x ) Điều kiện gx)  điều kiện cần đủ f(x) = g2(x)  Không cần đặt thêm điều kiện fx)  b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x  = x -2 (1) ThuVienDeThi.com Điều kiện x  (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - Khi pt(1)  0)  2x - = (x - 2)2  x2 - 4x + 4= 2x -  x2 - 6x + = x   x  đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình x  x  = x-1 (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 2x2- x -1  thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau:  (**) Khi pt(2)  2x2 - x - = (x -1)2 Điều kiện: x  2x2 - x - = x2 - 2x +  x2 + x -2 =  x+2)(x-1)=0  x   x  2  đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x )  g ( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi pt(2)  f ( x )  0( g ( x )  0)    f ( x )  g ( x ) ThuVienDeThi.com Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x)  f(x)  f(x) = g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x 1 = x  , (1)  -1, (*) Điều kiện x  x + = 2x -7 pt (1)  x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = ! Lưu ý: Điều kiện x  -1 , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x2  x  = x  , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x pt(2)  , (*)  x2 - x +1 = 2x -1 x   x2 - 3x -+2 =   x  Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = x=2 + Ví dụ 3: Giải phương trình x3 = x  (*) Tóm tắt giải x  x      (vô nghiệm) x   2x   x  10 (*) Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3/ Giải pháp : ฀ Hướng dẫn học sinh giải số phương trình khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) Giải phương trình + Ví dụ1: 2x  Điều kiện x = (2) 2 x    x  (**)  x  Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2)  x  = 1+ x với điều kiện (**) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta ThuVienDeThi.com  2x + = x + + x  x= x tiếp tục bình phương hai vế  x2 = 4x x  x   (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x = V x = + Ví dụ2 : x3 + Giải phương trình : x 1 = x  12 + 2x  Lời giải : Ta có Pt  x3 + x 1 = x  + 2x  x  x   x      x     x   x   2x  x   2x   Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : x3 + x 1 =  x3 +  x 1 = x  12 + 2x  x 1 = x  + 2x  x   2x     x   2x   x  1  x=2  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho Chú ý rằng: A B  A  A C   B C + Ví dụ 3: Giải phương trình  x2  x x  =  2x  x 7  x  x x    Hướng dẫn : Đk 3  x  x  x    (3) (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể ThuVienDeThi.com Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3)  - x2 + x x  = - 2x - x2  x x  = - 2x -  x(2 x  4)    2  x ( x  5)  x  16 x  16 2  x     x  x  16 x  16  2  x      x  1  x = -1   x  4  2  x    ( x  1)( x  16)  Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình 2x  + x  = 3x + 2 x  x  - 16 , (4)  2 x   x   HD: Điều kiện    x 1   x  1  x  -1 (****) NX: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta không thu kết thuận lợi giải nên ta giải sau Đặt 2x  + x  = t , (ĐK: t  0)  3x + 2 x  x  = t2 - pt(4) Với t =  t2 - t - 20 =  t = (nhận) V t = - (loại)  2 x  x  =21 - 3x ( phương trình thuộc dạng 1) 21  x    2 4(2 x  x  3)  441  216 x  x x     x  236 x  429  Vậy nghiệm phương trình x = 118 -  x = 118 - 1345 (thoả mãn ĐK) 1345 + Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = x  3x  x  6 Lời giải sai: Ta có ThuVienDeThi.com x2 – 7x + 12 =  (x-3)(x-4) = x  3x  x  6 x  3x  3x  2  (x-3)(x-4) =  ( x  3) x   ( x  3)( x  4)    ( x  3) x   ( x  3)( x  4) Giải (1) (1) 2    x  3 x  = (x-3)(x-4) x    x2  x4 x    x   4 x   x  3 x   x   x   x     x  3 x  = (x-3)(x-4) Giải (2) x  32 x  2   x  3  x2  x4 0 x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Nhân xét: Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 =  (x-3)(x-4) = x  3x  x  6 x  3x  3x  2  x  3 x  = (x-3)(x-4) x    x2  x4 Giải  ta có  (x-3)(x-4) = x  32 x  2    x  3 x   x    x   x2  x4    x   x   x   x7   x  x  14  Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho Chú ý rằng: cịn có nghiệm 0 A   A B  A B   A B A    A B A  ThuVienDeThi.com x = thoả mãn Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ Bài tập Giải phương trình x  = 2x-5 a b x 1 = x  15 c x  x  +x-4 = HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x2 - x + x2  x  = HD: Đặt t = x  x  (t  ) ĐS: x = v x=1 Giải phương trình: x 1 + 3x  = 5x 1 HD: Đặt đk sau bình phương hai vế ĐS: x = Giải phương trình: HD : A  B x  x 1  x 1 x 1  AB A  0; B  AB  B  B  AB A  0; B   B ĐS : Nghiệm phương trình : x = -3 Giải phương trình: HD: B x  5 x2  x2 x5 A  AB A  0; B   B  AB A  0; B  ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x 1 + x  10 = Giải phương trình: x 1 + x 1 = x2 + ThuVienDeThi.com x5 Giải phương trình: x + 1 = x  x Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) 10 Giải phương trình: (4x - 1) x2  x  = 2x3 + 2x +1 11 Giải phương trình: x2 - = 2x x2  2x 12 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x2  x  ThuVienDeThi.com ...  ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x 1 + x  10 = Giải phương trình: x 1 + x 1 = x2 + ThuVienDeThi.com x5 Giải phương trình: x + 1 = x  x Giải phương trình: x2 + 3x...   Phương trình có nghiệm: x  m2  2m   m  m  : phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m – Nếu Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình. .. tốn phương trình vơ tỉ 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương