1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Toán học Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên45426

8 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 210,01 KB

Nội dung

CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN PhÇn I: Mét sè phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn 2.Phương trình đưa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình f ( x)  m víi m.n = k   g ( x) n 3.Phương trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có thĨ gi¶ sư  x  y  z 4.Không tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp B dạng toán Thường gặp Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có dư Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho cïng mét sè cã sè d­ kh¸c phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y (1) Giải: Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1) x y NÕu x0 , y0  vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d  ( x0 , y0 ) , suy  ,   d 2 d  x y x y x Ta cã: x  y        ch½n     chẵn, vô lý d d d d d 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (0,0) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x  y  (1) Gi¶i: 1)NÕu x th× y   x    y    x  y  25 v« lý 2)NÕu x  th× tõ y  ta cã x  1(mod 5) vµ y  1(mod 5) suy x  y  1, 3(mod 5) Vậy phương trình nghiệm nguyªn Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên phép chia cho có dư từ suy phương trình x  25 y  144 z 2007 nghiệm nguyên Giải: Giả sử: x  y  z  7(mod 8) mµ x  0, 1, 2, 3, 4(mod 8) nªn x  0,1, 4(mod 8) suy y  z  7, 6,3(mod 8) nh­ng y  z  0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý VËy x  y  z 7(mod 8) Phương trình đà cho viÕt: (2 x)2  (5 y )2  (12 z )2  125  Tõ ®ã suy phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số nguyên: x14 x2   x7  2008 Gi¶i: 1)NÕu x = 2k th× x16 2)NÕu x = 2k + th× x   ( x  1)( x  1)( x  1)16, v× ( x  1)( x  1)8 vµ ( x  1) VËy x  0;1(mod16) Do ®ã chia tæng x14  x2   x7 cho 16 có số dư không vượt 7, ®ã 2008  8(mod16) Suy phương trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phương pháp phân tích Tìm nghiệm nguyên phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c  Z ) (1) a c Ta cã: (1)  cxy  ay  b  y (cx  a)  (cx  a)  a2 b c  (cx  a )(cy  a )  a  bc cx  a  m cy  a  n Ph©n tÝch a  bc  m.n với m, n Z, sau giải hệ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 16  3xy Gi¶i: Ta cã: 2( x  y )  16  3xy  3xy  x  y  16  y (3 x  2)  (3 x  2)  16   (3 x  2)(3 y  2)  52 3 Giả sử: x y  3x   y  vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hÖ sau: 3 x   ;  3 y   52 3 x   ;  3 y   26 3 x   ;  3 y 13 Giải hệ ta nghiệm nguyên dương phương trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2 x  y  1)(2 x  y  x  x)  105 Chuyên đề ôn thi hsg toỏn THPT DeThiMau.vn Giải: Vì 105 số lẻ nên x y lẻ suy y chẵn mà x x x( x 1) chẵn nên x lẻ x = Víi x = ta cã ph­¬ng tr×nh ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nªn 5 y   21 5 y   21 hc   y  Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - nghiệm nguyên y y phương trình Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tích chu vi Giải: Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông : x y  z Ta cã:  x  y  z (1)   xy  2( x  y  z )(2) Tõ (1) ta cã: z  ( x  y )2  xy  ( x  y )2  4( x  y  z )  ( x  y )  4( x  y )   z  z   ( x  y  2)  ( z  2)  x  y   z  ( x  y  2) Thay z  x  y  vµo (2) ta ®­ỵc:  x    x    y    y  12 ( x  4)( y  4)  cặp: ( x, y, z )  (5,12,13);(6,8,10);  x    x      y     y  VÝ dô 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: p( x y ) xy với p số nguyên tố Gi¶i: Ta cã: p( x  y )  xy  xy  px  py  p  p   x  p  y  p   p Mµ p  p p  ( p).( p)  p  ( p ).(1) Từ phương trình đà cho có nghiệm nguyên là: ( x, y ) (0, 0);(2 p, p);( p  1, p  p);( p  p, p  1);( p  p , p  1);( p  1, p p ); Dạng 3: Phương trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng ta gi¶ sư  x  y  z chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z xyz (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x  y  z Tõ (1) suy ra: Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn 1 1     x  xy yz zx x  y 1  y   z 1  z  Víi x = ta cã  y  z  yz  ( y  1)( z  1)    VËy (1) có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x  y  z  t )  10 xyzt (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x  y  z  t 1 Tõ (1) suy ra: 2 5 10 30 t       xyz xzt xyt xyzt t t  z  5 15 30 *)Víi t  ta cã: 5( x  y  z )  15  xyz        z  15   z  xy yz xz xyz z  z   2 x   65   x  35   2y 5 1 y  1)Víi z = ta cã: 5( x  y )  20  xy  (2 x  5)(2 y  5)  65      x  2 x   13    2 y     y  Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phương trình nghiệm nguyên dương *) Với t , ta có: 5( x  y  z )  20  xyz   5 20 35 35      z2  9 xy yz xz xyz z  z  ( z t 2) Khi đó: 5( x  y )  30  xy  (8 x  5)(8 y  5)  265 Do x  y  z  t  nªn x   y  11 , mà 265 = 53.5 Trường hợp phương trình nghiệm nguyên dương Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đường cao mhững số nguyên dương đường tròn nội tiÕp tam gi¸c cã b¸n kÝnh b»ng Chøng minh tam giác tam giác Giải: Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gäi ®é dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đường tròn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử x  y  z > 2 2 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC: S  a.x  b y  c.z (1) Chuyên đề ôn thi hsg toỏn THPT DeThiMau.vn Mặt khác: S  S AOB  S BOC  S AOC  (a  b  c)(2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: a.x  b y  c.z  a  b  c  a  b  c   a b c abc    1 1 1   x y z x y z 1 1      z   z  Thay z = vµo   ta được: x y z z x y z  2 x    1 2 y      3( x  y )  xy  (2 x  3)(2 y  3)      2 x   x y   2 y    x  ( Loai )  y     x     y  VËy x = y = z = 3, ®ã a = b = c VËy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phương pháp loại trừ Tính chất: Nếu có số nguyên m cho m  n  (m  1)2 n số phương Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1! 2! 3! 4!  x !  y Gi¶i: Víi x x! có chữ số tận nên: 1! 2! 3! 4! 5! x !  33  5!  x ! Cã chữ số tận nên số chinh, Vậy x phương trình đà cho nghiện nguyên dương Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phương trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  3x3   y Gi¶i: Râ rµng x = 0, y =  lµ nghiệm nguyên phương trình +)Với x > ta cã: ( x3  1)  x  x3   x  x3   y  ( x3  2)  x3   y  x3  ( v« lý ) +)Víi x  - th× : ( x3  2)2  y  ( x3  1)2  x3   y  x3  ( v« lý ) +)Víi x = - th× : y  , ( vô lý ) Vậy phương trình đà cho cã hai cỈp nghiƯm ( 0; ); ( 0; -1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x ( x 1)2 y  ( y  1)4 Gi¶i: Khai triển rút gọn hai vế ta được: Chuyờn ôn thi hsg toán THPT DeThiMau.vn x( x  1)  y  y  y  y  x  x  y ( y  1)  y ( y  1)  x  x   ( y  y  1) (1) +)NÕu x > th× tõ x   x  x  ( x  1)2 suy  x  x không số phương nên (1) nghiệm nguyên +)Nếu x < - từ ( x  1)2   x  x x suy (1) nghiệm nguyên y   y  1 +)NÕu x = x = - từ (1) suy y  y   1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); D¹ng 5: Phương pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y z  Gi¶i: Gi¶ sư  x0 , y0 , z0 nghiệm nguyên phương trình x0 đặt x0 3x1 thay x0 3x1 vào (1) ta được: x13  y03  z03   y0  đặt y0 y1 z0 3, ®ã: x13  27 y13  z03   x13  y13  z03 z0 đặt z0 z1 ®ã: x13  y13  z13  x y z VËy  , , nghiệm phương trình 3 x y z Quá trình tiếp tục được: k0 , k0 , k0 nghiệm nguyên (1) với k điều 3 xảy x0  y0  z0  VËy ( 0, 0, ) nghiệm phương trình đà cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: x  y  z  t  xyzt (1) Gi¶i: Gi¶ sư  x0 , y0 , z0 , t0  lµ nghiƯm nguyên phương trình đó: x0 y0  z0  t0  x0 y0 z0t0 (1) số chẵn nên số x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i cã sè chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x0 , y0 , z0 , t0 lẻ ( x0  y0  z0  t0 ) , ®ã x0 y0 z0t0  +)NÕu c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 có hai số lẻ ( x0  y0  z0  t0 )  2(mod 4) , ®ã x0 y0 z0t0  VËy x0 , y0 , z0 , t0 phải số chẵn, ®Ỉt x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 , t0  2t1 ph­¬ng trình trở thành: x12 y12 z12 t12  x1 y1 z1t1 (1) Lý luËn t­¬ng tù ta cã: x2  y2  z2  t2  x2 y2 z2t2 (1) Chuyên đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn Víi x2  x y z t x1 y z t , y2  , z2  , t2  , tiÕp tôc ta cã: xn  0n , yn  n0 , zn  0n , tn  0n , 2 2 2 2 Là số nguyên vơi n, điều xảy x0  y0  z0  t0  VËy ( 0, 0, 0, ) lµ nghiƯm phương trình đà cho Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 50 Giải: Ta thấy  x, y  50 tõ y  50  x ta cã y  50  x  50 x  50  x  10 x Vì y nguyên nên x 4k  x  2k (k  Z ) víi 2k  50  k  25.(k  Z )  k chØ cã thĨ nhËn c¸c giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k số để thoả mÃn phương trình ta nghiệm: ( x; y ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) Dạng 7: Một số dạng khác Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x y  12(1) Gi¶i: Ta cã: (1)  3( x  1)  5(3  y ) Do (3, 5) = nªn ( x  1) vµ (3  y ) §Ỉt x   5k ,  y  3l Ta cã: 3.5k  5.3l  k  l (k , l  Z )   x  5k   k  Do ®ã:    k  l  VËy x =  2, y =  y   3l l Phương trình có hai nghiƯm nguyªn ( 2, ); ( -2, ) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  16 Gi¶i: Tac cã: x  xy  y  16  ( x  y )  y  16  x  y  4 x  y  hc  y   y  Vì: 16 42 02 nên Giải hệ phương trình ta nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 3( x  xy  y ) x y Giải: Phương trình đà cho viết lại là: 3x (3 y 1) x  y  y  0(1) Phương trình (1) có nghiệm khi:   (3 y  1)2  12(3 y  y )   27 y  90 y   Do y nguyªn nªn  y   y  0;1; 2;3 Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = vµ y = ta cã không tìm x nguyên Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; ); PhÇn II: Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có dư Giải phương trình tập số nguyªn a) x  y  17 b) x  y  17 c) x  y  d) x  122  y  32 e) 15 x  y  f) x  x  y 37 Dạng 2: Phương pháp phân tích Giải phương trình tập số nguyên a) 5( x  y )   3xy b) 2( x  y )  3xy c) x  y  91 d) x  x   y e) x  y  169 e) x y 1999 Dạng 3: Phương trình đối xứng Tìm nghiệm nguyên dương phương tr×nh sau a) x  y   xyz x b) x  y   z   xyz y x d)   y 1 z t e)     c) x  y  z  t  xyzt f) 1 1     x y z t Dạng 4: Phương pháp loại trừ Giải phương trình tập số nguyên a) x  xy  13 y  100 b)  x  x  x3  y c)  x  x  x3  x  y d) x  y ( y  1)( y  2)( y  3) e) ( x  2)4  x  y f) x( x  1)( x  7)( x  8) y Dạng 5: Phương pháp xuống thang Giải phương trình tập số nguyên a) x3 y  z  b) x  y  z  u c) x  y  z  xyz D¹ng Dạng Giải phương trình tập số nguyªn a) ( x  y  1)2  3( x  y  1) x  y 1  z   b) x  y  z  xy  yz  z  c)  x  y  z Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn ... nghiệm phương trình 3 x y z Quá trình tiếp tục được: k0 , k0 , k0 nghiệm nguyên (1) với k điều 3 xảy x0  y0  z0  VËy ( 0, 0, ) nghiệm phương trình đà cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương. .. 02 nên Giải hệ phương trình ta nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 3( x  xy  y ) x y Giải: Phương trình đà cho viết... số chinh, Vậy x phương trình đà cho nghiện nguyên dương Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phương trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  3x3 

Ngày đăng: 31/03/2022, 12:39

w