CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN PhÇn I: Mét sè phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn 2.Phương trình đưa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình f ( x) m víi m.n = k g ( x) n 3.Phương trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có thĨ gi¶ sư x y z 4.Không tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp B dạng toán Thường gặp Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có dư Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y (1) Giải: Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1) x y NÕu x0 , y0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d ( x0 , y0 ) , suy , d 2 d x y x y x Ta cã: x y ch½n chẵn, vô lý d d d d d 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (0,0) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y (1) Gi¶i: 1)NÕu x th× y x y x y 25 v« lý 2)NÕu x th× tõ y ta cã x 1(mod 5) vµ y 1(mod 5) suy x y 1, 3(mod 5) Vậy phương trình nghiệm nguyªn Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên phép chia cho có dư từ suy phương trình x 25 y 144 z 2007 nghiệm nguyên Giải: Giả sử: x y z 7(mod 8) mµ x 0, 1, 2, 3, 4(mod 8) nªn x 0,1, 4(mod 8) suy y z 7, 6,3(mod 8) nhng y z 0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý VËy x y z 7(mod 8) Phương trình đà cho viÕt: (2 x)2 (5 y )2 (12 z )2 125 Tõ ®ã suy phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số nguyên: x14 x2 x7 2008 Gi¶i: 1)NÕu x = 2k th× x16 2)NÕu x = 2k + th× x ( x 1)( x 1)( x 1)16, v× ( x 1)( x 1)8 vµ ( x 1) VËy x 0;1(mod16) Do ®ã chia tæng x14 x2 x7 cho 16 có số dư không vượt 7, ®ã 2008 8(mod16) Suy phương trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phương pháp phân tích Tìm nghiệm nguyên phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c Z ) (1) a c Ta cã: (1) cxy ay b y (cx a) (cx a) a2 b c (cx a )(cy a ) a bc cx a m cy a n Ph©n tÝch a bc m.n với m, n Z, sau giải hệ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 16 3xy Gi¶i: Ta cã: 2( x y ) 16 3xy 3xy x y 16 y (3 x 2) (3 x 2) 16 (3 x 2)(3 y 2) 52 3 Giả sử: x y 3x y vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hÖ sau: 3 x ; 3 y 52 3 x ; 3 y 26 3 x ; 3 y 13 Giải hệ ta nghiệm nguyên dương phương trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2 x y 1)(2 x y x x) 105 Chuyên đề ôn thi hsg toỏn THPT DeThiMau.vn Giải: Vì 105 số lẻ nên x y lẻ suy y chẵn mà x x x( x 1) chẵn nên x lẻ x = Víi x = ta cã ph¬ng tr×nh ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nªn 5 y 21 5 y 21 hc y Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - nghiệm nguyên y y phương trình Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tích chu vi Giải: Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông : x y z Ta cã: x y z (1) xy 2( x y z )(2) Tõ (1) ta cã: z ( x y )2 xy ( x y )2 4( x y z ) ( x y ) 4( x y ) z z ( x y 2) ( z 2) x y z ( x y 2) Thay z x y vµo (2) ta ®ỵc: x x y y 12 ( x 4)( y 4) cặp: ( x, y, z ) (5,12,13);(6,8,10); x x y y VÝ dô 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: p( x y ) xy với p số nguyên tố Gi¶i: Ta cã: p( x y ) xy xy px py p p x p y p p Mµ p p p ( p).( p) p ( p ).(1) Từ phương trình đà cho có nghiệm nguyên là: ( x, y ) (0, 0);(2 p, p);( p 1, p p);( p p, p 1);( p p , p 1);( p 1, p p ); Dạng 3: Phương trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng ta gi¶ sư x y z chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z xyz (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x y z Tõ (1) suy ra: Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn 1 1 x xy yz zx x y 1 y z 1 z Víi x = ta cã y z yz ( y 1)( z 1) VËy (1) có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x y z t ) 10 xyzt (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x y z t 1 Tõ (1) suy ra: 2 5 10 30 t xyz xzt xyt xyzt t t z 5 15 30 *)Víi t ta cã: 5( x y z ) 15 xyz z 15 z xy yz xz xyz z z 2 x 65 x 35 2y 5 1 y 1)Víi z = ta cã: 5( x y ) 20 xy (2 x 5)(2 y 5) 65 x 2 x 13 2 y y Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phương trình nghiệm nguyên dương *) Với t , ta có: 5( x y z ) 20 xyz 5 20 35 35 z2 9 xy yz xz xyz z z ( z t 2) Khi đó: 5( x y ) 30 xy (8 x 5)(8 y 5) 265 Do x y z t nªn x y 11 , mà 265 = 53.5 Trường hợp phương trình nghiệm nguyên dương Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đường cao mhững số nguyên dương đường tròn nội tiÕp tam gi¸c cã b¸n kÝnh b»ng Chøng minh tam giác tam giác Giải: Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gäi ®é dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đường tròn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử x y z > 2 2 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC: S a.x b y c.z (1) Chuyên đề ôn thi hsg toỏn THPT DeThiMau.vn Mặt khác: S S AOB S BOC S AOC (a b c)(2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: a.x b y c.z a b c a b c a b c abc 1 1 1 x y z x y z 1 1 z z Thay z = vµo ta được: x y z z x y z 2 x 1 2 y 3( x y ) xy (2 x 3)(2 y 3) 2 x x y 2 y x ( Loai ) y x y VËy x = y = z = 3, ®ã a = b = c VËy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phương pháp loại trừ Tính chất: Nếu có số nguyên m cho m n (m 1)2 n số phương Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1! 2! 3! 4! x ! y Gi¶i: Víi x x! có chữ số tận nên: 1! 2! 3! 4! 5! x ! 33 5! x ! Cã chữ số tận nên số chinh, Vậy x phương trình đà cho nghiện nguyên dương Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phương trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3x3 y Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = lµ nghiệm nguyên phương trình +)Với x > ta cã: ( x3 1) x x3 x x3 y ( x3 2) x3 y x3 ( v« lý ) +)Víi x - th× : ( x3 2)2 y ( x3 1)2 x3 y x3 ( v« lý ) +)Víi x = - th× : y , ( vô lý ) Vậy phương trình đà cho cã hai cỈp nghiƯm ( 0; ); ( 0; -1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x ( x 1)2 y ( y 1)4 Gi¶i: Khai triển rút gọn hai vế ta được: Chuyờn ôn thi hsg toán THPT DeThiMau.vn x( x 1) y y y y x x y ( y 1) y ( y 1) x x ( y y 1) (1) +)NÕu x > th× tõ x x x ( x 1)2 suy x x không số phương nên (1) nghiệm nguyên +)Nếu x < - từ ( x 1)2 x x x suy (1) nghiệm nguyên y y 1 +)NÕu x = x = - từ (1) suy y y 1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); D¹ng 5: Phương pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y z Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 nghiệm nguyên phương trình x0 đặt x0 3x1 thay x0 3x1 vào (1) ta được: x13 y03 z03 y0 đặt y0 y1 z0 3, ®ã: x13 27 y13 z03 x13 y13 z03 z0 đặt z0 z1 ®ã: x13 y13 z13 x y z VËy , , nghiệm phương trình 3 x y z Quá trình tiếp tục được: k0 , k0 , k0 nghiệm nguyên (1) với k điều 3 xảy x0 y0 z0 VËy ( 0, 0, ) nghiệm phương trình đà cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: x y z t xyzt (1) Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 , t0 lµ nghiƯm nguyên phương trình đó: x0 y0 z0 t0 x0 y0 z0t0 (1) số chẵn nên số x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i cã sè chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x0 , y0 , z0 , t0 lẻ ( x0 y0 z0 t0 ) , ®ã x0 y0 z0t0 +)NÕu c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 có hai số lẻ ( x0 y0 z0 t0 ) 2(mod 4) , ®ã x0 y0 z0t0 VËy x0 , y0 , z0 , t0 phải số chẵn, ®Ỉt x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 , t0 2t1 ph¬ng trình trở thành: x12 y12 z12 t12 x1 y1 z1t1 (1) Lý luËn t¬ng tù ta cã: x2 y2 z2 t2 x2 y2 z2t2 (1) Chuyên đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn Víi x2 x y z t x1 y z t , y2 , z2 , t2 , tiÕp tôc ta cã: xn 0n , yn n0 , zn 0n , tn 0n , 2 2 2 2 Là số nguyên vơi n, điều xảy x0 y0 z0 t0 VËy ( 0, 0, 0, ) lµ nghiƯm phương trình đà cho Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 50 Giải: Ta thấy x, y 50 tõ y 50 x ta cã y 50 x 50 x 50 x 10 x Vì y nguyên nên x 4k x 2k (k Z ) víi 2k 50 k 25.(k Z ) k chØ cã thĨ nhËn c¸c giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k số để thoả mÃn phương trình ta nghiệm: ( x; y ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) Dạng 7: Một số dạng khác Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x y 12(1) Gi¶i: Ta cã: (1) 3( x 1) 5(3 y ) Do (3, 5) = nªn ( x 1) vµ (3 y ) §Ỉt x 5k , y 3l Ta cã: 3.5k 5.3l k l (k , l Z ) x 5k k Do ®ã: k l VËy x = 2, y = y 3l l Phương trình có hai nghiƯm nguyªn ( 2, ); ( -2, ) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y 16 Gi¶i: Tac cã: x xy y 16 ( x y ) y 16 x y 4 x y hc y y Vì: 16 42 02 nên Giải hệ phương trình ta nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 3( x xy y ) x y Giải: Phương trình đà cho viết lại là: 3x (3 y 1) x y y 0(1) Phương trình (1) có nghiệm khi: (3 y 1)2 12(3 y y ) 27 y 90 y Do y nguyªn nªn y y 0;1; 2;3 Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = vµ y = ta cã không tìm x nguyên Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; ); PhÇn II: Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có dư Giải phương trình tập số nguyªn a) x y 17 b) x y 17 c) x y d) x 122 y 32 e) 15 x y f) x x y 37 Dạng 2: Phương pháp phân tích Giải phương trình tập số nguyên a) 5( x y ) 3xy b) 2( x y ) 3xy c) x y 91 d) x x y e) x y 169 e) x y 1999 Dạng 3: Phương trình đối xứng Tìm nghiệm nguyên dương phương tr×nh sau a) x y xyz x b) x y z xyz y x d) y 1 z t e) c) x y z t xyzt f) 1 1 x y z t Dạng 4: Phương pháp loại trừ Giải phương trình tập số nguyên a) x xy 13 y 100 b) x x x3 y c) x x x3 x y d) x y ( y 1)( y 2)( y 3) e) ( x 2)4 x y f) x( x 1)( x 7)( x 8) y Dạng 5: Phương pháp xuống thang Giải phương trình tập số nguyên a) x3 y z b) x y z u c) x y z xyz D¹ng Dạng Giải phương trình tập số nguyªn a) ( x y 1)2 3( x y 1) x y 1 z b) x y z xy yz z c) x y z Chun đề ơn thi hsg tốn THPT DeThiMau.vn ... nghiệm phương trình 3 x y z Quá trình tiếp tục được: k0 , k0 , k0 nghiệm nguyên (1) với k điều 3 xảy x0 y0 z0 VËy ( 0, 0, ) nghiệm phương trình đà cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương. .. 02 nên Giải hệ phương trình ta nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 3( x xy y ) x y Giải: Phương trình đà cho viết... số chinh, Vậy x phương trình đà cho nghiện nguyên dương Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phương trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3x3