Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn §µo Minh Trëng Trêng THCS Hïng S¬n 1 Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn PhÇn I Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A Tãm t¾t lý thuyÕt 1 Sè 2 lµ sè nghuyªn tè ch½n duy nhÊt 2 Ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng f(x) g(x) = k víi f(x) vµ g(x) lµ c¸c ®a thøc hÖ sè nguyªn Ta ph©n tÝch k ra thõa sè nguyªn tè råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh víi m n = k ( ) ( ) f x m g x n 3 Ph¬ng tr×nh ®èi xøng c¸c Èn cña x,.
Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên Phần I: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn 2.Phương trình đưa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình f ( x) m với m.n = k g ( x) n 3.Phương trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dương ta giả sử x y z 4.Kh«ng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp B dạng toán Thường gặp Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho số có số dư khác phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y (1) Giải: Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1) x y NÕu x0 , y0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d ( x0 , y0 ) , suy , d 2 d x y x y x Ta cã: x y ch½n chẵn, vô lý d d d d d 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (0,0) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y (1) Giải: 1)Nếu x y x y x y 25 v« lý 2)NÕu x th× tõ y ta cã x 1(mod 5) vµ y 1(mod 5) suy x y 1, 3(mod 5) Vậy phương trình nghiệm nguyên Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên phép chia cho có dư từ suy phương trình x 25 y 144 z 2007 kh«ng cã nghiƯm nguyên Giải: Giả sử: x y z 7(mod 8) mµ x 0, 1, 2, 3, 4(mod 8) nªn x 0,1, 4(mod 8) suy y z 7, 6,3(mod 8) nhng y z 0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý VËy x y z 7(mod 8) Phương trình ®· cho cã thÓ viÕt: (2 x)2 (5 y )2 (12 z )2 125 Từ suy phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số nguyªn: x14 x2 x7 2008 Giải: 1)Nếu x = 2k x16 2)Nếu x = 2k + th× x ( x 1)( x 1)( x 1)16, v× ( x 1)( x 1)8 vµ ( x 1) VËy x 0;1(mod16) Do ®ã chia tỉng x14 x2 x7 cho 16 cã sè dư không vượt 7, 2008 8(mod16) Suy phương trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phương pháp phân tích Tìm nghiệm nguyên phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c Z ) (1) a c Ta cã: (1) cxy ay b y (cx a) (cx a) a2 b c (cx a )(cy a ) a bc cx a m cy a n Ph©n tÝch a bc m.n víi m, n Z, sau giải hệ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 16 3xy Gi¶i: Ta cã: 2( x y ) 16 3xy 3xy x y 16 y (3 x 2) (3 x 2) 16 (3 x 2)(3 y 2) 52 3 Gi¶ sư: x y ®ã 3x y vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hƯ sau: 3 x ; 3 y 52 3 x ; 3 y 26 3 x ; y 13 Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Giải hệ ta nghiệm nguyên dương phương trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2 x y 1)(2 x y x x) 105 Giải: Vì 105 số lẻ nên x y lẻ suy y chẵn mà x x x( x 1) chẵn nên x lẻ x = Víi x = ta cã phương trình ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nªn 5 y 21 5 y 21 hc y Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - lµ nghiƯm y 1 y nguyên phương trình Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tích chu vi Giải: Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông : x y z Ta cã: x y z (1) xy 2( x y z )(2) Tõ (1) ta cã: z ( x y )2 xy ( x y )2 4( x y z ) ( x y ) 4( x y ) z z ( x y 2) ( z 2) x y z ( x y 2) Thay z x y vµo (2) ta được: x x y y 12 ( x 4)( y 4) cặp: ( x, y, z ) (5,12,13);(6,8,10); x x y y VÝ dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: p( x y ) xy với p số nguyên tè Gi¶i: Ta cã: p( x y ) xy xy px py p p x p y p p Mµ p p p ( p).( p) p ( p ).(1) Từ phương trình đà cho có nghiệm nguyên là: ( x, y ) (0, 0);(2 p, p);( p 1, p p);( p p, p 1);( p p , p 1);( p 1, p p ); Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Dạng 3: Phương trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng ta giả sử x y z råi chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z xyz (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x y z Tõ (1) suy ra: 1 1 x xy yz zx x y 1 y z 1 z Víi x = ta cã y z yz ( y 1)( z 1) VËy (1) cã nghiÖm nguyên dương ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x y z t ) 10 xyzt (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nên ta giả sử x y z t 1 Tõ (1) suy ra: 2 5 10 30 t xyz xzt xyt xyzt t t z 5 15 30 *)Víi t ta cã: 5( x y z ) 15 xyz z 15 z xy yz xz xyz z z 2 x 65 x 35 2y 5 1 y 1)Víi z = ta cã: 5( x y ) 20 xy (2 x 5)(2 y 5) 65 x 2 x 13 2 y y Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phương trình nghiệm nguyên dương *) Víi t , ta cã: 5( x y z ) 20 xyz 5 20 35 35 z2 9 xy yz xz xyz z z v× ( z t 2) Khi ®ã: 5( x y ) 30 xy (8 x 5)(8 y 5) 265 Do x y z t nªn x y 11 , mà 265 = 53.5 Trường hợp phương trình nghiệm nguyên dương Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đường cao mhững số nguyên dương đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính Chứng minh tam giác tam giác Giải: Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gọi độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đường tròn nội tiếp nên x, y, z > Gi¶ sư x y z > 2 2 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC: S a.x b y c.z (1) Mặt khác: S S AOB S BOC S AOC (a b c)(2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: a.x b y c.z a b c a b c a b c abc 1 1 1 x y z x y z 1 1 z z Thay z = vào ta được: x y z z x y z 2 x 1 2 y 3( x y ) xy (2 x 3)(2 y 3) 2 x x y 2 y x ( Loai ) y x y VËy x = y = z = 3, ®ã a = b = c Vậy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phương pháp loại trừ Tính chất: Nếu cã sè nguyªn m cho m n (m 1)2 n số phương Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 1! 2! 3! 4! x ! y Giải: Với x x! có chữ số tận nên: 1! 2! 3! 4! 5! x ! 33 5! x ! Có chữ số tận nên số chinh, Vậy x phương trình đà cho nghiện nguyên dương Víi x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiếp x = 1, 2, 3, phương trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3x3 y Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Giải: Râ rµng x = 0, y = lµ nghiệm nguyên phương trình +)Với x > ta cã: ( x3 1) x x3 x x3 y ( x3 2) x3 y x3 ( v« lý ) +)Víi x - th× : ( x3 2)2 y ( x3 1)2 x3 y x3 ( v« lý ) +)Víi x = - th× : y , ( vô lý ) Vậy phương trình đà cho cã hai cỈp nghiƯm ( 0; ); ( 0; -1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x ( x 1)2 y ( y 1)4 Gi¶i: Khai triển rút gọn hai vế ta được: x( x 1) y y y y x x y ( y 1) y ( y 1) x x ( y y 1) (1) +)NÕu x > th× tõ x x x ( x 1)2 suy x x không số phương nên (1) nghiệm nguyên +)Nếu x < - từ ( x 1)2 x x x suy (1) kh«ng cã nghiƯm nguyªn y y 1 +)NÕu x = x = - từ (1) suy y y Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); Dạng 5: Phương pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y z Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 nghiệm nguyên phương trình x0 đặt x0 3x1 thay x0 x1 vào (1) ta được: x13 y03 z03 y0 đặt y0 y1 z0 3, ®ã: x13 27 y13 z03 x13 y13 z03 z0 đặt z0 z1 ®ã: x13 y13 z13 x y z VËy , , cịng lµ nghiƯm cđa phương trình 3 x y z Quá trình tiếp tục được: k0 , k0 , k0 nghiệm nguyên (1) với k 3 điều xảy x0 y0 z0 VËy ( 0, 0, ) lµ nghiƯm nhÊt cđa phương trình đà cho Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z t xyzt (1) Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 , t0 nghiệm nguyên phương trình đó: x0 y0 z0 t0 x0 y0 z0t0 (1) số chẵn nên số x0 , y0 , z0 , t0 phải có số chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x0 , y0 , z0 , t0 lẻ ( x0 y0 z0 t0 ) , ®ã x0 y0 z0t0 +)NÕu c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 có hai số lẻ ( x0 y0 z0 t0 ) 2(mod 4) , ®ã x0 y0 z0t0 VËy x0 , y0 , z0 , t0 phải số chẵn, đặt x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 , t0 2t1 phương trình trở thµnh: x12 y12 z12 t12 x1 y1 z1t1 (1) Lý luËn t¬ng tù ta cã: x2 y2 z2 t2 x2 y2 z2t2 (1) Víi x2 x y z t x1 y z t , y2 , z2 , t2 , tiÕp tôc ta cã: xn 0n , yn n0 , zn 0n , tn 0n , 2 2 2 2 Lµ số nguyên vơi n, điều xảy x0 y0 z0 t0 VËy ( 0, 0, 0, ) lµ nghiƯm phương trình đà cho Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 50 Giải: Ta thấy x, y 50 tõ y 50 x ta cã y 50 x 50 x 50 x 10 x Vì y nguyên nên x 4k x 2k (k Z ) víi 2k 50 k 25.(k Z ) k chØ cã thĨ nhËn c¸c gi¸ trÞ: 0; 1; 2; 3; 4; Lùa chän k số để thoả mÃn phương trình ta nghiệm: ( x; y ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) Dạng 7: Một số dạng khác Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x y 12(1) Gi¶i: Ta cã: (1) 3( x 1) 5(3 y ) Do (3, 5) = nªn ( x 1) (3 y ) Đặt x 5k , y 3l Ta cã: 3.5k 5.3l k l (k , l Z ) Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên x 5k k Do ®ã: k l VËy x = 2, y = y 3l l Phương trình có hai nghiệm nguyên ( 2, ); ( -2, ) VÝ dơ 2: T×m nghiệm nguyên phương trình: x xy y 16 Gi¶i: Tac cã: x xy y 16 ( x y ) y 16 x y 4 x y hc y y 4 V×: 16 42 02 nên Giải hệ phương trình ta nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); VÝ dô 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3( x xy y ) x y Giải: Phương trình đà cho viết lại là: 3x (3 y 1) x y y 0(1) Phương trình (1) cã nghiƯm vµ chØ khi: (3 y 1) 12(3 y y ) 27 y 90 y Do y nguyªn nªn y y 0;1; 2;3 +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = y = ta có không tìm x nguyên Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; ); Phần II: Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có dư Giải phương trình tập số nguyên a) x y 17 b) x y 17 c) x y d) x 122 y 32 e) 15 x y f) x x y 37 Dạng 2: Phương pháp phân tích Giải phương trình tập số nguyên a) 5( x y ) 3xy b) 2( x y ) 3xy c) x y 91 d) x x y e) x y 169 e) x y 1999 Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Dạng 3: Phương trình đối xứng Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau a) x y xyz x b) x y z xyz y x d) y c) x y z t xyzt 1 z t e) f) 1 1 x y z t D¹ng 4: Phương pháp loại trừ Giải phương trình tập sè nguyªn a) x xy 13 y 100 b) x x x3 y c) x x x3 x y d) x y ( y 1)( y 2)( y 3) e) ( x 2)4 x y f) x( x 1)( x 7)( x 8) y Dạng 5: Phương pháp xuống thang Giải phương trình tập số nguyên a) x3 y z b) x y z u c) x y z xyz Dạng Dạng Giải phương trình trªn tËp sè nguyªn a) ( x y 1)2 3( x y 1) x y 1 z b) x y z xy yz z c) x y z Phần III: Kết luận Trên vài dạng tập phương trình nghiệm nguyên mà đà sưu tầm được, chắn không tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến đánh giá, nhận xét đồng chí hội đồng khoa học Phòng giáo dục Hiệp Hoà, để chuyên đề đầy đủ góp phần vào việc thi giáo viên giỏi cấp tỉnh huyện đạt kết qua cao Xin chân thành cảm ơn ! Hùng Sơn, ngày 21 tháng 02 năm 2008 Người viết Đào Minh Trưởng Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Đào Minh Trưởng: Trường THCS Hùng Sơn DeThiMau.vn 10 ... Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Giải hệ ta nghiệm nguyên dương phương trình lµ: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2 x y ... Sơn DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z t xyzt (1) Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 , t0 lµ nghiệm nguyên phương trình đó: x0 y0... Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên Dạng 3: Phương trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng ta gi¶ sư x y z chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y z