Chuyên đề phương trình nghiêm nguyên và kinh nghiệm giải

I Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Xét tính chia hết Dùng bất đẳng thức Dùng tính chất số phương P2 lùi vô hạn – Nguyên tắc cự hạn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết  Phát tính chia hết ẩn  Đưa phương trình ước số VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 VD2: Tìm nghiệm nguyên PT a, xy – x – y = b, 2xy – x + y =  Biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng tính chia hết  Xét số dư vế VD3: Tìm nghiệm nguyên PT xy – x – y = VD4: Chứng minh rằng: PT sau khơng có nghiệm ngun: 1, x2 – y2 = 1998 2, x2 + y2 = 1999 VD5: Tìm nghiệm nguyên PT 9x + = y2 + y Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Phương pháp xét tính chia hết  Phát tính chia hết ẩn VD6: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1) Gợi ý B1: Lý luận để có: 17y chia hết cho B2: Lý luận để có: y chia hết cho  Đặt y = 3k (k є Z) B3: Tìm x; y theo k B4: Thử lại vào (1)  KL Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Phương pháp xét tính chia hết  Đưa phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên PT a, xy – x – y = b, 2xy – x + y = Gợi ý a/ B1: Biến đổi phương trình thành: (x – 1)(y – 1) = B2: Vì x;y số nguyên:  (x – 1) (y – 1) є Ư (4) (x – 1)(y – 1) = 1.4 = 4.1 = (-1).(-4) b/ B1: Nhân vế PT với Biến đổi phương trình thành: (2y – 1)(2x + 1) = B2: Vì x;y số nguyên:  (2y – 1) (2x – 1) є Ư (5) = (-4).(-1) = 2.2 = (-2).(-2) B3: Lập bảng tìm x; y B3: Lập bảng tìm x; y B4: Trả lời B4: Trả lời Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Phương pháp xét tính chia hết  Đưa phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên PT a, xy – x – y = b, 2xy – x + y = Kinh nghiệm Để viết VT: 2xy – x + y thành tích Ta biến đổi thành: x(2y – 1) + 1/2 (2y – 1) Để khử mẫu ta nghĩ đến việc nhân vế với Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết  Phương pháp biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng tính chia hết VD8: Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – x – y = Gợi ý B1: Biến đổi PT về: x(y – 1) – y = B2: - Khảng định y≠1 - Biểu thị x theo y: x = B3: Tách phần nguyên: y+2 y-1 x=1+ y-1 B4: Lý luận để có: (y – 1) є Ư(3) B5: Tìm y  Giá trị tương ứng x B6: Kết luận Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết  Xét số dư vế VD9: CMR PT sau khơng có nghiệm ngun a) x2 – y2 = 1998 (*) Gợi ý B1: x2; y2 : dư B2: x2 - y2 : dư hoặc B3: 1998 : dư B4:  PT (*) khơng có nghiệm ngun Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp xét tính chia hết  Xét số dư vế VD10: CMR PT sau khơng có nghiệm ngun b) x2 + y2 = 1999 (* *) Gợi ý B1: x2; y2 : dư B2: x2 + y2 : dư hoặc B3: 1998 : dư B4:  PT (* *) khơng có nghiệm ngun Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Phương pháp xét tính chia hết  Xét số dư vế Kinh nghiệm - Một số phương : dư - x2 – y2 : dư hoặc - x2 + y2 : dư hoặc Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình bậc ba với hai ẩn Kinh nghiệm - Đưa Phương trình ước - Đặt ẩn phụ cho biểu thức (x + y) (x – y) xy - Với biểu thức (x3 + y3) (x3 – y3) nên vận dụng HĐT Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình bậc bốn với hai ẩn VD34: x4 - 4x2 + y2 + 2x2y – = Gợi ý B1: Biến đổi dạng: (x2 + y + 2x)(x2 + y - 2x) = B2: Đưa phương trình ước số B3: Tìm x; y Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình bậc bốn với hai ẩn VD35: Tìm nghiệm nguyên PT x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Gợi ý B1: Biến đổi dạng: (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 B2: Đặt (x2 + 3x + 1) = a  (a+y)(a-y) = B3: Tìm y =  x = Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình bậc bốn với hai ẩn Kinh nghiệm - Đưa Phương trình bậc hai với hai ẩn - Phân tích thành nhân tử để phát biểu thức số phương - Phát số phương năm hai số phương Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên VD36: Tìm nghiệm nguyên PT 6x + 15y + 10z = Gợi ý B1: Lý luận để có 10 z chia hết cho  z chia hết cho  z = 3k (k є Z) B2: Giải PT hai ẩn x; y với k tham số: 2x + 5y = – 10k B3: Đưa PT dạng: x = - 5k – 2y + B4: Đặt 1-y = t  y = – 2t B5: Viết nghiệm x; y; z theo k t 1-y Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên VD37: Tìm nghiệm nguyên PT 2xyz = x + y + z + Gợi ý B1: Do x; y; z có vai trị bình đẳng  giải sử: ≤ x ≤ y ≤ z  2xyz ≤ 3z + 16 B2: Do z nguyên dương  2xy ≤ + 16/z ≤ 19  xy ≤ B3: Do x nguyên dương  x2 ≤ xy B4: x2 ≤  x є (1; 2; 3) B5: Thay x  Tìm y, z Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên Kinh nghiệm - Tìm dấu hiệu chia hết  Đưa PT bậc hai ẩn - Dựa vào vai trị bình đẳng ẩn để dùng phương pháp chặn - Trong trường hợp khác xét một vài giá trị ẩn xét tiếp trường hợp lại Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình phân thức VD38: Tìm nghiệm nguyên dương PT 1/x + 1/y + 1/6xy = 1/6 Gợi ý B1: Nhân hai vế PT với 6xy B2: Đưa PT ước số: (x – 6) (y – 6) = 37 B3: Tìm x; y Kinh nghiệm - Tìm cách khử mẫu - Đưa phương trình ước số Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương trình mũ VD39: Tìm nghiệm nguyên dương PT: 2x + 3= y2 Gợi ý B1: Xét với x ≥  VT: dư  Không thoả mãn VP: dư  x = 0; B2: Xét trường hợp  (x; y) Kinh nghiệm - Tìm STN k để với x ≥ k PT khơng có nghiệm ngun - Xét x є (0; 1; …….; k-1) - Chú ý: + an – bn chia hết a – b với n số tự nhiên + an + bn chia hết a + b với n số tự nhiên lẻ + (a + b)n chia hết ak + bn với n є N; k є Z Một số dạng phương trình nghiệm ngun Phương trình vơ tỷ VD40: Tìm nghiệm nguyên dương PT: x + x+3 =y Gợi ý B1: ĐK: x ≥ 0; y ≥ Bình phương vế  x(x + 3) = y2 – 2x - B2: Đặt y2 – 2x – = m (m є N)  x(x + 3) = m B3: Xét m =  x = 0; y = B4: Xét m > Bình phương vế PT:  (2x + + m)(2x + – m) =  x = 1; y = Một số dạng phương trình nghiệm ngun Phương trình vơ tỷ Kinh nghiệm - Thường biến đổi để PT chứa thức số nguyên - Đưa phwong trình ước số Một số dạng phương trình nghiệm nguyên 10 Hệ Phương trình với nghiệm nguyên VD41: Tìm nghiệm nguyên Hệ: { 5y + 3z = (2) 2x + 3y = (1) Gợi ý B1: Lý luận để có y chẵn  B2: Tìm 3z + 10k = B3: Đặt { x = – 3k y = 2k (k є Z)  1-k z = -3k + 1-k = t  (x; y; z) theo t Một số dạng phương trình nghiệm nguyên 11 Tìm điều kiện để PT có nghiệm ngun VD42: Tìm giá trị m để PT sau có hai nghiệm nguyên dương x2 + mx + = Gợi ý B1: Gọi x1; x2 nghiệm nguyên dương  x1 + x2 = - m (m є Z) B2: ∆ = m2 – số phương Đặt (m2 – 8) = k2 (k є N) B3: Đưa PT ước: (m - k)(m + k) = III Ứng dụng: Bài toán đưa giải PT nghiệm nguyên 1, Bài toán số tự nhiên chữ số 2, Bài tốn tính chia hết số nguyên tố 3, Bài toán thực tế ... phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp dùng bất đẳng thức  Phương pháp thứ tự ẩn VD12: Giải phương trình nghiệm nguyên  Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn VD13: Tìm nghiệm nguyên. .. nguyên Phương trình bậc hai với hai ẩn Kinh nghiệm - Đưa Phương trình ước - Viết phương trình dạng Phương trình bậc hai ẩn dùng điều kiện: ∆ ≥ ∆ số phương Một số dạng phương trình nghiệm nguyên Phương. .. số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Xét tính chia hết Dùng bất đẳng thức Dùng tính chất số phương P2 lùi vô hạn – Nguyên tắc cự hạn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên