Chuyen de phuong trinh nghiem nguyen

2 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A KiÕn thøc cÇn nhí Giải phương trình nghiệm ngun Giải phương trình f(x, y, z, ) = chứa ẩn x, y, z, với nghiệm nguyên tìm tất số nguyên (x, y, z, ) thỏa mãn phương trình Một số lưu ý giải phương trình nghiệm nguyên Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm ngun là: • Phương pháp dùng tính chất chia hết • Phương pháp xét số dư vế • Phương pháp sử dụng bất đẳng thức • Phương pháp dùng tính chất số phương • Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT  Dạng 1: Phát tính chia hết ẩn Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 ( 1) Hướng dẫn giải Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y  ⇒ y  (do 17 nguyên tố nhau) Đặt= y 3t ( t ∈ Z ) thay vào phương trình ta 3x + 17.3t= 159 ⇔ x + 17t= 53 x = 53 − 17t Do đó:  ( t ∈ Z ) Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình cho  y = 3t Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t số nguyên tùy ý 156 Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 13y = (1) Hướng dẫn giải - Phương pháp 1: Ta có 13y 13 156 13 nên 2x 13 ⇒ x 13 (vì (2,3) = 1) = x 13k (k ∈ Z) thay vào (1) ta được: y = −2k + 12 Đặt x = 13k (k ∈ Z) Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  −2k + 12 y = - Phương pháp 2: Từ (1) ⇒ x = Để x ∈ Z ⇒ 156 − 13y 13y = 78 − , 2 13y ∈ Z Mà (13,2) = ⇒ y  Đặt y = 2t(t ∈ Z) ⇒ x = 78 − 13t x = 78 − 13t (t ∈ Z) Vậy nghiệm nguyên phương trình là:   y = −2t c với a,b,c số ngun Chú ý: Phương trình có dạng ax + by = * Phương pháp giải: - Phương pháp 1: Xét tính chia hết hạng tử - Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để phân số trở thành số ngun 109 Bài tốn Giải phương trình nghiệm nguyên 23x + 53y = Hướng dẫn giải 109 − 53y 23(4 − 2y) + 17 − 7y 17 − 7y = =4 − 2y + Ta có x = 23 23 23 Ta phải biến đổi tiếp phân số 17 − 7y để cho hệ số biến y 23 Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số bội thích hợp 23 17 − 7y 17 − 7y + 46 − 46 7(9 − y) − 46 7(9 − y) = = =−2 + 23 23 23 23 Từ x =2 − 2y + 9−y 7(9 − y) ∈ Z , (7,23) = , Để x ∈ Z ⇒ 23 23 Đặt − y = 23t (t ∈ Z) ⇒ y = − 23t x = − 23t (t ∈ Z) Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  y 53t − 16 = Bài toán Tìm nghiệm nguyên phương trình 11x + 18y = 120 ( 1) Hướng dẫn giải 20 Ta thấy 11x  ⇒ x  suy = x 6k ( k ∈ Z ) thay vào (1) rút gọn ta được: 11k + 3y = Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: y = Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này: y =7 − 4k + Lại đặt: 20 − 11k k −1 k −1 = t ( t ∈ Z ) ⇒ k = 3t + Do đó: y = − ( 3t + 1) + t = − 11t; x = 6k = ( 3t + 1) = 18t + Thay biểu thức vào phương trình (1) thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phưng trình (x, y) = (18t + 6; 3-11t) với t ∈ Z Chú ý: a) Nếu đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương phương trình (1) sau tìm nghiệm tổng quát ta giải điều kiện: 18t + > ⇔− Do t = t số nguyên Nghiệm nguyên dương (1) (x, y) = (6, 3) Trong trường hợp tìm nghiệm ngun dương (1) ta cịn giải sau: 11x + 18y = 120 102 Do y ≥ nên 11x ≤ 120 − 18.1 = Do x nguyên nên x ≤ Mặt khác x  x nguyên dương nên x = ⇒ y = b) Có nhiều cách tách giá trị nguyên biểu thức y = y =7 − 4k + k −1 (cách 1) y =7 − 3k − + 2k (cách 2) y =6 − 3k + (1 − k ) 20 − 11k , chẳng hạn: (cách 3) Ta thấy: - Cách gọn cách cách hệ số k phân thức 1, sau đặt k −1 = t ta không cần thêm ẩn phụ - Trong cách 3, nhờ đặt thừa số chung mà hệ số k phần phân số -1, sau 1− k = t không cần dùng thêm thừa số phụ đặt Bài tốn Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 6x + 5y = 74 Hướng dẫn giải ( ) ( ) (2) Từ (2) suy ( x − ) , mặt khác ( 6, ) =⇒ ( x − ) ⇒ x 5t vào (2) ta có: 30t = ( 10 − y ) ⇔ y = 10 − 6t Thay x − = Ta có: 6x + 5y = 74 ⇔ x − = 10 − y 2 2 2 = 5t + ( t ∈ N )  t>−  5t  + >  ⇔ − < t < , t ∈ N Suy ra: t ∈ 0;1 ⇔ Ta có: x > 0, y > ⇔  { } 10t − >  t<  Với t = không thỏa mãn yêu cầu toán   x =±3 x = Với t = ta có:  Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = ⇔ = ± y = y    Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2)  Dạng 2: Phương pháp đưa phương trình ước số * Cơ sở phương pháp: Ta tìm cách đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên Thực chất biến đổi phương trình dạng: A(x; y).B(x; y) = c A(x; y), B(x; y) biểu thức nguyên, c số nguyên Xét trường hợp A(x; y), B(x; y) theo ước c * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2xy − x + y = Hướng dẫn giải 2xy − x + y = ⇔ 4xy − 2x + 2y = ⇔ 2x ( 2y − 1) + ( 2y − 1) =6 − ⇔ ( 2y − 1)( 2x + 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế trái số Ta có x y số nguyên nên 2x + 2y – số nguyên ước (2x + 1) (2y - 1) ước số nên ta có: 2x + 1 -1 -5 2y - -5 -1 Vập phương trình có nguyện nguyên (x, y) = (3, 0); (-1, -2); (2, 1); (-3, 0) Kinh nghiệm giải: Để đưa vế trái 2xy − x + y phương trình dạng tích, ta biến đổi ( 2y − 1) cách nhân vế phương trình với bớt ca để đưa phương trình ước số Luyện tập kinh nghiệm ví dụ sau thành x ( 2y − 1) + Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: 5x − 3y = 2xy − 11 Hướng dẫn giải 15 5x − 3y = 2xy − 11 ⇒ x(5 − 2y) + (5 − 2y) − + 11 = 2   −7 2x + ⇔ ( − 2y )  x +  = ⇔ ( 2y − ) = ⇔ ( 2y − )( 2x + ) = 2 2  (*) (2x + 3) (2y - 5) ước số nên ta có: 2x + -1 -7 2y - -7 -1 Vập phương trình có nguyện ngun (x, y) = (-1, 6); (-2, -1); (2, 3); (-5, 2) Nhận xét: Đối với nhiều phương trình nghiệm nguyên việc đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên khó khăn ta áp dụng số thủ thuật thể ví dụ sau Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − 2xy + 3y − 5x + = Hướng dẫn giải x − 2xy + 3y − 5x + = ⇔ x − x(2y + 5) + (2y + 5)2 −(2y + 5)2 + + 3y + = 4  2y +  −4y − 20y − 25 + 12y + 28  2y +  4y + 8y − ⇔ x− + = ⇔ x −    −     2  2y +  4(y + 1)2 −  2y +  −7 ⇔ x− =0 ⇔  x −  −  − (y + 1) =     ( 2x − 2y − ) ⇔ 2 −7 − (y + 1)2 = ⇔ ( 2x − 2y − ) − ( y + 1) = −7 4 ⇔ ( 2x − 2y − − 2y − )( 2x − 2y − + 2y + ) = −7 ⇔ ( 2x − 4y − )( 2x − ) = −7 Vì x, y nguyên nên từ PT(*) ta có trường hợp sau: (*) 2x − 4y − = x =−2 ⇔ 1)  2x − =−7  y = −3 2x − 4y − =−7 x = ⇔ 2)  2x − = y = 2x − 4y − =−1 x = ⇔ 3)  2x − = y = 2x − 4y − = x = ⇔ 4)  2x − =−1  y = −3 Vậy nghiệm nguyên (x;y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) ( ax *Nhận xét: Trong cách giải ta sử dụng phương pháp biến đổi tam thức bậc hai ) + bxy + cy ,ax + bx + c ): trước hết ta chọn biến để đưa đẳng thức (Bình phương tổng, hiệu) chứa biến đó: ta chọn biến x : (2y + 5)2 x − x(2y + 5) + , phần lại đa thức ta lại làm với biến y: 4y + 8y − 4(y + 1)2 − −(2y + 5)2 + 3y + = − = − 4 Các bạn tư tìm hướng giải sau: x − 2xy + 3y − 5x + =0 ⇔ x − ( 2y + ) x + 3y + + a =a ( * ) Xét phương trình: x − ( 2y + ) x + 3y + + a = (* * ) Với a số chưa biết cần thêm vào, xác định a sau: ∆ ( ** )= ( 2y + ) − ( 3y + + a ) = 4y + 20y + 25 − 12y − 28 − 4a = 4y + 8y − − 4a −7 Chọn a để ∆ ( ** ) số phương nên −3 − 4a = ⇒ a = : 2y + − ( x + 1) 2y + + ( x + 1) 4y + ∆ ( ** ) = ( x + 1) ⇒ x1 = = = , x2 = 2 2 4y +    − ⇔ ( 2x − )( 2x − 4y − ) = −7 Vậy: ( * ) ⇔  x −   x − =    Vì x, y nguyên nên ta có trường hợp sau: 2x − 4y − = x =−2 ⇔ 1)  2x − =−7  y = −3 x = 2x − 4y − =−7 ⇔ 2)  y = 2x − = 2x − 4y − =−1 x = ⇔ 3)  2x − = y = 2x − 4y − = x = ⇔ 4)  2x − =−1  y = −3 Vậy nghiệm nguyên (x;y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x + 12x = y2 ( 1) Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với : x + 12x = y ⇔ ( x + ) − y = 36 ⇔ ( x + y + )( x − y + ) = 36 Suy (x + y + 6) (x – y + 6) ước 36 Mà 36 có 18 ước nên: ( x + y + ) ∈ {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±9; ±18; ±36} Kết ta tìm nghiệm nguyên là: ( 0,0 ) ; ( −12,0 ) ; ( −16,8 ) ; ( −16, −8 ) ; ( 4,8 ) ; ( 4, −8 ) Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình ước số có bước: Phân tích thành ước xét trường hợp Hai bước khơng khó trường hợp số phải xét có nhiều ước số cần dựa vào tính chất biến (ví dụ: tính chẵn lẻ, số dư vế) để giảm số trường hợp cần xét Trong trường hợp ví dụ ta nhận xét sau: Do y có số mũ chẵn nên y nghiệm – y nghiệm nên ta giả sử y ≥ Khi x + − y ≤ x + + y ta giảm trường hợp x + + y =9 ,  x + − y =4 x + + y =−9  x + y + =−1 ,    x + − y =−4 x + y − =−36 x + y + =36  x + + y =−2 x + y + =18 , ,    x − y + =1 x + − y =−18  x + y − =2  x + + y =−3 x + y + =12 x + y + =−6 ,  ,   x + − y =−12  x + y − =3  x + y − =−6 x + y + =6  x + y − = Bây có 10 trường hợp, ta lại thấy ( x + + y ) + ( x + − y ) = 2y nên ( x + + y ) , ( x + − y ) có tính chẵn lẻ.Do ta cịn trường hợp:  x + + y =−2 x + y + =18 ,   x + − y =−18  x + y − =2 x + y + =−6 x + y + =6 , ,   x + y − =−6  x + y − =6 x + y + =−6 x + y + =6 ,  Tiếp tục xét hai phương trình  hai phương trình có nghiệm  x + y − =−6  x + y − =6 y = ta có xét y = từ đầu Ta có phương trình ban đầu: x ( x + 12 ) = y , xét hai khả năng: Nếu y = x = x = - 12 Nếu y ≠ x + − y < x + + y áp dụng hai nhận xét ta phải xét trường hợp  x + + y =−2 x + y + =18 ,   x + − y =−18  x + y − =2 Giải kết luận phương trình có nghiệm ( 0,0 ) ; ( −12,0 ) ; ( −16,8 ) ; ( −16, −8 ) ; ( 4,8 ) ; ( 4, −8 )  Dạng 3: Phương pháp tách giá trị nguyên * Cơ sở phương pháp: Trong nhiều toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm nghiệm, đa số tốn sử dụng phương pháp thường rút ẩn (có bậc nhất) theo ẩn cịn lại * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: xy − 2y − 3y + = Hướng dẫn giải Ta có xy − 2y − 3y + = ⇒ y ( x − ) = 2x − Ta thấy x = khơng nghiệm nên x ≠ đó: y = Tách phân thức y= 2x − x−3 2x − giá trị nguyên: x−3 2x − ( x − ) + 5 = = 2+ x−3 x−3 x−3 Do y số nguyên nên số nguyên, (x – 3) ước x−3 +) x – = x = 4, y = + = +) x -3 = -1 x = 2, y = – = -3 (loại) +) x – = x = 8, y = +1 = +) x – = -5 x = -2 (loại) Vậy nghiệm (x, y) (4, 7) , (8, 3) Bài tốn Tìm số ngun x y thoả mãn phương trình: x + xy − 2y − x − = Hướng dẫn giải Nhận xét: phương trình ẩn y có bậc nên rút y theo x Ta có: x + xy − 2y − x − =0 ⇔ y ( x − ) =−x + x + (* ) Với x = thì: ( * ) ⇔ = (vô lý) Với x ≠ ta có: ( * ) ⇔ y =−x x+−x2+ + x −3 =−x − + x −3 Để y nguyên 3 ( x − ) Vậy (x – 2) ước đó: ( x − ) ∈ {−3, −1, 1, 3} ⇒ x ∈ {−1,1, 3, 5} Vậy phương trình có nghiệm: (x, y) = (3; - 1) ; (5; -5); (1; -5); (-1; - 1) 10 2xy Bài tốn Tìm số ngun dương x, y cho 6x + 5y + 18 = (1) Hướng dẫn giải Ta có: = x ⇔ 2x= −5y − 18 −10y − 36 ⇔= 2x − 2y − 2y −66 + ( − 2y ) −66 −33 = + ⇔ 2x= +5 − 2y − 2y 3−y Như x muốn nguyên dương (3 – y) phải ước – 33 Hay ( − y ) ∈ {±1; ±3; ±11; ±33} Lại y ≥ ⇒ − y ≤ ⇒ y ∈ {±1; −3; −11; −33} Ta có bảng sau: 3-y -1 -3 -11 -33 y 14 36 x 19 - 14 Thử lại ta cặp thỏa mãn (19, 4); (8, 6); (4, 14); (3, 36) Nhận xét: - Dễ xác định phương pháp để giải toán này, biểu diễn x theo y −5y − 18 x = Ta thấy biểu thức khó phân tích ví dụ trên, nhiên để ý ta thấy − 2y tử số – 5y mẫu số -2y, mạnh dạn nhân vào tử số để xuất 2y giống mẫu - Bài tốn giải phương pháp đưa phương trình ước số Do toán nhân x để biến đổi, phải có bước thử lại xem x, y có thỏa mãn phương trình cho hay khơng Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: 2y x + x + y + = x + 2y + xy Hướng dẫn giải Ta có: 2y x + x + y + = x + 2y + xy ⇔ 2y ( x − 1) − x ( x − 1) − y ( x − 1) + = ( 1) Nhận thấy x = không nghiệm phương trình (1) Chia vế (1) cho (x – 1) ta được: 2y − x − y + PT có nghiệm x, y nguyên, suy = (2) x −1 x = nguyên nên x − ∈ {1; −1} ⇒  x −1 x = Thay x = x = vào phương trình để ý đến y nguyên ta y = Vập phương trình cho có nghiệm (2; 1) (0; 1) II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẴN LẺ CỦA ẨN HOẶC XÉT SỐ DƯ TỪNG VẾ 11 * Cơ sở phương pháp: Chúng ta dựa vào tính chẵn lẻ ẩn xét số dư hai vế phương trình nghiệm nguyên với số nguyên dùng luận luận để giải tốn * Ví dụ minh họa:  Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ Bài tốn Tìm x, y ngun tố thoả mãn y − 2x = Hướng dẫn giải Ta có y − 2x = ⇒ y = 2x + ⇒ y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + ⇔ x2 = k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = Vậy nghiệm phương trình (x, y) = (2, 3) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình ( 2x + 5y + 1) ( x ) + y + x2 + x = 105 Hướng dẫn giải ( ) Ta có: ( 2x + 5y + 1) + y + x + x = 105 x Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn, 2|x| + y + x2 + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x| lẻ ⇒ 2|x| = ⇒ x = Thay x = vào phương trình ta (5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0⇒ y = y = − 26 ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình Vậy nghiệm phương trình (x, y) = (0, 4)  Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ xét số dư vế Bài toán Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: = a) x − y 1998 = b) x + y 1999 Hướng dẫn giải 74 Do (y, y + 1) = nên ( y + 1) ước 243 Mặt khác: 243 = 35 Do đó: ( y + 1) =32 ∨ ( y + 1) =34 2 Với: ( y + 1) = 32 ⇒ y = 2, x = 54 Với: ( y + 1) = 34 ⇒ y = 8, x = 24 Vậy nghiệm dương phương trình là: (x, y) = (54, 2); (24, 8) Bài 84: Xét phương trình x = y + y + với x, y ∈ Z + Xét y = x = x nguyên dương nên x = Xét y ≥ ⇒ x ≥ Ta có: ( x + y ) ( x − y ) = y + ⇒ ( y + 1) ( x + y ) (vô lý) 2 Do số ngun khơng âm phải tìm (x, y) = (1, 0) ( ) + 13 − x + 4x + = + 13 − ( x + ) ≤ + 13 Bài 85: Ta có y = Suy ≤ y ≤ Với y =1 ⇒ 13 =( x + ) khơng có nghiệm ngun Với y =4 ⇒ = 13 − ( x + ) ⇔ ( x + ) =4 ⇔ x =0 ∨ x =−4 2 Vậy phương trình có nghiệm (-2, 0); (-2, -4); (2, 0); (2; - 4) Bài 86: Ta có: − 3x =5 − a Xét x ≤ ( 1) a −1 , ta x = 3  a −1 ≤ 0 < Để x nguyên dương thuộc khoảng xét ta giải hệ  3 ⇒a=  a − 1  Khi x = Xét x > 9−a , ta x = 3 9 − a a < >  ⇔a= 3k với k ≤ Giải hệ:  3⇔  a   − a  Khi x = – k Vậy ta cần a = a = 3k với k nguyên, k ≤ Bài 87: Ta có: 75 x y + ( x − ) + ( y − ) − xy ( x + y − ) = 2 ⇔ x y + x − x + + y − y + − x y − xy + xy = ( ) ( ) ( ) ⇔ y ( x2 − x + 4) + ( x2 − x + 4) − y ( x2 − x + 4) = 2 ⇔ ( x − x + )( y + − y ) = ⇔ ( x − ) ( y − 1) = ⇔ x y − xy + y + x − x + + −2 x y + xy − y = − TH 1: ( x − ) =( y − 1) =1 ⇔ x =3 y = TH : ( x − ) =( y − 1) =−1 ⇔ x =1 y = TH : ( x − ) = − ( y − 1) =⇔ x= y = TH : ( x − ) =− ( y − 1) =−1 ⇔ x =1 y = Vậy phương trình có cặp ( x; y ) nguyên là: ( 3; ) ; (1;0 ) ; ( 3;0 ) ; (1; ) Bài 88: x a, a > , = y b, b > Đặt = y + y − =x ⇔ 4b + 6b − =a ⇔ 16b + 24b − = 4a ⇔ 16b + 24b + − 4a = 13 ⇔ ( 4b + 3) − 4a = 13 ⇔ ( 4b + − 2a )( 4b + + 2a ) = 13 Lập bảng 4b + − 2a 13 4b + + 2a 13 a -3 b 1 Nhận Loại x y Vậy phương trình có nghiệm ngun ( x; y ) ( 9;1) Bài 89: Ta có ( x − y − 1)( x + − y ) + xy + y ( − x − y=) ( x + 1)( y + 1) ⇔ ( x − y ) − + xy − y ( x + y − )= ( x + y + xy + 1) ⇔ ( x + y ) − y ( x + y − )= ( x + y ) + 2 ⇔ ( x + y )( x + y − ) − y ( x + y − ) = ⇔ ( x + y − 2) ( x + y − y2 ) = 76 Vì x, y ∈  nên x + y − 2; x + y − y ước x + y − =  y2 = x = ⇔ ⇔  −y + y y = x + y =  x= +)   x =   x + y − =−1 y =   y = −2 +)  ⇔ ⇔  −3   x = −1 x + y − y = x + y =    y = 2  x =  x + y − = y =   y = −2 +)  ⇔ ⇔  y2 + y  x =  x + y −=  x=    y = 2  x + y − =−3  y2 =  x = −1 ⇔ ⇔  −1 −1  y = x + y − y = x + y = +)  Vậy cặp số nguyên ( x; y ) ( 3;0 ) ; ( 3; − ) ; ( −1;2 ) ; ( 7; −2 ) ; ( 3;2 ) ; ( −1;0 ) Bài 89: Ta có ( x − 2018) + 1= y + y + − y − y + y = (y − y + 1) ⇔ ( y − y + 1) − ( x − 2018) =1 ⇔ ( y − y + + x − 2018 )( y − y + − x + 2018 ) =1 2  x = 2018 ( y − y + + x − 2018 ) =−1  x = 2018   TH1 :  ⇔ ⇔  y = ( y − y + − x + 2018 ) =−1  y − y + =  y =   x = 2018 ( y − y + + x − 2018 ) =  x = 2018   TH2 :  ⇔ ⇔  y =  y − 3y =  ( y − y + − x + 2018 ) =  y = Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ {( 2018;0 ) ; ( 2018;1) ; ( 2018;2 ) ; ( 2018;3)} Bài 90: Ta có (1) ⇔ ( y − )( y − 3) + 56 = ( y − 2) x + ( y − )( y − ) x ⇔ ( y − )  x + ( y − ) x − ( y − 3)  = 56 ⇔ ( x − 1)( y − )( x + y − 3) = 56 Nhận thấy ( y − ) + ( x − 1) = x + y − 3, nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba số nguyên mà tổng hai số đầu số cịn lại Như ta có +) 56 = 1.7.8 ⇒ ( x; y ) = ( 2;9 ) +) 56 = 7.1.8 ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) +) 56 =( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) =( −7;3) +) 56 = ( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) = ( 2; −6 ) +) 56 =( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) =( −7;9 ) +) 56 = ( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) = ( 8; −6 ) Vậy phương trình có nghiệm ngun 77 Bài 91: 2 Ta có x + y + x − y =5 xy − ⇔ ( x − y )( x − y + 3) =−7 ; y) Xét trường hợp ta có ( x= ( 3; ) ; ( −5; −6 ) ; ( −7; −4 ) ; (1; ) Bài 92: Để phương trình có nghiệm 9x + 16x + 32 phải số phương Khi 9x + 16x + 32 = t ( t ∈  ) Phương trình tương đương với 81x + 144x + 288 = 9t ⇔ 81x + 2.9.8 + 64 + 224 = 9t ⇔ ( 9x + − 3t )( 9x + + 3t ) =−224 =−2 4.14 =−2 3.28 =−2 2.56 =−2.112 = ( −14 ) = ( −28 ) = 2 ( −56 ) = ( −112 ) Ta có x ∈ Z; t ∈ N nên 9x + + 3t > 9x + − 3t 9x + − 3t ; 9x + + 3t tính chẵn lẻ Lại thấy 9x + + 3t 9x + − 3t chia dư ta có trường hợp sau 9x + + 3t = 14 9x + + 3t = 56 9x + + 3t = 9x + + 3t = ; ; ;  9x + − 3t =−16 9x + − 3t =−4 9x + − 3t =−28 9x + − 3t =−112 Giải trường hợp ta x ∈ {−7; −2; −1; 2} + Với x = −1 ⇒ −27 − 16y = ⇒ y = −2 (thỏa mãn) + Với x = −2 ⇒ −30 − 16y = ⇒ y = − (loại) (loại) + Với x = −7 ⇒ −45 − 16y = 19 ⇒ y = −4 (thỏa mãn) + Với x = ⇒ −18 − 16y = 10 ⇒ y = Vậy nghiệm nguyên phương trình ( x; y ) =( −1; −2 ) , ( −7; −4 ) Bài 93: 2 nhận thấy phương Phương trình tương đương với x + 3xy + 2y − x − = trình có bậc hai nên ta sử dụng delta để giải phương trình nghiệm nguyên Phương trình tương đương với x + 3xy + 2y − x − = ⇔ x + ( 3y − 1) x + 2y − = Xem phương trình phương trình bậc ẩn x ta ∆= ( 3y − 1) ( ) − 2y − = y − 6y + 21= ( y − 3) + 12 Để phương trình có nghiệm nghiệm ngun ∆ số phương Đặt ∆= ( y − 3) + 12= a ⇔ ( a − y + )( a + y − = ) 12 với a số nguyên Vì a − y + a + y − tính chẵn lẻ nên ta có bảng sau a−y+3 −2 −6 a+y−3 a −6 −2 −4 −4 y (TM) (TM) (TM) (TM) 78 Thay y = vào phương trình cho ta x + 14x + 45 = ⇔ x ∈ {−9; −5} Bài 94: Ta có x ( x + x + 1) = y − ⇔ ( x + 1) ( x + 1) = y Do x, y ∈  ⇒ x, y ≥ - Nếu x = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 0; ) nghiệm phương trình cho - Nếu x > ⇒ y > ⇒ x + chẵn, đặt x =2k + ( k ≥ ) y −1 Khi ( k + 1) ( 2k + 2k + 1) = Do 2k + 2k + số lẻ nên suy k =0 ⇒ x =1 ⇒ y =1 ⇒ ( x; y ) =(1;1) Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) ; (1;1) Bài 95: Viết phương trình cho dạng: 9.(3x – +19) = y2 (x ≥ 2) Để y số nguyên điều kiện cần đủ 3x – + 19 = z2 số phương (z số nguyên dương) Nếu x – = 2k + số lẻ 32k + + 19 = (32k + + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho không chia hết số phương Do x – = 2k số chẵn 19 Vì 19 số nguyên tố z − 3k < z + 3k nên Ta có 3x – + 19 = z2 ⇔ ( z − 3k )( z + 3k ) =  z − 3k =  z = 10  z = 10  ⇔ ⇔  k  k 19  k = 3 = z + = Vậy x = y = 30 Bài 96: Nếu x = ⇒ y =1 thỏa mãn Nếu y = ⇒ x ∉  không thỏa mãn Xét x ≠ 0; y ≠ phương trình cho có dạng 4.54 x3 ( 54 x3 += 1) 4.54 x3 y ⇔ ( 4.27 x3 + 1= ) ( xy ) +1 = x3 a= ;6 xy b ta phương trình Đặt 4.27 ( a + 1) = ( b + 1) ( b2 − b + 1) (*) d Từ (*) ta thấy b + > Gọi ƯCLN( b + 1; b − b + 1) = b + 1 d ⇒ ⇒ b − b + 1= b ( b + 1) − ( b + 1) + 3 d ⇒ 3 d b − b + 1 d Mặt khác ( a + 1= ) d ⇒ d = ⇒ ( b + 1; b ( 4.27 x + 1) không − b + 1) = chia hết không chia hết 79 Từ (*) nhận thấy tích hai số nguyên tố số phương nên phải  b + =m có  2  b − b + =n (m Ta có n = ⇔ n2 = (m 2 ( m; n ∈ *; m ≥ 2; m ≥ 4) − 1) − ( m − 1) + − 1) − ( m − ) (1) ; n2 = ( Từ (1) (2) ⇒ m − ) (m − ) + ( m − 1) ( 2) 2 < n < ( m − 1) vơ lý suy phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Bài 97: Ta có: 5( x + xy + y ) = 7( x + y ) 2 (1) 5t (2) (t ∈ Z ) ⇒ 7( x + y ) ⇒ ( x + y )  Đặt x + y = 7t (3) (1) trở thành x + xy + y = 2 (*), coi Từ (2) ⇒ x= 5t − y thay vào (3) ta y − 15ty + 25t − 7t = ∆ 84t − 75t PT bậc hai y có: = 2 Để (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ 84t − 75t ≥ ⇔0≤t ≤ 28 25 t = Thay vào (*) : Vì t ∈ Z ⇒ t = 0 ⇒ x1 = + Với t = ⇒ y1 = + Với −1 ⇒ x2 =  y2 =  y3 =2 ⇒ x3 =1 t =1 ⇒  Vậy phương trình có nghiệm ngun (x, y) (0; 0), (-1; 3) ( 1; 2) Bài 98: ( ( ) ) Ta có x + x + x = y ( y − 1) ⇔ x + x + x + 1= y − y + ⇔ ( x + 1) ( x + 1)= ( y − 1) (1) Vì x, y ∈  ⇒ ( y − 1) > nên từ (1) suy x ≥ x chẵn  x − 1 d Giả dử ( x + 1; x + 1) = d ⇒ d lẻ  ⇒ 2 d ⇒ d =  x + 1 d ( ) ( ) ( ) nên ( x + 1) x + Vì ( x + 1) x + số phương mà x + 1; x + = 2 hai số phương Do x ≥ ⇒ x < x + ≤ ( x + 1) ⇒ x + =( x + 1) ⇒ x =0 y = Khi x = ⇒ y ( y − 1) = ⇒  y =1 Vậy hai cặp số nguyên ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 0;1) 2 80 Bài 99: Ta có x = 2x + yzz4 ⇔ (x − 1) = yzz5 ; x, y, z ∈  + y, z ∈ {1;2; ;9} 2 Suy x − có dạng a5 2 Do yzz5= a5 = (10a + 5) = 100a(a + 1) + 25 Suy z = ⇒ y + z + z + = y + yzz5 số phương có tổng chữ số y + nên yzz5 Vì (x − 1) = chia cho dư 0, 1, 4, Do y ∈ {1;4;7} Khi tìm (x, y, z) ∈ {(36;1;2);(66;4;2);(86;7;2)} Bài 100: Ta có x + = y + z ⇔ x + = y + z + yz ⇔ (x − y − z ) + = yz ⇒ (x − y − z ) + (x − y − z ) + 12 = yz (1) TH1 Nếu x − y − z ≠ Ta có yz − (x − y − z ) − 12 3= (2) vô lý 4( x − y − z ) ( x, y, z ∈ N nên vế phải (2) số hữu tỷ ) x − y − z = TH2 x − y − z = (1) ⇔  (3)  yz = x = x =   Giải (3) ta  y =  y = thử lại thỏa mãn z = z =   Bài 101: (1) xy + x + y + = x + y + xy ⇔ x − x ( y − y + 1) + y − y − = Đặt y − y + = a, PT (1) trở thành ⇔ x − ax + a − = (2) Phương trình (2) có ∆= a − 4a + 8= ( a − 2) +4 Phương trình (1) có nghiệm ngun ⇔ Phương trình (2) có nghiệm nguyên ⇒ ∆ số phương ⇔ ( k + a − )( k − a + ) = Đặt ( a − ) + = k ( k ∈ N ) ⇔ k − ( a − ) = 2 Vì ( k + a – ) + ( k – a + ) = 2k số chẵn có tích số chẵn nên ( k + a – ) ( k – a + 2) số chẵn k + a − = k + a − =− k = k = − ⇔  Do    −2 k − a + = k − a + = a = a = 81  a + k2 2+2 = = = x 2 Vậy phương trình (2) có nghiệm   a − k2 2−2 x = = =  2 Ta có y − y − 1= a= ⇔ y − y − = ⇔ y − y + y − = y = ⇔ ( y − 1)( y + 1) = ⇔  Ta chọn y = (vì y ∈ Z) y = −  Vậy nghiệm nguyên ( x ; y ) phương trình ( ; 1) ( ; 1) Bài 102: Xét x =1 ⇒ y =1 ( ) * y k x Xét x ≥ 8 Nếu y chẵn, đặt y = 2k k ∈  ⇒ + = + ≡ ( mod ) , vơ lí ( ) * y k Nếu y lẻ y = 2k + k ∈  ⇒ + = + ≡ ( mod ) , vơ lí Vậy x= y= thỏa mãn yêu cầu toán Bài 103 Nhận thấy x, y số nguyên không âm 11296320 = 3.41 105 số vơ tỷ Phương trình cho viết lại: (x + y) + 4xy − 3361 = ( x + y ) xy − 328 105 ( 1) Vế trái (1) số hữu tỉ nên điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm ngun vế trái vế phải (1) Khi ta có hệ phương trình:  ( x + y )2 + 4xy − 3361   4 ( x + y ) xy − 328 105 =  S + 4P − 3361 x y,P = xy ta có hệ phương trình:  Đặt S =+ S P = 82 105 Từ (3) rút được: P = (2) ( 3) 82 2.105 Thay vào (2) thu gọn ta được: S2 S − 3361.S + 4.82.105 =0 ⇔ S =1681 ∨ S =1680 =412 Do đó: = S 41,P = 420 Suy x, y nghiệm phương trình:  t =20 t − 42t + 420 = 0⇔  t = 21 Vậy phương trình có nghiệm (20 ; 21) (21 ; 20) 82 Bài 104 Ta thấy (x, y) = (0 , 0) không nghiệm phương trình 6y Với x, y khác 0: ( 1) ⇔ 4x − 6y + 9x −= ( 313 x + y )  A + B ( A.B ≥ ) Ta dễ dàng chứng minh được: A + B =   A − B ( A.B < ) Nếu ( 4x − 6y )( 9x − 6y ) ≥ ( ) ⇔ 13x − 12y =313 ( x Vì (13,12) = nên ( x, = y) ) + y ⇔ 144x + 2.13.12xy + 169y =⇔ 12x + 13y = (13k; −12k ) với k ∈ Z k ≠ Nếu ( 4x − 6y )( 9x − 6y ) < ( 5x (2) ⇔ = ) 313 x + y ⇔ 288x + 313y = ( VN ) phương trình có nghiệm ( x, = y) (13k; −12k ) với k ∈ Z k ≠ Bài 105 Phương trình cho viết dạng: y = x 3 + + ⇔ 4y = 2x + + 4 ( 2x + 1) 2x + Vì x, y ∈ Z ⇒ 2x + ước ⇒ 2x + ∈ {1; −1; 3; −3} Vậy nghiệm phương trình là: ( 0;1) , ( −1; −1) , ( 1;1)( −2; −1) Bài 106 ( Nếu A + B ) ( = C + D C =A + 3B2 , D =2AB ⇒ A − B ( Do x + y ( ) ) =C − D = 444444 + 303030 Thì ta có: x − y ) = 444444 − 303030 (vô lý) Do 444444 − 303030 < Bài 107 Đặt s = x + y, p = x y s, p ∈ N* Lúc phương trình trở thành: 3s= 4p + 664 ( 1) * Nếu p =1 s ∉ N (mâu thuẫn) Vì p ≥ 3s ≥ 672 ⇒ s ≥ 224 ( ) Mặt khác từ điều kiện: s ≥ 4p , ta có 3s − 664 ≤ s Vì vậy: s ≤ 332 ( ) Từ (2) (3) ta có: s ∈ {256; 324} 83 a) s = 256 ⇒ s = 16, p = 26 ⇒ x ∉ N* (11,7 ) ; ( 7,11) b) s = 324 ⇒ s = 18, p = 77 ⇒ ( x, y ) = Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (11, 7); (7,11) Bài 108 Ta có: ( ) ) + 8xy + x + x y + xy + y 3= x + xy + y + ( 2 ) ( 2 ) ( ⇔x x +y +y x +y = x +y ( ⇔ x2 + y2 ) ( x + y − )= ( 1) 8xy + Suy ra: x, y chung tính chăn lẻ (x + y – 8) số chẵn Nếu x + y − ≥ x + y ( Suy ra: x + y 2 (x + y) ≥ ) (x + y − 8) ≥ (x 2 ≥ 14 >4 ) ( ) + y ≥ x + y + 8xy > + 8xy, phương trình (1) khơng thỏa ( Nếu x + y − ≤ −4 x + y ) ( x + y − ) ≤ −4 ( x ) + y ≤ 8xy < + 8xy , phương trình (1) khơng thỏa  x=  x= ( 1) ⇔ x + y = 4xy + Khi đó: x + y = 10, xy = 16 ⇔  ∨ Nếu x + y − = =  y 8= y ( 1) ⇔ 8xy + = ⇔ xy + = 0, phương trình khơng có nghiệm ngun Nếu x + y − = x + y = 6, xy = −20 khơng có Nếu x + y − =−2 ( 1) ⇔ x + y + 4xy + = Khi đó: x + y = nghiệm nguyên Kết luận: Nghiệm nguyên phương trình (x, y) = (2, 8) ; (8, 2) Bài 109 Phương trình cho có dạng: x + 17  y + 2xy + ( x + y )  = 1740 Chú ý với số x nguyên, x có dạng sau: = x 17k ± r với r ∈ {0,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8} k ∈ Z Từ suy ra: x ∈ {17k,17k + 1,17k + 4,17k + 9,17k + 8,17k + 16,17k + 2,17k + 15,17k + 13} Nhận thấy vế phải 1740 chia cho 17 có số dư Tron vế trái chia cho 17 trường hợp khơng có số dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên Bài 110 Ta có: 84 ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) ⇔ 27 − 3= ( x + y )( y + z )( z + x ) ⇔ ( x + y )( y + z )( z + x ) = (* ) 3 3 x + y = a ∈ Z  Đặt  y + z = b ∈ Z Khi đó: ( * ) ⇔ abc = ⇒ a, b,c ∈ {±1; ±2; ±4; ±8}  z + x =c ∈ Z  Vì x, y, z vai trị bình đẳng nên ta giải sử: x ≤ y ≤ z ⇒ a ≥ b ≥ c Khi ta có: a + b + c = ( x + y + z ) = 2.3 = ⇒ a ≥  b += c = b ⇔ ⇔ x = y = z =1 Với a = ta có:  =  bc 4= c b + c = Với a = ta có:  (khơng có nguyện ngun)  bc =  b + c =−2  b =−1 ⇔ ⇔ x − 5; y= 4; z= Với a = ta có:   bc =  c = −1 Vậy hệ cho có nghiệm: ( x,= y, z ) (1,1,1) ; ( 4, 4, −5 ) ; ( 4, −5, ) ; ( −5, 4, ) Bài 111 Ta có: 3x + 6y + 2z + 3x y − 18x − = ( ) ⇔ x − 6x + + 6x + 2z + 3y z = 33 ( )( ) ⇔ ( x − ) + 3y + z + = 37 Dễ dàng thấy: ( x − ) ≤ 33 ⇔ ( x − ) ≤ 11 2 Suy ra: ( x − ) ∈ {0,1, 4,9} ( )( ) + Với ( x − ) =0 ⇒ 3y + z + =37 Nhận xét: 3y + ≥ z + ≥ (*) Vậy trương trường hợp phương trình vơ nghiệm 2  = + 17  = +2 3y 3y + Với ( x − ) =1 ⇒ 3y + z + =34 Do (*) nên  ∨ +2 + 17    z=  z= ( )( ) Không tồn giá trị nguyên x, y nên trường hợp phương trình vô nghiệm  3y + = + Với ( x − ) =4 ⇒ 3y + z + =25 Do (*) nên    z +2= ( )( ) 85 Không tồn giá trị nguyên x, y nên trường hợp phương trình vơ nghiệm + Với ( x − ) = 9: 2   y =1  y =−1 +2  +2 3y= 3y= ⇒ 3y + z + = 10 ⇔  ∨ ⇔ ∨ +2  +2 =  z 0= z  z=  z= ( )( ) Kết luận phương trình cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = ( 6,1,0 ) ; ( 6, −1,0 ) ; ( 0,1,0 ) ; ( 0, −1,0 ) Bài 112 Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đẳng thức: a − b + 3(a − b ) + 3(a − b) = (a + 1)(b + 1) + 25 a − b + 3(a − b ) + 3(a − b) = (a + 1)(b + 1) + 25 ⇔ (a + 3a + 3a + 1) − (b + 3b + 3b + 1) = (a + 1)(b + 1) + 25 ⇔ (a + 1)3 − (b + 1)3 = (a + 1)(b + 1) + 25 (*) a 1, y =+ b 1(x, y ∈ Z; x, y ≥ 2) Đặt x =+ Khi (*) trở thành: x − y = xy + 25 ⇔ (x − y)(x + xy + y ) = xy + 25 (**) + Từ (**) suy x > y ⇒ x − y ≥ , mà x + xy + y > nên: x + xy + y ≤ xy + 25 ⇒ x + y ≤ 25 ⇒ x ≤ (1) + Hơn nữa: x > y x, y ≥ nên xy ≥ Suy x − y = xy + 25 ≥ 31 ⇒ x > 31 ⇒ x > (2) Từ (1) (2) suy ra: x = Do x > y y ≥ nên y ∈ {2; 3} x = + Thử lại, có  thỏa (**) Suy y = a = cặp số cần tìm  b = Bài 113 ( ) ( ) ( ( ) PT ⇔  x + y + = 17  x + y +      ⇔ 16x − 8x y + + y + ) ( ) = ⇔  4x − y +  =   ⇔ 4x − y − = ⇔ ( 2x + y )( 2x − y ) = Do x, y nguyên dương nên 2x + y ≥ 2x − y 2x + y > 2x + y = ⇔ ( x; y ) = Vậy  ( 2; ) 2x − y = Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 114 86 ( ) x ( y − 1) − xy = x − y + ⇒ y x − x + = 5x + x + ⇒ y = Do x − x + = ( x − 1) + 5x + x + 6x − = 5+ ( 1) x − x −1 x −x+1 > x − x + 1= x ( x − 1) + số lẻ ( Lại có: ( x − x + 1) ( x − x + 1) Suy ra: ( x − ) ( x ( 3x − ) ( x − x + 1)  ⇒  ( x − x + 1) Ta có:  3x −  x − x + ( ) ( )  ) ( )( Mặt khác y số nguyên nên phải có ( 3x − ) x − x + hay 3x − 2x  x − x + 2 ) ( − x + ⇒ ( 3x − ) x − x + ) ) 2 x = x2 − x + = ⇔  ta nghiệm (0, 1); (1, 7) x = Nếu  x =−2 Nếu x − x + = ⇔   x=3 Với x = -2 y khơng ngun Với x = y = Vậy phương trình cso nghiệm (x, y) = (0, 1); (1, 7); (3, 7) Bài 115 Ta có: 25 = ( ac − 3bd ) + ( ad + bc ) = ( bd ) + ( ac − bd ) + ( ad − bc ) ≤ ( bd ) Suy ( bd ) ≤ 2 2 2 25 < mà bd nguyên nên bd < Với bd = ta tìm số (a, b, c, d) sau (1,0, 4, ) , ( −1,0, −4, −3 ) , ( 4, 3,1,0 ) , ( −4, −3, −1,0 ) Bài 116 Ta có: 2x + 3y + 2z − 4xy + 2xz − 20 = 20 ⇔ (x − y + z) + (x − y) + ( y + z) = 2 Ta thấy 20 có dạng phân tích thành tổng bình phương số là: 20 = + 2 + Do x − y + z > 0, y + z > ⇒ x − y = Từ ta giải nghiệm x = y = z = tức tâm giác Bài 117 Giả sử phương trình có nghiệm dương (x, y) Với số dương a, b kí hiệu (a, b) ước chung lớn a b = , y dy1 với x1 , y1 ∈ N* ( x1 , y1 ) = Khi đó: Đặt ( x, y ) = d ta = có x dx ( 1) ⇔ d ( x ) + y13 = ( x1 + y1 ) + ( x1 y1 ) 2 (2) 87 Với lưu ý ( x1 y1 )  ( x1 + y ) Từ ( x1 , y1 ) = suy ( x1 y1 , x1 + y1 ( 3) Kết hợp với (3) ta )= x1 y1  ( x1 + y1 ) đó x1 + y = , mâu thuẫn với x1 , y1 ∈ N* Vậy phương trình cho không cso nghiệm nguyên dương Bài 118 Xét phương trình: x y − 4xy + y + x − 2y − = ( ) ( ) ( ) ⇔ x xy + − xy + + y − 2y + = ( )( ) ⇔ xy + x − + ( y − 1) = (2) Ta thấy với x, y số tự nhiên : xy + > 0, ( y − 1) ≥0 Do x − ≤ Nghĩa x lấy giá trị 0, 1, Với x = thay vào (2) ta được: y2 – 2y – = hay y = -1 (loại) y = Với x = 3y3 + – (y -1)2 = (vơ nghiệm) Với x = y = Vậy phương trình cho có nghiệm (2, 1) (0, 3) Bài 119 Ta có: x + y = (x + y)2 (x + y)(x − xy + y − x − y) = Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: x − xy + y − x − y = 2(x − xy + y − x − y) = (x − y)2 + (x − 1)2 + (y − 1)2 = Vì x, y nguyên nên có trường hợp: x − y =0  + Trường hợp 1: (x − 1)2 = x = y = 2, z = (y − 1)2 =  x − =0  + Trường hợp 2: (x − y)2 = x = 1, y = 2, z = (y − 1)2 =  y − =  + Trường hợp 3: (x − y) = x = 2, y = 1, z = (x − 1)2 =  Vậy hệ có nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4) 88 Bài 120 Ta có: x − xy + y = 2 x + y) + (x − y) ( 4 2 x−y = ⇔ ( x − y ) =3 x − xy + y ⇔ ( x − y ) = ( x + y ) + ( x − y ) 4 x − xy + y ( ) Đặt p =+ x y,q =− x y ( ) ( ) , từ suy 28p ⇒ p Đặt p = 3k ( k ∈ Z ) Thay giá trị p vào (2) ta có:= 28k ( 3k + q ) ( 3) 28p p2 + 3q Khi ta có: = 2 Suy k  ⇒ = k 3m ( m ∈ Z ) Thay k = 3m vào (3) ta được: 28m =27m + q ⇒ m ( 27m − 28 ) =−q ≤ ⇒ ≤ m ≤ Với m = q = p = suy x = 0, y = (loại) Với m = p = q = q = - Từ suy x = 5, y = x = 4, y = Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (5, 4); (4, 5) 28 ⇒ m =0 ∨ m =1 27