Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên Phương trình nghiệm nguyên CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN a Ph©n tÝch thµnh tÝch 1, Tìm nghiệm nguyên của các phương trình ) 0 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 2 ( 1)( 1)[.]

Phương trình nghiệm ngun CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN a Phân tích thành tích 1, Tỡm nghim nguyờn ca phương trình: a ) x + y = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ x ( y − 1) − ( y − 1) =  x − =  x = y =  y −1 = ⇔ ( x − 1)( y − 1) = ⇔  ⇔   x − = −1 x = y =    y − = −1 b) x + xy + y = ⇔ x ( y + 1) + y + = 10 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 10 1 c ) xy + x + y = 21 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1) = 21 + ⇔ (2 x + 1)(2 y + 1) = 43 2 d ) p( x + y ) = xy ⇔ xy − px − py = ⇔ x( y − p ) − ( y − p ) p = p ⇔ ( x − p )( y − p) = p với p số nguyên tố 2, a Tìm x, y thuộc N: a ) x − xy = ⇔ xy = x − Neu x = (loai ) Neu x ≠ ⇒ y = x − nguyen 5Mx x ⇒ x ∈ { −5; −1;1;5} ⇒ y ∈ { 76;8; −2;74}  x2 + y2 = z2 b Tìm x, y, z thuộc N* thỏa mãn   xy = 2( x + y + z) 2  x2 + y2 = z ( x + y ) − xy = z ( x + y ) − z = xy (1) ⇔ ⇔  2 ( x + y ) − z = 4( x + y + z ) (2)  xy = 2( x + y + z ) (*) 2 xy = 4( x + y + z ) Tu (2) ⇔ ( x + y ) − z = 4( x + y + z ) ⇔ ( x + y ) − 4( x + y ) − z − z = ⇔ ( x + y ) − 4( x + y ) + − z − z − = ⇔ ( x + y − 2) = ( z + 2) ⇔ x + y − = z + ⇔ x + y − = z (3) Thay (3) vao (*) ⇔ xy = 2( x + y + x + y − 4) ⇔ xy − x − y = −8 ⇔ x ( y − 4) − ( y − 4)4 = ⇔ ( x − 4)( y − 4) = x = x =   ⇔  y = 12 Hoac  y =  z = 13  z = 10   3, Giải phương trình sau trªn Z a )3 x + 10 xy + y = 96 ⇔ x + xy + xy + y = 96 ⇔ x(3 x + y ) + y (3 x + y ) = 96 ⇔ ( x + y )(3 x + y ) = 96 Phương trình nghiệm nguyên b x + xy − y − = c x + x − y = d x − y = 91 2 4, Tìm số nguyên x để x + x + số phương x2 + x + = y ( y ∈ N * ) ⇔ x + x + = y ⇔ x + x + + 23 = y ⇔ y − (2 x + 1) = 23 ⇔ (2 y − x − 1)(2 y + x + 1) = 23 5, Tìm tất cặp số nguyên dương cho tổng số với số chia hết cho số x + 1My ( x, y ∈ N ) y + 1Mx ⇒ ( x + 1)( y + 1)Mxy ⇔ xy + x + y + 1Mxy ⇒ x + y + 1Mxy ⇒ x + y + ≥ xy 1 ⇔ + + ≥1 y x xy 1 1 1 Vi x, y co vai tro nhu Gia su x ≥ y ⇒ ≤ + + ≤ + + = + x y xy y y y y y 2  1 1 ≤ 1 + ÷ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + = ⇔ y = ⇒ x = y y y  6, Tìm n ∈ N cho + 211 + n s chớnh phng Đặt + 211 + n = A Thư n ≤ thÊy A kh«ng chÝnh ph¬ng (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336; 2368; 2442; 2560) Víi n > ta cã A= ( n−8 + + 1) = ( n8 + 9) Do 28 phơng nên để A phơng 2n-8 + = m2 víi m ∈ N* ⇔ ( m + 3) ⋅ ( m − 3) = n −8  m + = a ⇔ víi a,b ∈ N vµ a > b b  m − =  2a ×2b = 2n −8 (1)  a b ⇔ 2 − = (2) Tu (2) ⇒ 2b ( 2a −b − 1) = (*) Suy 2b lµ íc cđa 6, hay 2b ∈ {1; 2; 3; 6} ⇒ b ∈ {0; 1} (chØ nhận 1;2; 3;6 loại) thay vào (2) ta có a ∈ {7; 8} suy a =3 (chØ nhận 8, ứng với b=1; loại ) Vậy b =1; a = suy n = a + b + = 12 Víi n =12 ta cã + 211 + 212 = 28 ( + 9) = 80 thoả mÃn yêu cầu toán 7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: y = x( x + 1)( x + 7)( x + 8) y = x ( x + 1) ( x + ) ( x + ) Phương trình nghiệm nguyên ⇔ y = ( x2 + 8x ) ( x2 + 8x + ) z = x2 + 8x ⇒ y = z ( z + ) 2 Đặt ⇔ y − z − z = ⇔ y − ( z + ×2 z ×7 + 49 ) + 49 = ⇔ ( y ) − ( z + ) = −49 2 ⇔ ( y − z − )( y + z + ) = −49 = −1 ⋅ 49 = Giải khả có hÖ  y + 2z + = − *)  ⇒  y − 2z − = 49 *)  y + z + = 49  y = 12  ⇒  2y − 2z − −=  z = *)  2y + 2z + −=  y =  ⇒  2y − 2z − =  z −=  y = 12 ;   z = − 16 *)  2y + 2z + =  y −= 12  ⇒  2y − 2z − −= 49  z = *)  2y + 2z + −= 49  y −= 12  ⇒  2y − 2z − =  z −= 16 *)  y + 2z + =  y =  ⇒  2y − 2z − −=  z = Giải phơng trình đặt cho z *) z = -16 ⇒ x + x = −16 ⇔ ( x + 4) = ⇒ x = −4 ⇒ ( − 4;12 ); ( − 4;−12) *) z = ⇒ x + x = ⇔ x = 1; x = −9 ⇒ (1;12 ); (1;−12); ( − 9;12); ( − 9;−12 ) *) z = ⇒ x + x = ⇔ x = 0; x = −8 ⇒ ( 0;0); ( − 8;0) *) z = -7 ⇒ x + x = −7 ⇔ x = −1; x = −7 ⇒ ( −1;0 ); ( 7;0) Vậy phơng trình đà cho có 10 nghiệm 8, Tìm x, y, z ∈ N* để: y z + ( y − xy ) z + x( x − y ) = y z + ( y − xy ) z + x ( x − y ) = Phương trình nghiệm nguyên ⇔ y z + y z − xyz + x − xy = ⇔ −2 xyz + x − xy = − y z − y z ⇔ y z − xyz + x − xy + y z = − y z − y z + y z + y z ⇔ ( yz − x ) + y ( yz − x ) = y z ( z + − yz − y ) 2 y y2  ⇔  yz − x + ÷ = y z ( z + 1) ( − y ) + (*) 2  y2 ≥ y z ( z + 1)( y − 1) ( y2 y >1⇒ > y v« lÝ Do VT ≥ ⇒ VP ≥ ⇔ ⇔ y =1 Đổi dấu 1- y) (chú ý: x;y;z N * )  1 z− x+ =  1  2 ⇒ Khi y =1 ph¬ng trình đà cho trở thành (*) z x +  = ⇔   2  z − x+ = −  2 z= x  z = x−  Ph¬ng trình đà cho có vô số nghiệm (n; 1; n); (n; 1; n-1) víi n ∈ N* 9, Tìm T×m xy xy cho ( x − y ) = xy + cho ( x − y ) = xy + Đk: x, y chữ số ,x ≠ ( x − y ) = xy + ⇔ x − x y + y − xy −1 = ( ) ( ) ⇔ x + x y + y − x y + xy + = ( ⇔ x2 + y ( ) − ( xy + 1) 2 )( =0 ) ⇔ x + y − xy − x + y + xy + = 2 ⇔ x + y − xy − = ⇔ ( x − y ) − = ⇔ ( x − y + 1)( x − y − 1) = v× x2+y2+2xy+1 >0  x = y − ⇒ xy ∈ { 12; 23;34; 45;56;67;78;89} ⇔  x = y + ⇒ xy ∈ { 10; 21;32; 43;54;65;76;87;98} Có 17 số thoả mÃn yêu cầu 10, Tìm x;y nguyên phương trình: x − xy = x + y −19 x − xy = x + y −19 ⇔ x( x − y ) − x + ( x − y ) + 19 = ⇔ ( x − y )( x + 1) − 3( x + 1) + 22 = ⇔ ( x + 1)( x − y − 3) = −22(*) ⇒ x + x +1 ∈{±1;±2;±11;±22} ⇒x ∈{0;−1;5;−6} , lµ íc cđa 22 Hay (Các ớc 2;22 bị loại 2x+1 lẻ) Thay vào phơng trình (*) có y tơng ứng y {19;26;4;11} Vậy phơng trình đà cho có nghiệm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11) Phng trỡnh nghim nguyờn 11.Tìm n nguyên để nghiƯm cđa pt : x2- (4 + n)x + 2n = cịng nguyªn x − ( + n) x  +2n = ∆ =  − (4 + n) ] − 8n = 16 + 8n + n − 8n = n + 16 Phuong trinh co nghiem nguyen ⇔ n + 16 = m (m ∈ z ) ⇔ m − n2 = 16 ⇔ (m − n)(m + n) = 16 Đặt n2+16 = m2; m Z ⇒ n − m = −16 ⇔ (n + m)(n − m) = −1.16 = −2.8 = −4.4 Để ý : (n + m) +(n-m)=2n số chẵn, nên khả năng-1.16 bị loại( tổng thừa cố =15(lẻ), phải xét khả có từ -2.8 -4.4 Kết cho bảng sau: n+m n- m n -2 -8 -3 -8 -3 -2 -4 -4 Ta kiểm tra lại cho khả có đợc n=-3;0;3 để lấy ngiệm (Nếu phù hỵp) *) n = => x2-7x+6 = =>x =1;6 , nghiệm thoả mÃn => n = tho¶ m·n *) n =-3 => x2-x-6 = =>x = -2;4 , nghiệm thoả m·n => n = -3 tho¶ m·n *) n = => x2- 4x = =>x = 0;4 , nghiệm thoả mÃn => n = thoả mÃn Vậy có giá trị thoả mÃn : n = -3; 0; 12 Tìm n nguyên để c¸c nghiƯm cđa pt : x2 - (4 + n)x + 4n -25 = cịng nguyªn ∆ = (n 4) + 100 > Đặt (n-4)2+100 = k2; k ∈ Z ⇒ ( n − − k )(n − + k ) = −100 = −1.100 = −2.50 = −10.10 §Ĩ ý : (n-4+k) +(n-4-k)=2n số chẵn, nên khả năng-1.100 bị loại( tổng thừa cố =99 (lẻ), phải xét khả có từ -2.50 - 10.10 KÕt qu¶ cho ë b¶ng sau: n4+k n- k 50 -2 -50 2 - 50 -2 50 10 - 10 - 10 10 n 28 Phương trình nghiệm nguyên -20 -20 28 4 Ta kiÓm tra lại cho khả có đợc n= - 20; 4; 28 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp) *) n = 28 => x2-32x + 87 = =>x =3;29 , nghiệm thoả mÃn => n = 28 tho¶ m·n *) n = - 20=>x2+16x-105 = =>x =-21;5, c¶ nghiƯm tho¶ m·n => n = -20 tho¶ m·n *) n = => x2- 8x - = =>x = -1;9 , c¶ nghiệm thoả mÃn => n = thoả mÃn Vậy có giá trị thoả mÃn : n = - 20; 4; 28 13 Tìm số p nguyên tè,biÕt pt: x2 + px - 12p = cã nghiệm nguyên = p (48 + p ) > số phơng Do p số nguyên tố =>đk cần là: 48 + p p ⇒ 48p ⇒ p = 2;3 Víi p = ⇒ ∆ = 100 ⇒ x + x − 24 = ⇒ x = 4;−6 nghiệm nguyên,p=2 TMĐK Với p = = 153 , không phơng nên p = bị loại Vậy p = số nguyên tố cần tìm 14.Tìm m; n N cho nghiệm phơng trình: x2-m(n+1)x + m + n +1 = số tự nhiên Gọi x1 ; x nghiệm pt,khi ,theo Viet ta cã:  x1 + x2 = m(n + 1) (1) ⇒ x1.x2 − x1 − x2 = n − mn + ⇔ (x1 − 1)(x2 − 1) = n(1 − m) +   x1.x2 = m + n + .(2) Phương trình nghiệm nguyên ⇔ n(m −1) + ( x1 −1)( x2 1) = (*) Do x; m; n sè tù nhiªn,nªn ,tõ pt (2) cđa hƯ Viet ta cã : x1 ; x ≥ KÕt hỵp ®k ®ã víi pt (1)=> m > => vÕ trái (*) tổng số không âm Vì VP = có cách viết là: = + = + = 1+1 Giải khả n(m − 1) = (1) a)  ( x1 − 1)( x2 − 1) = (2) (1) ⇒ (n; m) = (1;3), (2; 2) ⇒ x = 1;5 n(m − 1) = (1) c)  ( x1 − 1)( x2 − 1) = (2) n = (1) ⇒  m =  n(m − 1) = (1) b)  ( x1 − 1)( x2 − 1) = (2) (1) ⇒ (n; m) = (1; 2) (2) ⇒ x1;2 = (2) ⇒ ( x1 ; x2 ) = (2;3) Khả c) ta tìm giá trị cụ thể m;n trờng hợp,với ý pt có nghiệm *) n = Do x=2 nghiệm , nªn: - 2m + m +1 = => m = 5, =>(m;n)= (5;0) Do x=3 lµ nghiƯm , nªn: - 3m + m + = =>m = 5, =>(m;n)= (5;0) *) m=1 Do x=2 nghiệm , nên: -2(n+1) + + n + = =>n = 4, =>(m;n)= (1;4) Do x=3 nghiệm , nên: 9-3(n+1) +1 + n + 1= => n = 4, =>(m;n)= (1;4) VËy cặp (m;n) có đợc (m;n)= (3;1);(2;2),(2;1),(1;4),(5;0) 15, Tỡm x, y ∈ Z thỏa mãn phương trình: x + y + 3xy + x + y = 15 Nhãm theo x ( xem y lµ tham sè) x + y + 3xy + x + y = 15 ⇔ x + 3x( y + 1) + ( y + y ) = 15(*) +Thªm bớt vào vế với số m (tạo cho vế trái phơng) (*) x + 3x( y + 1) + y + y + m = 15 + m + Chọn m cho vế trái phơng ( đảm bảo Đk cần cho x ) ∆ = 9( y + 1) − 4( y + y + m ) = y − y + − 4m chän m =2 Khi ®ã ∆= (y-1)2 x= − y− 2 +T×m nghiƯm cđa VT: VT = ⇔ x + 3x( y + 1) + y + y + = ⇔   x = − 2y − Phương trình nghiệm nguyên (*) ⇔ ( x + y + )( x + y + 1) = 17 = ⋅17 = 17 ⋅1 = −1 ⋅ (−17) = −17 ⋅ (−1) Giải hệ chọn nghiệm nguyên ( phơng Đk cần), thử lại *) *) x + y + =  x −= 18  ⇔  x + y + = 17  y = 17  x + y + −=  x = 12  ⇔  x + 2y + −= 17  y −= 15 ; *) ; *)  x + y + = 17  x = 30  ⇔  x 2_ y + 1=  y −= 15  x + y + −= 17  x −= 36  ⇔  x + 2y + = y = 17 Phơng trình đà cho cã nghiÖm : ( -18; 17); ( 30; -15); (12; -15); (-36; 17) Bài 16 Giải phương trình nghiêm nguyên x −10 y − xy + y − y = 9 x −10 y − xy + x − y = ⇔ x − x( y − 1) − 10 y − y + m = + m ∆ = 9(3y - 1)2+ 36.(10y2 + 5y - m) = 81y − 54 y + + 360 y +180 y − m = 441y +126 y + − 36m = ( 21y ) + ⋅ 21y ⋅ + − 36m chän m = = ( 21 y + 3) VT = x1 = y +1 y; x = 3 Phơng trình ®· cho trë thµnh  y +1  9 x − y  x +  = ⇔ ( 3x − y )( 3x + y + 1) =    Mà Ư(9)= { 1; 3; 9} Giải hệ có thể, thu đợc nghiệm, chọn nghiệm phù hỵp *)  3x − y =  x =  ⇔  3x + y + =  y = ;  3x − y = *)  ⇔  3x + y + =   x = (lo¹i);  y= −  Phương trình nghiệm nguyên  3x − y = − *)  ⇔  3x + y + = − 52  x = −  21 (lo¹i);  y= −   16 x=  3x − 5y =  21 *)  ⇔  (Lo¹i);  3x + y + =  y = −    3x − y = −  x = *)  ⇔  3x + y + = −  y =  (Lo¹i);  26 x= −  3x − 5y = −  21 *)  ⇔  3x + y + = −  y = −  Bài17 Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn phương trình: a 12 x + xy + y Cách 1.12 x = 28( x + y ) + xy + y = 28( x + y ) ⇔ 12 x + xy − 28 x + y − 28 y = ⇔ 12 x + x( y − 14 ) + y − 28 y = 196   28 y−  ∆' = ( y −14 ) −12 ⋅ (3 y − 28 y ) = −27 y + 252 y + 196 = −27 y − 27   = 2 14 196 196 196   − 27 y − ⋅ y+ − −  9 27   = 14   784 − 27 y −  ≤ 784 = 28   Do ∆’ phơng giá trị cần nhận x, y thuộc Z Thử qua giá trị giá trị phù hợp là: = 222 cặp (x; y) = (1; 8) = 142 cặp (x; y) = (0; 0) = 42 cặp (x; y) = (-1; 10) (Các trờng hợp lại : ∆/ = 28 ;27 ; ,0 thay vào để tìm y, ta có y không phơng ,hoặc y không mang giá trị nguyên, nên bị loại ) Ví dụ *) / = 28 = 784 ⇒ 27 y − 252 y + 588 = ⇔ y − 84 y + 196 = ⇒ ∆/y = ⇒ y = 42 *) ∆/ = = ⇒ 27 y − 252 y − 187 = /y = 20925 không phơng=> loại Vậy phơng trình đà cho có nghiệm : (1; 8); (0; 0); (-1; 10) Cách Phương trình nghiệm nguyên a) 12x +6xy+3y = 28(x+y) 9x2= -3(x+y)2+28(x+y) = -3 2 14   ( x + y ) − ( x + y ) 196 14 196 196 ⇔ 9x = − 3( x + y − ) ≤ ⇔ x2 ; 3 27 Vì x2 số phơng nên: x {0;1;4} x {0;1;2} Đến ta thay giá trị x vào phơng trình ,tìm y,chọn cặp nghiệm nguyên (nếu có) *) x=0 => 3y2 = 28y => y=0 => (x;y) = (0;0) , (Giá trị y=28/3 bị loại) *) x=1 =>12+6y+3y2 =28+28y=>y=8 => (x;y)=(1;8), (Giá trị y=-2/3 bị loại) *) x= -1=>12-6y+3y2=-28+28y=>y=10=>(x;y)=(-1;10), (Giá trị y=4/3 bị loại) *) x=2;x=-2 không cho y nguyên Vậy phơng trình đà cho có nghiƯm lµ : (1; 8); (0; 0); (-1; 10) b 7( x + y ) = 3( x − xy + y ) 7( x + y ) = 3( x − xy + y ) ⇔ x − ( y + ) x + y − y = ( ) 14 49   ∆ = ( y + ) − 12 y − y = −27 y + 126 y + 49 = −27 y − y−  27   49 49 49   = − 27 y − ⋅ y + − − 27    = 7  144 − 27 y −  ≤ 144 = 12 Thử khả phơng y Z ta nhận đợc kết hợp lý là: = 112 ta tìm đợc x = 5; y = =72 ta tìm đợc x = 0; y = = 22 ta tìm đợc x = 4; y = Vậy phơng trình đà cho có nghịêm (x;y)là : (0; 0); (4; 5); (5; 4) b Ph©n tÝch thành tổng luỹ thừa 1, Tỡm nghim nguyờn ca phương trình: y = −2( x − x y − 32) ( y = −2( x − x y − 32) ) ⇔ x + x − x y + y = 64 ⇔ ( x )3 + ( x3 − y)2 = 64 = + = +   x =   x = ±2  ⇒ nghiem ( 2;8 ) ; ( 2; −8 ) ; ( −2;8 ) ; ( −2 − )  y = ±   x − y =  ⇔ ⇔  x =   x =  ⇒ nghiem ( 0;8 ) ; ( 0; −8 )    x − y = ±8 y = ±8  Vậy phơng trình có nghiệm 10