(SKKN 2022) kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN CHO HỌC SINH GIỎI THCS Người thực hiện: Lê Thị Huyền Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Vân SKKN thuộc lĩnh vực : Mơn Tốn MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 Nội dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu THANH HÓA NĂM 2022 NỘI DUNG Trang 1 2 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.4 3.1 3.2 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Giải pháp tổ chức thực Phương pháp đưa dạng tích 3 4 Phương pháp tách giá trị nguyên Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp sử dụng tính chẵn, lẻ Phương pháp dùng tính chất số phương 11 Phương pháp dùng bất đẳng thức 13 Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển Dạng 2: Sắp xếp thứ tự ẩn Dạng 3: Sử dụng điều kiện (hoặc 0) để phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp khử ẩn (hay gọi phương pháp loại trừ) 13 14 16 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 23 23 23 25 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong năm học qua Bộ GD ĐT phát động nhiều vận động phong trào thi đua, vận động “Mỗi thầy cô giáo gươngđạo đức, tự học sáng tạo”, vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, Năm học 2021-2022 năm thực chương trình hành động thực Nghị Đại hội tồn quốc lần thứ XIII Đảng, Nghị Đại hội Đảng tỉnh lần thứ XIX, năm học thứ hai triển khai thực chương trình Giáo dục phổ thơng 2018 Do phịng Giáo dục, nhà trường tổ chức nhiều buổi hội thảo, chuyên đề, nhiều buổi sinh hoạt chuyên môn để xây dựng kế hoạch nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn Trong q trình học tốn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức cơng việc cách sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì vậy, địi hỏi người thầy phải có lao động sáng tạo biết tìm phương pháp hay để dạy cho học sinh Là giáo viên dạy toán trường THCS, trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm, nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải tốn đa dạng giải cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số chúng Các dạng tốn số học chương trình THCS rấtnhiều như: Tốn chia hết, phép chia có dư, số nguyên tố, số phương, phương trình nghiệm ngun, Đối với dạng tốn “Giải phương trình nghiệm ngun” hay cịn gọi là: “Tìm số nguyên ” mảng kiến thức lớn, có nội dung phong phú, đa dạng, hấp dẫn Khi tiếp xúc với dạng toán học sinh cịn tỏ lúng túng, khó khăn định hướng tìm cách giải, cách trình bày, phương trình nghiệm ngun thường khơng có quy tắc giải tổng qt Mỗi tốn với điều kiện cho địi hỏi phải có phương pháp giải thích hợp Vì vậy, để giải tốn phương trình nghiệm ngun u cầu người giải phải có kiến thức chắn, tư linh hoạt mềm dẻo Vì lý trên, năm học tơi mạnh dạn viết Sáng kiến kinh nghiệm để trao đổi với bạn đồng nghiệp đề tài: “Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Chia sẻ kinh nghiệm với giáo viên dạy Toán trường THCS - Giúp học sinh biết cách định hướng giải tập cách ngắn gọn - Phát huy trí tuệ, rèn luyện khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ - Tạo cho học sinh lịng ham mê, u thích học tập, đặc biệt học toán cách phân loại cung cấp phương pháp giải cho dạng toán từ bản, đơn giản phát triển thành toán phức tạp Giúp học sinh tự tin giải tốn kì thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong kì thi học sinh giỏi, thường xun bắt gặp tốn giải phương trình nghiệm nguyên từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên, khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung nghiên cứu phương pháp giải phương trình nghiệm ngun chương trình Tốn 6,7,8 Từ giúp em đội tuyển học sinh giỏi tốn 6,7,8 sử dụng tài liệu cách hiệu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thảo luận - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Phương pháp điều tra khảo sát PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tri thức khoa học nhân loại ngày địi hỏi cao Chính vậy, việc giảng dạy nhà trường ngày đòi hỏi phải nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nước có tri thức bản, phẩm chất nhân cách tốt, có khả tư duy, sáng tạo, tư độc lập, tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Tơi nhận thấy q trình dạy học vấn đề vấn đề khó, người thầy cần nghiên cứu kỹ nội dung tìm cách giải vấn đề đó, xuất phát từ kiến thức có sẵn mà học sinh học giúp em giải vấn đề cách nhẹ nhàng, chắn mang lại hiệu cao trình dạy học Trong kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi cấp mơn tốn nói mơn khó, địi hỏi học sinh phải nắm kiến thức rộng có kỹ vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo, tốn tìm nghiệm ngun đề thi học sinh giỏi Tốn Tốn khó đa dạng Kiến thức toán rộng, hệ thống tập nhiều Chính việc hướng dẫn học sinh phát triển giải toán cần thiết để nâng cao kiến thức, khả tư duy, sáng tạo học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như biết, công tác dạy học việc quan tâm đến chất lượng học sinh đại trà cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng nhà trường, kết kỳ thi học sinh giỏi đóng phần quan trọng Muốn nâng cao chất lượng chiều sâu cho học sinh giỏi giáo viên phải phân loại chuyên đề dạng tốn cho chun đề Khi dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên, để đánh giá khả em dạng toán có phương án tối ưu truyền đạt học sinh, soạn đề kiểm tra toán cho 16 em đội tuyển sau: Đề kiểm tra(Thời gian làm bài: 60 phút) Bài (2,0đ) Tìm số nguyên x, y biết: Bài (2,0đ) Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn: Bài (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Bài (2,0đ).Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Bài (2,0đ) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: Kết thu Tổng số Dưới điểm Điểm 6,5 Điểm → 8,5 Điểm → 10 SL % SL % SL % SL % 16 56,3 31,3 12,4 0 Từ kết trên, nhận thấy đa số em chưa định hướng cách giải, lời giải dài dịng, khơng xác, đơi cịn ngộ nhận Cũng với tốn học sinh trang bị phương pháp “giải phương trình nghiệm ngun” chắn có hiệu cao 2.3 Giải pháp tổ chức thực Từ thực trạng nêu trên, tơi nghĩ phải làm để kiến thức truyền đạt đến học sinh có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, nhớ khó qn Từ em có định hướng cách giải, cách trình bày tốt Do năm học 2018-2019; 2019-2020; 2020-2021 tơi áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Năm học tiếp tục áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào ôn đội tuyển học sinh giỏi Tốn Phương trình nghiệm ngun đa dạng phong phú, phương trình ẩn, nhiều ẩn Nó phương trình bậc bậc cao Khơng có cách giải chung cho phương trình, để giải phương trình thường dựa vào cách giải số phương trình số phương pháp giải sau: - Phương pháp đưa dạng tích - Phương pháp tách giá trị nguyên - Phương pháp sử dụng tính chất chia hết - Phương pháp sử dụng tính chẵn, lẻ - Phương pháp dùng tính chất số phương - Phương pháp dùng bất đẳng thức - Phương pháp khử ẩn (hay gọi phương pháp loại trừ) 2.3.1 Phương pháp đưa dạng tích Đây dạng thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn Tốn Vì dạy đến dạng ta cần hướng dẫn học sinh tìm cách đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải hàm số nguyên Thực chất biến đổi phương trình dạng: A(x; y) B(x; y) = c đó: A(x; y); B(x; y) biểu thức nguyên; c số ngun 2.3.1a Ví dụ minh họa: • Ví dụ 1: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 3x − y − xy − x − y + 40 = (Trích đề thi HSG Toán huyện Thọ Xuân năm học 2017 - 2018) 3x − y − xy − x − y + 40 = Hướng dẫn: Ta có: ⇔ x − ( x + y + xy + x + y + 1) = −41 ⇔ ( x + y + 1)2 − (2 x)2 = 41 ⇔ (3 x + y + 1)( y − x + 1) = 41 Đặt: 3x + y +1 = a y – x + = b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau : a -41 -1 41 b -1 -41 41 a−b x= -10 10 -10 10 y= a + 3b − 4 Vậy: (x; y) ∈{ -12 -32 30 (-10; -12), (10; -32), (-10; 30), (10; 10) 10 } x = y + y + 13 • Ví dụ 2: Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: (Trích đề thi HSG Tốn huyện Hoằng Hóa năm học 2014 - 2015) x = y + y + 13 Hướng dẫn: Ta có: ⇔ x = ( y + 1) + 12 ⇔ ( x + y + 1)( x − y − 1) = 12 x, y ∈ N * Do x +y + – (x – y – 1)= 2y + số chẵn nên x + y + 1> x – y – x + y + ; x – y – số nguyên dương chẵn x + y +1 = x = ⇔  x − y −1 = y =1 Từ suy có trường hợp : Vậy cặp giá trị (x; y) thỏa mãn là: (4; 1) xy + y = 10 x + 17 • Ví dụ 3: Tìm cặp số ngun (x;y) biết : (Trích đề thi HSG, Tốn 6, huyện Cẩm Thủy, năm học 2020 – 2021) Hướng dẫn: Ta có: xy + y = 10 x + 17 xy − 10 x + y = 17 ⇒ x( y − 5) + y − = 12 ⇒ ( x + 1)( y − 5) = 12 ⇒ x + 1∈U (12 ) = { ± 1;±2;±3;±4;±6;±12} ⇒ x + 1∈U (12) = { ± 1;±3} Mà 2x+1 số lẻ Ta có bảng sau: 2x+1 y-5 x y Vậy 12 17 ( x; y ) ∈ { ( 0;17 ) , ( − 1;−7 ) , (1;9) , ( − 2;1)} -1 -12 -1 -7 -3 -4 -2 • Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình : y = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) (VD- Trang 130, Sách BDHSG THCS, Nhà XB Dân Trí) y = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) Hướng dẫn: Ta có: ⇔ y = ( x + x + 4)( x + x + 6) t = x2 + x + t ∈Z Đặt với , ta được: 2 y = (t − 1)(t + 1) ⇔ y = t − ⇔ t − y = ⇔ (t − y )(t + y ) = Suy ra: t − y = t = ⇒  + y =  y = t − y = −1 t = −1 ⇒  + y = −  y = x + x + = ⇒ x ∈ { −4; −1} + Với t = x + x + = −1 ⇒ x ∈ { −3; −2} + Với t = -1 Vậy cặp giá trị (x; y) thỏa mãn là: (-1; 0), (-2; 0), (-3; 0), (-4; 0)  Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình ước số có bước: Phân tích thành ước xét trường hợp Hai bước khơng khó trường hợp hàm số phải xét nhiều ước cần dựa vào tính chất biến (ví dụ: Tính chẵn, lẻ; số dư vế) để giảm số trường hợp cần xét (như ví dụ 2) Có trường hợp để đưa phương trình phương trình ước số cần sử dụng thêm ẩn phụ (như ví dụ 4) 2.3.1b Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương (x; y) phương trình: 7x – xy – 3y = (Trích đề thi HSG Toán huyện Như Xuân năm học 2020 - 2021) x2 + x + = y Bài 2: Tìm số nguyên (x; y) thỏa mãn: (Trích đề thi HSG Tốn huyện Hoằng Hóa năm học 2019 - 2020) Bài 3: Tìm số nguyên x, y biết: 2xy – x – 6y = (Trích đề thi HSG Toán huyện Cẩm Thủy năm học 2019 - 2020) Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: y − y + 62 = ( y − 2) x + ( y − y + 8) x (Trích đề thi HSG Tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2017 - 2018) ( x + 2) ( y − 2) + xy + 26 = Bài 5: Tìm nghiệm (x; y) phương trình: (Trích đề KS ĐT HSG Toán lần huyện Cẩm Thủy năm học 2020 – 2021) 2.3.2 Phương pháp tách giá trị ngun Trong nhiều tốn phương trình nghiệm ngun ta tách phương trình ban đầu thành phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm nghiệm Đa số toán sử dụng phương pháp thường rút ẩn (có bậc nhất) theo ẩn cịn lại Ví dụ phương trình có ẩn bậc (ẩn y), ẩn lại từ bậc trở lên (ẩn x), ta giải cách rút ẩn y theo x sau thực chia đa thức y = f ( x) + đưa dạng a g ( x) f ( x) g ( x) (Trong đa thức với hệ số g ( x) nguyên, a số nguyên) Ta tìm x cho ước a 2.3.2a Ví dụ minh họa: • Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: xy–2x –3y + = (Trích tài liệu: Website: Tailieumontoan.com) Hướng dẫn: Ta có: xy – 2x – 3y + = ⇔ y ( x − 3) − x + = ⇔ y ( x − 3) = x − (1) Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình x − 2( x − 3) + 5 (1) ⇔ y = = = 2+ x−3 x −3 x−3 x≠3 Với , phương trình ∈ ∈ Do y Z nên x – Ư(5), ta có bảng sau: x–3 x y -1 -3 Do x, y nguyên dương nên (x; y) ∈ {(4; 7); (8; 3)} Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (x; y) -5 -2 ∈ {(4; 7); (8; 3)} x y + x(5 y − 2) + y = • Ví dụ 2: Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : (Trích đề thi HSG Toán huyện Thường Xuân năm học 2020 – 2021) Hướng dẫn: Ta có: x y + x(5 y − 2) + y = ⇔ y ( x + x + 7) = x + ⇔ y = ∈ Để y Z 2x + x + 5x + ⇔ (2 x + 1) ( x + x + 7) M ⇔ (2 x + 1)( x + 4) ( x + x + 7) ⇔ (2 x + x + 4) ( x + x + 7) M M (2 x + 10 x + 14) ( x + x + 7) 2 M Do ⇒ ( x + 10) ( x + x + 7) ⇒ 2( x + 10) ( x + x + 7) M M (2 x + 1) ( x + x + 7) ⇒ 19 ( x + x + 7) ⇒ ( x + x + 7) ∈ Lại có: M M Ư(19) 10 5 3  x + 5x + =  x + ÷ + ≥ (∀x ) 2 4  Mà:  x2 + 5x + =  x = −2 ⇒ y = −3 ⇒ x + x + ∈ { 1;19} ⇔  ⇔  x = − ⇒ y = −5  x + x − 12 = Vậy cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn là: (-2; -3), (-3; -5) x − x y + 3x − y − = • Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: (Trích đề thi HSG Toán huyện Nga Sơn năm học 2018 – 2019) x − x y + 3x − y − = Hướng dẫn: Ta có: ⇔ x + x − = y ( x + 2) x3 + 3x − x −5 ⇒y= = x+ 2 x +2 x +2 y∈Z ⇒ x + x −5 x −5 ∈Z ⇔ ∈Z x +2 x +2 Để ⇔ x − x + ⇒ x − 25 x + ⇒ x + − 27 x + ⇒ 27 x + M x + ∈ { 3;9;27} Do đó: Ta có bảng sau: x y -1 -3 M M ( x + ≥ 2) ⇒ x ∈{ ±1; ±5} M −1 5 -5 −145 27 (loại) ( loại) Vậy phương trình có cặp nghiệm (x; y) là: (-1; -3), (5; 5) 2.3.2b Bài tập vận dụng x3 + x y + x + xy = x + 10 Bài 1: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: (Trích đề thi HSG Tốn huyện Ngọc Lặc năm học 2020 – 2021) x − xy = x − y − Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (Bài 2, trang Website tailieumontoan.com) x + 3xy − 17 = x − y Bài 3: Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (Bài 64, trang Website tailieumontoan.com) x + xy − y − x + = Bài 4: Tìm x, y nguyên biết (x; y) thỏa mãn: 21 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 + + =2 x y z (BT 4.24, trang 141, Sách BDHSG THCS, Nhà XB Dân Trí) x + y + z + xyz = 20 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (BT 4.25, trang 141, Sách BDHSG THCS, Nhà XB Dân Trí) Dạng 3: Sử dụng điều kiện (hoặc 0) để phương trình bậc hai có nghiệm - Đối với dạng này, ta phải viết phương trình f(x; y) = dạng phương trình bậc hai ẩn, chẳng hạn x, y tham số Điều kiện cần để phương trình có nghiệm (hoặc 0) Để phương trình có nghiệm ngun cần có (hoặc ) số phương • Ví dụ 1: Tìm x, y ngun dương, biết: x + 2y + 2xy – 4x – 3y – = (Trích đề thi HSG Toán huyện Nga Sơn năm học 2020 – 2021) Hướng dẫn: Ta có: x + 2y + 2xy – 4x – 3y – = ⇔ x + 2x(y – 2) + 2y 2– 3y – = ≥ ⇔ ≥ ⇒ ≤ ≤ 2 (y – 2) – (2y – 3y – 2) –y – y + –3 y = ⇒ Do x, y nguyên dương y{1; 2}  x = −1 (KTM)  ⇒ ⇒ x = - Với y = x2 – 2x – = ⇒ ⇒ - Với y = x =0 x = (loại) Vậy có cặp số nguyên dương (x; y) = {(3; 0)} x + 2y + 3xy – x – y + = • Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: (Trích đề thi HSG Toán huyện Thường Xuân năm học 2017 – 2018) Hướng dẫn: Đưa phương trình dạng phương trình ẩn x: x + x(3y – 1) + 2y – y + = (2) (3y – 1) – 4(2y – y + 3) = y – 2y – 11 Ta có: = Điều kiện cần để phương trình có nghiệm ngun là số phương 22 ⇔ y – 2y – 11 = k (∀k ∈ Z ) ⇔ ( y – 1) – k = 12 ⇔ (y − + k)(y − − k) = 12 Do y −1+ k - Trường hợp 1: y −1− k y −1+ k y −1− k tính chẵn lẻ mà > nên, ta có: y −1 + k = y + k = y = ⇔ ⇔  y −1 − k = y − k = k =  x = −6  ⇒  x = −8 Thay y = vào PT (2), ta được: x2+14x+48 =  y − + k = −2  y + k = −1  y = − ⇔ ⇔   y − − k = −6  y − k = −5  k=2 - Trường hợp 2: x =  ⇒ x = Thay y = –3 vào PT (2), ta được: x2 – 10x + 24 = Vậy (x; y) = {(-6; 5); (-8; 5); (6; -3); (4; -3)} x + x = x y – xy + y • Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: (Trích đề thi HSG Tốn vịng huyện Yên Định năm học 2021 – 2022) x + x = x y – xy + y Hướng dẫn: Ta có: ⇔ x + x – x y + xy – y = ⇔ x (1 − y) + x(1 + y) − y = (*) - Nếu – y = - Nếu – y ≠ ⇒ x= y = 1, Thay y = vào PT (*) Ta 0, Pt (*) coi PT bậc hai ẩn x Ta có (1 + y) + 4y(1 − y) + 2y + y + 4y –y4 = = ⇔ −3y + 6y + ≥ Để phương trình có nghiệm ⇒ 3+ 3−2 ≥y≥ ⇔2≥ y≥0 3 Vì y nguyên nên ta xét trường hợp sau: 2 (KTM) = −3y + 6y + 23 - Trường hợp 1: y = - Trường hợp 2: y = - Trường hợp 3: y = ⇒ x =  ⇒ x + x = ⇒  x = −1 ⇒ ⇒ x + x = x – x +1 (TM) ⇒ x = (KTM) x + x = 2x – 2x + ⇒ x – 3x + = x =1  ⇒ x = (x – 1)(x – 2) = Vậy (x; y) = {(0; 0); (-1; 0); (1; 2); (2; 2)} Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + 2y + 3xy + 2x + 3y + = (VD 5, trang 131, sách BDHSGTHCS, Nhà XB Dân Trí) x ––2x 11= y Bài 2: Giải phương tình nghiệm nguyên phương trình: (BT 19, trang 19, Sách PT toán với nghiệm nguyên, Nhà XBGD) Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên phương trình: x + y ––23xy + 4x y = (xy 6)(xy + 6) (Trích đề thi HSG Toán huyện Nga Sơn năm học 2020 – 2021) 2x – 2x y + y = 64 Bài 4: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (VD 12, trang 133, sách BDHSGTHCS, Nhà XB Dân Trí) Bài 5: Tìm nghiệm ngun phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 (Trích đề thi HSG Tốn 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2018-2019) 2.3.7 Phương pháp khử ẩn (hay gọi phương pháp loại trừ) Khi giải số phương trình nghiệm ngun, ta có sử dụng tính chất lũy thừa bậc số nguyên liên tiếp tích số nguyên liên tiếp để đưa phương trình nghiệm nguyên cần giải dạng phương trình khác ẩn quen thuộc Do sử dụng phương pháp tơi u cầu học sinh cần lưu ý số vấn đề sau: - Nếu có số nguyên m cho m < n2 < (m + 1)2 n2 khơng thể số phương 24 - Nếu xn < yn < (x + a)n yn = (x + i)n (Với i = 1; 2; 3; ; a – 1) - Nếu x(x + 1) < y(y + 1) < (x + a)(x + a + 1) y(y + 1) = (x + i)(x + i + 1) (Với i = 1; 2; 3; ; a – 1) 2.3.7a Ví dụ minh họa • Ví dụ 1: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y2 + y = x + x + x + x y2 + y = x + x + x + x Hướng dẫn: Ta có: ⇔ 4y + 4y + = 4x + 4x + 4x + 4x +1 ⇔ ( 2y +1) − (2x + x) = (3x + 1)(x + 1) (2x + x + 1) − ( 2y +1) = x(x − 2) Hay Ta thấy: Nếu x > x < -1 (3x + 1)(x + 1) > Nếu x > x < -1 x(x – 2) > (2x + x) (2y + 1) (2x + x + 1) ⇒ Nếu x > x < < < (loại) ≤ ≤ ⇒ Do đó: -1 x x {0; 1; -1; 2} ⇒ +) Xét x = y = y = -6 ⇒ +) Xét x = y khơng có giá trị thỏa mãn ⇒ +) Xét x = y = y = -1 ⇒ +) Xét x = -1 y = y = -1 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (x; y) {(2; 5); (2; -6); (0; 0); (0; -1); (-1; 0); (-1; -1)} x + 2x + 3x + = y3 • Ví dụ 2: Tìm số ngun x, y thỏa mãn: (Trích đề thi giao lưu HSG Tốn huyện Cẩm Thủy năm học 2019 – 2020) ⇒ Hướng dẫn: Xét x = y3 = (KTM) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Xét x = y3 = y = 2; Xét x = -1 y3 = y=0 - Với x < -1 x > 1, x Z nên x > 3 ⇒ x + 2x + 3x + < x + 3x + 3x + = (x + 1) Ta có: < x2 Mặt khác: Nếu x > 2x + 3x + >0 25 - Nếu x < -1 2x + 3x + = x + x + 3x + = x + (x + 1)(x + 2) > 3 x + 2x + 3x + > x ⇒ x < y < (x+1) Do đó: (Vô lý) ⇒ x < -1 x > khơng có giá trị thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình: (x; y) {(-1; 0); (1; 2)} 2.3.7b Bài tập vận dụng x + 3x + = y Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (BT 66, trang 39, Sách PT toán nghiệm nguyên, Nhà XBGD) x + (x + 1) = y + (y + 1) Bài 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: (Trích đề thi HSG Tốn 8, huyện Hoằng Hóa, năm học 2018-2019) x + x3 + x + x = y2 + y Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (BT30, trang 24, Sách PT toán nghiệm nguyên, Nhà XBGD) 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với ý nghĩ giúp cho học sinh nhiều trình học tập Sau năm áp dụng đề tài, qua thực tế buổi ôn tập đội tuyển học sinh giỏi, thấy đề tài bước đầu đem lại hiệu khả quan Học sinh yêu thích mơn nói chung, chun đề nói riêng, đồng thời kích thích trí tị mị tìm hiểu kiến thức học sinh, em tích cực chủ động việc lĩnh hội kiến thức Tốn học Chất lượng buổi ơn tập nâng cao Sau áp dụng đề tài vào buổi ôn tập đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh, tiến hành kiểm tra 16 học sinh đội tuyển mơn tốn để kiểm nghiệm q trình nhận thức học sinh chuyên đề đề tổng hợp, thời gian 60 phút sau: • Đề kiểm tra Bài 1.(3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x + xy ––3y 5x + = a) x y + 1= x + 2xy + 2x + y b) Bài 2.(2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: 3x + 1= (y +1) a) b) x + y + z = xyz Bài 3.(3,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: a) (2x – y – 2)2 – 7(x – 2y – y – 1) = 26 x − y3 − 2y − 3y − = b) Bài 4.(1,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + 2y + 3xy − x − y + = Bài 5.(1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + z3 − 15x z = 3x y 2z − (y + 5)3 • Hướng dẫn chấm Câu Ý Nội dung x + xy ––3y 5x + = Ta có: ⇔ x + xy – 2x − 3y – 3x + = ⇔ (x − 3)(x + y − 2) = Do x; y Z nên x – 3; x + y – Z a) ⇒ (1,5đ) x – 3; x + y – Ư(3) = {} Do đó, ta có bảng sau: x–3 -1 x+y–2 -3 Hay: x y -3 -3 Vậy cặp số (x; y) {(4; 1); (6; -3); (2; -3); (0; 1)} x y + 1= x + 2xy + 2x + y Ta có: x + 2x − 4x y= =1+ ⇒ x − 2x − x − 2x − Vì x Z b) (1,5đ) Điểm 0,25 0,5 0,5 -3 -1 0,25 0,25 ⇒ x – Z (ĐK: x 2) 4x(x − 2) y (x − 2) = (x − 2) + =x−2 + ⇒ x − 2x − x − 2x − ⇒ x − 2x − Vì y; x – Z ⇒ x − 2x − Z Ư(4) = {1; 2; 4} 2 ⇒ [(x − 1) − 2] { 2; -1} (x − 1) − ⇔ ( x − 1) = ⇒ +) Xét: = -1 x = x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 27 Khi đó: y = -7 y = (x − 1)2 − ⇔ ( x − 1) = ⇒ +) Xét: =2 x = -1 x = Khi đó: y = -1 y = (x − 1)2 − ⇔ ⇒ +) Xét = -2 x = y = -1 Vậy:(x; y) {(2; -7); (0; 1); (-1; -1); (3; 7); (1; -1)} 3x + 1= (y +1) ⇔ 3x = (y +1) − ⇔ 3x = y(y + 2) Ta có: ⇒ Do x N* nên 3x số lẻ y; y + số lẻ liên tiếp ⇒ ⇒ (y; y + 2) = y; y + lũy thừa nên m  a)  y =    (1) n (1,0đ)  y + =    (2) (Với m + n = x) 0,25 0,25 0,25 ⇒ − = −2 ⇔ + = ⇒ m < n m n +) Với m = m ⇒ ⇒ n=1 n ⇒ 0,25 y = x = n > Từ (1) (2), suy ra: y M3 (y+2) M3 +) Với m (y; y + 2) (Vơ lý) Vậy nghiệm phương trình (x; y) = (1; 1) Ta có: x + y + z = xyz (1) x; y; z N* Do phương trình (1) phương trình đối xứng Giả sử: x y z Khi đó: ⇒ b) ⇒ x.y.z = x + y + z 3z x.y (1,0đ) Do x; y N* nên xy {1; 2; 3} ⇒ ⇒ +) Nếu xy = x=y=1 + z = z (Vô lý) ⇒ +) Nếu xy = x = 1; y = 2; z = ⇒ ⇒ +) Nếu xy = x = 1; y = z = < y (Vô lý) Vậy (x; y; z) hoán vị (1; 2; 3) ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 28 a) (1,5đ) Ta có: (2x – y – 2)2 – 7(x – 2y – y2 – 1) = (1) ⇔ (2x – y – 2)2 – 7(2x – y – 2) + 7(2y + 3y) = Đặt t = 2x–y –2, ta có phương trình: t – 7t + 7(2y + 3y) = ⇔ 16t – 56t + 49 + 7(16y + 24y + 9) = 112 ⇔ (4t + 7)2 + 7(4y + 3) = 112 (2) 0,5 0,5 7(4y + 3)2 ≤ 112 Từ phương trình (2), ta có: ⇔ −4 ≤ 4y + ≤ ⇔ −7 ≤ 4y ≤ Vì y Z ⇒ y = -1 y = 0,5 +) Với y = -1 thay vào (1) ta (2x – 1) = 7x nghiệm x nguyên 4(x − 1)2 = 7(x − 1) ⇒ +) Với y = thay vào (1) ta được: x=1 Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) x − y3 − 2y − 3y − = Ta có: (1) 3 ⇔ x = y + 2y + 3y +1 (2) 0,5 y ≥ 0;  5y + > b) Do nên: (1,5đ) ≤ (y +2y2+3y +1) – (5y2+2)< y3+2y2+3y +1 y3+3y2+3y +1 (y − 1)3 < x ≤ ( y +1)3 ⇒ x = y3 x = (y +1)3 Hay 3 x =y kết hợp với (2), ta được: +) Nếu  x = −1  2y + 3y +1 = ⇒  y = − 0,25 0,25 0,25 x = (y +1)3 0,25 y2 x =1  ⇒ y = +) Nếu kết hợp với (2), ta được: = Vậy nghiệm phương trình: (x; y) {(-1; -1); (1; 0)} x + 2y + 3xy − x − y + = Ta có: ⇔ x + (3y − 1)x + (2y − y + 3) = (*) (gọi y tham số phương trình bậc hai ẩn x) 0,25 29 1,0đ (3y − 1) − 4(2y − y + 3) = y − 2y − 11 Ta có: = Để phương trình (*) có nghiệm ngun thì: ⇔ y − 2y − 11= k số phương (**) (Với k N) Giải phương trình (**), ta được: y1 = 5; y2 = -3 x + 14x + 48 = +) Với y1 = thay vào (*), ta được: ⇒ x1 = -8; x2 = -6 x − 10x + 24 = +) Với y2 = -3 thay vào (*), ta được: ⇒ x = 6; x4 = Vậy : (x; y) {(-8; 5); (-6; 5); (6; -3); (4; -3)} x + z3 − 15x 2z = 3x y 2z − (y + 5)3 Ta có: ⇔ x + z3 + (y + 5)3 =15x z + 3x y z ⇔ x + z3 + (y + 5)3 = 3x 2z(y + 5) 0,25 0,25 0,25 0,25 z3 Do x; y; z nguyên dương nên > 1,0đ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x + z + (y + 5)3 ≥ 3x 2z(y + 5) x = y2 + = z Dấu “ = ” xảy khi: x = y + ⇔ ( x − y )( x + y ) = Do đó, ta có: Do x; y số nguyên dương nên x + y > x – y x + y =  x = ⇒ ⇒  x − y = y = x = y2 + = z ⇒ z = 0,25 0,25 0,25 Do Vậy nghiệm phương trình là: (x; y; z) = (3; 2; 9) * Chú ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa * Kết thu Tổng số Điểm → 10 Điểm → 8,5 Điểm 6,5 Dưới điểm SL % SL % SL % SL % 16 31,3 56,2 12,5 0 Trong năm áp dụng đề tài vào tiết học, buổi ôn tập thu số thành công sau: 30 * Về phía học sinh: Học sinh nắm vững kiến thức bản, tư duy, hứng thú sáng tạo học tập Học sinh định hướng xác dạng tốn, trình bày cách chặt chẽ, hợp lí logic Tăng khả tự học nhà khả học nhóm, tăng chất lượng dạy học Đặc biệt, em xác định dạng phương pháp để giải tốn phương trình nghiệm ngun cách chủ động Phát huy trí thơng minh học sinh sở để bồi dưỡng học sinh giỏi * Về phía giáo viên: Trình độ chun mơn nâng cao Trong q trình dạỵ giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách phân tích tốn, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo tình có vấn đề để học sinh thảo luận Trong buổi ôn tập giáo viên tạo quan hệ giao lưu đa chiều giáo viên – học sinh, cá nhân, tổ chức nhóm Khi đưa đề tài thảo luận, thí nghiệm nhóm tốn Đề tài đồng nghiệp đánh giá cao đưa vào áp dụng bồi dưỡng đối tượng học sinh – giỏi THCS KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài: “Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS” thân rút số học kinh nghiệm sau: - Qua nghiên cứu đề tài này, tơi thấy cần phải thường xuyên tự học, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, kỹ sư phạm, gương cho học sinh noi theo; có truyền cho học sinh niềm say mê học tập Bản thân ln phải tự tìm tịi học hỏi thêm đồng nghiệp để tìm biện pháp phù hợp, cách thức tổ chức hoạt động dạy học phong phú giúp cho học sinh u thích học tập mơn; kiến thức truyền thụ đến học sinh phải có hệ thống rõ ràng, hệ thống tập đưa phải theo dạng bám sát đề thi tạo thuyết phục học sinh - Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi phải thường xun tìm tịi tư liệu, có kiến thức nâng cao sách phương tiện; chọn lọc chuyên đề hay, khả quan để nghiên cứu truyền đạt đến học sinh - Để giúp học sinh hiểu phát huy tốt kỹ tư sáng tạo, người giáo viên phải thực nhiều phương pháp sư phạm để giảng dạy truyền đạt kiến thức đến học sinh Tuy nhiên, khơng có phương pháp vạn mà phải tổng hợp nhiều phương pháp - Ngoài chuyên đề này, với kinh nghiệm áp dụng cho chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khác Bằng tâm huyết, kiên trì, bền bỉ kinh nghiệm tích góp qua nhiều năm tơi tìm giải pháp tối ưu nhất, hiệu để giúp học sinh đạt thành tích đáng mong đợi học tập kì thi quan trọng Với kinh nghiệm ỏi cơng tác chun mơn với nhiệt tình chất lượng học tập học sinh thân yêu, viết cách làm, hướng suy nghĩ thân khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong đồng nghiệp cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề đồng thời góp ý bổ 31 sung để tơi có hướng tốt cơng tác giảng dạy bồi dưỡng tốn cho học sinh – giỏi THCS 3.2 Kiến nghị Để việc giảng dạy đạt hiệu ngày cao xin đề xuất số vấn đề sau: * Đối với giáo viên - Cần tăng cường công tác tự học, tự bồi dưỡng kiến thức lực chuyên môn nhiều đường khác - Tìm đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến mơn dạy, dạy - Tìm hiểu nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp mạnh dạn áp dụng vào giảng dạy - Đầu tư thời gian cho việc soạn giảng, cải tiến phương pháp giảng dạy * Đối với nhà trường tổ chuyên môn - Cần tổ chức số chuyên đề, hội thảo phương pháp giảng dạy mơn tốn nhằm tạo điều kiện cho giáo viên giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn - Đầu tư kinh phí cho việc mua tài liệu tham khảo phục vụ cho môn - Trang bị đầy đủ sở vật chất, đồ dùng dạy học phục vụ cho việc dạy học - Tạo lập nhóm mơn thơng qua trường học kết nối, Facebook để giáo viên học sinh tham gia diễn đàn toán học huyện Đề tài “Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS” tiến hành thời gian ngắn, đối tượng nghiên cứu tiến hành 16 em đội tuyển ôn học sinh giỏi Nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, chưa hết biện pháp, phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh Rất mong đóng góp ý kiến cấp quản lí giáo dục thầy giáo đề tài hồn thiện hơn, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn nói riêng, mơn học khác nói chung Tơi xin cam đoan SKKN hồn tồn thân tơi tìm tịi,nghiên cứu không copy Người viết 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS mơn Tốn / Bộ Giáo dục Đào tạo – 2004 Những vấn đề chung đổi giáo dục trường THCS môn Toán / Bộ Giáo dục Đào tạo – 2007 Sách bồi dưỡng HSC THCS – Mơn Tốn – Nhà xuất Dân Trí Sách Phương trình tốn với nghiệm ngun – Nhà xuất Giáo Dục Sách Toán nâng cao chuyên đề 6, 7, 8, – Nhà xuất bẩn Giáo Dục Tài liệu: Website: tailieumontoan.com Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Cẩm Thủy Một số đề thi HSG môn Toán 6, 7, 8, năm huyện Hoằng Hóa Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Nga Sơn 10 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Thường Xuân 11 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Ngọc Lặc 12 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Thọ Xuân 13 Một số đề thi HSG môn Toán 6, 7, 8, năm huyện Thạch Thành 14.Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Như Xuân 15 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Yên Định 16 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6, 7, 8, năm huyện Triệu Sơn 17 Một số đề thi HSG cấp tỉnh mơn Tốn năm tỉnh Thanh Hóa ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS CẨM VÂN ………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS CẨM VÂN Chủ tịch ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………….…………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT Chủ tịch ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH Chủ tịch ... học sinh – giỏi THCS KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài: ? ?Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS? ?? thân rút số học kinh nghiệm sau: - Qua nghiên cứu đề. .. thi học sinh giỏi đóng phần quan trọng Muốn nâng cao chất lượng chiều sâu cho học sinh giỏi giáo viên phải phân loại chuyên đề dạng toán cho chuyên đề Khi dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên, ... dẻo Vì lý trên, năm học mạnh dạn viết Sáng kiến kinh nghiệm để trao đổi với bạn đồng nghiệp đề tài: ? ?Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi THCS? ?? 1.2 Mục đích nghiên