(SKKN 2022) kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cho một số bài toán thi học sinh giỏi THCS và thi vào lớp 10 PTTH chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN Người thực hiện: Hồ Đại Đoàn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm thủy Huyện Cẩm thủy- Tỉnh Thanh hóa SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC NỘI DUNG CÁC MỤC TT TRANG Mục lục MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 10 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 11 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 13 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 14 3.1 Kết luận 18 15 3.2 Kiến nghị 19 16 Tài liệu tham khảo 21 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có vai trị quan trọng việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Tốn học giúp có nhìn tổng qt hơn, suy luận chặt chẽ lơ gíc hơn; học tốt mơn tốn giúp em học tốt mơn học khác Ngồi Tốn học cịn sở chủ yếu nhiều ngành khoa học, đặc biệt tin học, Vật lý, Sự phát triển tin học động lực chủ yếu làm cho kinh tế giới chuyển sang giai đoạn chất Giai đoạn kinh tế tri thức; Ngồi mơn tốn cịn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Do tính chất trừu tượng, tính xác, tư suy luận logic Tốn học “mơn thể thao trí tuệ”, rèn luyện cho học sinh tính thơng minh sáng tạo, làm sở cho việc trau dồi tri thức văn hoá Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học mơn Tốn trường THCS Đối với học sinh giải tốn hoạt động chủ yếu việc học tập mơn Tốn Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc làm cần thiết Trong trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, phương pháp giải toán, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì địi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tịi phương pháp hay để dạy cho học sinh Từ học sinh trau dồi tư logic, sáng tạo qua việc giải toán đặc biệt dạng toán nâng cao ( toán bồi dưỡng HSG) Như biết, phương trình nói chung phương trình vơ tỉ nói riêng nội dung kiến thức quan trọng chương trình Tốn THCS Đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp thi vào PTTH chuyên đa số có tốn phương trình vơ tỉ Gặp dạng tốn học sinh thường bị ngợp thấy dấu thức phức tạp, dẫn đến lúng túng không nghĩ hướng giải Dạng toán vừa đa dạng vừa phong phú cách giải lại đòi hỏi nhiều kỹ người học Mặt khác, tài liệu viết cho cấp THCS gặp, tài liệu trình bày phương pháp làm cách hệ thống Vì vậy, với mong muốn giúp em rèn kỹ biết cách giải dạng toán theo nhiều hướng khác nhau, giúp em tự tin hứng thú học dạng tốn tơi chọn đề tài nghiên cứu “Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi THCS thi vào PTTH chuyên” 1.2.Mục đích nghiên cứu Để giúp em có kiến thức nâng cao chất lượng mơn tốn đặc biệt kiến thức đầy đủ để em làm tốn thi HSG.Ngồi cịn giúp em biết u thích mơn học mơn học khác khơng mơn Tốn Tạo cho học sinh lịng ham mê, u thích học tập, đặc biệt học toán cách phân loại cung cấp phương pháp giải cho dạng toán từ bản, đơn giản phát triển thành phức tạp Mặt khác, khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho tập học sinh nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ tìm nhiều cách giải hay phát triển tốn Với mục đích nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân thơng qua nghiên cứu khoa học, từ có thêm hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Mặt khác rèn kỹ hệ thống số dạng giải phương trình vơ tỉ, đồng thời cho em thấy lời giải đẹp, thú vị số tốn Từ gây hứng thú học tập cho em, tạo cho em thói quen nghiên cứu lời giải độc lập Đặc biệt nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp cấp chất lượng học sinh thi vào THPT chuyên 1.3.Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vơ tỉ học sinh giỏi lớp trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy- Huyện Cẩm thủy- Tỉnh Thanh hóa học sinh ơn thi vào lớp 10 THPT trường chuyên 1.4.Phương pháp nghiên cứu Căn vào mục đích đối tượng nghiên cứu, thân muốn cho học sinh biết phân loại dạng toán giải số dạng tốn thi phương trình vơ tỉ đề thi HSG Toán cấp Huyện , cấp Tỉnh số đề thi vào trường chuyên THPT thân sử dụng phương pháp nghiên cứu phân chia dạng toán sau: Phương pháp 1:Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo Phương pháp 2: Nghiên cứu sở lý thuyết Phương pháp 3:Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy Phương pháp 4: Phương pháp so sánh đối chứng Phương pháp 5: Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp Phương pháp 6: Phương pháp thống kê xử lí liệu Phương pháp 7: Phương pháp nhận xét, đánh giá nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN Những điểm SKKN là: Một số tập phương trình vơ tỉ đưa vào nhiều loại, có tập tương tự, phân loại, hệ thống tập theo trật tự logic từ dễ đến khó phương trình vơ tỉ phát triển lên kĩ rèn luyện giải phương trình vơ tỉ thân sau nhiều năm dạy đội tuyển HSG Trong lần nghiên cứu ,tơi phát triển nội dung cao hơn, có phân tích, nhận xét mở rộng tốn (nếu có thể) Hướng dẫn vè cách nhìn dạng tốn để làm bài, mục đích hướng đến kỳ thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp huyện, cấp tỉnh thi vào PTTH chuyên Giới thiệu số toán gặp đề thi học sinh giỏi Toán lớp cấp thi vào PTTH chuyên, giúp em hứng thú học tập 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1.Về phương pháp chung Trong phương pháp dạy học mơn tốn phương pháp khai thác tổng quát hoá dạng toán bước cần thiết phải làm việc hướng dẫn học sinh tiếp cận giải vấn đề mới, giúp học sinh có nhìn đa chiều hiểu sâu vấn đề học, nghiên cứu 2.1.2.Về kiến thức Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ thường sử dụng chương trình Tốn THCS là: - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp - Phương pháp nâng lên luỹ thừa - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Trong phạm vi đề tài nghiên cứu xin trình bày cách khai thác phương pháp là: “Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi THCS thi vào PTTH chuyên” 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Được quan tâm đạo sát nhà trường, thân trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối nhiều năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 Qua năm trực tiếp giảng dạy theo dõi, thấy tốn giải phương trình vơ tỉ xuất đề thi vào lớp 10 THPT chuyên đề thi học sinh giỏi toán lớp huyện tỉnh tỉnh thành nước Để giải toán phương trình vơ tỉ, u cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức liên quan: phân tích đa thức thành nhân tử, kiến thức phương trình cần hệ thống hố cách logic Khó khăn dạy dạng tốn mặt tài liệu: có tài liệu trình bày theo chuyên đề hệ thống đầy đủ Trong chương trình sách giáo khoa tốn trình bày ví dụ cách giải đơn giản Vì nên địi hỏi người dạy phải tự định hướng, hệ thống hoá, hướng dẫn em cách khai thác, vận dụng nên người dạy phải định hướng linh hoạt phương pháp lạ Hơn nữa, thói quen đọc lại, nghiên cứu lời giải toán sau giải tập chưa học sinh trọng Do dạy giáo viên cần hình thành thói quen khơi dậy lòng say mê nghiên cứu em Từ em giải nhanh tốn tương tự Biết cách khai thác toán theo hướng mở rộng hay lật ngược vấn đề Hiện nay, việc dạy học giáo viên học sinh thực tiễn Trường THCS M cịn có số mặt đạt chưa đạt sau: *Những mặt đạt được: Giáo viên dạy học nhiệt tình cơng việc mình, ln học tập để nâng cao trình độ kiến thức chun mơn, nghiệp vụ Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức chương trình Học sinh nắm kiến thức hoàn thành THCS Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm có nhiều học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh mơn tốn Nhà trường tổ chun mơn có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu từ đầu năm học nên chất lượng đại trà học sinh trường nâng lên rõ rệt qua tuần, tháng học kỳ Cuối năm học có nhiều giáo viên giỏi học sinh giỏi phòng giáo dục ủy ban nhân dân Huyện khen tặng *Những mặt chưa đạt: Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn có nhiều chưa đặn hàng năm ( năm nhiều, năm ít) Một phận nhỏ học sinh chưa chăm chỉ, lơ việc học, chưa tự giác khắc phục kiến thức bị hổng trình giải tập.Từ nguyên nhân dẫn đến số tồn :Học sinh thường mắc phải sai lầm giải tập không nẵm vững kiến thức bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động ,giải tập cẩu thả, chép học sinh giỏi để đối phó cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết học tập Các giải học sinh giỏi cấp môn không đồng năm không giống Trước áp dụng đề tài này, khảo sát nhóm 12 học sinh có học lực giỏi lớp trường THCS M -Huyện Cẩm Thuỷ, năm học 2021 2022 Thời gian khảo sát: Tháng năm 2021 Nội dung kháo sát: Học sinh làm tập sau: Giải phương trình: x +1 =x–2 + =3 = x+ = Kết khảo sát 12 học sinh có học lực khá, giỏi lớp Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy,năm học 2021-2022 sau: Điểm 9-10 Số học sinh SL % Điểm 7-8 SL % Điểm 5-6 SL % Điểm SL % 12 8,3% 8,3% 33,3% 50,1% 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phương pháp giải phương trình vơ tỉ nhìn nhiều góc độ khác thấy vẻ đẹp nó, xin giới thiệu tiêu chí đẹp thơng qua “phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ” sau: - Một phương trình vơ tỉ quen thuộc mặt hình thức có đột phá lời giải - Một phương trình vơ tỉ quen thuộc mặt hình thức chứa đựng nhiều ý tưởng rộng sâu trình tìm lời giải - Một phương trình vơ tỉ hay giải ý tưởng táo bạo gặp * Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Học sinh cần nắm lại kiến thức phương trình vơ tỉ kiến thức liên quan: *Khái niệm phương trình vơ tỉ: Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ: = x - * Các bước giải phương trình vơ tỉ là: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định - Bước 2: Biến đổi phương trình dạng học - Bước 3: Giải phương trình vừa tìm - Bước 4: So sánh kết với điều kiện xác định kết luận 2.3.1.Các tốn giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ Khi gặp dạng toán học sinh thường mắc sai lầm gặp phương trình phức tạp, khơng quen thuộc nản hoang mang, không tự tin nghĩ cách làm tiếp Nhưng gợi ý dùng phương pháp đặt ẩn phụ, học sinh chuyển phương trình từ phức tạp phương trình đơn giản, từ phương trình khơng có hướng giải phương trình có hướng giải dễ dàng Với lí đề tài nghiên cứu lần phát triển mở rộng từ nội dung mà thân nghiên cứu nên không giới thiệu ví dụ có mức độ dễ Trong lần nghiên cứu xin giới thiệu cách hướng dẫn khai thác tốn với ví dụ hướng tới ôn thi học sinh giỏi cấp ơn thi vào PTTH chun a Đưa phương trình vơ tỉ dạng phương trình ẩn Ví dụ 1: + (1) Lời giải - ĐKXĐ : x≥ Nhận xét toán: Chúng ta dễ dàng nhận thấy dạng tích hai dấu xuất phương trình cho, từ gợi ý cho học sinh cách đặt ẩn phụ phù hợp =1 - Đặt: = t (*) Điều kiện: t > Từ = *Lưu ý: Học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện cho ẩn phụ điều kiện ẩn phụ t điều kiện có nghiệm phương trình cho Để phát huy tính sáng tạo học sinh giáo viên hỏi học sinh lại đặt ẩn phụ điều kiện t lại vậy? Lúc phương trình (1) trở thành : t+ = ⟺ -2t +1= ⟺ = ⇒ t=1 Ta có = ⟺ x - = ⟺ = 1+ x ⟺ x=1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = {1} Ví dụ 2: Giải phương trình 2x 1 + + =2 1+ x 2x (Đề thi HSG cấp huyện Nông Cống năm học 2017-2018) Giáo viên hỏi học sinh: Nếu không dùng ẩn phụ để đặt giải tốn có giải theo cách khác khơng,từ học sinh nghiên cứu liên tưởng đến đặt ẩn phụ để giải toán Học sinh dễ dàng nhận ra: bên dấu thứ hai vế trái làm phép cộng thấy hai biểu thức dấu bậc hai vế trái nghịch đảo Lời giải ĐKXĐ: x > x < -1 Ta có: t= Đặt 2x 1 + + =2 1+ x 2x 2x (t > 0) 1+ x suy Ta phương trình: ⇔ 2x 1+ x + =2 1+ x 2x 1+ x = 2x t t + = ⇔ t − 2t + = ⇔ (t − 1) = t ⇔ t =1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Theo cách đặt ta được: 2x =1⇔ x =1 1+ x (thỏa mãn ĐKXĐ) { 1} Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = b Đưa phương trình vơ tỷ dạng phương trình: a (a≠0) Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình vơ tỉ phương trình bậc hai ẩn số kỹ thuật phương pháp sử dụng ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ Ở phần tơi giới thiệu số dạng tốn phương trình vơ tỉ giải phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình vơ tỉ dạng phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 3: Giải phương trình : = 8x-1 (Đề thi dự bị chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh hóa năm học 2016-2017) Ở ví dụ cho học sinh nhận xét biểu thức bên dấu Nhận xét: biểu thức bên dấu có nét tương đồng khơng nư cách đặt ẩn phụ để giải tốn Từ tơi gợi ý học sinh cách đặt ẩn phụ câu hỏi gợi mở: em thử bình phương hai vế phương trình xem có đứ dạng đẻ giải chúng không? Làm để xuất dạng để đặt ẩn phụ? Lời giải x+ ĐK: ≥0⇔ x>0 x Chia hai vế phương trình cho x: x+2 x+ 1 1 =8− x + + x + − = x x ⇔ x x t = x+ x Đặt (t > 0), phương trình trở thành: t = - (loại), t = (thỏa mãn) x+ t + 2t − = , có nghiệm = ⇔ x2 − x + = x ⇔ x = 2± Với t = 2: (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = Qua cách làm cảm nhận học sinh có hứng thú học tỏ bất ngờ với cách giải tưởng chừng khó lại đơn giản Quan trọng giáo viên phải ý cách đặt câu hỏi gợi mở hướng để học sinh nghĩ đến việc đặt ẩn phụ thuận lợi x2 − x − = x − ( − x ) Ví dụ 4: Giải phương trình: (Đề thi HSG TP.Bắc Giang năm học:2016-2017) Lời giải Điều kiện: x ≥1 (*) x2 − x − = x −1 ( − x ) Ta có: ⇔ x + x x − + x − − 2( x + x − 1) − = ⇔ (x+ ) ( ) x −1 − x + x −1 − = Đặt t = x+ (Điều kiện:t ≥ (**)) phương trình trở thành: ⟺ (t+1)(t -3) =0 ⟺ +Với t = -1 không thỏa mãn điều kiện (**) + Với t = ta có phương trình: 1 ≤ x ≤ x + x −1 = ⇔ x −1 = − x ⇔   x − = − 6x + x 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x − x + 10 =  x =  Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = Ví dụ Giải phương trình: (4x-1) = 2( + 2x-1 (Đề chọn đội tuyển HSG Quận bắc Từ Liêm năm học: 2018 - 2019) Lời giải Đặt y= ( y≥ 1) lúc phương trình cho trở thành (4x-1).y = ⟺ ⟺ ( – (y- 2x +1) = ⟺ 2y.(y-2x+1) –(y-2x+1) = ⟺(y-2x+1)(2y-1) = ⟺ ⟺ Với y = 2x-1 ta có 2x-1= ⟺ ⟺⟺ ⟺(l) ⇒ x= Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = Qua ví dụ giáo viên lưu ý cho học sinh có tốn phương trình vơ tỉ đặt ẩn phụ khơng hồn tồn mà ta giải chúng, từ giáo viên hỏi cịn có cách giải khác khơng Ví dụ Giải phương trình 2x + x − x − = 2x + 10 t = -3 (loại) Thay t = 1, x = thay trở lại tìm nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = { 0} Bài tập tương tự 1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình: 3x − 4x − = x 3x − 7x 3x + =3 x−4 x−4 x + 3x + = ( x + 3) x + 3) Giải phương trình: c Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp phương trình: Ta thường gặp phương trình dạng dạng biến thể như: + + + ax + bx + c = d px + qx + rx + t (1) ax + bx + c = d px + qx + rx + ex + h (2) A ax + bx + c + B ex + gx + h = C rx + px + q (*) Thực chất phương trình (2) (*) bình phương vế xuất theo dạng (1) Để giải phương trình (1), (2), giáo viên đưa phương pháp chung là: *Phân tích biểu thức dấu *Ta biến đổi ax + bx + c = mP( x ) + nQ ( x) Khi phương trình trở thành: Chia hai vế cho biểu thức t= thành tích P ( x) ≥0 Q( x) đa thức P ( x), Q( x) cách đồng hai vế mP( x) + nQ( x) = d P( x).Q( x) Q( x) > m ta thu phương trình P( x) P ( x) +n=d Q( x) Q( x) mt − dt + n = Đặt ta phương trình: Giáo viên nêu tổng quát: Với phương trình có dạng: 13 aP n ( x) + bQ n ( x) + cP n − k ( x)Q k ( x) + d n P ( x).Q( x) = ta ln giải theo cách Giáo viên giới thiệu ví dụ sau: Ví dụ 8: Giải phương trình: 2( x − x + 2) = x + Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ −2 Phương trình cho viết lại thành: Giả sử 2( x − x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) x − x + = m( x + 2) + n( x − x + 4) Suy m, n phải thỏa mãn n =  m = −1   m − n = −3 ⇔   2m + 4n =  n =  Phương trình cho có dạng: −2( x + 2) + 2( x − x + 4) − ( x + 2)( x − x + 4) = Chia phương trình cho x2 − x + > ta phương trình: ( x + 2)  x+2  −2  +2=0 ÷− ( x − x + 4)  x − 2x +  t= Đặt ( x + 2) ≥0 ( x − x + 4)  t = −2 ⇔ t =  2 t ≥0⇒t = ta thu phương trình: −2t − 3t + = ( x + 2) ⇔ = ⇔ x − x + = 4( x + 2) 2 ( x − x + 4)  x = + 13 x2 − x − = ⇔   x = − 13 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {3− } 13;3 + 13 Ví dụ 9: Giải phương trình (1) Lời giải: ĐKXĐ: x≥ -1 14 Pt(1) trở thành ( +3(x+1) =4 (2) Do: >0 nên (2) trở thành 1+ = Đặt t = với t ≥ ta pt: 1+3 ⟺ ⟺ (tmđk) +)Với t = ⟺ = 1⟺ ⟺ +)Với t = ⟺ = ⟺ ⟺ Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: ( x + 1) − x − 4x + = x + 2.3.2 Đưa phương trình vơ tỷ phương trình nhiều ẩn phụ * Đưa phương trình ẩn đồng bậc - Dạng: 2 αu + β.u.v + γ.v = ( α + γ ≠ ) Ví dụ 10 Giải phương trình: (Trích đề thi HSg Toán tỉnh điện biên năm học 2018 – 2019) Lời giải Điều kiện: x ≥ -3 Đặt x= a; b= Phương trình cho trở thành: ⟺ (a-b)(2a-b) = ⟺ TH1: Với a= b ⟺ x= ⟺⟺ ⟺ ⟺ x= TH2: 2a=b ⟺ 2x= ⟺ ⟺ ⟺ x =1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = Ví dụ 11 Giải phương trình 2x − 6x − + ( x + 1) ( x + 1) = Lời giải Điều kiện Ta có: x ≥ −1 Đặt x + = a; x +1 = b ( a, b ≥ )  2a = 3b ⇔ a = −2b 2a + ab − 6b = ⇔ ( 2a − 3b ) ( a + 2b ) = Với a = -2b(loại) Với 2a = 3b, ta có: x + = x + ⇔ 4x − 9x − = 15 ⇔x= ± 161 (thoã mãn ĐKXĐ)  − 161 + 161  ;   8   Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S = - Giáo viên hướng dẫn học sinh làm tập cách 2 αu + β.u.v + γ.v = ( α + γ ≠ ) Nếu muốn đưa toán dạng 2x − 6x − = m ( x + 1) + n ( x + 1) cần tìm m, n cho ta có n =  n =  m = −6 m + n = −4 ⇒ m = −6   hay chắn , đồng hai vế 2x − 6x − = 2a − 6b Nếu m, n không thỏa mãn m + n = -4 ta khơng thể đưa tốn dạng 2 αu + β.u.v + γ.v = ( α + γ ≠ ) * Một số dạng đặt nhiều ẩn phụ khác: x3 + Ví dụ 12 : Giải phương trình: 2(x + 2) = (Đề thi HSG lớp huyện Cẩm Thuỷ năm học 2016-2017) Phân tích: Vì dấu thức có đẳng thức, nên để giải tốn giáo viên hỏi học sinh: Có nhận xét biểu thức dấu căn, từ HS nghĩ đến việc phân tích đẳng thức, liên hệ với vế trái phương trình, giáo viên dẫn dắt học sinh đặt ẩn phụ để toán giải dễ dàng Lời giải Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, ⇒ u2 + v2 = x2 + 2, u2v2 = x3 + ⇒ Phương trình cho ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) = ⟺ ⟺ +Với 2u=v ta có = ⟺4(x+1) = ⟺ ⇒ (tm) +Với u =2v ta có = ⟺ x+1= 4(+1) ⟺ (vn) 16 Vậy nghiệm phương trình cho là: x ∈  + 37 − 37  ;     Ví dụ 13: Giải phương trình : 3(x+1) Phân tích: Phương trình chứa thức bậc hai nên suy nhĩ tiếp cận phương trình phải làm triệt tiêu thức bậc hai.Vậy làm để làm triệt tiêu thức bậc hai Từ tơi dẫn dẵn học sinh phân tích tìm tịi lời giải Ta ý đến 3(x+1) nên phương trình cho ta viết lại thành + 2( = thực đặt ẩn phụ a= x+1; b = ta viết phương trình phương trình đẳng cấp bậc hai Lời giải ĐKXĐ: x≥ -1 Phương trình cho tương đương với + 2( = Đặt a= x+1; b = >0 phương trình trở thành ⟺ (a-b)(a-2b) = ⟺ ⟺ + Với a= b ⟺ x+1 = ⟺⟺ ⇒ x= +Với a= 2b ⟺ x+1 = ⟺ ⟺ hệ vô nghiệm Vậy x= nghiệm phương trình Phương pháp giải dùng có thuận lợi nhiều giải tốn phương trình vơ tỉ kì thi học sinh giỏi kì thi vào THPT chuyên Ví dụ 14: Giải phương trình 2x + = ( 1) x x2 + ( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hố mơn Tốn lớp năm học 2015 – 2016) Lời giải x ≠ Điều kiện: Phương trình (1) x2 + 2x ⇔ + −3 = x 2x2 + ( 2) 17 t= x x2 + ( t ≠ 0) ⇒ t = Đặt Khi phương trình (2) trở thành: x2 x2 + ⇒ = 2x2 + t2 x2 t = 1 + 2t − = ⇔ 2t − 3t + = ⇔ ( t − 1) ( 2t + 1) = ⇔  t = − t  Với t = ta có t=− Với x > x = 2x2 + ⇔  x + = Trường hợp vô nghiệm x < x <  −2 x = x + ⇔  ⇔ ⇔ x=− 2 4 x = x +  x = 2 ta có x=− 2 Kết hợp với điều kiện suy nghiệm phương trình Nhận xét: Với ví dụ 14 học sinh khéo léo nhìn thấy tương đồng biểu thức dấu việc đặt ẩn phụ để thu phương trình đẹp mong muốn khơng khó khăn toán giải dễ dàng MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1:Giải phương trình: = ( HSG tỉnh nghệ an năm học 2018 – 2019) HD: Đặt a= ; b= 2x nghiệm phương trình là: x= Bài 2:Giải phương trình: ( - )(1+ ) =7 (Trích đề thi HSG tỉnh hải dương năm học: 2017 – 2018) HD: Đặt a= ; b = ; Nghiệm phương trình là: x= Bài 3:Giải phương trình: x+2= + (Trích đề thi HSG tỉnh nghệ an năm học: 2016– 2017) HD: Đặt a= ; b = nghiệm phưng trình là: x= ; x= Bài 4:Giải phương trình: (2x+1)( -1) (Trích đề thi HSG tỉnh hải dương năm học: 2016– 2017) HD: Đặt t= -1 nà nghiệm phương trình là: x= 2; x= Bài 5:Giải phương trình: -12 + = (Trích đề thi HSG tỉnh Hưng Yên năm học: 2015– 2016) HD: Đặt t = ; nghiệm phương trình x= Bài 6:Giải phương trình: 18 (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên bến tre năm học: 2018– 2019) HD: Đặt a= ;b = ĐS: x = ; x= nghiệm Bài 7:Giải phương trình: - = (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nam Đinh năm học: 2017– 2018) HD: - = ⟺ = +5 ⟺ =5 Đặt a= ; b = ĐS: x =9; x= Bài 8:Giải phương trình: = (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Hưng Yên năm học: 2019– 2020) HD: Đặt t= x ĐS: x = - ; x= nghiệm phương trình Bài 9:Giải phương trình: x+ = (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn năm học: 2011– 2012) Hd: Đặt t= ĐS: x= nghiệm phương trình cho Bài 10:Giải phương trình: (Trích đề thi khảo sát đội tuyển HSG cấp huyện Cẩm Thủy thi HSG cấp tỉnh năm học: 2018– 2019) HD: Đặt y+1= ⇒3x+5 = Phương trình cho trở thành := 3y+5 Ta có hệ: từ giải tìm nghiệm ĐS: x= x= -2 nghiệm phương trình cho Bài 11:Giải phương trình : ĐS: x= 8; x= ; x= Bài 12: Giải phương trình : = 6x ĐS: x= 2; x= 2-2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu áp dụng cho học sinh giỏi việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau áp dụng đề tài nhận thấy học sinh tự tin hứng thú làm tập giải phương trình vơ tỉ Trong nhiều năm học, giao nhiệm vụ tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy -Huyện Cẩm Thủy, kết 19 quả: Các em hoàn thành tốt giải phương trình vơ tỉ có đề thi Trong nhiều năm qua tơi có nhiều em đạt giải học sinh giỏi mơn tốn giải tốn máy tính cầm tay cấp huyện Đặc biệt năm học 2021 - 2022 có em đạt học sinh giỏi cấp Tỉnh với chất lượng giải tốt vượt tiêu đề đặc biệt có 01 em thi vượt cấp đạt giải( 01 giải nhì, 01 giải ba 04 giải khuyến khích) Chất lượng thi vào THPT THPT chuyên đạt tiêu đề Đóng góp phần nhỏ bé vào phát triển đối tượng học sinh mũi nhọn nhà trường nói riêng chất lượng giáo dục ngành giáo dục huyện Cẩm Thuỷ nói chung Kết kiểm tra nhóm học sinh lớp khảo sát Năm học 2021-2022 Số học sinh Nhóm khơng áp dụng đề tài Nhóm áp dụng đề tài 12 12 Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu SL % SL % SL % SL % 0 8,3% 41,6% 50,1% SL % SL % SL % SL % 50% 25% 25% 0 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 3.1.Kết luận: Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu áp dụng, thân xét thấy đề tài có tác dụng lớn q trình giảng dạy mơn tốn lớp đặc biệt cơng tác ơn thi HSG phần phương trình vơ tỉ, ôn thi vào lớp 10 THPT trường chuyên, khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn tập, ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Việc áp dụng đề tài giúp cho học sinh khá, giỏi nắm vững cách giải phương trình vơ tỉ, giúp em học sinh hồn thành tốt tập có tính chất nâng cao sách tập số sách tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào trường THPT chun, góp phần nhỏ bé vào cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Mặt khác qua đề tài cịn góp phần cho học sinh rèn luyện thói quen phát triển khai thác tốn, thấy mối quan hệ toán, từ giúp em học tốt mơn tốn, đồng thời giúp cho học sinh làm quen với phương pháp học theo hướng nghiên cứu học Trong khuôn khổ đề tài sáng kiến kinh nghiệm nên thân đưa số kết mở rộng theo logic 20 định để học sinh dễ nhớ nên số kết khác chưa đưa vào đề tài Do trình độ thân cịn hạn chế nên đề tài không tránh sai sót, mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2.Kiến nghị: * Đối với người dạy Người giáo viên phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình cơng việc giảng dạy quan tâm đến chất lượng học sinh, nắm vững đặc điểm tâm sinh lý đối tượng học sinh phải hiểu gia cảnh khả tiếp thu đối tượng học sinh, từ tìm phương pháp dạy học hợp lí theo sát đối tượng học sinh Đồng thời giảng dạy tiết luyện tập,ôn tập giáo viên cần sai lầm mà học sinh thường mắc phải phân tích lập luận sai để từ học sinh ghi nhớ rút kinh nghiệm cho tiếp theo.Sau giáo viên cần đưa phương pháp giải cho loại tập để học sinh giải tập dễ dàng Giáo viên thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi rút kinh nghiệm cho thân, vận dung phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức cuả học sinh, không ngừng đổi phương pháp dạy để nâng cao chất lượng dạy học Nghiên cứu kĩ nội dung, chuyên đề để dạy học sinh theo dạng xâu chuỗi nội dung, từ học sinh nắm bắt làm theo dạng toán đề thi Tham khảo tài liệu, giáo án môn liên quan, video clip chuyên đề Internet đồng nghiệp để nghiên cứu Cần thay đổi cách kiểm tra đánh giá, tăng cường câu hỏi mức hiểu, vận dụng để khuyến khích đánh giá mức độ sử dụng kiến thức Toán học sinh * Đối với người học Tích cực sử dụng thiết bị cơng nghệ thơng tin máy tính, Internet trình học tập Bản thân học sinh phải thực cố gắng ,có ý thức tự học tự rèn luyện, kiên trì chịu khó q trình học tập Trong học lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu chất vấn đề, có kĩ vận dụng tốt lí thuyết vào giải tập,từ học sinh phân tích dạng tốn dễ dàng Ln tích cực, chủ động, sáng tạo việc học tập * Đối với nhà trường - Thường xuyên tổ chức hoạt động tham vấn tổ chuyên môn, phát huy tích cực sinh hoạt nhóm mơn để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi lẫn kiến thức phương pháp nhằm hỗ trợ lẫn dạy chuyên đề khó 21 - Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm đầu tư mua sắm trang thiết bị: máy chiếu, máy tính kết nối Internet, tài liệu tham khảo Nhằm tạo điều kiện tốt cho việc dạy học chuyên đề nâng cao * Đối với Phòng Giáo Dục, Sở Giáo Dục Đối với phòng giáo dục đào tạocần mở lớp tập huấn cho giáo viên tổ chức hội thảo chuyên đề ôn thi học sinh giỏi để GV trường trao đổi kinh nghiệm, học tập lẫn Sở giáo dục đào tạo cần xây dựng tài liệu dạy ôn thi học sinh giỏi theo chủ đề qua đo giáo viên học tập dạng toán để ôn tập cho học sinh Thường xuyên giới thiệu tài liệu liên quan tập huấn cho giáo viên bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Trên đưa kinh nghiệm để giải số phương trình vơ tỉ đề thi học sinh giỏi THCS thi vào lớp 10 THPT trường chuyên Những tốn địi hỏi vận dụng linh hoạt nhanh nhẹn, nên giáo viên phải luôn đổi phương pháp giảng dạy, kết hợp với biện pháp: “Tích cực hố hoạt động học tập học sinh” Khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nắm vững kiến thức Ghi nhớ tiếp thu kiến thức mới, đem lại hứng thú học tập cho học sinh Tôi mong nhận ý kiến đóng góp hội đồng khoa học bạn đồng nghiệp, để có thêm kinh nghiệm bổ ích, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn cấp THCS Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thị Trấn Phong Sơn, ngày 02 tháng năm 2022 CỦA THỦ TRƯỞNGĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, Hiệu Trưởng không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Thuỷ Hồ Đại Đoàn DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán tập 1, tập Nhà xuất bản, chủ biên Nhà xuất giáo dục 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp Nhà xuất giáo dục TT Tài liệu tham khảo 22 Tạp chí tốn học tuổi trẻ Nhà xuất giáo dục Tạp chí tốn tuổi thơ THCS Nhà xuất giáo dục 45 đề thi toán chọn lọc cấp THCS Nhà xuất giáo dục Tuyển chọn giới thiệu đề thi học sinh giỏi Nhà xuất Đại học quốc gia Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên Nhà xuất Đại học sư phạm Sách nâng cao phát triển Toán Tập 1,2 Nhà xuất giáo dục; Phương pháp giải phương trình vơ tỉ đề thi HSG toán THCS Nhà xuất đại học quốc gia 10 Các chun đề giải phương trình vơ tỉ Nhà xuất sư phạm DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hồ Đại Đoàn 23 Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Cẩm Thủy- Huyện Cẩm Thủy- Tỉnh Thanh hóa T T Tên đề tài SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp giải tốn dạng tìm x Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt tốn bất đẳng thức cơsi Ứng dụng hệ thức vi-ét để giải số dạng toán thi vào lớp 10 THPT Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Phòng GD&ĐT Huyện Cẩm Thủy Phòng GD&ĐT Huyện Cẩm Thủy Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại B 2015 2016 B 2017 – 2018 Phòng GD&ĐT C Huyện Cẩm Thủy 20192020 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKNCỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG 24 Xếp loại: TM.HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG Chủ tịch Nguyễn Thị Thuỷ ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THUỶ 25 Xếp loại: TM.HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT Chủ tịch ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKNCỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HOÁ 26 Xếp loại: TM.HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT Chủ tịch 27 ... nghiên cứu xin trình bày cách khai thác phương pháp là: ? ?Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi THCS thi vào PTTH chuyên? ?? 2.2.Thực... nhau, giúp em tự tin hứng thú học dạng tốn tơi chọn đề tài nghiên cứu ? ?Kinh nghiệm giúp học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ cho số toán thi học sinh giỏi THCS thi vào PTTH. .. tốn để làm bài, mục đích hướng đến kỳ thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp huyện, cấp tỉnh thi vào PTTH chuyên Giới thi? ??u số toán gặp đề thi học sinh giỏi Toán lớp cấp thi vào PTTH chuyên, giúp em