Toán Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức24484

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức: Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc cao hai ẩn Phương trình đa thức nhiều ẩn Phương trình bậc hai ẩn Phương pháp: - Rút gọn phương trình, ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân bố biểu thức x số nguyên t1, ta phương trình bậc hai ẩn y t1 - Cứ tiếp tục ần biểu thị dạng đa thức với hệ số ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình: 11x+18y=120 Giải: ThuVienDeThi.com Ta thấy 11x⋮6 nên x⋮6 Đặt x=6k (k nguyên) Thay vào (1) rút gọn ta được: 11k+3y=20 Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: y=20−11k3 Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này: y=7−4k+k−13 Lại đặt k−13 =t với t nguyên suy k=3t+1 Do đó: =7−4(3t+1)+t=3−11tx=6k=6(3t+1)=18t+6 Thay biểu thức x y vào (1), phương trình nghiệm Vậy nghiệm nguyên (1) biểu thị công thức: {=18t+6y=3−11t với t số nguyên tùy ý Phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x–3y=2xy–11 Giải: Biểu thị y theo x: (2x+3)y=5x+11 Dễ thấy 2x+3≠0 (vì x ngun ) đó: y=5x+112x+3=2+x+52x+3 Để y∈Zphải có x+5⋮2x+3 ThuVienDeThi.com ⇒2(x+5)⋮2x+3 ⇒2x+3+7⋮2x+3 ⇒7⋮2x+3 Nên (x,y)=(−1,6),(−2,−1),(2,3),(−5,2) Thử lại cặp giá trị (x,y) thỏa mãn phương trình cho Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: x2−2x−11=y2 Giải: Cách 1: Đưa phương trình ước số: x2−2x+1−12=y2 ⇔(x−1)2−y2=12 ⇔(x−1+y)(x−1−y)=12 Ta có nhận xét: Vì (1) chứa y có số mũ chẵn nên giả thiết y⩾0 Thế x−1+y⩾x−1−y (x−1+y)−(x−1−y)=2y nên x−1+yvà x−1−y tính chẵn lẻ Tích chúng 12 nên chúng chẵn Với nhận xét ta có hai trường hợp: (x−1+y,x−1−y)=(6,2),(−2,6) Do đó: (x,y)=(5,2),(−3,2) Đáp số: (5;2),(5;−2),(−3;2),(−3;−2) ThuVienDeThi.com Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai x: x2−2x−(11+y2)=0 Δ′=1+11+y2=12+y2 Điều kiện cần để (2) có nghiệm ngun: Δ′ số phương ⇔12+y2=k2(k∈N) ⇔k2−y2=12⇔(k+y)(k−y)=12 Giả sử y⩾0 k+y ⩾k–y k+y⩾ (k+y)–(k–y)=2y nên k+y k–y tính chẵn lẻ phải chẵn Từ nhận xét ta có: {+y=6k−y=2 Do đó: y=2 Thay vào (2): x2−2x−15=0 ⇒x1=5,x2=−3 Ta có bốn nghiệm: (5;2),(5;−2),(−3;−2),(−3;2) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2+2y2+3xy−x−y+3=0 (1) Giải: Viết thành phương trình bậc hai x: x2+(3y−1)x+(2y2−y+3)=0 (2) Δ=(3y−1)2−4(2y2−y+3)=y2−2y−11 ThuVienDeThi.com Điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm nguyên Δ số phương ⇔y2−2y−11=k2(k∈N) (3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta y1=5,y2=−3 Với y=5 thay vào (2) x2+14x+48=0 Ta có: x1=−8,x2=−6 Với y=−3 thay vào (2) x2−10x+24=0 Ta có x3=6,x4=4 Đáp số: (−8;5),(−6;5),(6;−3),(4;−3) Phương trình bậc cao hai ẩn Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3)=y2 (1) Giải: Nếu y thỏa mãn phương trình –y thỏa mãn, ta giả sử y⩾0 (1) ⇔(x2+3x)(x2+3x+2)=y2 Đặt x2+3x+2+1=a, ta được: (a−1)(a+1)=y2⇔a2−1=y2 ⇔(a+y)(a−y)=1 Suy a+y=a–y, y=0 Thay vào (1) được: x1=0;x2=−1;x3=−2;x4=−3 Đáp số: (0;0),(−1;0),(−2;0),(−3;0) Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình: ThuVienDeThi.com x3−y3=xy+8 (1) Giải: Cách 1: |x−y|.|x2+xy+y2|=|xy+8| Dễ thấy x≠y, x=y (1) trở thành 0=x2+8, loại Do x,y nguyên nên |x−y|⩾1 Suy ra: |x2+xy+y2|⩽|xy+8| Do đó: x2+xy+y2⩽|xy+8| (2) Xét hai trường hợp: xy+80 nên A 3x−3y−1 ước tự nhiên 215 Phân tích thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215 Do 3x−3y−1 chi cho dư nên 3x−3y−1∈{5;215} Xét hai trường hợp: {x−3y−1=5(4)A=43(5) {x−3y−1=215A=1 Trường hợp 1: từ (4) suy x–y=2 Thay y=x–2 vào (5) được: [3x+3(x−2)]2+[1−3(x−2)]2+(3x+1)2=86 Rút gọn được: x(x–2)=0 ⇔x1=0,x2=2 Với x=0 y=2 Với x=2 y=0 Trường hợp 2: Từ A=1 suy ra: (3x+3y)2+(1−3y)2+(3x+1)2=2 Tổng ba số phương nên có số 0, hai số số Số khơng thề 1–3y 3x+1, 3x+3y=0 Nghiệm nguyên hệ: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x+3y=0(1−3y)2=1(3x+1)2=1 x=y=0, không thỏa mãn 3x–3y– 1=215 Đáp số: (0;−0),(2;0) ThuVienDeThi.com Cách 3: x3−y3=xy+8 ⇔(x−y)3+3xy(x−y)=xy+8 Đặt x–y=a,xy=b ta có: a3+3ab=b+8 ⇔a3−8=−b(3a−1) Suy ra: a3−8⋮3a−1 ⇒27(a3−8)⋮3a−1 ⇒27a3−1−215⋮3a−1 Do 27a3−1⋮3a−1 nên 215⋮3a−1 Phân tích thứa số nguyên tố: 215 = 5.43 Do 3a−1∈{±1;±5;±43;±215} Do 3a–1 chia cho dư nên 3a−1∈{−1;5;−43;215} Ta có: Do b=a3−81−3a nên: (a,b)=(0,−8),(2,0),(−14,−64),(72,−1736) Chú ý (x−y)2+4xy⩾0 nên a2+4b⩾0, bốn trường hợp có a=2;b=0 Ta được: x–y=2;xy=0 Đáp số: (0;−2) (2;0) Phương trình đa thức nhiều ẩn Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 6x+15y+10z=3 ThuVienDeThi.com Giải: Ta thấy10z⋮3 nên z⋮3 Đặt z=3k ta được: 6x+15y+10.3k=3 ⇔2x+5y+10k=1 Đưa phương trình hai ẩn x,y với hệ số tương ứng hai số nguyên tố 2x+5y=1−10k x=1−10k−5y2=−5k−2y+1−y2 Đặt 1−y2 =t với t nguyên Ta có: =1−2tx=−5k−2(1−2t)+t=5t−5k−2z=3k Nghiệm phương trình: (5t−5k−2;1−2t;3k) với t,k số nguyên tùy ý Ví dụ 8: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2+y2+z2=1999 (1) Giải: Ta biết số phương chẵn chia hết cho 4, cịn số phương lẻ chia cho dư chia cho dư Tổng x2+y2+z2 số lẻ nên ba số x2;y2;z2phải có: có số lẻ, hai số chẵn; ba số lẻ Trường hợp ba số x2;y2;z2 có số lẻ, hai số chẵn vế trái (1) chia cho dư 1, vế phải 1999 chia cho dư 3, loại Trong trường hợp ba số x2;y2;z2đều lẻ vế trái (1) chia cho dư 3, vế phải 1999 chia cho dư 7, loại ThuVienDeThi.com Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm ngun Bài tập rèn luyện: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 7(x+y)=3(x2–xy+y2) Hướng dẫn: Đáp số : (x,y)=(4,5) (5,4) Cách 1: Đổi biến u=x+y,v=x–y ta đưa phương trình: 28u=3(u2+3v2).(∗) Từ (*) chứng minh u chia hết cho 0≤u≤9 suy u=0 u=9 Cách 2: Xem phương trình cho phương trình bậc hai x 3x2–(3y+7)x+3y2–7y=0 (1) Để (1) có nghiệm biệt thức Δ phải số phương Từ tìm y Bài 2: Tìm x,y ∈Z+ thỏa mãn : x2000+y2000=20032000 (1) Hướng dẫn: Đáp số: phương trình vơ nghiệm Giả sử x≥y Từ (1) suy x2000.x1999≥2000.y1999 ⇒ 2003>x≥y>2000 Vậy x=2002,y=2001 Thử lại không thỏa mãn (1) Bài 3: Chứng minh ∀n∈N∗, phương trình x1+x2+ +xn=x1.x2 xn ln có nghiệm N∗ Hướng dẫn: Cho x1=x2= =xn−2=1 ta đến phương trình (xn−1−1)(xn−1)=n−1 (1) Dễ thấy xn=nvàxn−1=2 thỏa mãn (1) Vậy phương trình cho có nghiệm ngun dương (x1;x2; ;xn)=(1;1; ;2;n) Bài4: Chứng minh phương trình x3+y3+z3–3xyz=2001n ln có nghiệm nguyên với n≥2 Hướng dẫn: Đặt 2001n=9m Bộ ba số (m;m–1;m+1) nghiệm phương trình cho ThuVienDeThi.com BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài viết tập hợp tập để bạn rèn luyện sau đọc xong chuyên đề phương trình nghiệm nguyên: - Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, phần 1-3 - Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức - Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa mãn : xy+1=z Hướng dẫn: Vì x,y nguyên tố nên x,y≥2 Từ phương trình cho ta suy z≥5 z lẻ (do z nguyên tố) Vì z lẻ nên x chẵn hay x=2 Khi đó, z=1+2y Nếu y lẻ z chia hết cho (loại) Vậy y=2 Đáp số : x=y=2vàz=5 Bài 2: Tìm tất cặp số tự nhiên (n,z) thỏa mãn phương trình : 2n+122=z2–32 Hướng dẫn: ThuVienDeThi.com Nếu n lẻ 2n≡−1 (mod 3) Từ phương trình cho ta suy z2≡−1 (mod 3), loại Nếu n chẵn n=2m(m∈N) phương trình cho trở thành: z2–22m=153 hay (z–2m)(z+2m)=153 Cho z+2m z–2m ước 153 ta tìm m=2,z=13 Đáp số : n=4,z=13 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x+23√−−−−−−−√=y√+z√ Hướng dẫn: Vì vai trị x,y,z nên giả sử y⩾z Từ phương trình cho ta suy x+23√=y+z+2yz−−√ Suy ra: (x−y−z)2+43√(x−y−z)=4yz−12 (1) Vì 3√ số vơ tỉ nên từ (1) ta suy : x–y–z=4yz–12=0⇒yz=3⇒y=3,z=1 x=y+z=4 Đáp số : phương trình có nghiệm (4; 3; 1) (4; 1; 3) Bài 4: Tìm tất số nguyên dương a,b,c đôi khác cho biểu thức : A = 1a+1b+1c+1ab+1bc+1ca nhận giá trị nguyên dương Hướng dẫn: Ta có: A.abc=ab+bc+ca+a+b+c (1) ThuVienDeThi.com Từ (1) ta CM a,b,c tính chẵn lẻ Vì vau trị a,b,c a,b,c đơi khác nên giả thiết a