Chuyên đề: Giải phương trình nghiệm nguyên49472

Chuyên Đề: Giải Phương trình nghiệm nguyên I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để phương trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) ước c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên phương trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) cho công thức: b x x t     d  y  y  a t  d  Víi t Z, d = (a,b) 2.Cách giải: Bước 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x tìm nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 H­íng dÉn:Ta cã 2x + 5y =7  x =  x = – 2y +  5y 1 y Do x, y nguyªn y y nguyên Đặt =t 2  y = – 2t  x = – 2(1- 2t) + t = 5t + VËy nghiệm tổng quát phương trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x 15 y = 25 H­íng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = mµ 3/25 ThuVienDeThi.com víi (t є Z ) Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 7y = 112 Hướng dẫn: Ta cã 5x + 7y = 112 x= 112  y  2y = 22 - y + 5 Do x, y nguyªn   2y nguyªn hay (2 – 2y)   2(1-y)  5; (2 , 5) =  (1-y)  hay (y-1) Đặt y-1 = 5t (t є Z )  y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 7t lại cã x > 0; y >  5t + > 21 – 7t > t>-  t  y – m – – 22m – + 2m = mà 22m 1và 2m số chẵn nên: y m lẻ  y – m – =  y – m – =  y = m +  m - 22m – =  m = 22m –  m = 2m –  m = y=2;x=1 VËy (x, y) = (0; 0); (1; 2) III Ph­¬ng trình nghiệm nguyên đưa dạng [g1 (x1, x2,., xn)]2 + [g2 (x1, x2,…., xn)]2 + …+ [gn (x1, x2,…., xn)]2 = ThuVienDeThi.com 1.Cách giải:Ta thấy vế trái phương trình số hạng không âm, tổng chúng nên số hạng phải g1 (x1, x2,…., xn) = Do vËy cã: g2 (x1, x2,…., xn) = ………………… gn (x1, x2,…., xn) = Giải hệ ta x1 , x2 ,, xn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phương tr×nh: 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = Hướng dẫn: (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái phương trình) 2x2 + y 2xy + 2y 6x + = Ta cã VËy  y – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + =  (y – x + 1)2 + (x – )2 = y–x+1=0 hay x2=0 x=2 y=1 Vậy nghiệm nguyên phương trình lµ x = ; y = VÝ dơ 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình : (x 1) (y+1) = (x+ y)2 H­íng dÉn: Ta cã (x-1) (y+1) = (x+ y)2  (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2  [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) =  (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) =  [(x-1) +  y+1=0 (x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = (y+1) =  y = -1 x=1 Vậy nghiệm phương trình ( x = ; y = -1) IV- Ph­¬ng trình nghiệm nguyên mà ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thường gặp số toán mà ẩn bình đẳng với Để giải toán có nhiều cách giải khác tuỳ thuộc vào loại cụ thể ta nghiên cứu đến phương pháp giải toán này: Ta giả sử ẩn xảy theo trật tự tăng dần tiến hành giải ThuVienDeThi.com Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: H­íng dÉn: Gi¶ sư   1 + + + =1 xy yz xz xyz  x  y  z  x2  xy  xz  yz  xyz 1= 1 9 + + +  12 + 12 + 12 + xy yz xz xyz x x x x 1 12  x2  12  x є x2 NÕu x =  1, 2,3 1 + + + =1 y yz z yz  z + + y + = yz  yz – z – y + = 11 (y- 1) (z - 1) = 11  y = ; z = 12 hc z =2 ; y = 12 NÕu x =  + 2y 1 + + =1 yz 2z yz  (2y - 1) (2z-1) = 23  y = 1; z = 12 hc y = 12; z = NÕu x =  (3y – 1) (3z - 1) = 37 v« nghiƯm VËy (x, y, z) = (1; 2, 12) hoán vị Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Không có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên để giải người ta thường áp dụng số phương pháp sau kết hợp phương pháp tuỳ theo cụ thể Sau số phương pháp thường dùng I- Phương pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 9: Tìm x, y nguyên tố tho¶ m·n: y2 – 2x2 = H­íng dÉn: Ta cã y2 – 2x2 =  y2 = 2x2 +1 y số lẻ Đặt y = 2k + (víi k nguyªn).Ta cã (2k + 1)2 = 2x2 +  x2 = k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = VÝ dơ 10: T×m nghiƯm nguyên dương phương trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 H­íng dÉn: Ta cã: (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Ta thÊy 105 lỴ  2x + 5y + lỴ  5y ch½n  y ch½n + y + x2 + x = x x + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn x lỴ  x =  x = Thay x = vào phương trình ta ®­ỵc ThuVienDeThi.com (5y + 1) ( y + 1) = 105  5y2 + 6y – 104 =  y = y = 26 ( loại) Thư l¹i ta cã x = 0; y = nghiệm phương trình II Phương pháp : Phương pháp phân tích Thực chất biến đổi phương trình dạng: g1 (x1, x2,., xn) h (x1, x2,…., xn) = a VÝ dơ 11: T×m x, y nguyªn cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố Giải Ta có ( x + y ) P = xy víi xy – Px – Py =  x ( y – P ) – ( Py – P2) = P2  ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mµ P nguyªn tè  P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) Các cặp số (x,y ) lµ: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) hoán vị chúng III- Phương pháp loại trừ ( phương pháp ) Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị lại ẩn Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1! + 2! + + x! = y H­íng dÉn: Víi x th× x! cã tËn cïng lµ vµ 1! + 2! + 3! + 4! Cã tËn cïng lµ  1! + 2! + … + x! cã tËn cïng lµ 3, không số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: 1;2;3;4 x= Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mÃn IV.Phương pháp 4: Dïng chia hÕt vµ cã d­ VÝ dơ 13: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 2y2 = H­íng dÉn: XÐt x  mµ x2 – 2y2 =  2y2  (2,5) =  y2  25  l¹i cã x   x2  25  y2  5 lµ sè nguyªn tè x2 – 2y2  25  25 lo¹i XÐt x   y  x2 chia cho có số dư ThuVienDeThi.com y2 chia cho có số d­ hc  2y2 chia cho d­ hc  x2 – y2 chia cho dư 2(loại) Vậy phương trình x2 2y2 = vô nghiệm Ví dụ 14: Tìm x, y số tự nhiên thoả mÃn: x2 + y = 3026 H­íng dÉn: XÐt y =  x2 + 30 = 3026  x2 = 3025 mµ x є N  x = 55 XÐt y >  y  3, x2 chia cho d­ hc 1 x2 + y chia cho dư mà 3026 chia cho d­ (lo¹i) VËy nghiƯm (x,y) = (55,0) V Phương pháp : Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ 15: Tìm x, y, z nguyên tè tho¶ m·n: xy + = z H­íng dÉn: Ta có x, y nguyên tố xy + = z z > Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn x=2 XÐt y =  22 + = nguyên tố z = (thoả mÃn) Xét y>  y = 2k + (k є N)  22k+1 + = z  4k + = z Cã chia cho d­  (2.4k+1)   z  (lo¹i) VËy x = 2, y = 2, z = thoả mÃn Ví dụ 16 : Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương Hướng dẫn: đặt 4p + = x2 (x N) x lẻ đặt x = 2k + (k є N)  4p + = (2k + 1)2  4p + = 4k2 + 4k +  p =k(k+1)  k(k + 1) ch½n  p chẵn, p nguyên tố p = VI Phương pháp 7: Đưa dạng tổng Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 x – y = H­íng dÉn: Ta cã x2 + y2 –x – y =  x2 + y2 – x –4y = 32  (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34  (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta cã x  = hc 2y 1 = ThuVienDeThi.com 2x  = 2y 1 = Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hoán vị Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 4xy + 5y2 = 169 H­íng dÉn: Ta cã x2 – 4xy + 5y2 = 169  (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thÊy 169 = 02 + 132 = 52 + 122  x  2y = y hc hc = 13 y =0 x  2y = y x  y = 13 hc = 12 x  y = 12 y =5 Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VII Phương pháp : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 xy + y2 = y 3y H­íng dÉn: Ta cã –xy + =  (x- ) = y 3y Ta thÊy (x- )2     -2  y  2 x2 y2  y=  2; 1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Bài tập luyện tập rèn tư sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = V× 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) =  2(x-4) + 3(y-1) =  2(x-4) = - 3(y-1) mµ (2,3) = Đặt x = 3k y – = 2k víi ( k  Z) VËy nghiệm tổng quát pt : x = – 3k y = 1+ 2k ( k  Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) phương trình vô định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta cã 2x + 3y = 11 ThuVienDeThi.com 11  y y 1 = 5- y2 y 1 Do x, y nguyên nguyên y đặt = k  y = 2k +1  x = 4- 3k  x= (k  Z) y = 2k +1 (k  Z) VËy nghiƯm tỉng qu¸t: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mÃn phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dÉn: C¸ch 1: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74  6x2 –24 = 50 – 5y2  6(x2 – 4) = 5(10 – y2)  6(x2 – 4)   x2 –  (6, 5) =  x2 = 5t + (t N) Thay x = 5t vào phương trình y2 = 10 – 6t l¹i cã x2 > 4 5 t<  t> y2 >  t = hc t = víi t = ta cã x2 = 4, y2 = 10 (lo¹i) Víi t = ta cã x2 =  x=3 y =4 y=2  mµ x, y  Z  x = 3, y = tho¶ mÃn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74  < y2 < 14  y2 =  x2 = CỈp sè (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74  5x2 + 5y2 + x2 + = 75  x2 +  mµ < x2  12  x2 = hc x2 = Víi x2 =  y2 = 10 lo¹i Víi x2 =  y2 = thoả mÃn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta cã a + b = ab  a b b a  a = b a=b ThuVienDeThi.com NÕu a = b  2a = 2a2  a= a2  a= 0, a= 1 (a,b) = (0, 0); (1, 1) NÕu a = - b  b2 =  a = b =  (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)  (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2  Ta gi¶ sư x2  y2  x2 + y2  y2  2x2 y2  2y2 NÕu y = phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y  0 x2   x2= hc x2 = y2 = (loại) y2 =  (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2  2x2 + 2y2 = x2y2  x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)=  (2x2 – 1) (2y2 - 1) = Mµ = 1.1 = (-1)(-1)  (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)  (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x2 –3xy + 2y2+ = H­íng dÉn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm phương trình Ta coi phương trình x2 3xy + 2y2 + = Èn x ta tÝnh  y = y2 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên y số phương y2 – 24 = k2  (y – k)(y + k) = 24 (kN) mµ 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k vµ y – k cïng chẵn y+ k = y=5 y+ k = 12 yk=4 yk=2 Thay vào ta tìm (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bµi 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 2y2 2xy + y + x – 10 = y=7 Hướng dẫn: C1: Ta có phương trình đà cho 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = Coi x lµ Èn y lµ tham sè ta có phương trình bậc ẩn x Xét y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên y số phương Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81  k2 + 3(2y + 1) = 84  (2y + 1)2 = 28 - k2  28; (2y + 1)2 lỴ  (2y + 1)2 = 1, 9, 25  y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mÃn C2: Đặt x + y = a, xy = b ta cã x, y  Z a, b Z phương trình 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y – 10 =  2a2 – 4b + a – 10 = 0 4a2 – 8b + 2a – 20 =  (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 =  (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 l¹i cã (x+ y)2 xy  a2  4b ThuVienDeThi.com  8b + 21  2a2 + 21  (a+ 1)2 + 3a2  2a2 + 21  (a+ 1)2 21 mà (a+ 1)2 số phương (a+ 1)2  {1, 4, 9, 16} a  {0, 1, 2, 3} Víi a =  12 + = 8b + 21  8b = 20 lo¹i Víi a =  (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21  8b = -14 lo¹i Víi a =  (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21  8b =  b = Víi a =  (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại Vậy a = 2, b =  xy = x + y =  (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mÃn Bài :Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y cho : x2 + 4x – y2 = H­íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã x2 + 4x – y2 =  (x + 2)2 - y2 =  (x + 2+ y)(x+ 2-y) = mà x, y nguyên dương  (x + 2+ y) > (x+ 2-y)  x+ + y =  x = 1, y = x+2y=1 Vậy nghiệm phương trình x = 1, y = C¸ch 2: Ta cã x2 + x – y2 = 1 x2 + x – (y2 + 1) = y = + ' y2 + 1x=   ' y Để phương trình có nghiệm ' y sè chÝnh ph­¬ng  + y2 + = k2  (k- y) (k+ y) =  y = thay vào phương trình tìm x = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình x = 1; y = Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đà đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biÕt r»ng sè ®Êu thđ cđa Ýt nhÊt đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hướng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phương trình nghiệm nguyên ta giải cách sau C¸ch 1: Cã xy = 4(x + y)  xy – 4x – 4y + 16 = 16  (x-4) (y - 4) = 16 mµ 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ x4=1 x=5 x = 20 y-4 = 16 y = 20 y=5 C¸ch 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y) lại cã 4 4 8   +   1 x y x y x x x8  x= 5, 6, 7, ThuVienDeThi.com 4 + =1 x y Mµ 1x>4 x Thư trùc tiÕp ta x = 5, y = 20 (thoả mÃn) Vậy đội có đấu thủ đội có 20 đấu thủ Bài 8: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) lo¹i Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dương, x, y  9) Theo bµi ta cã: 1911 - 18 xy = + + x + y =  11x + 2y = 99  2y  11 mµ (2, 11) =  y  11 mµ 0 y   y = x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 9: Tìm tất số nguyyên x, y thoả mÃn phương trình Hướng dẫn: Ta cã x y = x  xy  y x y =  (x+ y) = (x2 – xy + y2) x xy y Đặt x + y = p , x – y = q  p, q nguyên x = pq pq ;y= thay vào phương 2 trình có dạng 28 p = (q2 + q2)  p > vµ p đặt p = 3k (k Z )  28k = 3(3k2+ q2)  k  vµ k cã d¹ng 3m (m Z+)  28 m = 27m2 + q  m( 28 – 27m) = q2   m = hc m = Víi m =  k =  q =  x = y = (lo¹i) Víi m = th× k = 3; p =  28 = 27 + q2  q =  Khi p = 9, q = th× x = 5, y= p = 9, q = 1- th× x = 4, y= VËy nghiƯm cđa phương trình (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: HÃy dựng tam giác vuông có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị c¹nh hun (a = 7)  b2 + c2 = 72  b2 + c2   b  7; c (vì số phương chia hết cho d­ 0, 1, 4, 2) l¹i cã 0