Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 10 thpt năm học 2011 – 2012 môn thi : toán Vòng 2 thời gian làm bài: 180 phút54965

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TỐN - Vịng Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) a) Cho hàm số y  x  2mx  3m hàm số y  2 x  Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt hoành độ chúng dương b) Giải bất phương trình:  x  x  12  10  x Câu (2 điểm) 3 a) Giải phương trình: (4 x  x  3)  x  b) Giải phương trình: x  11x  23  x  Câu (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A(hoành độ A dương), d cắt trục tung B(tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x  2)  ( y  3)  điểm A(1; 2) Đường thẳng  qua A,  cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) a) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA2  AC  BD b) Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: đường cao qua A ) 1   (trong AB=c; AC=b; b c Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2 a  b  b  c   c  a  2a 2b 2c    3 bc ca ab a  b  c …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Tìm m: y  x  2mx  3m y  2 x  cắt hai điểm a phân biệt hoành độ dương Yêu cầu tốn  PT sau có hai nghiệm dương phân biệt x  2mx  3m  2 x   x  2(m  1) x  3m    '    3(m  1)  2(m  1)   Điểm 1,00 0,25 0,25  m  1 '     m  4 Kết hợp nghiệm, kết luận m  4 b Giải bất phương trình: 0,25 0,25  x  x  12  10  x 1,00 TXĐ:  x  x  12    x  0,25 Nếu  x   x  x  12   10  x , bất phương trình nghiệm với x:  x  10  x  Nếu  x    bất pt cho   x  x  12    x  x  12  x  40 x  100  x  48 x  112    x  Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có:  x  Tập nghiệm bpt cho: (4;6] 3 3 (4 x  x  3)  x  Giải phương trình: (1) a 0,25 28 0,25 0,25 1,00 2 y  x3  Đặt y  x  x  (1) có dạng:  ( I ) Khi nghiệm x x y     (1) x ứng với (x;y) nghiệm (I) 3 2 y  x3  2 y  x  3(2)  (I)   2 ( x  y )(2 x  xy  y  1)  0(3) 2 x  y  ( x  y )  3 TH2: x  xy  y   0;  'x   y Nếu có nghiệm TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm (1): x   DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 y 3   Tương tự có x  Khi VT (2)       3 3 0,25 Chứng tỏ TH2 vơ nghiệm KL (1) có nghiệm x   3 b Giải phương trình: x  11x  23  x  ĐK: x  1 (1)  2( x  x  9)  ( x   x   4)  1,00 0,25 2( x  3)  ( x   2)  (*)  x   Do a  0(a ) nên pt(*)    x     x  Vậy pt cho có nghiệm x=3 M (1;4) Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành A; d cắt trục tung a B Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB( x A ; yB  ) x y Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT đường thẳng AB:   a b 4 16 1 Vì AB qua M nên     a b ab ab a  ab   8;"  "      a b 2 b  Diện tích tam giác vuông OAB( vuông O)là S  OA.OB  ab  2 Vậy S nhỏ d qua A(2;0), B(0;8) b (C): ( x  2)  ( y  3)  ; A(1; 2)  qua A,  cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm đường trịn(C) IA2  (1  2)  (2  3)   Kẻ IH vng góc với MN H ta có IH  HN  IN   MN  HN  4(9  IH ) 0,25 Mà IH  AH  IH  IA   MN  4(9  2)  28  MN  0,25 Vậy MN nhỏ H trùng A hay MN vng góc với IA A Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành a AB  BC  CD  DA2  AC  BD      Tứ giác lồi ABCD hình bình hành  AB  DC  AB  DC         AB  DC   AB  DC  AB.DC      AB  DC  AB.( AC  AD)     AB  DC  ( AB  AC  BC )  ( AB  AD  BD )  (*)   2   2    2   ( a  b  a  2a.b  b  2a.b  a  b  a  b )    DeThiMau.vn  0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (*)  AB  BC  CD  DA2  AC  BD (Đpcm) ( Chú ý: làm chiều cho 0,75 đ) 1 b Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn:   (1) b c Có a.ha  S  bc sin A  1,5 0,25 a2 4R2   ha2 b 2c sin A b 2c 0,25 (1)  b  c  R  sin B  sin C    cos B   cos 2C   cos B  cos 2C   2cos( B  C )cos( B  C )  0,25 0,25 0,25     B  C  hay A     B  C   ;0  B  C     BC    0,25 Vậy tam giác ABC vuông A có B  C  0,25 CMR : 2a 2b 2c   3 bc ca ab  2  a  b  b  c   c  a  2 a  b  c ; a , b, c  2a 2b 2c 1 1 1  bc ca ab a ba c bcba ca cb   bc ca ab 1,00 XétM= 1 1 1  )  (b  c)(  )  (c  a )(  ) bc ca ca ab ab bc 1  ( a  b)  (b  c)  (c  a ) (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) 4 Vì ;    (b  c)(c  a ) (a  b  2c) (2a  2b  2c) (a  b  c) ( a  b) ( a  b)   ( a  b)  ;"  "  a  b (b  c)(c  a ) (a  b  c) Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức lại 2 a  b  b  c   c  a   Suy M  (Đpcm); “=”  a  b  c a  b  c 0,25  (a  b)( DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ câu 3b: I M A H Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn N ...ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 20 11 – 20 12 Câu Ý Nội dung Tìm m: y  x  2mx  3m y  ? ?2 x  cắt hai điểm a phân biệt hoành độ dương...   ? ?2   ? ?2    ? ?2   ( a  b  a  2a.b  b  2a.b  a  b  a  b )    DeThiMau.vn  0 ,25 0 ,25 1,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 (*)  AB  BC  CD  DA2  AC  BD (Đpcm) ( Chú ? ?: làm chiều...  12  x  40 x  100  x  48 x  1 12    x  Kết hợp nghiệm, trường hợp ta c? ?:  x  Tập nghiệm bpt cho: (4;6] 3 3 (4 x  x  3)  x  Giải phương trình: (1) a 0 ,25 28 0 ,25 0 ,25 1,00 ? ?2 y