Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 thpt năm học 2011 – 2012 môn thi : toán Vòng 1 thời gian làm bài: 180 phút41531

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TỐN - Vịng Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) x2 có đồ thị (C) điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến x 1 (C) điểm M cắt hai tiệm cận A B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M Cho hàm số y  Tìm m để hàm số y  x  m x  có cực đại Câu (2 điểm) Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  21005  x  x   y  y  Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  Câu (2 điểm)   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  Từ suy 2  2 tam giác nhọn ABC ta có tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C  2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x    x  16  x Câu (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a M N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC DC cho A MAN  450 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMN Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  ab  b  bc  c  ca     5(a  b  c) a  3ab  c b  3bc  a c  3ca  b …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung I CM tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M 3  a2 M  (C )  M  a;  y '(a )   , a  1 y '  ( x  1) (a  1)  a 1  a2 Tiếp tuyến (C) M có pt y  () ( x  a )  (a  1) a 1 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x  1 Tiệm cận ngang  có phương trình y   I (1;1) a 5    1  A  A  1;  ,     B  B  2a  1;1 a 1   1 a5 S IAB  IA.IB   2a   a   (không 2 a 1 a 1 phụ thuộc vào a, đpcm) Tìm m để hàm số y  x  m x  có cực đại mx 9m , y ''  TXĐ: A , y '   x2  ( x  9) x  y '   x   mx   x    mx  mx  mx  (I)    2 2 81( x  9)  m x ( m  81) x  81.9   Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 TH m  81  9  m   m x  x  x  9(x) nên y'  x   mx x2   0, x suy hàm số đồng biến A , khơng 0,25 có cực trị 27 TH m   ( I )  x1  y ''( x1 )  9m ( x  9) x  2 m  81   x1 điểm cực tiểu  m  loại TH m  9  ( I )  x2  y ''( x2 )  27 m  81 9m   x2 điểm cực đại ( x22  9) x22  Vậy hàm số có cực đại  m  9 II 0,25 Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  0,25 1005 Đặt t  sin x, t   0;1 (1) có dạng: t1006  (1  t )1006  DeThiMau.vn (1) 1005 (2) 1,00 0,25 Xét hàm số f (t )  t1006  (1  t )1006 , t   0;1 f '(t )  1006[t1005  (1  t )1005 ] ; f '(t )   t  0,25 1 1 f (0)  f (1)  1, f    1005  f (t )  1005 Vậy (2)  t  0;1 2 2   hay (1)  sin x   cos x   x   k ( k  Z )  x  x   y  y  (1) Giải hệ phương trình  2 (2)  x  y  xy  0,25 0,25 1,00 ĐK: y  (1)  x  y  y   x   x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1)  xy  ( y  1)( x  1)  x y  x y  y  x   x  y  1 III  x  y  1 x  Kết hợp với (2) ta   x  xy    y  2x  x  y  xy   x  & (2)  y   y  1 1 y  x & (2)  x   x   x    y 3 Thử lại ta có x  0, y  x  thỏa mãn hệ pt ,y 3 Vậy hệ có nghiệm   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  2  2   Xét hàm số f ( x)  tan x  sin x  x  0;   2 f '( x)  2cos3 x  9cos x  (2cos x  1)(cos x  4cos x  2)  cos x    cos x 2cos x 2cos x   Vì x   0;    cosx