SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x m 1 x m 1 , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân 2x Cho hàm số y có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai x2 đường tiệm cận (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận A B cho IA = IB Câu II ( 2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin x cos2 x sin x 2sin x cos x x, y x x y x y y y Giải hệ phương trình: x y y x x Câu III (2,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau thành đa thức: f ( x) x 1 x x 1 x 2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 a, u2 b, un (un 1 un ) với n (a,b số thực) Tìm giới hạn dãy số (un) theo a b Câu IV (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm OC Góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 2, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) Tìm giá trị cos để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy điểm M thuộc a 2 đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn BD cho AM DN x, x theo a để đoạn MN ngắn Câu V (1,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương a.b.c=1, thỏa mãn: a 3b b3a Tìm giá trị lớn biểu thức P Tìm x ab ab 1 2 a b 2c …… Hết…… Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Hướng dẫn chấm gồm trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM Lưu ý: Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Nội dung Điểm Câu I (2 điểm) Ta có: y ' x3 m 1 x x x m 1 Câu I.1 (1điểm) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m m 1 (*) Các điểm cực trị đồ thị A 0; m 1, B m 1; 2m C m 1; 2m Suy AB m 1; m 1 AC m 1; m 1 x0 Gọi M x0 ; (C ) , hệ số góc tiếp tuyến M k x0 x0 Tam giác AIB vuông cân I nên hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 (1.điểm) Vì k x0 nên k = x0 x0 1 1 x0 3 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y x ; y x Câu II (2 điểm) 2sin x cos2 x sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x sin x 1 cos2 x cos x 2sin x sin x 1 2sin x cos x cos x cos x Câu II.1 (1điểm) 2sin x cos x 2sin x cos x cos x cos x cos x s inx 1cos x 1 x k cos x s inx 1 x k 2 cos x x k 2 k Z Điều kiện: x y 0, y 0, 2x 3x PT (1) x x y x y y y x xy y x y y (*) Câu II.2 Nếu x y y x y không thỏa mãn hệ Nếu x y 2y x y x y (*) x y x y 0 (1 điểm) x 2y ** x y 2y x y 2y nên Mặt khác với điều kiện x y 0, y x y y x y 2y (**) vô nghiệm.Với x y PT(2) trở thành ThuVienDeThi.com 0.25 Ta có AB AC nên tam giác ABC vuông cân AB AC m 1 m 1 Kết hợp với * ta m=0 Câu I.2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 8x 8x 8x 2x 3x 4( x 2x 3x 1) (2x 1) 3 x 2 x 3x 2 x x x x 3 3 1 1 Vậy hệ có nghiệm ; ; ; ; ; 4 4 0.25 Câu III (2 điểm) Xét E x 1 3x Số hạng tổng quát: x.C7k 3x 3k C7k x k 1 k Câu III.1 (1 điểm) 0.25 0 k Số hạng chứa x k k Vậy hệ số x khai triển E là: 35.C75 0.25 Xét G x 1 x Số hạng tổng quát: x C9k 2 x 2 C9k x k k k 0 k Số hạng chứa x k k Vậy hệ số x khai triển G là: 2 C94 24.C94 0.25 Vậy hệ số x khai triển là: 35.C57 24.C94 7119 0.25 1 un (un 1 un ) un un 1 (un 1 un ) (1) 2 Đặt v n – un un 1 với n Khi v1 u2 u1 b a 0.25 2 Từ (1) v n – (vn) CSN có cơng bội q n 1 Câu III.2 (1 điểm) n 1 0.25 1 1 v n v1 (b a ) 2 2 Ta có: un (un un 1 ) (un 1 un ) (u2 u1 ) u1 1 ( ) n 1 2b a 2 1 v2 v1 u1 v1[ ] u1 (b a )( ) n 1 3 1 2b a Vì lim( ) n1 nên lim un 0.25 0.25 Câu IV (3 điểm) S Câu IV.1 C B (1điểm) H K O D A Kẻ HK AB (K AB) AB (SHK) SKH 60 ThuVienDeThi.com 0.25 HK // BC HK AH 3 HK a BC AC 4 Tam giác SHK vuông H SH HK tan 600 0.25 3 a 3 3 S ABCD a VS ABCD a a a 4 0.25 0.25 Gọi M, N trung điểm BC, AD, gọi H hình chiếu vng góc từ N xuống SM Ta có: S H C D 0.25 N M I A Câu IV.2 (1điểm) B SMN , d A; SBC d N; SBC NH MN NH SABCD MN sin sin sin tan sin cos 4 VSABCD sin cos 3.sin .cos sin sin 2cos 2 2 2 sin .cos sin .sin .2cos 3 VSABCD sin .cos max SI MI tan sin 2cos2 cos 0.25 0.25 0.25 Câu IV.3 (1điểm) Gọi M’, N’ hình chiếu M, N lên AD 2 2 2 Ta có MN M ' M M ' N M ' M M ' N ' N ' N 0.25 x ; x Tam giác N’DN vng cân N’ nên có N ' D N ' N 0.25 Tam giác M’AM vuông cân M’ nên có M ' A M ' M ThuVienDeThi.com M ' N ' AD M ' A N ' D a x 2 x2 x2 MN a x x 2a.x a 2 Khi 0.25 a2 a2 a MN x a MN 3 a a Vậy MN ngắn đạt x 3 Theo BĐT Cô–si ta có: a 3b ab3 2a 2b ab 2a 2b t Đặt t=a.b>0 t 2t 2t t 2t 0.25 ab t 1 1 (*) 2 a b ab 1 1 Thật vậy: (*) ( )( )0 2 a ab b ab a (b a ) b( a b) (a b) (ab 1) (đúng) 2 (1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab) 3t P ab t t ab 3t 1 Xét t ;1 ; f t 0 ; f ' t 2 1 t t 2 1 t t 0.25 Với a, b 0; ab ta chứng minh Câu V (1điểm) 1 11 Từ f t nghịch biến ;1 Max f t f 2 15 1 Dấu “=” xảy t a ;b ;c 2 2 *********** Hết*********** ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 ...KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Hướng dẫn chấm gồm trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM Lưu ý: Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh. .. kiện x y 0, y x y y x y 2y (**) vơ nghiệm.Với x y PT(2) trở thành ThuVienDeThi.com 0.25 Ta có AB AC nên tam giác ABC vuông cân AB AC m 1 m 1 Kết hợp với... (3 điểm) S Câu IV.1 C B (1điểm) H K O D A Kẻ HK AB (K AB) AB (SHK) SKH 60 ThuVienDeThi.com 0.25 HK // BC HK AH 3 HK a BC AC 4 Tam giác SHK vuông H SH HK tan 600 0.25