K THI CH N H C SINH GI I T NH L P 12 THPT N M H C 2007 - 2008 S giáo d c đào t o Th a Thiên Hu th c Mơn : TỐN Th i gian làm : 180 phút B B 1: (3 m) Gi i ph ng trình : 2: (4 ) : a) b) Gi i b t ph B ng trình: ( x ) sin3 x cos4 x 3x 33 x x2 x3 3 3x x ( x ) 3: (4 m) Tìm t t c giá tr th c c a m đ ph nghi m th c: ng trình sau có m t s l (3x2 14 x 14)2 4(3x 7)( x 1)( x 2)( x 4) B m 4: (4,5 m) Cho ABC m t tam giác nh n có tr ng tâm G tr c tâm H không trùng Ch ng minh r ng đ ng th ng GH song song v i đ ng th ng BC ch : tgB + tgC = 2tgA B 5: (4,5 m) a) Cho a, b s th c không âm tùy ý có t ng nh h n ho c b ng Ch ng minh r ng : a a b b a b a b b) Xét s th c không âm thay đ i x, y, z th a u ki n: x y z Tìm giá tr nh nh t giá tr l n nh t c a: S x x y y H t DeThiMau.vn z z K THI CH N H C SINH GI I T NH L P 12 THPT N M H C 2007 - 2008 S giáo d c đào t o Th a Thiên Hu Môn : TOÁN ÁP ÁN-THANG I M N I DUNG (3đ) Gi i ph ng trình: Vi t l i: sin x cos x I M ( x ) sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x sin x sin x cos x cos x (*) 0 cos2 x cos2 x sin x sin x 0,5 cos2 x cos2 x Chú ý: sin x sin x Do đó: (*) 0,5 sinx = hay sinx = Nghi m c a ph ng trình cho : x = k ; x = N I DUNG B (4đ) Gi i b t ph x2 33x ng trình : 3x a) Ta có: 2+ x3 =1+1+ x3 3 1.1.3 x = x x3 =3 2 + 2k (k ) I M ( x ) (B T Côsi, x ) Nh n xét x m t nghi m Ta s ch ng t v i x thì: 33 x x x < + 3x 0,5 0,5 (1) 0,5 Ta có: 2+ 3x > 3 (câu a/ x ) và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5) V im i x x x2 x 3 < + 3x 0,5 V i x 33 x x < 30 < + 3x T (1) v i m i x V y b t ph ng trình cho ch có m t nghi m x = N I DUNG Tìm t t c giá tr th c c a m đ ph ng trình sau có m t s l nghi m th c: B (4đ) x3 3 (3x2 14 x 14)2 4(3x 7)( x 1)( x 2)( x 4) t: f ( x) g ( x) x x x 3x2 14 x 14 1,0 x 7x 0,5 0.5 I M m 14 x 3x f ( x) g(x) đa th c b c v i h s c a x4 -3 Ta l p b ng bi n thiên c a g(x) f '( x) 3x2 14 x 14; g '( x) 3x2 14 x 14 x 14 g '( x) 12 f ( x) x f '( x) x 1; x 2; x DeThiMau.vn 12 f ( x) g (1) 9; g (2) 4; g (4) 36 x g’(x) + - + + - 36 g(x) - - B (4,5đ) T b ng bi n thiên cho th y ph ng trình g ( x) m có m t s l nghi m ch khi: m 4; m 9; m 36 N I DUNG Cho ABC m t tam giác nh n có tr ng tâm G tr c tâm H không trùng Ch ng minh r ng đ ng th ng GH song song v i đ ng th ng BC ch khi: tgB + tgC = 2tgA A -r q r p x O B -s C Do O, G, H th ng hàng nên GH//BC ch yG q 2s (3) V i tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Do : tgB + tgC = 2tgA tgB.tgC = (4) q s q s (q s) (q s) Ta có: tgB = ; tgC = ; tgB.tgC = = 2 (do(2)) r p2 q s p r p r q s Hay: tgB.tgC = (5) q s N u GH//BC t (3) cho q = 2s T (5) suy tgB.tgC = Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA N u tgB + tgC = 2tgA t (4) (5) cho q = 2s Do (3) mà GH//BC N I DUNG BÀI Câu a a b a b (*) v i a, b a + b (1,5đ) Ch ng minh : a b a b DeThiMau.vn I M y Ch n h tr c Oxy nh hình v : A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0) p q 2s ; ) Ta có : G 3 p2+q2 = r2+s2 (2) 0,5 1 0,5 0,5 I M Bình ph ng v c a (*) ta đ ab (a b) 2(1 ab) +2 ab a b ab a b u v v u v v c: 0,5 + ( a b) a b a b u (2 v) (v i u = ab; v = a + b) (1 v)(1 v u ) u v v u v v u (2 v) (1 v)(1 v u ) u v u v v v 2uv (1 u v)(1 v) u (2 v) (1 v)(1 v u ) u v u v v v 0,5 N u u = ab = (*) có d u đ ng th c Xét u >0 Lúc (*) b t đ ng th c: u v v 2v + (**) u v v v Ta có: u v + u v v v >2 =2 v v 0,5 v 2 1 = 2v 2 < ) T (**) b t = < (Do < v = a + b 2 v v đ ng th c Xét s th c không âm thay đ i x,y,z th a u ki n: x+ y + z = Ngồi ra: Câu b (3đ) Tìm giá tr nh nh t giá tr l n nh t c a: S x x y y z z Tìm MinS : T x + y + z = x, y, z không âm, suy x, y, z thu c đo n [0;1] x x x D u đ ng (1 x)2 hay: Vì x x x2 nên: x x th c x y tr ng h p x = ho c x = Do đó: S x x y y z z x y z hay S 0,5 Khi x = y = y = S = V y: MinS = Tìm MaxS: Có th gi s : Dùng câu a/, ta có: x y S x y t h(z) = z z + z z x 1+ y z Lúc đó: z ; x y 3 0,5 z z z ( x y) + =1 + + z z z x y 1 z ;1 Ta tìm giá tr l n nh t c a h(z) đo n z DeThiMau.vn 0,5 h '( z) Vì v y : S 1 Maxf(z)=Max h ; h(1); h z x x Khi x = y z y y z z S 0,5 V y: MaxS = + DeThiMau.vn ...K THI CH N H C SINH GI I T NH L P 12 THPT N M H C 2007 - 2008 S giáo d c đào t o Th a Thi? ?n Hu Mơn : TỐN ÁP ÁN-THANG I M N I DUNG (3đ) Gi i... b c v i h s c a x4 -3 Ta l p b ng bi n thi? ?n c a g(x) f '( x) 3x2 14 x 14; g '( x) 3x2 14 x 14 x 14 g '( x) 12 f ( x) x f '( x) x 1; x 2; x DeThiMau.vn 12 f ( x) g (1) 9; g (2) 4; g (4) 36 x... Ta tìm giá tr l n nh t c a h(z) đo n z DeThiMau.vn 0,5 h '( z) Vì v y : S 1 Maxf(z)=Max h ; h(1); h z x x Khi x = y z y y z z S 0,5 V y: MaxS = + DeThiMau.vn