Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2004 2005 môn Toán (vòng 1)45155

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo Đề thức kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOáN (vòng 1) Thời gian: 120 phút (không kể thêi gian giao ®Ị) BàI 1: Tìm nghiệm phơng trình : cos x − sin x − cos x + sin x = tháa ®iỊu kiƯn : 2004 < x < 2005 BµI 2: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho : 4MA MB + MC − MB − MC BµI 3: x + 2x a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y = ( x + 2) b) T×m sè thùc k nhá nhÊt cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã : a + b + ab ≤ k(a2 + 2)(b2 + 2) - HÕt - DeThiMau.vn UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thức BµI 1: a) Cho hµm sè g ( x) = cđa hµm sè : x ln ( sin x − cos x ) cã tËp xác định D Tính đạo hàm sin x  g ( x) x ∈ D f ( x) =   x = b) Giải bất phơng trình : e + ( x x) ln( x + 1) ≤ e x 3 x BàI 2: Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện (T) có cạnh a cạnh lại b Với tứ diện (T) này, hÃy xác định mặt phẳng ( ) cho thiết diện mặt phẳng ( ) tứ diện (T) hình vuông (V) Tính diện tích hình vuông (V) theo a b BàI 3: Chứng minh tồn tập E tập số tự nhiên N thỏa mÃn ®ång thêi hai ®iỊu kiƯn sau : a) E cã 2005 phần tử b) Với cặp số nguyên phân biệt k, h E tích k.h chia hÕt cho (k-h)2 HÕt DeThiMau.vn Đáp án - Thang điểm vòng Bài Néi dung §iĨm cos x − sin x − cos x + sin x = (*) + + sin x = cos x + sin x cos2x = ( cos x - sin x ).( cos x + sin x ) + (*) ⇔ ( cos x - sin x ).{1 - ( cos x + sin x ) cos x + sin x } = ⇔ cos x - sin x =0 (1) hoaëc ( cos x + sin x ) cos x + sin x = (2) + (1) ⇔ cos2x= + (2) ⇔ (1+ sin x ).(1+sin2x) = ⇔ sin2x=0 (vì sin2x >0 xảy ) π ; k ∈Z + Với điều kiện 2004< x -2 , y> -2  x− y ln( ) ln( ) ( ) x y = + − +  Giải y theo x từ (1) : y2 + (3-5x)y + 6x2 - 7x + 2= ∆ y = (3-5x)2 - 4(6x2 - 7x + 2) = x2 - 2x + = (x-1)2 ; y = 3x - , y = 2x - ĐIỂM 0,5 Viết lại (2) : x - 3ln(x+2) = y - 3ln(y+2) hay f(x) = f(y) với f(t) = t - 3ln(t+2) t −1 = Sự biến thiên f(t) khoûang (-2;+ ∞ ): f’(t)= 1t+2 t+2 f(t) nghịch biến khỏang (-2; 1) ; f(t) đồng biến khỏang (1; + ∞ ) Nếu x = y = (1; 1) nghịêm hệ Nếu x, y khỏang (-2; + ∞ ) thỏa (1) x ≠ 1,thì f(x) < f(y) Thaäy vaäy, y = 3x-2 hay y = 2x - neân y - x = 2(x-1) hay y - x = x - Với x > từ y = 3x-2 hay y = 2x - có y > x> Suy f(y) > f(x) Với x < từ y = 3x-2 hay y = 2x - có y < x f(x) Vaäy nghiệm hệ : (x, y) =(1,1) NỘI DUNG Chiều cao (L) 2R Thể tích (L) : V= 2R.Sđ (*) Gọi I tâm hình cầu (S) Lăng trụ (L) hợp hình chóp có đỉnh I đáy mặt bên mặt đáy Các hình chóp có chiều cao R Vì có : V= R(Sxq +2Sđ ) (**) So sánh kết (*) (**) suy : Sxq = 4Sđ Diện tích tòan phần (L) : Stp = Sxq + 2Sñ = Sxq ; Stp ≥ 24R2 2 ⇔ Sxq ≥ 16R N Goïi d độ dài cạnh bên (L) Mặt phẳng qua I vuông góc với cạnh bên (L) R R cắt hình cầu (S) theo hình tròn (C ), tâm I bán kính R, m M I cắt cạnh bên điểm M, N, P, Q m R Tứ giác MNPQ ngọai tiếp (C ) R Ta coù : Sxq = d(MN + NP + PQ + QM) 0,5 2 0,5 0,5 ĐIỂM 0.5 0,5 1 P Q Chú ý : d ≥ R Ta chứng minh theâm: MN + NP + PQ + QM ≥ 8R DeThiMau.vn 0,5 · · · , 2q = PQM · Ñaët : 2m = QMN , 2n = MNP , p = NPQ Ta coù: m, n, p, q ∈ (0, π ) vaø m + n + p + q = π ; MN + NP + PQ + QM = 2R(cotgm + cotgn + cotgp + cotgq) m+n cot g 1  [1 − cos(m - n)] ≥ Do: cot gm + cot gn - cot g  (m + n)  = sin m sin n 2   π với m, n ∈  0;   2 neân : cotgm + cotgn ≥ 2cotg[ (m+n)] π (m + n + p + q)] = 4cotg = 4 0,5 Từ : MN + NP + PQ + QM ≥ 8R vaø Sxq ≥ 16R Vì : Stp ≥ 24R Dấu trường hợp (L) hình lập phương cạnh 2R NỘI DUNG ĐIỂM Suy :cotgm + cotgn + cotgp + cotgq ≥ 4cotg[ (un): u1= ,u2= , un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + với n ≥ 0,5 un= nun-1 - (n-2)un-2 - 2n + = un-1 + (n-1)[un-1 - un-2] + [un-2- 2(n - 2)] với n ≥ Vậy giá trị 0,5 u3 = 5, u4 =10, u5 = 29, u6 =126, u7 = 727, u8 = 5048 Dùng qui nạp, với n ≥ ta có: un> 2n un> un-1 un - 2007 nhỏ trường hợp n = (un): u1 = 2, u2 = 3, un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + với n ≥ Đặt : un = vn+ n , ta coù : v1= , v2 = với n ≥ : vn+ n = n(vn-1 + n - 1) - (n - 2)(vn-2 + n - 2) - 2n + ⇔ vn- vn-1= (n -1)vn-1 - (n-2)vn-2 - v2= (vn- vn-1) + (vn-1- vn-2) + .+ (v4- v3) + (v3- v2) =[(n -1)vn-1- (n-2)vn-2] + [(n-2)vn-2 - (n - 3)vn-3] + + (3v3-2v2)+(2v2- 1v1) =(n -1)vn-1 - v1 Do : vn= (n -1)vn-1 với n ≥ Suy ra: vn= (n -1)vn-1 = (n -1)(n - 2)vn-2 = = (n -1)(n -2)(n -3) 1.v1 =(n -1)! vaø un = (n-1)! + n 0.5 Từ : u2007 = 2006! + 2007 chia cho 2006 dö 0,5 NỘI DUNG DeThiMau.vn ĐIỂM ... DeThiMau.vn Së Gi¸o dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Khối 12 THPT - Năm học 2005- 2006 §Ị thi chÝnh thøc Môn : Thời gian làm : ( Vòng 1) , không kể thời gian phát đề. ..UBND TỉNH Thừa Thi? ?n Huế Sở Giáo dục đào t¹o kú thi chän hoc sinh giái tØnh líp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Thêi gian: 120 (kh«ng kĨ thêi gian giao... phân biệt Hết -Sở Giáo dục Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh DeThiMau.vn Thừa Thi? ?n Huế Đề thi thức Khối 12 THPT - Năm học 2005- 2006 Moõn : ( Voứng 1) Noọi dung + Phương trình