SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x 2m x Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm 2) Cho hàm số y x m 1x Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm M ; 2 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 3x -2x-5+2x x +1=2 y+1 y +2y+2 2x- 4y+3=x +2y 2) Giải bất phương trình x x x 2( x 3x) Câu III (2,0 điểm) 1) Có hai hộp đựng bi, viên bi mang màu trắng đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a) Biết hộp thứ có 20 viên bi, có viên bi đen Hộp thứ hai có 15 viên bi, có 10 viên bi đen Tính xác suất để lấy hai viên bi đen b) Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi đen suất để lấy hai viên bi trắng 2) Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 1 ; un 1 55 84 Tính xác un n dãy số (vn ) thỏa mãn: un un un 2vn n Tính v2015 lim un Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc BAD 1200 , BD a , cạnh bên SA vng góc mặt phẳng (ABCD), góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Điểm K thay đổi đoạn SC a) Tìm vị trí K cho tam giác BKD có diện tích nhỏ nhất, lớn b) Khi K điểm cho diện tích tam giác BKD nhỏ Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD 2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB AA ' a Điểm M thay đổi đường thẳng AB’ cho mặt phẳng qua M, vng góc AB cắt đường thẳng BC’ điểm N đoạn BC’ Xác định vị trí M để biểu thức 2AM MN đạt giá trị nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 ab 2ab 1 bc 2bc 1 ac 2ac 1 Hết -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM (Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa) Câu Nội dung Điểm Tìm m để đồ thị hàm số y x 1 2m x cắt trục Ox điểm (1,0đ) TXĐ: Bài toán thỏa mãn pt x 1 2m x có nghiệm 0,25 x 3x 6m có nghiệm khác x Xét hàm số f x I.1 2x x 3x ; f ' x x 1 , x \ , f ' x x x2 0,25 Bảng biến thiên: x f ' x f x 1 0 + + 0,25 Từ bảng biến thiên kết luận m Cho hàm số y x m 1x có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có ba 1 ; 2 điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm M x Tập xác định hàm số R Ta có: y ' 4x m 1x; y ' x m Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình y ' phải có ba nghiệm phân biệt m m 1 (1,0đ) 0,25 m 1;1 2m m Các điểm cực trị A 0; ; B m 1; 2m m ;C I.2 0,25 Vì hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị (Cm) nhận trục Oy làm trục đối xứng, tam giác ABC cân A, suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trục Oy, giả sử tâm I 0; a 1 ; nên 2 0,25 Vì đường trịn qua M I A I M I A I M 2 a 2 3 1 a a IA Ta có I 0; 1, I B I A I B m 2m m m 0; m 1; m 1 3 Do m 1 nên giá trị thỏa mãn m 0; m 3 3 Vậy m 0; m 2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 3x -2x-5+2x x +1=2 y+1 2 2x- 4y+3=x +2y 1) Giải hệ phương trình: Cộng theo vế hai phương trình hệ y +2y+2 rút (1,0đ) gọn ta : x x x y 1 y 1 y+1 +1 * 0,25 Xét hàm số f t t t t R ta có : f ' t 2t t II.1 Từ f '(t ) 2t t t2 t2 1 t2 t2 1 2t t t f '(t ) t Do hàm f(t) hàm số đồng biến Vì (*) f x f y 1 x y 0,25 0,25 thay vào pt (2) ta : y 1 2y y 1 4y y 2, x 1 3y 4y y , x 3 0,25 Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) {(1, 2);( , )} 3 Giải bất phương trình: x x x 2( x 3x) Điều kiện: x Phương trình có dạng x(x 1)(x 2) 2x 6x x(x 1)(x 2) 2x(x 2) 2(x 1) Đặt t II.2 3 x(x 2) x(x 2) 2 2 x 1 x 1 (1,0đ) 0,25 0,25 x(x 2) ta bất phương trình 2t 3t x 1 1 t t ( t ) t Với t 0,25 x 13 x(x 2) x 13 (do x ) x 6x x 1 x 13 0,25 Vậy bất phương trình có nghiệm x 13 1) Có hai hộp đựng bi, viên bi mang màu trắng đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a) Biết hộp thứ có 20 viên bi, có viên bi đen Hộp thứ hai có 15 viên bi, có 10 viên bi đen Tính xác suất để lấy hai viên bi đen III.1 55 b) Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi đen 84 Tính xác suất để lấy hai viên bi trắng ThuVienDeThi.com (1,0đ) a) Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên từ hộp bi Mỗi phần tử không gian mẫu chọn nhờ giai đoạn: 1) Chọn bi từ 20 bi hộp 2) Chọn bi từ 15 bi hộp Suy số phần tử không gian mẫu | | 20.15 300 0,25 Gọi A biến cố: Lấy hai viên bi đen, lập luận tương tự, ta | A | 7.10 70 nên xác suất để lấy hai bi đen P (A) 30 0,25 b) Giả sử hộp có x viên bi, có a viên bi đen, hộp thứ hai có y viên bi, có b viên bi đen ( x,y, a,b số nguyên dương, x y , a x , b y ) ab 55 nên 55xy 84ab Từ xy xy 84 Theo lập luận giả thiết, ta có x y 20 0,25 chia hết cho 84 Mặt khác xy (x y) 100 nên xy 84 Ta x 14, y 55 Từ ab=55 nên a ước 55.Do a 11 a b 55 nên a=11, b=5 ( 5)(14 11) Vậy xác suất để bi trắng 6.14 28 Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 1 ; un 1 un , n dãy số (vn ) thỏa mãn: un 0,25 (1,0đ) un un 2vn n Tính v2015 lim un Ta có v1 3 Chứng minh un 2 n nên un 1 u 2 n un un 1 III.2 Do v1 2n 1 2 u 2 n 1 1 un 1 2 un 1 0,25 un 1 3 2n 1 v2015 3 22014 32 2014 1n 0,25 n 1 u 2 v 1 32 un 2 n 2 n với n n un 32 1 0,25 Mặt khác 2n (1 1)n C n0 C n1 C nn n với n nên 2n 1 n n n 1 suy 32 3n n Vậy lim n 1 32 nên lim un 2 0,25 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc BAD 1200 , BD a , (1,5đ) cạnh bên SA vng góc mặt phẳng (ABCD), góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Điểm K thay đổi đoạn SC a) Tìm vị trí K cho tam giác BKD có diện tích nhỏ nhất, lớn b) Khi K điểm cho diện tích tam giác BKD nhỏ Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD ThuVienDeThi.com S A D I O B C Hình thoi ABCD có góc A=1200 tâm O nên tam giác ABC : a a OB BD AB AC 0,25 Đặt I trung điểm BC AI BC ; AI OB Mà SA mp ABCD BC SI Do SI A góc mp(SBC) mp(ABCD) SAI vuông A : a SI A 600 SA AI t an 600 0,25 Do BD vng góc AC SA nên BD vng góc mặt phẳng (SAC), từ với K 2 SC BD vng góc OK nên SBKD OK BD OK a Gọi I hình chiếu 0,25 O BD OK OI , OI khơng đổi Vậy diện tích tam giác BKD nhỏ K trùng I Mặt khác, K đoạn SC SK xSC với x [0, 1] , từ OK xOS (1 x )OC nênOK x.OS (1 x )OC OS (OC OS SOC 900 ) 0.25 Vậy diện tích tam giác BKD lớn K trùng S Từ V I BCD dC ,( BI D ) CI V SI BD dS,( BCD ) I S Lại có : SC AC OC AC SC SC IC OC IC SC I C OC AC mà OC Từ 0,25 SC SA 13 AC ; SC SA AC , nên 1 IC AC 0,25 VBICD 1 nên tỉ lệ thể tích cần tìm 12 VS ABCD 13 2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB AA ' a Điểm M thay đổi đường thẳng AB’ cho mặt phẳng qua M, vng góc AB cắt đường thẳng BC’ IV.2 (1,5đ) điểm N đoạn BC’ Xác định vị trí M để biểu thức 2AM MN đạt giá trị nhỏ ThuVienDeThi.com C A B N M C' A' B' Đặt AB a, AC b, AA ' c, AM mAB ', BN nBC ' Khi MN MA AB BN (1 m n )a nb (n m)c 0,25 Do (P) vng góc AB nên MN vng góc AB, ta MN AB a[(1 m n )a nb (n m)c ] (1 m n )a n a ( a.b 0,25 a ) Từ n=2-2m Khi MN (12m 18m 7)a nên 2AM MN ( 20m 18m 7)a 2 Do N thuộc đoạn BC’ nên n [0, 1] , suy m [ , 1] Đặt f (m) 20m 18m f '(m) m Từ f(m) nhỏ f ( ) m 0,25 0,25 1 nên f (m) đồng biến [ , 1] 20 2 Tức 2AM MN nhỏ M 0,25 0,25 trung điểm AB’ Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 ab 2ab 1 bc 2bc 1 ac 2ac 1 Vì a, b, c dương abc = nên đặt: a V Khi đó: VT x y z ,b ,c , với x, y, z > y z x x2 y2 z2 y 2z z 2y z 2x x 2z x 2y y 2x Ta có: y 2z z 2y yz 2y 2z 4yz y z yz Suy ra: (1,0đ) x2 x2 (1) y 2z z 2y y z2 ThuVienDeThi.com y z2 0,5 Tương tự: y2 z 2x x 2z y2 x z2 z2 z2 y x2 x 2y y 2x (2) (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế với vế ta được: VT x2 y2 z2 y z2 x z2 y x Lại có x2 y2 z2 y z2 x z2 y x 0,5 1 x y z2 3 2 x z y x2 y z 1 1 x y y z2 x z2 3 2 x z y x2 y z 2 Suy VT ThuVienDeThi.com ... DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM (Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh. .. lấy hai viên bi trắng ThuVienDeThi.com (1,0đ) a) Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên từ hộp bi Mỗi phần tử không gian mẫu chọn nhờ giai đoạn: 1) Chọn bi từ 20 bi hộp 2) Chọn bi từ 15 bi hộp Suy số phần... x 1 , x , f ' x x x2 0,25 Bảng biến thi? ?n: x f ' x f x 1 0 + + 0,25 Từ bảng biến thi? ?n kết luận m Cho hàm số y x m 1x có đồ thị (Cm)