Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit54826

CHUYÊN CHUYÊN Bài 1: Gi i ph : PH : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT NG TRÌNH, H PH M VÀ LOGARIT ng trình sau: x 1.4 x1 1 x NG TRÌNH  16 x Gi i:  x 1.2 2.( x 1) x  24 x 3.(1 x ) 2   6x    x  Bài 2: Gi i ph 4x ng trình sau: x 2.5 x   23 x.53 x Gi i: • Ph ng trình t • V y ph ng đ ng: 10 x   103 x  x   3x  x 1 ng trình có nghi m nh t x  Bài 3: Gi i ph ng trình sau: 1  ( x  2)  x   2  log3 x  x2 Gi i: • k: x  ( * ) Ph ng trình t Gi i ph ng đ  x2  ( x  )log3 x  1(1)  x    ( x  )log3 x  1(1)  ng:  ng trình (1) ta xét hai tr 1 x    ng h p x  (Lo i) http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT (1)  log x   x  (Lo i) • V y ph ng trình có nghi m nh t: x  2  x   B i 4: Gi i ph ng trình sau: ( 10  3) x3 x 1  ( 10  3) x 1 x 3 Gi i: i u ki n : x  x  3 • Vì ( 10  3).( 10  3)  nên ph ng trình s tr thành : x3 x 1 3 x x 1 ( ) x1  ( 10  3) x3 10   ( 10  3) x 1  ( 10  3) x   x2  x2  x     x   i chi u u ki n ta có ph • Bài 5: Gi i ph ng trình có hai nghi m x  x   ng trình: log ( x  1)  ( x  5).log ( x  1)  x   Gi i: K: x  1 t : log ( x  1)  t Ph ng trình tr thành: t  ( x  5)t  x   Ta có   ( x  5)  x  24  x  x   ( x  1) • V y ph t  ng trình có hai nghi m:  t   x • V i t   log3 ( x  1)   x  • V i log (3  t  1)  t  log (4  t )  t  3t   t  3t  t   Xét f (t )  3t  t  Ta th y hàm s hàm s y  f (t ) hàm s đ ng bi n R nên ph nh t D th y t =  x = • V y ph ng trình có hai nghi m là: x  x  Bài 6: Gi i ph ng trình: f(t)=0 có nghi m ng trình : (2  3) x  (2  3) x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT Gi i: i u ki n: x  ( * ) Do: (2  3) x (2  3) x  • (1)  (2  3) x  t t  (2  3) x ( t  ) Ph (2  3) x 4 ng trình tr thành: t  4t   t    t   x    x  1 • C hai nghi m đ u th a mãn u ki n ( * ) V y ph ng trình có hai nghi m x  x  1 Bài 7: Gi i ph ng trình : (7  3) x  3(2  3) x   Gi i: • T pt đ u ta có: (7  3) x  3(2  3) x    (2  3) x  3(2  3) x    (2  3) x    0(1) (2  3) x • t: (2  3) x  t (t  0) ng trình (1) tr thành: t  2t    t  Vì v y: (2  3) x   x  • Ph Bài 8: Gi i ph ng trình (3  5) x  16(3  5) x  x http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT Gi i: • Do (3  5) (3  5)  (v i x  ) x • Nên t ph x x ng trình đ u ta có: (3  5) x  16(3  5) x  x3 22 x   x 3 (1) x (3  5) ng trình (1) cho x3  (3  5) x  Chia c v c a ph Thì ph • • Ph t: ng trình (1) tr thành: (3  5) x 2.2 x   1(2) 8.2 x (3  5) x (3  5) x  t (t  0) 2x ng trình (2) tr thành: t  1 t  t  8t  16  t4 log (3  x • Nên : ( ) 4  x (3  5) log Bài 9: Gi i ph ng trình 23 x  6.2 x  3( x 1)  12 1 2x Gi i: Ph ng trình t ng đ ng: 12  1 23 x x 2   23 x  x   x  x   2         x  x  22 x   x    x  x          x  x  2 x   x      23 x  6.2 x    1  2      2x  x   2x  x      2    2x  x     http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT 2    2x  x     x 2 2  x 1 Bài 10: Gi i ph ng trình x 3 x   x 1   2( x1) Gi i: t t = x-1 Ph t t 1 ng trình tr thành :    2t  2 2.2t  2t   2t  t t a = 2t ( a  0) ( * ) t  a  3a  2a  a   a 1   a  i chi u u ki n ( * ) nh n a = a =  x 1   x 1   x1   x  2  V y giá tr x c n tìm : x = x = Bài 11: Gi i ph ng trình (2  x  x )sin x  (2  x  x ) 2 cos x Gi i: TH1 N u Thì ph TH2  x  x2   x2  x 1   1 x     1 x   ng trình ln http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUN N u Thì ta có: Bài 12: Gi i ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT  1  x     x    sin x   cos x   sin( x  )    x   k 2 ng trình ( x  3)3 x 5 x  ( x  x  9) x 2  x 4 Gi i: TH1 Khi x 3 1  x  Thì ph ng trình lng TH2 Khi x  PT tr thành: ( x  3)3 x 5 x   ( x  3)2 x  x8 2  3x  x   x  x   x  x  10 x    x  log 0.5 sin Bài 13: Gi i ph ng trình x  sin x cos x   Gi i: K: sin x  5sin x cos x   0(*) Ph ng trình t ng đ ng: log 21 (sin x  5sin x cos x  2)  log 32   log (sin x  5sin x cos x  2)   log  sin x  5sin x cos x   Th a ( * ) cos x    5sin x  cos x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT   x   k    x  a  m (tan a  )  Bài 14: Gi i ph ng trình x lg x  1000 x Gi i: K: x>0 PT tr thành: lg x  lg (1000 x )  lg x  2lgx   lgx  1    lgx   x   10   x  1000 Bài 15: Gi i ph ng trình x  (3  x ) x  2(1  x )  Gi i: Ta có   (3  x )  4.4.(1  x )  (2 x  1) Nên ph ng trình có nghi m : x  2x  2x   2x  2x 1  ho c x    2x 2  2x  x  Ta có hàm s VT đ ng bi n nên x=0 Bài 16: Gi i ph ng trình 3.25 x  (3 x  10)5 x 2   x  Gi i: Ta có :   (3 x  10)  4.3.(3  x)  (3x  8) Nên ph 10  x  x   25  x  log ng trình có nghi m là: x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Ho c : Xét hàm s : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT 18  x  3 x  x  25 x  75 VT ta th y hàm s đ ng bi n nên x  Bài 17: Gi i ph 5x  ng trình 2013sin x  2013cos x  cos x 2 Gi i: Ta có : 2013 sin2 x  2013 cos x  cos x  sin x  2013sin x  sin x  2013cos x  cos x Xét hàm đ c tr ng: f (t )  2013t  t 2 Hàm s đ ng bi n nên pt khi: cos x  sin x  cos x   k  x  Bài 18: Gi i ph ng trình x  x 2  x  42  x 2  2x  x 4 Gi i: K x  2 Ph ng trình t ng đ ng: 16 x.4 x 2  x  16.4 x   x  x 4  16.4 x  (16 x 1  1)  x (16 x 1  1) 3  (16 x 1  1)(16.4 x 2  2x )   16 x1   x 2  2x 16.4  x 1  (N ) x  Bài 19: Gi i ph ng trình 3x  x  x  Gi i: Ph ng trình t ng đ ng: 3x  x  x  Xét hàm s : y  3x  x  x Ta có: y  3x.ln3  x.ln5  Suy ra: y  x.ln  x.ln  nên y' đ ng bi n R http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT M t khác: lim y  6 ; lim y   x  x  Do ph ng trình: y  có nghi m nh t x  x0 Ta có: lim y   ; lim y   ; lim y  a x  x  xo x  Nên đ ng th ng y  c t đ th t i m mà y(1)=2, y(0)=2 (D a vào b ng bi n thiên) V y ph ng trình có nghi m x  x  Bài 20: Gi i ph ng trình x.8 x 1 x  500 Gi i: K x  PT t ng đ x 1 log   log5 x  x  (log  3) x  3log 2  ng: x Ta có :   (log5  3)  4.3.log  log52  6log5   (log5  3) Nên: x1  3; x2  log Bài 21: Gi i ph ng trình cot x 2 sin x 3  Gi i: K sin x  Ta có : cot x  ; 1 sin x Nên : Do đó: VT  cot x cot x  Nên PT :   sin x  Bài 22: Gi i ph 2 sin x  x  40  21    k ng trình (7  3) x  3(2  3) x   Gi i: Ph ng trình t ng đ ng: (2  3) x  3(2  3) x    (2  3)3 x  2.(2  3) x    (2  3) x   x0 http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 23: Gi i ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình (  )sin x  (  )sin x  Gi i: t t  (  ) sinx Ph ng trình tr thành: • t 4 t  t  4t   t     t   (  ) sinx     (  ) sinx    • V y ph  sinx     sinx  1  ng trình có nghi m: x   k (k  Z ) Bài 24: Gi i ph ng trình 2 x 1  9.2 x x  22 x   Gi i: • Ph ng trình bi n đ i thành: 2.2 x  x  x  4.2 x  Chia hai v cho 2 x ta đ c: 2 2.22( x  x )  9.2 x  x   2x  x    x2  x 2   2 x  x      x  x   0( L) • V y ph  x  1   x  ng trình có hai nghi m x  1 x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 25: Gi i ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình 125x  50 x  23x1 Gi i: Ph ng trình t ng đ ng: 53 x  52 x.2 x  23 x.2 3x 2x 5 5      2  2  2 x 5    1  2  x0 Bài 27: Gi i ph ng trình 3x 2 x   22( x  x  2)  x  x  25 Gi i: t: x  x   t ( t  ) Ph ng trình tr thành: 3t  (2t )  t  27 ( * )  3t  (2t )  27  t Xét hai hàm s : f (t )  3t  (2t ) g (t )  27  t Ta có f ( a )  3t ln3  2.2t.ln  0(t ) , f (b)  1  V y ph ng trình ( * )có nghi m nh t d th y f(2)=g(2)  t   x2  x    x( x  2)   x  x  Bài 28: Gi i ph ng trình (2  2)log x  x(2  2)log x   x 2 Gi i: K:x>0 Ph ng trình t ng đ ng: (2  2)log x  x2   x2 (2  2)log x  (2  2)log2 x  x   (2  2)log x  1    log x  (2  2)  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT  (2  2)log2 x  , (1)  (2  2)log2 x  x , (2) • (1)  log x   x  • t log x  t  x  2t (2)  (2  2)t  22 t V y ph  (4  2)t  t 0  log x   x 1 ng trình có nghi m nh t x = Bài 29: Gi i ph ng trình 3x  x  x  14  x Gi i: • Vì x  nên ph ng trình t ng đ x ng: x x x  3    5 1          14            x x x x 3 1 5 1           14     8 2 8 8 x x x x 3 1 5 1 • Xét hàm s : f ( x)           14    R 8 2 8 8 • D th y f ( x) ngh ch bi n R • M t khác: f (2)  Suy ph ng trình có nghi m nh t x  Bài 30: Gi i ph ng trình x  1  3x  x  x  Gi i: i u ki n: x  t: u  x    Ta có: Ph ng trình cho t ng đ u  2u  x  ng: x  1  x   x  x  x, Hay 3u  u  2u  3x  x  x (1) Xét hàm s : f (t )  3t  t  2t , V i t  Ta có f (t )  3t ·ln  2t    t  T ph ng trình (1) , ta có u  x , hay x    x http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Gi i ph V y ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình này, ta đ c hai nghi m x  x  ng trình cho có hai nghi m x  x  Bài 31: Gi i ph ng trình 3x  x   x Gi i: Cách 1: x   x | x | x  x  x   Vì: (1)  ln( x  x  1)  x ln Nên:  f ( x)  ln( x  x  1)  x ln  Ta có: f ( x)  x2   ln   x    x  Cách 2: Vì :  x  x   Nên: ( x  x  1)(  x  x  1)  3x ( x  x  1)   x  x   3 x Suy h : Bài 32: Gi i ph  x  x   3x    x  x   3 x  x   3x  3 x  x  3x  3 x   4(1  (3x  3 x ) )  (3 x  3 x ) 1   4(t   2)  (t   2) (t  x ) t t 2  (t  1)  ng trình (  2) x  (  2) x  ( 5) x Gi i: t : a   2; b   2; c  Ta th y a  c  b N u x  VT     VP (Ph ng trình khơng đúng) N u x  b x  c x  a x  b x  c x (Ph ng trình vơ nghi m) N u x  a x  c x  a x  b x  c x (Ph V y ph ng trình cho vơ nghi m ng trình vơ nghi m) http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 33: Gi i ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình: 4.33 x  3x1   x Gi i: t 3x  cos  PT tr thành: cos3   3cos    cos 2  cos3   cos 2 cos 3    2 cos 3   cos  (1) PT(1) ta có : VT  ;VP  Nên h khi:  cos 3   cos 3   cos 2    cos  V y 3x   x  Bài 34: Gi i b t ph ng trình: x  3x  x  38 Gi i: Xét hàm s f (t )  2t  3t  5t , d th y hàm s f(t) đ ng bi n  Nên ta có b t ph ng trình cho đ c vi t l i thành: f ( x)  f (2)  x  Bài 35: Gi i b t ph ng trình:  2.2 x  3.3x  x Gi i: Chia v cho x ta đ c: x x x 1 1 1                x x x Xét hàm s : f ( x)  ( )  2.( )  3.( ) Hàm s ngh ch bi n R Mà f (2)  Nên BPT khi: x  V y t p nghi m c a BPT S=(-  ;2) http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 36: Gi i b t ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình: 3x  x  x Gi i: Chia c v cho 5x ta đ c: x x 3  4  5   1     5 Xét hàm s : f ( x)  ( ) x  ( ) x D th y hàm s ngh ch bi n Mà f (2)  Nên BPT x  V y t p nghi m c a BPT S=( 2;+  ) Bài 37: Gi i b t ph ng trình: 3x 4  ( x  4)3 x  Gi i: • Khi | x | ta có: x   Nên: 3x 4  30  ( x  4).3x 2  Do VT  (BPT đúng) • Khi | x | ta có: x   Nên: 3x 4  30  ( x  4).3x 2  Do VT  (BPT vơ nghi m ) • V y t p nghi m c a BPT S  R \ (2; 2) Bài 38: Gi i b t ph ng trình: 3x.2 x  x  x  Gi i: không nghi m c a ph ng trình 2x  • Ph ng trình t ng đ ng: 3x  2x 1 • Ta có: Hàm s y  3x đ ng bi n R 2x 1 1 ngh ch bi n m i kho ng (-  ; ) ( ;+  ) Hàm s y  2x 1 2  • V y ph ng trình ch có nghi m: x  • D th y: x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 39: Gi i b t ph ng trình: 3x : PH 2 x3  4x NG TRÌNH, H PH 2 x 2  5x  x 1 NG TRÌNH M VÀ LOGARIT  14 Gi i: Cách 1: • t t  x2  2x  ( t  ) Ph ng trình vi t l i thành: f (t )  3t   4t 1  5t  14  0(1) *Nh n xét: Hàm s y  f (t ) hàm s đ ng bi n v i  t  [ 0; +  ) Nên ph nghi m nh t mà f(0) =  t =  x = -1 • V y ph ng trình có nghi m nh t x  1 ng trình (1) có Cách 2: S d ng BDT Ta có: 3x  x   3( x 1)   32   2 x 2 x2  4( x 1) 1  41  4  x  x 1 ( x 1)2 5  5  2  3x  x 3  4x 2 x  5x  x 1  14 D u "=" x y x=-1 Bài 40: Gi i b t ph ng trình: x 1  212 x  3 Gi i: Cách 1: • t t  2x V i ( t  ) Ph ng trình tr thành: 2t   3 2(1) t 2  t  t   3 (Áp d ng b t đ ng th c cô si cho s d t t Nh v y ph ng trình (1): VT  VP D u "=" x y t   t  t • V i t 2x V y ph ng trình có nghi m nh t x  Ta có 2t  Cách 2: t: t  x t  ph ng) ng trình tr thành: http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT  33 2 t  2t  3 2t    (t  2)(2t  2t  4)  2t  T i b n ti p t c Bài 41: Gi i b t ph ng trình: 2 x 1  232 x  log (4 x  x  4) Gi i: • Ta có )  (Áp d ng B T cô si cho hai s d 22 x 8  8 VP  log (4 x  x  4) log3 VT  Nh v y:  VP  VT  22 x1  232 x  2(22 x  ng) D u "= " x y khi:  2x 2  x   x  x   • Ph x ng trình có nghi m nh t x  Bài 42: Gi i b t ph ng trình: 2log ( x  3) x Gi i: • K: x>0 • Ph ng trình t ng đ ng: log ( x  3)  log x (*) t: t  log x  x  2t V y: (*)  log (2t  3)  t t t 2 1        1(**) 3 5 t t 2 1 • Xét hàm s : y  f (t )       3 5 http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN t : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT t 2 1 • Ta có: f (t )    ln 0.4    ln 0.2   t  R Suy f (t ) gi m R 3 5 • M t khác: f (1)  ( * * ) có nghi m nh t t   x  Bài 43: Gi i b t ph ng trình: 3x  x   Gi i: Xét hàm s f ( x)  3x  x  có f ( x)  3x ln3    x  Hàm s đ ng bi n  Ph ng trình có nghi m nh t  x 1 Bài 44: Gi i b t ph ng trình: x  xlog  xlog  2 Gi i: Ta có : t : t  log x t ta có : x  3log3 x  xlog2  (3log3 x )log  3log2 x  xlog2  7log x  x  2log x Pt  2t  3t  7t   t 1 x2 Bài 45: Gi i b t ph 1 ng trình: log ( x  x   2)    5 x  x 1 2 Gi i: • • K : x  ho c x  t t  x  x  (t  0)  3x  x    t 1t Pt  log (t  2)    5 • Xét hàm s 2 f (t )  log (t  2)  ( )1 t http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT 1  2t.5t   t  (t  2)ln3  Hàm s đ ng bi n  t  • M t khác: f (1)  nên ph ng trình có nghi m nh t : • Có f (t )  t 1  x  Bài 46: Gi i ph 3 2 ng trình log (log x   x )  x Gi i: K x0 PT t ng đ ng: log9 x   x  x  log x    x Bài 47: Gi i ph ng trình log4 ( x  1)   log  x  log8 (4  x)3 Gi i: K: 4  x  x  1 Ph ng trình t ng đ ng: log | x  1|  log  log (4  x)  log (4  x)  log | 4( x  1) | log [(4  x)(4  x)] | 4( x  1) | 16  x   x  (4; 1)   4( x  1)  16  x    x  ( 1; 4)    4( x  1)  16  x x     x2 Bài 48: Gi i ph ng trình log2 ( x  x  1).log3 ( x  x  1)  log ( x  x  1) http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT Gi i:  x  x2     K:  x  x     x   Nh n th y khơng có x th a u ki n toán, v y ph Bài 49: Gi i ph ng trình cho vơ nghi m ng trình log x1 (2 x  x  1)  log x1 (2 x  1) =4 0  x   KX :    x   Gi i:  x PT  log x 1 ( x  1)  2log x1 (2 x  1)  t log x 1 ( x  1)  t , PT tr thành :  t 3  t  t  3t    (t  2)(t  1)  x   x   Bài 50: Gi i ph ng trình log (1  x )  log x Gi i: K x0 t: u  log x  x  7u Pt có d ng: log (1  7u )  u   7u  2u u u 1         1     http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn ... ng trình có hai nghi m là: x  x  Bài 6: Gi i ph ng trình: f(t)=0 có nghi m ng trình : (2  3) x  (2  3) x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT... x  ng trình có hai nghi m x  1 x  http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Bài 25: Gi i ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình 125x  50 x  23x1 Gi i: Ph ng trình t ng... ng trình (1) , ta có u  x , hay x    x http://diendan.hocmai.vn DeThiMau.vn CHUYÊN Gi i ph V y ph : PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH M VÀ LOGARIT ng trình này, ta đ c hai nghi m x  x  ng trình