Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit A Các kiến thức Định nghĩa tính chất luỹ thừa lôgarit Tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit Các phương trình, bất phương trình bản: Víi m > 0, < a th×: ax = m x = logam x log m;(a 1) a ax > m x log a m;(0 a 1) ax víi mäi x R Víi mäi sè thùc m vµ < a th×: logax = m x = am x am ; a 1 logax > m m 0 x a ; a B Một số phương pháp giải phương trình, Hệ phương trình Bất PHươNG TRìNH mũ, lôgarit 1) Phương pháp ®a vỊ cïng c¬ sè Víi < a th×: af(x) = ag(x) f(x) = g(x); af(x) > ag(x) f(x) > g(x) nÕu a > f(x) < g(x) nÕu < a logag(x) g ( x) ; f ( x) g ( x) nÕu a > f ( x) logaf(x) > logag(x) g ( x) ; nÕu < a < f ( x) g ( x) VÝ dơ Gi¶i PT: 2x+1 5x = 2.102x+5 (1) LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - VÝ dơ Gi¶i PT: log3 (2x+1) - log (1 x) (2) LG: §kiƯn 2x+1 > vµ 1- x > x 1 2x 1 2 x x x = 0; x = (Lo¹i) x x (2) log3(2x+1) = log PT cã nghiƯm nhÊt x = DeThiMau.vn Chuyªn đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit VÝ dơ Gi¶i BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3) LG: §kiƯn: x R (3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 4x -20.2x +64 < < 2x < 16 2< x < x 1 VÝ dơ Gi¶i BPT: ( 2) x 1 ( 2) x 1 (4) LG: Do ( 2)1 , (4) 2 x 1 x 1 ( 2)1 x x 1 x x 1 x -2 x < -1 2) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = (5) x HD: Chia hai vÕ cđa PT cho VÝ dơ Gi¶i PT: x - 53 x 4x đặt t = 2 = 20 KQ : x log (6) LG: §kiƯn x 0, phương trình chứa căn, đặt t = x (5) t - 125 -20 = t2 – 20t -125 = t = - (L), t = 25 (TM) t t = 25 x 25 52 x x VÝ dô Gi¶i BPT: 4x – 2.52x < 10x HD: Chia hai vế cho 10x , ta x x t2 t 2 5 2 0 , Đặt t = , t BPT t 5 2 5 x x Víi ®kiƯn t > ta cã < t < x log 2 , (Chó ý c¬ sè < 1) 5 VÝ dơ Gi¶i BPT: (8) log 2 x log x HD: §kiƯn < x 1/2 vµ 1 1 t 3t 5t Đặt t = log2x , t (8) 0 3; t (1 t ) 0t ( Chú ý: Giải phương pháp khoảng, không khử mẫu ) 1 Suy tËp nghiƯm cđa (8) lµ : ; 1; 2 2 Chó ý: D¹ng A a b f ( x) B(a b ) f ( x ) c (a+ b )(a- b ) =1, nên đặt t = a b DeThiMau.vn f ( x) Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), u đặt t = v f ( x) 3) Phương pháp logarit hoá x VÝ dơ Gi¶i PT: 3x8 x (9) LG: Đkiện x -2 Lôgarit số hai vÕ ta cã x 3x log log log ( x 1) 1 x = hc x = -(1+log32) x2 x VÝ dơ 10 Gi¶i BPT: x log x 32 (10) LG: §kiƯn x > LÊy logarit c¬ sè hai vÕ ta có : (log2x +4)log2x < 5, Đặt t = log2x; PT t2 + 4t-5 < -5 < t < -5 < log2x < 2-5 < x < 4) Phương pháp sử dơng tÝnh chÊt cđa hµm sè Chó ý : a > 1, th× af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0 0 31 = - log5x < log51 = 3x > – log5x Víi x < 3x < 31 = - log5x > log51 = 3x < – log5x VËy x =1 lµ nghiƯm nhÊt cđa phương trình Ví dụ 12 GPT: 3x + 2x = 3x +2 LG: DƠ thÊy r»ng PT cã nghiƯm x = , x = (PT kh«ng cã nghiƯm nhÊt) XÐt hµm sè: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta cã : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – f’’(x) = 3xln23+2xln22 > víi mäi x R hàm số f(x) đồng biến R Mặt khác hàm số f(x) liên tục R f(-1).f(1) < PT f’(x) = cã nghiÖm nhÊt x0 (-1; 1) Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau: x - f’(x) + x0 - + + + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x = 5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ lôgarit Chú ý : Ta dùng phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình hệ hữu tỉ đà biết kết hợp với phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ lôgarit Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT: DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit x y 3log (9 x ) log y (1) (2) LG: §kiƯn x > vµ < y (2) 3(1+ log3x) – 3log3y = log3x = log3y x = y Thay x = y vµo phương trình (1) ta có phương trình (1) (x-1)(2-x) = x = ; x = Từ HPT có hai nghiệm (1 ; 1) (2; 2) Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 23 x y y (1) x x 1 y (2) x 2 LG: Tõ PT(2) 2x = y, y > 0; ThÕ vµo PT(1) ta PT : y3 -5y2 +4y = y = 0, y = 1, y = HÖ PT cã nghiƯm (0; 1) ; (2; 4) 6) C¸c toán tổng hợp (Hay khó) Ví dụ 15 (ĐH NT-1996) Tìm nghiệm dương PT: x x log2 x log2 HD: BiÕn ®ỉi PT vỊ d¹ng: 2log x 3log x 5log x Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = x = 2 2 VÝ dơ 16 (§H KA-2002) Cho PT: log 32 x log 32 x 2m (16) (m tham số) Giải PT m =2 Tìm m để PT (16) có nghiệm thuộc đoạn 1;3 HD: §kiƯn x > 0, §Ỉt t = log 32 x ta cã PT t2+t-2m-2 = (*) (16) cã nghiÖm thuéc 1;3 (*) cã nghiƯm thc [1; 2] XÐt hµm sè f(t) = t2+t [1; 2] ta PT (16) có nghiÖm 1;3 m [0 ; 2] Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải BL BPT theo tham sè a: x log a ( ax ) (ax) (17) HD: §iỊu kiƯn a > 0, a 1, x > Víi < a < Lấy lôgarit số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) -1 logax a4 x a-1 Víi a > 1, Biến đổi với ý số > ta (logax+1)(logax-4) log a x 1 0 x a log a x xa VÝ dơ 18.(§HQG HN - 2000) Gi¶i PT: (2 2)log x x(2 2)log x x 2 DeThiMau.vn Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , ta cã PT: (2 2)t 2t (2 2)t 22t Nhân hai vế với (2 2)t sau ®ã biÕn ®ỉi ta cã: [ (2 2)t -4t][ (2 2)t -1] = t = x = VÝ dơ 19 Gi¶i PT: 22 x 1 23 x log (4 x x 4) (19) HD: Ta cã 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + log3(4x2-4x+4) 1, VP Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT (19) 22 x 1 23 x log (4 x x 4) giải hệ ta có nghiệm PT x = VÝ dơ 20.(§H KD - 2006) Chøng minh r»ng víi a > 0, hƯ sau cã nghiƯm nhÊt: e x e y ln(1 x) ln(1 y ) (1) (2) y x a HD: §kiƯn x > -1, y > -1 ThÕ (2) y = x+a vµo (1) ta cã PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) víi x > -1, a >0 hÖ cã nghiÖm nhÊt (3) cã nghiƯm nhÊt x > -1 XÐt hµm sè f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) §PCM C Bài tập tổng hợp DeThiMau.vn ... Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x = 5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ lôgarit Chú ý : Ta dùng phương pháp giải hệ phương trình. .. hệ bất phương trình hệ hữu tỉ đà biết kết hợp với phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ lôgarit Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT: DeThiMau.vn Chuyên. .. Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình mũ lôgarit x y 3log (9 x ) log y (1) (2) LG: §kiƯn x > vµ < y (2) 3(1+ log3x) – 3log3y = log3x = log3y x = y Thay x = y vào phương trình