Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1 a ) . x y x y a a a ; . y x x x y y a a a x x y y a a a ; 1 x x a a . Ghi nhớ công thức khử cơ số: f x g x a a f x g x 1 0 f x a f x ; log f x a a c f x c Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2 . . 0 x x m a n a p (1) Cách giải: Đặt , 0 x t a t , khi đó 2 2 2 x x t a a . Ta có p/trình 2 . . 0, 0 mt nt p t (2) Giải p/trình (2), tìm nghiệm 0 t Giải p/trình log x a a t x t Kết luận, nghiệm của (1) Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) 2 1 3 4.3 1 0 x x 2) 2. 3 2 2 2 1 1 0 x x Lời giải : 1) 2 1 3 4.3 1 0 x x 2 3.3 4.3 1 0 x x Đặt 3 , 0 x t t , khi đó 2 2 3 x t . Ta có p/trình 2 3 4 1 0 t t , 0 t Giải p/trình này được 1 1; 3 t t (thỏa mãn đ/k 0 t ) Với 1 t , ta có 0 3 1 3 3 0 x x x - Với 1 3 t , ta có 1 1 3 3 3 1 3 x x x Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm 0; 1 x x Chú ý: 2 1 2 1 2 3 3 .3 3.3 x x x 2) Để ý 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 Đặt 2 1 x t , 0 t , Khi đó 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 x x x t P/trình đã cho trở thành 2 2 1 0 t t , 0 t Giải p/trình này ta được 1 t (nhận); 1 0 2 t (loại) Với 1 t , ta có 2 1 1 0 x x Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 0 x . Dạng 2: . . 0 x x m a n a p hay . 0 x x n m a p a Cách giải: Đặt , 0 x t a t , khi đó 1 1 x x a t a Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm 0 t . Rồi tìm x. Kết luận. Ví dụ : Giải các phương trình sau 1) 1 6 6 5 0 x x 2) 1 1 1 5 26 0 5 x x Lời giải: 1) Ta có 1 6 6 5 0 x x 6 6.6 5 0 x x Đặt 6 x t , 0 t ta có 1 1 6 6 x x t Ta có p/trình 1 6. 5 0 t t , 0 t 2 5 6 0 t t . Giải p/trình này được 6 t (thỏa); 1 0 t (không thỏa) Vậy ta có 6 6 1 x x . Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 x . 2) Để ý : 1 1 5 5 .5 5.5 x x x ; 1 1 1 1 5 5 5 .5 5 x x x Ta có 1 1 1 5 26 0 5 x x 5 5.5 26 0 5 x x Đặt 5 , 0 x t t ta có p/trình 5 5. 26 0, 0 t t t 2 5 26 5 0 t t Giải p/trình này được 1 5; 5 t t (thỏa mãn đ/k 0 t ) Với 5 t , ta có 5 5 1 x x - Với 1 5 t , ta có 1 1 5 5 5 1 5 x x x Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm 1; 1 x x Dạng 3: Bất phương trình mũ f x g x a a , 0 1 a Cách giải: Nếu 0 1 a ta có f x g x (đổi chiều BPT) Nếu 1 a ta có f x g x . Với BPT f x a c - Nếu 0 1 a , ta có log a f x c (Đổi chiều BPT) - Nếu 1 a , ta có log a f x c Ví dụ : Giải các bất phương trình a) 2 3 1 2 4 x x b) 2 2 3 1 9 3 x x Giải: a) Ta có 2 3 1 2 4 x x 2 3 2 2 2 x x 2 3 2 x x 2 3 2 0 x x 1 2 x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 1;2 T Vì cơ số 2 1 a nên 2 3 2 2 2 x x 2 3 2 x x (hai BPT có cùng chiều). Để giải BPT 2 3 2 0 x x , ta tìm nghiệm tam thức 2 3 2 x x và xét dấu rồi chọn miền nghiệm. b) 2 2 3 1 1 3 9 x x 2 2 3 2 1 1 3 3 x x 2 2 3 2 x x (đổi chiều BPT do cơ số 1 1 3 a ) 2 2 3 2 0 x x 1 2 2 x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 1 2; 2 T Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 2 2 9.2 2 0 x x Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 1 7 2.7 9 0 x x Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 2 1 3 9.3 6 0 x x Câu 4: Giải các bất phương trình sau a) 2 3 2 6 1 1 2 2 x x x b) 2 2 7 6 3 3 x x x 2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. Lý huyết Ghi nhớ: Với 0 1, 0, 0 a b c khi đó Tính toán: log a a ; log log a a b b 1 log log a a b b Cộng, trừ logarit : log log log . a a a b c b c ; log log log a a a b b c c Đổi cơ số: log log log a c a b b c ; 1 log log a b b a Cách khử logarit: 0 log log a a f x f x g x f x g x log c a f x c f x a Chú ý: 10 log log lg a a a ; log ln e a a . Dạng 1: Biến đổi về phương trình log log a a f x g x Cách giải: - Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi. - Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit. Ví dụ: Giải các p/trình sau: 1) 3 9 log 9 log 5 x x 2) 2 2 2 log 2 log 3 log 12 x x Lới giải: 1) Đ/k xác định: 0 0 9 0 x x x Khi đó ta có 3 9 log 9 log 5 x x 2 3 3 3 log 9 log log 5 x x 3 3 1 2 log log 5 2 x x 3 3 log 3 2 x 2 3 log 2 3 9 x x x (thỏa mãn đ/k) Vậy p/trình có nghiệm duy nhất 9 x . 2) Đ/k xác định 2 0 2 3 3 0 3 x x x x x Khi đó ta có 2 2 2 log 2 log 3 log 12 x x 2 2 log 2 3 log 12 x x 2 3 12 x x 2 5 6 0 x x Giải p/trình này dược 6 x (thỏa đ/k); 1 x (không thỏa đ/k) Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 6 x . Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit 2 .log .log 0 a a m f x n f x p Cách giải: Đ/k xác định: 0 f x Đặt log a t f x , t Ta có p/trình 2 . 0 mt nt p . Giải p/trình này tìm t. Giải p/trình log t a f x t f x a để tìm x. Kết luận. Ví dụ : Giải ph/trình 2 2 2 2 log 3log 10 0 x x Giải: Đ/k xác định: 0 x Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log log 2log 4log x x x x Đặt 2 log t x , ta có 2 2 2 2 log 4 x t P/trình đã cho trở thành 2 4 3 10 0 t t Giải p/trình này được 5 2; 4 t t Với 2 t , ta có 2 2 log 2 2 4 x x x - Với 5 4 t , ta có 5 4 2 5 log 2 4 x x Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm 5 4; 4 x x . Dạng 3: Bất p/trình log log a a f x g x , 0 1 a . Điều kiện xác định: 0 0 f x g x - Nếu 0 1 a , ta có f x g x (BPT đổi chiều) - Nếu 1 a , ta có f x g x (BPT cùng chiều) Với BPT log a f x c - Nếu 0 1 a , ta có c f x a (BPT đổi chiều) - Nếu 1 a , ta có c f x a (BPT cùng chiều) Ví dụ: Giải các bất p/trình: a) 2 2 log log 3 1 x x b) 1 1 3 3 log 2 1 log 2 x x Giải: a) Đ/kiện xác định: 0 1 3 1 0 3 x x x Với 1 3 x ta có : 2 2 log log 3 1 x x 3 1 x x 1 2 1 2 x x { Cơ số 2 1 a nên có BPT cùng chiều} Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1 ; 3 2 T b) Đ/kiện xác định: 2 1 0 1 2 0 2 x x x Với 1 2 x ta có : 1 1 3 3 log 2 1 log 2 x x 2 1 2 x x 3 x { Cơ số 1 1 2 a nên BPT đổi chiều} Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 ;3 2 T Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình 4 2 log log 4 5 x x . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 3 3 3 log 2 log 2 log 5x x x . Câu 3: Giải các bất phương trình a) 1 5 1 5 5 log log 2 log 3 x x b) 2 3 3 log 4log 3 0 x x . Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1 a . phương trình 2 1 3 9.3 6 0 x x Câu 4: Giải các bất phương trình sau a) 2 3 2 6 1 1 2 2 x x x b) 2 2 7 6 3 3 x x x 2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. . Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 2 2 9.2 2 0 x x Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 1 7 2.7 9 0 x x Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân