Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian Bài tập hình không gian I/ Hình chóp Cho hình chóp tam giác SABC có đường cao SO = đáy ABC có canh Điểm M,N trung điểm cạnh AC,AB tương øng.TÝnh thĨ tÝch khèi chãp SAMN Cho h×nh chãp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh 2a cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (SCD), (P) cắt SC,SD C1 v D1 a) Tính diƯn tÝch tø gi¸c ABC1D1 b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn ABCDD1C1 Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a góc SAB =60o.Tính thể tích hình chóp SABCD theo a Cho tam giác ABC cạnh a.Trên đường thẳng d vng góc với mf(ABC) Alấy điểm M.Gọi H trực tâm tam giấcBC,K trực tâm tam giác BCM a) CMR MC (BHK) ; HK (BMC) b)Khi M thay đổi d,tìm GTLN thẻ tích tứ diện KABC Cho h×nh chãp tø giác S.ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AD, AB, SC a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) b) So sánh thể tích hai khối đa diện mặt phẳng (MNP) chia hình chóp Cho hình chóp tứ giác có chiều cao h cạnh đáy a Tính thể tích khối lập phương có mặt nằm đáy hình chóp đỉnh nằm cạnh bên hìmh chóp Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Qua A, B trung điểm SC dựng mặt phẳng Tinh tỉ số thể tích hai phần khối chóp mặt phẳng chia Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a a) Tính đường cao thể tích khối chóp theo a b) Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD Q, R So sánh đoạn thẳng QB, RD với SB c) Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần cã thĨ tÝch b»ng Cho h×nh chãp tø giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt đáy (0o < < 90o) Tính tg góc hai mp(SAB) vµ (ABCD) theo TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABCD theo 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biÕt r»ng mp(AMN) vu«ng gãc víi mp(SBC) a 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, chiÒu cao SO = Mp( ) qua A vuông gócvới SC cắt SB, SC, SD B, C, D tính thể tích hình chóp S.ABCD diện tích tứ giác ABCD 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông ABCD c¹nh a, SA = SB = SD = a Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp 13 Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a = cm HÃy xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD BC 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác a Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Qua A dựng mp( ) vu«ng gãc víi SC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diện tạo mp( ) hình chóp 15 Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc (0o < < 90o) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a Tính thể tích hình chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến mặt bên hình chóp 17 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = đáy ABC có cạnh Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp II Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thay đổi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A (M không trùng với A) Gọi O H theo thứ tự trực tâm tam giác ABC MBC Xác định vị trí M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân với AB = AC = a góc BAC Cạnh SA = h hình chóp vuông góc với đáy Lấy trung điểm P BC điểm M, N AB, AC cho AM = AN = AP TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp S.AMPN Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao b»ng h vµ gãc ASB b»ng H·y tÝnh thĨ tÝch khèi chãp Cho h×nh chãp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 60o cạnh đáy a.Tính thể tích khối chóp Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a,SA (ABCD) SA = a Trên cạnh đáy AD lấy điểm M thay đổi,đặt góc ACM = Hạ SN CM Chứng minh N thuộc đường tròn cố định vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn SACN theo a vµ Cho đường tròn đường kính AB = 2R mặt phẳng (P) điểm M nằm đường tròn cho góc MAB 300 Trên đường vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy ®iĨm S cho SA = 2R Gäi H vµ K hình chiếu vuông góc A SM, SB a) Chứng minh SB vuông góc với mặt phẳng (KHA) b) Tính thể tích khối tứ diện SKHA Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với mp đáy (ABC) a Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết SA = Cho h×nh chãp S.ABC cã đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC CMR tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với mp(ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE 11 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho góc hai mp(ABC) (SBC) 60o Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy, SA = a KỴ AH SB, AK SD a CMR SC vuông góc với mp(AHK) b HÃy xác định thiết diện hình chóp với mp(AHK) Tính diện tích thiết diện 13 Cho tam giác ABC cã AB = AC = a vµ gãc BAC = Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I trung điểm BC H¹ AH SI a) Chøng minh AH (SBC) TÝnh dé dµi AH theo a, b) Gäi K điểm thay đổi đoạn AI, đặt AK/AI = x Mặt phẳng (R) qua K vuông góc với AI cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác 14 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mp(ABC), lấy điểm S khác A a) CMR tứ diện SABC có cặp cạnh đối diện vuông góc với b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt cầu trường hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc 30o c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC S chạy d (S A) d) LÊy S’ ®èi xøng víi S qua A, gọi M trung điểm SC Xác định thiết diện tạo mp qua S, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn ®ã SA = a 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Cạnh bên SA vuông góc với mp ®¸y, SA = AB = a a) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c SBD theo a b CMR BD SC c) Tính góc đường thẳng SC mp(SBD) 16 Cho tam giác ABC vuông cân A, có cạnh BC = a Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A, lấy điểm S cho góc hai mp(SBC) (ABC) 60o HÃy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) vµ SA = a Gäi M lµ mét điểm thay đổi cạnh AB Đặt ACM = , hạ SH vuông góc với CM a Tìm quỹ tích điểm H Suy giá trị lớn cđa thĨ tÝch tø diƯn SAHC b H¹ AI SC, AK SH Tính độ dài SK, AK thĨ tÝch tø diƯn SAIK III/ Tø diƯn Cho h×nh tø diƯn ABCD cã BC = CD = DB, AB = AC = AD Gọi H chân đường cao hình tứ diện xuất phát từ A, K chân đường vuông góc hạ từ H xuống AD Đặt AH = a, HK = b Tính thể tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD theo a vµ b Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Gäi A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AB, AC, CD, BD ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyªn đề luyện thi đại học Hình học không gian a) Chứng minh ABCD hình vuông b) Tính thể tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a c) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a A, B, C, D theo thứ tự điểm nằm cạnh AB, AC, CD, BD cho AA = BB’ = CC’ = DD’ = a/4 Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chøng minh SA BC b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp SABC Cho h×nh chãp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh lại a)Tính thể tích khối chóp theo x,y b)Với x,y thể tích khối chãp lín nhÊt? Cho tø diƯn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mp(ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tíi mp(BCD) Cho tø diƯn ABCD víi c¸c mặt (ABC), (ACD), (ADB) tam giac vuông A Gọi h đường cao xuất phát từ A tø diÖn ABCD CMR : 1 1 2 h AB AC AD Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c a Tìm tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện b CMR bốn mặt tứ diện tam giác có ba góc nhọn Cho tø diƯn ABCD víi AB = AC = a, BC = b Hai mp(BCD) (ABC) vuông góc với góc BDC = 90o Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a vµ b Cho tø diƯn ABCD cã AD vuông góc với mp(ABC) tam giác ABC vuông t¹i A, AD = a, AC = b, AB =c TÝnh diƯn tÝch S cđa tam gi¸c BCD theo a, b, c vµ CMR S abc(a b c) 10 ho tø diÖn OABC cã OA = OB = OC = a vµ AOB = AOC = 60o; BOC = 90o a Tính độ dài cạnh lại tứ diện CMR tam giác ABC vu«ng b CM OA CB 11 Cho tø diƯn ABCD có cạnh CD = 2a, cạnh lại ®Ịu b»ng a a CMR c¸c gãc CAD CBD vuông b Tính diện tích toàn phần tứ diện ABCD c CMR hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vuông góc với 12 Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = CA = AD = DB = a vµ CD = 2a a CMR AB CD HÃy xác định đường vuông gãc chung cđa AB vµ CD b TÝnh thĨ tÝch tứ diện ABCD c Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d Gọi H hình chiếu vuông góc I mp(ABC) CM H trực tâm tam giác ABC 13 Cho tứ diện SABC có cạnh bên SA = SB = SC = d vµ ASB = 120o, BSC = 60o, ASC = 90o a CM tam gi¸c ABC vu«ng b TÝnh thĨ tÝch tø diƯn SABC c Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC 14 Cho tø diÖn ABCD Mét mp ( ) song song với AD BC cắt cạnh AB, AC, CD, DB M, N, P, Q a CM tứ giác MNPQ hình bình hành a Xác định vị trí ( ) diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn 15 Cho tứ diện SABC có góc phẳng ®Ønh S vu«ng a CMR 3S ABC S SAB S SBC S SCA b BiÕt r»ng SA = a, SB + SC = k, đặt SB = x TÝnh thĨ tÝch tø diƯn SABC theo a, k ,x xác định SB, SC để thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn 16 Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = AD = CA = DB = a vµ CD = 2a a CMR AB vuông góc với CD HÃy xác định đường vuông góc chung AB CD b Tính thể tích tứ diện ABCD c Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d Gọi H hình chiếu vuông góc I mp(ABC) CMR H trực tâm tam giác ABC 17 Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cạnh lại có độ dài Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai cạnh AB CD Tìm điều kiên x để toán có nghĩa ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian 18 TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ABCD< biÕt AB = a, AC = b, AD = c vµ góc BAC, CAD, DAB 60o 19 Cho tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc, lấy điểm khác O M, N S víi OM = m, ON = n, OS = a Cho a không đổi, m n thay đổi cho m + n = a a TÝnh thÓ tích hình chóp S.OMN Xác định vị trí M N để thể tích đạt giá trị lín nhÊt b CM c¸c gãc OSM = MSN = NSO = 90o IV/ Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy Cho hình chóp có đáy tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a.Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy,hai mặt bên lại tạo với đáy góc 45o a)CMR hình chiếu vuông góc đỉnh hình chóp xuống đáy trung điểm cạnh huyền đáy b)Tính thĨ tÝch cđa khèi chãp Cho h×nh chãp SABC có đáy ABC tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vuông góc với mf(ABC) SA=SB =A a)CMR tam giác SBC tam giác vuông b)Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a x Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) mp(ABC) vµ SA = SB = a a CMR tam giác SBC vuông S b Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x V/ Lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Khi lng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D độ dài đường chéo mặt bên a)Hạ AK A1D (K A1D ).CMR AK =2 b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 với AB=a;BC= b;AA1 a)Tính diện tích tam giác ACD1 theo a,b,c b)Giả sử M,N trung điểm AB AC Tính thể tích tứ diện D1DMN theo a,b,c Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Gọi K trung điểm cạnh BC I tâm mặt bên CCDD a) Xác định thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (AIK) b) Tính thể tích hình đa diện mặt phẳng (AIK) chia hình lập phương Cho lng tr tam giác ABCA1B1C1 c đáy ABC l mt tam giác cạnh a,điểm A1 cách điểm A,B,C.Cạnh AA1 tạo với mặt phẳng đáy góc 60o a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC1B1 hình chữ nhật Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC tam giác vuông A,AC=b,góc C =60o.Đường chéo BC1 tạo với mf(A A1C1C) góc 30o a)Tính độ dài AC1 b)Tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Trên tia A1B1 lấy điểm M cho B1M = A1B1 Qua M vµ trung điểm A1C1 B1B dựng mặt phẳng Tính tỉ số thể tích hai phần khối lăng trụ mặt phẳng chia Cho hình lập phương ABCD.ABCD Thiết diện hình lập phương tạo mặt phẳng qua đỉnh A, trung điểm cạnh BC tâm mặt DCCD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Biết thể tích khối hộp ABCDA1B1C1D1 b»ng V tÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ACB1D1 Cho lăng trụ ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích S hợp với mặt đáy góc a)Tính thể tích lăng trụ b)S không đổi,cho thay đổi.Tính để thể tích lăng trụ lớn 10 Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a.Góc đừơng chéo AC1 đáy 60o Tính thể tích khối lăng trụ 11 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A.Góc AA1 BC1 30o khoảng cách chúng a.Góc hai mặt bên qua AA1 60o.Tính thể tích lăng trụ ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian 12 Cho lăng trụ ABCA1B1C1 đáy tam giác cạnh a.Hình chiếu cảu A1 lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA1 = 45o Tính thể tích lăng trụ 13 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy hình thoi ABCD cạnh a,góc A 60o.Chân đường vuông góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy.Biết BB1 =a a)Tính góc cạnh bên đáy b)Tính thê tích khối hộp 14 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60o Gọi M trung điểm AA, N trung điểm CC CMR ®iĨm B’, M, D, N cïng thc mét mặt phẳng HÃy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN hình vuông 15 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông c©n víi AB = AC = a, gãc BAC = 120o, cạnh bên BB = a Gọi I trung điểm CC CMR tam giác ABI vuông A Tính cosin góc hai mp(ABC) (ABI) 16 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA cho mp(BDM) cắt hình lập phương theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch nhá nhÊt 17 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a a Tính khoảng cách hai đường thẳng AA BD b CMR đường chéo BD vuông góc với mp(DAC) 18 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a điểm M cạnh AB, AM = x, < x < a Xét mp(P) qua M chứa đường chéo AC hình vuông ABCD a Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt bơi mp(P) b Mp(P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, hÃy tìm x để thể tích hai khối ®a diƯn ®ã gÊp ®«i thĨ tÝch khèi ®a diƯn 19 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD điểm M cạnh AD Mp(ABM) cắt đường chéo AC hình hộp H a CMR M thay đổi cạnh AD đường thẳng MH cắt đường thẳng AB điểm cố định b Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo mp(ABM) cắt hình hộp trường hợp M trung điểm cạnh AD c Giả sử AA = AB MB vuông góc với AC CMR mp(ABM) vuông góc với AC điểm H trực tâm tam giác ABM VI/ Một số toán khác Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a biết mặt bên (SAB),(SBC),(SCA) hợp với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o.Kẻ đường cao SH hình chóp a)Chứng tỏ H tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC SA BC b)Tính th tớch ca khụi chúp Trên nửa đường tròn ®êng kÝnh AB = 2R, lÊy ®iÓm C tuú ý Kẻ CH vuông góc với AB Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) I, lấy điểm S cho góc ASB = 900 a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 b) Cho AH = x TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SABC theo R x Tìm vị trí C để thể tích lớn Cho tam giác vuông c©n ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a hai đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) phía với mặt phẳng TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp A.BCC’B’ 2a Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a , BD = Trên đường thẳng vuông góc với (P) qua giao điểm hai ®êng chÐo h×nh thoi, lÊy ®iĨm S cho SB = a a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ASC tam giác vuông b) Tính thể tích hình chóp SABCD Cho hình chóp SABC Trên tia SA,SB,SC lấy điểm A ,B,C V ' ' ' SA ' SB ' SC ' CMR SA B C VSABC SA SB SC Trong không gian cho đoạn OO1 = H hai nửa đường thẳng Od,O1d1 vng góc với OO1 vng góc với Điểm M chạy Od, điểm N chạy O1d1 cho ta ln có OM2+O1N2 =k2(k cho trước) a)Chứng minh đoạn MN có độ dài khơng đổi b)Xác định vị trí M Od N O1d1 cho tứ diện OO1MN tớch ln nht ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian Cho hai mp(P) (Q) vuông góc với có giao tuyến đường thẳng Trên lấy hai điểm A, B víi AB = a Trong mp(P) lÊy ®iĨm C, mp(Q) lÊy ®iĨm D cho AC, BD cïng vuông góc với AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a Hình vuông ABCD có cạnh đơn vị độ dài Hai điểm M, N di động cạnh AD CD cho AM = x, CN = y góc MBN = 45o Tìm x, y đẻ diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Cho tam giác ABC, AB = AC Một điểm M thay đổi đường thẳng vuông góc với mp (ABC) A (M không trùng với điểm A) a Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H tam giác MBC b Gọi O trực tâm tam giác ABC, hÃy xác ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ thĨ tÝch tø diƯn OHBC đạt giá trị lớn 10 Trong mp( ) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R Gọi C điểm di động (T) Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mp( ) lÊy ®iĨm S cho SA = R H¹ AH SB, AK SC a Chøng minh AK (SBC), SB (AHK) b T×m quü tÝch điểm K C thay đổi Tìm giá trị lớn nhÊt cđa thĨ tÝch tø diƯn SAHK 11 Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã SA = x, BC = y, cạnh lại a Tính thể tích hình chóp theo x, y b Với giá trị x, y hình chóp tích lớn 12 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) phía với mp Cho điểm M không trùng với A Ax, cho điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n a Tính thể tích hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC) b Tính MN theo a, m, n tìm điều kiện a, m, n để góc MIN vuông 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác với AD = 2a, AB = BC = CD = a, ®êng cao SO = a O trung điểm cđa AD a TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABCD b Gọi ( ) mp qua A vuông góc với SD HÃy xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( ) 14 Trên cạnh Ox, Oy, Oz tam diện vuông Oxyz, lấy điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c Gäi H trực tâm tam giác ABC a Tính độ dài OH diện tích tam giác ABC b Khi a, b, c thay ®ỉi cho a2 + b2 + c2 = k2 với k số dương, tìm giá trị lớn độ dài OH cđa diƯn tÝch tam gi¸c ABC c CMR a2tgA = b2tgB = c2tgC 15 Cho gãc tam diƯn Sxyz víi xSy = 120o, ySz = 60o, zSx = 90o Trên tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự lấy điểm A, B, C cho SA = SB =SC = a a CMR tam gi¸c ABC vuông Xác định hình chiếu vuông góc H S lên mp(ABC) b Tính bán kính hình cầu nội tiếp tø diƯn SABC theo a 16 Cho h×nh chãp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N lần lướt cạnh SB, SD cho: SM SN BM DN a Mp(AMN) cắt cạnh SC t¹i P TÝnh tØ sè SP/CP b TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.AMPN theo thĨ tÝch V cđa h×nh chãp S.ABCD 17 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) A, lấy điểm S cho SA = h (h > 0) M lµ mét điểm di động cạnh SB Gọi I, J trung điểm BC, AB a Tính độ dài đoạn vuông góc chung SI AB b Tính tỉ số thể tích hình chóp B.MIJ B.SCA độ dài đoạn vuông góc chung AC MJ đạt giá trị lớn 18 Cho ba tia Ox, Oy, Oz vu«ng gãc víi tõng ®«i mét XÐt tam diƯn Oxyz Cho ®iĨm M cố định nằm góc tam diện Một mp qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C.Gọi khoảng cách từ M đến mp (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c a CMR tam giác ABC tam giác vuông a b c 1 b CM OA OB OC ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian c Tình OA, OB, OC theo a, b, c ®Ĩ tø diƯn OABC cã thĨ tÝch nhá nhÊt 19 Cho tam diện vuông đỉnh O Trên ba cạnh tam diện lấy ba điểm A, B, C cho : AC = 2OB, BC = 2OA a Giả sử M, N chân đường vuông góc kẻ từ O xuống AC BC.CMR MN AC b TÝnh cos MON c Gäi D lµ trung điểm đoạn AB CM tg OCD MN 1 tg OCA AB 20 Trªn mp( ) cho góc xOy Đoạn SO = a vuông góc với mp( ) Các điểm M, N chuyển động Ox, Oy cho ta có : OM + ON = a a Xác định giá trị lín nhÊt cđa thĨ tÝch tø diƯn SOMN b T×m quỹ tích tâm I mặt cầu nhoại tiếp tứ diƯn SOMN CMR tø diƯn cã thĨ tÝch lín lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ 21 Cho tam giác OAB có cạnh AB = a > Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mp(OAB) lấy ®iĨm M víi OM = x Gäi E, F lÇn lượt hình chiếu vuông góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt d N a CMR AN BM b Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ tính giá trị nhỏ 22 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm O.Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) phía (P) ta lần lướt lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y a2 a Tính độ dài MN.Từ CMR điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O xy = b Giả sử M, N thay đổi cho tam giác OMN vuông O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x, a3 y để thể tích tứ diện 23 Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O ®êng kÝnh AB = 2R LÊy mét ®iÓm S thuéc đường thẳng vuông 2R góc với mp(P) O cho OS = R I điểm thuộc đoạn SO với SI = , M điểm thuộc (C) a TÝnh tØ sè SH/SM víi H lµ hình chiếu I lên SM.Từ suy quỹ tích H M di động (C) b Xác định vị trí M (C) hình chóp H.AMB tích lớn Tính giá trị lớn 24 Cho hình vuông ABCD cạnh a mp(P) Hai điểm M, N di động hai cạnh CB CD Đặt CM = x, CN = y Trên đường thẳng At vuông góc với mp(P) lấy điểm S Tìm hệ thức x, y để : a Các mp(SAM) (SAN) tạo với góc 45o b Các mp(SAM) (SMN) vuông góc với 25 Cho đường tròn tâm O bán kính R Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (S A cố cố định), SA = h cho trước, đáy ABCD tứ giác tuỳ ý nội tiếp đường tròn đà cho mà đường chéo AC BD vuông góc với a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Hỏi đáy ABCD hình để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn 26 Bên hình trụ tròn xoay có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trơ gãc 45o TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ thĨ tích hình trụ 27 Trong mp(P) cho đường thẳng d điểm A nằm d Một góc xAy di động quanh A, cắt d B C Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vuông góc A lên SB SC a CMR A, B, C, H, K thc mét mỈt cầu b Tính bán kính mặt cầu biết AB = 2, AC = 3, BAC = 60o c Giả sử tam giác ABC vuông A CMR mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn qua đường tròn cố định S thay đổi ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn .. .Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân với AB = AC = a góc BAC Cạnh SA = h hình chóp vuông góc với đáy Lấy trung... theo thø tự trung điểm AB, AC, CD, BD ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian a) Chứng minh ABCD hình vuông b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo... 60o.Tính thể tích lăng trụ ngovannham@gmail.com DeThiMau.vn Chuyên đề luyện thi đại học Hình học không gian 12 Cho lăng trụ ABCA1B1C1 đáy tam giác cạnh a .Hình chiếu cảu A1 lên măt phẳng (ABC) trùng