Đang tải... (xem toàn văn)
Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp trong mçi trêng hîp sau: a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nha[r]
(1)Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình Và hệ bất phơng trình đại số
Đ1 Hệ phơng trình đại số Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ khơng thay đổi ta thay x y ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trị x y phơng trình trở thành phơng trình kia và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét trờng hợp, sau đặt x = ty 5) Một số hệ phơng trình khác
C¸c vÝ dơ
VÝ dụ Một số hệ dạng
1) Cho hệ phơng trình
8 )1 )( 1 (
2 y x y x
m y
x xy a) Giải hệ m = 12 b) Tìm m để h cú nghim
2) Cho hệ phơng trình
2 2
1
2
a x y x y a
Tìm a để hệ phơng trình có nghim phõn bit
3) Cho hệ phơng trình
2
2
1
3
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ cú nghim
4) Cho hệ phơng trình
2
2 y 6 a
x a y x a) Gi¶i hƯ a =
b) T×m GTNN cđa F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiƯm cđa hƯ
5) Cho hệ phơng trình
y m x
x m y
2 )1 (
)1 (
Tìm m để hệ có nghim nht
6) Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
x y
y x
7) Giải hệ phơng trình:
m y
x x
y y x
y x
1 1
1 1
3 1 1
(2)Ví dụ Giải hệ phơng tr×nh:
2
2
2 3
2 3
y x x
x y y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy x = y =
TH2 chó ý: x>0, y> suy v« nghiƯm
Ví dụ Giải hệ phơng trình:
35 8
15 2
3
2
y x
xy y x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt S = 2x + y P = 2x y Đs: (1, 3) (3/2, 2)
Ví dụ Giải hệ phơng trình:
) 2 ( 1
)1 ( 3 3
6
3
y x
y y x x
HD: tõ (2) : - ≤ x, y ≤ hµm sè: f t t3 3t
[-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)
Ví dụ CMR hệ phơng trình sau có nghiệm nhÊt:
x a x y
y a y x
2
2
2 2
HD:
2
2x x a
y x
; xÐt f(x) 2x3 x2
, lËp BBT suy KQ
VÝ dơ Gi¶i hƯ phơng trình:
2 2
2 2
x y
y x
HD Bình phơng vế, đói xứng loại
VÝ dô
)1 (
)1 ( 2
x a y xy
y a x xy
xác định a để hệ có nghiệm nhất
HD sử dụng ĐK cần đủ a = 8
Ví dụ Giải hệ phơng trình:
)2 ( 5
)1 ( 20 10
2 y
xy
x xy
HD: Rót y y y
y
x5 5
2
; C« si 5 y 2
y
x ; 20
x theo (1) 20
(3)VÝ dô
2 )1 (
3
y x y x
y x y x
(KB 2002) HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
VÝ dô 10
a y x
a y x
3 2 1
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: Từ (1) đặt u x1,v y2 đợc hệ dối xứng với u, -v
ChØ hÖ cã nghiệm phơng trình bậc hai tơng ứng có nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
49 5
56 2
6
2
2
y xy x
y xy x
2)
) (
3
2
2
y x y
x
y y x x
KD 2003
3)
0 9 5
18 ) 3 )( 2 (
2
y x x
y x x x
4)
2 ) (7 2
3
y x y x
y x y x
HD: tách thành nhân tử nghiÖm
5)
m xy
x y xy
26 12
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19 2 . ) (
3
2
y x
y y x
Đặt t = x/y HÖ pt cã nghiÖm
7)
6 4
9 ) 2 )( 2 (
2 x y
x
y x x
x
Đặt X = x(x + 2) Y = 2x + y
8)
2 2
2 (1)
x y x y x y x y
(4)9)
2
3 3
6 19 1
x xy
y
x y x
HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)
10)
1 2
1 1
3
x y
y y x x
(KA 2003)
HD: x = y V xy = - 1
CM 2 0
x
x vô nghiệm cách tách hàm số kq: nghiệm
11)
a x y
a y x
2 )1 (
)1 (
xác định a để hệ có nghiệm HD sử dụng ĐK cần đủ
12)
3 3 2 2
xy y x
x y y
x
HD b×nh ph¬ng vÕ
13)
78 1 7
xy y xy x
xy x y y x
HD nh©n vÕ cđa (1) víi xy
Đ2 Phơng trình bất phơng trình đại số Một số dạng phơng trình bất phng trỡnh thng gp
1) Bất phơng trình bậc hai
Định lý dấu tam thức bậc hai Phơng pháp hàm số
2) Phng trỡnh, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
2
0 ( 0)
A B A B A B
A B B
A B A B B A B B
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa thức Một số ví dụ
Vớ d Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m nghiệm với x
HD: sử dụng hàm số tam thøc: m ≤ -
Ví dụ Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 )1
( 2 2
a y
x x y
(5)HD: 22 (1)2 ( 1) ( 2) (2)
x y
x y a
TH1: a + ≤ HÖ v« nghiƯm
TH2: a + 1>0 Vẽ đồ thị (2) đờng tròn (1) miền gạch chéo: a ≥ - 1/2 Ví dụ Giải phơng trình, bất phơng trình sau
1) 8 6 1 4 1 0
x x
x
2) x4 1 x 1 2x: x = 0
3) 2( 2 ) 2
x x x x
x
4) 2
x x x
x HD: TÝch nh©n tử suy cách giải
5) ( ) x x x
x KD 2002
Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm
0 1
2
0 9 10
2
m x x
x x
§S: m≥4
VÝ dơ Giải bất phơng trình 2 x1 2xx
HD + / Nhân vế với biểu thức liên hỵp cđa VT
+ / Biến đổi BPT tích ý ĐK
VÝ dơ Giải bất phơng trình:
1 2
3
3
x x x x
HD Đặt ,
2
t
x x
t , AD BĐT cô si suy ĐK
Ví dụ Giải bất phơng tr×nh:
) 1
(
2
x x
x
HD: + / XÐt trêng hỵp chó y DK x> = -
+ / Trong trêng hỵp x ≥ 4, tiÕn hành nhân chia cho biểu thức liên hợp mÉu ë VT
Ví dụ Cho phơng trình: x 9 x x29xm Tìm m để phng trỡnh cú nghim
HD: + / Bình phơng vÕ chó ý §K
+ / Đặt t = tích thức, Tìm §K cđa t + / Sư dơng BBT suy KQ
VÝ dơ Gi¶i bÊt phơng trình (KA 2004) :
3 3
) 16 ( 2
x x x
x x
Bài tập áp dụng
1)
0 1 2 2
a y x
x y x
Tìm a để hệ có nghiệm Tìm nghiệm ú.
ĐS a = - a =
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: 4x 2 16 4x m
3) 4 4 2 12 2 16
x x x
x
4) x12 x 3 2x1
5) 2(1 ) 2 2
x x x x x HD: Đặt 2
x x
t , coi phơng trình bËc hai Èn t 6) (x 1)x (2 x)x 2 x2
7)
2
) (
2
x x x x
x
8) Cho phơng trình: x4 x x x 4m a) Giải phơng tr×nh m =
(6)9) 1
1
51
x x x
10)
x x
x
11) Tìm a để với x: ( ) ( 2)2
x x a
x
f §S a≥ ; a≤
Chuyờn 3: Lng giỏc
Đ1 Phơng trình hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cÇn nhí
Các cơng thức biến đổi lợng giác Một số dạng phơng trình bản
Phơng trình bậc 2, bậc theo hàm số lợng giác
Phng trỡnh ng cp bc với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d =
Phơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin3x + b sin2x cosx +
c sinx cos2x + d cos3x = 0
a sin3x + b sin2x cosx +
c sinx cos2x + d cos3x + m = 0
Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b sinx cosx + c = 0 Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Phơng trình đối xứng với sin2nx, cos2nx
C¸c vÝ dơ
VÝ dơ cot tan 2.cos sin
x
x x
x
HD: đặt ĐK x = ± /3 + k.
VÝ dô (sin 1)
2 cos
3
cos2
x x
x
HD: Sư dơng công thức hạ bậc x sinx
3 cos ) cos(
1 §S hä nghiƯm
VÝ dơ
sin sin sin
sin
2 2
2
x x x
x
HD: Nhóm, nhân lên tách thành nhãm
VÝ dô
3
sin sin cos cos3
tan tan
6
x x x x
x x
HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; §S x = - /6 + k VÝ dô 3 tan (tan x x2.sin ) 6.cosx x0
HD: Biến đổi theo sin cos đợc 3.cos2 (1 2cos ) sin2 (1 2cos )
x x x
x §S x = ±/3 + k
VÝ dô
3.tan 6sin 2sin( )
tan 2sin 6sin( )
y
x y x
y
x y x
HD: nh©n (1) víi (2) rót gän tan2 4sin2
y
y
đặt tan2
2
y t
; t = 0, t 3
VÝ dô x x x x sin3x cosx
2 sin cos
sin
cos HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dô
2
cos cos cos cos
cosx x x x x
HD: nh©n vÕ víi sin(x/2) chó y xet trờng hợp 0 NX: Trong toán chøa tæng cos cos cos
sin sin sin
T x x nx
T x x nx
thùc rút gọn cách trên
(7)VÝ dô 10 9 sin2
cos
log .4.log 2 4
x x
HD: 4
) (sin log
2 log log
2 2
sin sin
sin
x
x x x
Đ2 Giá trị lớn nhỏ nhất, phơng trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min khoảng đoạn. Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá
C¸c vÝ dơ
VÝ dơ T×m GTLN, GTNN:
x x
x x
y 4 2
2
cos sin
sin cos
HD: t = cos2x, tìm Max, Min đoạn M = 8/5 m = 4/3 VÝ dơ Cho ph¬ng trình: cos2xm.cos2 x 1tgx
1) Giải phơng trình m = 1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]
HD: t = tgx, t 0; 3
; LËp BBT f(t) §S:
(1 3) 3;1
m
VÝ dơ : T×m GTLN, GTNN: y 2.sin8 x cos42x
HD: t = cos2x, - 1t1 tìm Max, Min đoạn f, t 0 8t3 (t1)3 §S:M = 3, m = 1/27 VÝ dơ T×m GTLN, GTNN: cos4 sin4 sin cos
x x x x
y
VÝ dơ Cho ph¬ng tr×nh: 2.(sin4 cos4 ) cos4 2sin2
x x x m
x
Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ Cho phơng trình
3 cos sin
1 cos sin
2
x x
x x
a
1) Giải phơng trình a = 1/3 2) Tìm a để phơng trình cú nghim
HD: Đa dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + §S [ -1/2, 2]
VÝ dơ Tìm nghiệm pt sau khoảng (0, ) :
4 cos
2 cos sin
4 x x x
Bài tập áp dụng
1)
2 sin sin sin cos cos
cosx x x x x x
2) sinx 3.cosx sinx 3.cosx 2
3) 3sin (32 ) 2sin cos 5sin2
2 2
x x x x
4)
x x
x x
cos
cos sin
1 sin
2
5) cot cos 22 sin
x x
x
HD: Chó ý §K §S: x = - /4 + k/2
6) cos 2xcos (2.tanx x 1) 2
7) 3cos4 8cos6 2cos2 3 0
x
x
8)
1
cos
3 sin sin cos )
(
x
x x
x
9) 1sinxcosxsin2xcos2x0
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 phơng trình cos2
sin
3 sin cos sin
5
x
x x x
x KA 2002
2) Giải phơng trình
2
4 (2 sin )sin tan
cos
x x x
x
(8)3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 phơng trình cot tan 4sin 2 sin
x x x
x
KB 2003
4) Tìm x nghiệm thuộc khoảng 0;14 phơng trình cos 3x cos 2x3cosx 0 KB 2003
5) Xác định m để phơng trình 2 sin xcos4xcos 4x2sin 2x m có nghiệm thuộc đoạn0 0;
2
(DB 2002)
6) Giải phơng trình
4
sin cos 1
cot
5sin 2 8sin
x x
x
x x
(DB 2002)
7) Giải phơng trình tan cos cos2 sin tan tan
x x x x x x
(DB 2002)
8) Cho ph¬ng tr×nh 2sin cos (1) sin 2cos
x x
a
x x
a) Giải phơng trình (2)
a
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
9) Gi¶i phơng trình
2
sin
8cos x x (DB 2002)
10) Giải phơng tr×nh cot cos sin2 1sin
1 tan
x
x x x
x
(KA 2003)
11) Giải phơng trình 3 tan xtanx2sinx6cosx0 (DBKA 2003) 12) Giải phơng trình cos 2xcosx2 tan2 x1 2 (DBKA 2003) 13) Giải phơng trình 3cos 4x 8cos6x 2cos2x 3 0
(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
2 cos 2sin
2 1
2cos
x x
x
(DBKB 2003)
15) Giải phơng trình sin2 tan2 cos2
2
x x
x
(KD 2003)
16) Giải phơng trình
2
cos cos
2 sin cos sin
x x
x x x
(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình cot tan 2sin sin
x
x x
x
(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình 5sinx sin xtan2x (KB 2004)
19) Giải phơng trình 2 cosx1 2sin xcosxsin 2x sinx (KB 2004) Chuyờn 4: M & Lụgarit
Đ1 Phơng trình hệ phơng trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức mũ lôgarit. Giới thiệu số phơng trình bản. Khi giải phơng trình logarit §K C¸c vÝ dơ
VÝ dơ Cho phơng trình: log log2
3
3 x x m
1) Giải phơng trình m = 2
(9)VÝ dô
4 log log
2
5 ) (
log
2
2 2
y x
y x
®s (4, 4)
VÝ dơ log ( 1) log (4 )
1 ) ( log
2
4
2 x x x HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2, x2 3
VÝ dô log5 x.log3xlog5 x.log3x HD: Đổi số ĐS: x = x = 15
VÝ dô
6 3 3
) (3 9
2 2
3 log )
(
log2 2
x y y x
xy
xy
VÝ dô x x
1) ( log3
2
HD: §K x> - TH1: - 1<x phơng trình vn
TH2: x>0, đặt y = log3(x + 1) Suy
3
2
y y
VÝ dô
2
2
1
log x x
x x
HD: VP ≤ víi x>0, BBT VT ; Côsi lôgagrit ĐS x = 1
VÝ dô
y y y
x x x
x
2 2
2 4
4 5 2
1
§S (0, 1) (2, 4)
Ví dụ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) : log log log4 3
2
2x x m x
HD: t > = 5; 1 3
1 31
1 ,0
2
m t m
m m m
VÝ dô 10
3 2 2
log log
y x
x
y xy y
HD ĐK x, y>0 khác 1; BĐ (1) đợc
TH1: y = x thay vµo (2) cã nghiÖm TH2:
1
y
x thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành miền y>1 0<y<1
Đ2 Bất phơng trình hệ bất phơng trình Mũ lôgarit Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Giíi thiƯu mét số bất phơng trình mũ logarit Chú y §K
(10)Ví dụ Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm:
1 )1 ( log 3 1 log
2 1
0 3
1
3 2
2
x x
k x x
HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x ≤2; BBT f x x 3 3 x §S: k > - VÝ dô log 2log ( 1) log26
4
1 x x
VÝ dô x x
x x log2
2 log
2
2 HD: LÊy logarit vÕ theo c¬ sè VÝ dơ logx(log3.(9x 27))1
VÝ dô 2
4
log log (x 2x x) 0
VÝ dô ( 1)log (2 5)log
1
2
1
x x x
x
HD: Đặt t = log x , coi BPT cho Bpt bậc ẩn t; Chú ý so sánh trờng hợp t1, t2 ĐS (0;2] v (x≥ 4)
VÝ dô Giải bất phơng trình x x
x log2
2 log
2
2
Ví dụ Giải bất phơng tr×nh:
0
) ( log ) (
log
3 2
1
x
x x
VÝ dô Giải bất phơng trình: 2
4
1
log (x 3 )x log (3x1)
Bài tập áp dụng
1) x x x
x
3
3 log
2 log log
log
2) 2log 2 log3 log3( 1)
9 x x x
3) 3
3
2
2
x x x
x
4)
0 log log
0 3 4
2
4x x
y x
§K x, y≥ §S: (1, 1) (9, 3)
5)
3 ) 5 3 2 ( log
3 ) 5 3 2 ( log
2
2
x y y y
y x x x
y x
6)
25
1 ) 1 ( log ) ( log
2
4
1 x y
y x
y
KA 2004 §S: (3; 4)
7) log (2 1).log (2 2)
2
2
x
x §S x = log
(11)8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:
0 )1
(
1 )3
2 (
2
4 log
2 05,
a x a x
x
x x
x
HD: a>3/2
9) logx log (93 x 6)
10) Giải phơng trình log ( 1) log ( 2 )
2
3 x x x x
11)
x y
x y y x
x y
x
2
2 2
12)
0 6
) (8
1 3 ). (
4
4
y x x y
y x
y x
13) Tìm m để phơng trình 4log log
2
2 x xm cã nghiƯm thc kho¶ng (0;1)
Chuyên đề Tích phân xác định ứng dụng Đ1 Phơng pháp tính tích phân I Tích phân hàm số hữu tỉ
(12)1) ; B ; ) ( x x dx x dx x A 2) ; ) ( B ; 2 ( 10 3 x dx x x dx x x A 3) ; ) ( ) ( B ; ) 16 10 ( 2 1 2 x x dx x x dx x x x A 4) ; ) ( B ; ) ( 1 3 x x dx x x x x dx x x x A 5) ; B ; 2 2 x x dx x x x dx A 6) ; ) ( B ; ) ( 3 x dx x x x dx x x x A 7) ; ) ( ) ( B ; ) ( 4 2 x x dx x x x dx A
8)
2 3 ; ) )( ( 13 2 B ; 3 dx x x x x x x dx x A Bµi tËp
1) (C§SP HN 2000):
2 dx x x I
2) (§HNL TPHCM 1995)
1
2 5x 6 x
dx I
3) (§HKT TPHCM 1994)
)
( x dx
x I
4) (§HNT HN 2000)
2 ) 10 ( x x dx x x x I
5) (§HSP TPHCM 2000)
2 5 6
) 11 ( x x dx x I
6) (§HXD HN 2000)
1 x dx I
7) (§H M§C 1995 )
4x 3 x
dx I
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để ) ( 3 3 x C x B x A x x x x
TÝnh dx
x x x x I 3 3
9) (§HTM 1995)
x dx x I
10) (ĐH Thái Nguyên 1997)
x x
dx x
I
x t : HD ) (
11) Xác định số A,B để
1 ) ( ) ( 2 x B x A x x TÝnh dx x x I ) ( ) ( 2
12) Cho hµm sè 2 3
) ( ) ( ) ( x x x x f
a) Định hệ số A,B,C,D,E cho
1 ) )( ( )
( 2
x dx E x dx D x x C Bx Ax dx x f
b) TÝnh
2
) (x dx f
II Tích phân hàm số lợng giác Ví dụ : Tính tích ph©n sau
1) 2 tan ; B
1 sin cos cos sin cos
dx x dx
A
x x x x x
2)
3
0
6 tan
; B ( cos sin ) cos
x dx
A x x dx
x
3) x xdx
x dx x x
A ; B sin cos
cos
) sin
( 2
0 4) ; sin cos 2 x dx x x A Bµi tËp
(13)
4 cos 1
sin J va ; sin sin x dx x x dx x I
2) (§HSP TPHCM 1995) Cho x x x x f cos sin sin ) (
a) T×m A,B cho
x x x x B A x f sin cos sin cos ) (
b) TÝnh
) ( dx x f I
3) (§HGTVT TPHCM 1999)
a) CMR
4 4 4 sin cos sin sin cos cos x x dx x x x dx x b) TÝnh 4 sin cos cos x x dx x I
4) (§HTS 1999) TÝnh :
2. ) cos ( cos sin dx x x x I
5) (§HTM HN 1995) TÝnh 4 cos x dx I
6) (HVKTQS 1999):TÝnh
4 cos sin x dx x I
7) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
2
0 cos
cos x dx x I
8) (§HQGHN Khèi A 1997)
2 cos sin x dx x I
9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh
cos sin cos sin dx x x x x I
10) (§HQG TPHCM 1998)
2
0
2 .sin .
cos dx x x I
11) (HVNH TPHCM 2000)
cos sin x dx x I
12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm sè
2 ) sin ( sin ) ( x x x h
a) Tìm A,B để
x x B x x A x h sin cos ) sin ( cos ) ( 2
b) TÝnh ) ( dx x h I
13) (§HBK HN 1998)
2
0
4 sin ).
.(cos cos dx x x x I
14) (HVNH TPHCM 2000)
cos ) sin ( x dx x x I
III TÝch phân hàm số vô tỉ Ví dụ : Tính tích phân sau :
1) a a dx x a x dx x x A 2
15. 1 3 . ; B . 2 . ( 0)
2) 2
2 ( 0)
) ( B ; a x x dx dx x a x A a
3)
1 ( 1)( 2)
B ;
1 x x
dx x
x dx A
4)
1 2 2 B ; x x dx x dx x A
5)
2 2 B ;
x x x dx
x dx A 6)
0
B ; x dx x dx x A
7)
3
8 1
) ( (*)B ;
1 x x x
dx x x x dx A
8) ;
1 1 (*) x dx x x A
9)
2 ; B 2 2.
4 x dx x x dx
A
10)
(14)1) (HVNH THCM 2000) x x dx x I
2) (§H BKHN 1995)
2
3
2 x x2
dx I
3) (HVKTQS 1998)
1
11 x x2 dx I
4) (§HAN 1999)
4
7x x2 dx I
5) (§HQG HN 1998)
1
2 3. 1 x .dx x
I
6) (§HSP2 HN 2000)
2
1 x x3 dx I
7) (§HXD HN 1996)
) ( x dx x I
8) (§HTM 1997)
7
03 x dx x I
9) (§HQG TPHCM 1998)
1
0
x dx x I
IV Một số dạng tích phân đặc biệt Ví dụ1 :Tính tích phân sau :
1)
0 sin cos
cos B cos sin sin x x xdx x x xdx
A 2) x xdx
e e
dx e
A x x
x cos cos B
Ví dụ2 :Tính tích phân sau
1)
1 5cos2 . ; B 2.
dx e x dx x x A x
2)
2 2 . cos sin B ; 1 ln dx x x dx x x x A
VÝ dơ 3 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1) 2004 2004 2004
4 cos sin
cos B ; sin sin dx x x x dx x x A
2)
2 1 cos
sin B ; cos sin dx x x x dx x x x A Bµi tËp
1) (§HPCCC 2000) TÝnh
1
1 x dx
I x
2) (§HGT 2000 )TÝnh
2 sin cos dx x x x I
3) (§HQG HN 1994) TÝnh
0
3 .
sin xdx x
I
4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh
dx x
I x
1 sin2
5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh 1 dx x I x
Đ2 ứng dụng tích phân xác định Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung toán diện tích hình phẳng: toán bản. Bài toán thể tích tròn xoay.
Các ví dụ
Bi Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh trục ox hình phẳng giới hạn trục ox đờng y 2sinx(0x)
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: 3,
x x y x
y
Bài Tính diện tíc hình phẳng giới hạn đờng:
2 , 4 2 x y x
y
Bµi TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn (P) y2 = 16x tiếp tuyến A(1;4) B(4; - 8)
Bài Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
2 x 0; x va y ; cos
sin2
x x
(15)2) (§HTCKT 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y ex;y ex va x1
3) (HVBCVT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
2 x 0; x va 12 y ; sin
1
x x
y
4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x2 2x;y 3x
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bëi y x2; x y2
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn y x2 4x3;y3 x 7) (§HC§ 1999) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
x y va y ;
2
2
x x
y
8) (§HSP1 HN 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi 1;y
x x
y
9) (§HKTQD 1996) TÝnh diện tích giới hạn hình phía dới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a 10) Tính diện tích giới h¹n bëi ( ):
x x
y
P vµ tiếp tuyến điểm A(0;-3) B(3;0) 11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn ( 1)5 ;y va x
x x ex
y
12) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
4
Oy voi truc
x va cos y ;
sin3
x x
y
13) (HVQY 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi 0; (C): 2
y x x x
y tiếp tuyến với đờng
cong (C) điểm có hồnh độ x=2
14) (§HKT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
1
4
x x
y (C ) Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1
*****Một số tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y x2
trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2 2) Tính diện tích S giới hạn đồ thị
2 : )
(
x
y
C trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=1 x=3 3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị
: )
(C yx trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P):y2 2x
đờng thẳng có phơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P1):x 2y2 va(P2):x 1 3y2 Bài Thể tích vật thể
1) (§HNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
;
3 ;
;x x y
tgx y
D
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D
b) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh Ox
2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox hình giới hạn trục Ox (P) y=x2-ax (a>0)
3) (§HXD 1997) TÝnh thĨ tÝch cđa vật thể tròn xoaydo hình phẳng S yx.lnx;y 0;x1;xe
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bëi ( ): 2
2 2
b y a x
E nã quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta đợc vật thể Tính thể tích vật thể
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn Dyx2;y x Tính thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D
quay quanh trơc Ox
7) (HVKTQS 1995) TÝnh thĨ tÝch D quay quanh Ox
y y x x x x
D ;
2 ; sin cos
1 ;
0 4
8) TÝnh thÓ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox hình phẳng S giới hạn đ-ờng
y=x.ex , x=1 , y=0 (0 x ≤ )
9) (§HXD 1998) TÝnh thể tích vật thể tạo hình 16
) ( : ) (
2
y
x
E quay quanh trơc Oy
10) (§HNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn
2 ;
1
2
x y x y D
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D
(16)11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn Dy2 (4 x)3;y2 4x
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D
b) Tính thể tích vật tròn xoay D quay quanh Ox 12) (§HPCCC 2000): Cho hµm sè ( ): .( 1)2
x x
y C
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) c) Tính thể tích giới hạn (C) quay quanh Ox
13) Cho miền (H) giới hạn đờng cong y=sinx đoạn x ≤ ≤ trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay (H) quay quanh
a) Trôc Ox b) Trôc Oy
Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn Đ1 Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng,
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 1.1 Các toán chän sè:
* Ví dụ 1: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc:
a/ Bao nhiªu số tự nhiên gồm chữ số khác b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số kh¸c
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt số
* Ví dụ 2: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên thoả:
a/ Gåm ch÷ sè tõ số
b/ Gm ch s chữ số có mặt lần cịn chữ số khác có mặt lần
* Ví dụ 3: Với chữ số 1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, có
hai chữ số khơng đứng cạnh
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số khác cho :
a/ Số chia hết cho
b/ Trong chữ số có mặt chữ số c/ Nhỏ 600000
* Ví dụ 5: Xét hoán vị chữ số 1,2,3,4,5,6 Tính tổng S tất số tạo thành hoán vị
này
* Ví dụ 6: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập đợc số gồm chữ số khác tổng của
3 chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị Bài tập
* Bài 1: Từ chữ số 1,2,5,6,7,8 lập đợc số gồm chữ số khác từ chữ s trờn sao
cho:
a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Số tạo thành mặt chữ số c/ Số tạo thành phải có mặt chữ số d/ Số tạo thành nhỏ 278
*Bài 2: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác
c/ Có số tự nhiên chia hết cho gồm chữ số khác
*Bµi 3: Cho tËp A1, 2,3, 4,5, 6,7,8
a/ Cã bao nhiªu tËp X cđa A thoả điều kiện chứa không chứa
b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lấy từ tập A không bắt đầu số 123
*Bi 4: Cho A0,1, 2,3, 4,5,6,7 lập đợc số gồm chữ số khác lấy từ tập A cho: a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Một chữ số phải b»ng
*Bài 5: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số cịn lại chọn từ 2,3,4,5 Hỏi có bao
nhiªu sè nh vËy nÕu
a/ chữ số xếp kề b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
*Bµi 6: Cho chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
a/ Có số có chữ số khác lập từ số
b/ Có số có chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số
1
a a a thoả điều kiện chữ số a3 số chẵn , a7 không chia hết cho 5, chữ số a ;a ;a4 5 6 đôi khác
*Bài 8: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập đợc số :
(17)b/ Gồm chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số
*Bài 9: Ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 Trong số đợc viết có chữ số đợc xuất lần cịn chữ số lại xuất lần Hỏi có số nh
* Bài 10: Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xét tập E gồm chữ số khác viết từ chữ số cho Chứng minh
rằng tổng S tất số tập E chia hết cho 1.2 Các toán chọn đối tợng thực tế:
Dạng 1 : Tìm số cách chọn đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 1: Có bơng hồng vàng, bơng hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem nh đôi khác
nhau) ngêi ta muèn chän mét bã hoa gåm b«ng
a/ Có cách chọn hoa đợc chọn tuỳ ý b/ Có cách chọn cho có bơng màu đỏ
c/ Có cách chọn cho có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ
* Ví dụ 2: Một khiêu vũ có 10 nam nữ, ngời ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp.
Hỏi có cách chọn
* Vớ d 3: Một lớp học có 30 học sinh có cán lớp.ần chọn em 30 học sinh trực
tuần cho em đợc chọn ln có cán lớp Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, có cạp anh em sinh đơi Ng ời ta cần chọn 3
học sinh 50 học sinh dự hội trại cấp thành phố cho khơng có cặp anh em sinh đơi đợc chọn Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 5:Trong môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác gồm câu khó , 10 câu trung bình 15 câu
hi d Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu (khó, trung bình dễ) đồng thời số câu dễ khơng
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đợc lấy từ đỉnh của
H
a/ Có tam giác nh
b/ Có tam giác có cạnh cạnh H c/ Có tam giác có cạnh cạnh H d/ Có tam giác khơng có cạnh cạnh H
Dạng 2 : Xếp vị trí đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 7: Có cách xếp bạn A,B,C,D,E vµo mét ghÕ dµi cho
a/ Bạn C ngồi b/ Bạn A E ngồi hai đầu ghế
* Ví dụ 8: Trong phòng học có dÃy bàn dài, dÃy có chỗ ngồi Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
häc sinh gåm nam vµ nữ Hỏi có cách xếp nếu: a/ Các häc sinh ngåi tuú ý
b/ C¸c häc sinh nam ngồi bàn nữ ngồi bàn
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn nớc : Việt Nam ngời, Lào ngời, Thái Lan ngời và
Trung Quốc ngời Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho ngời quốc tịch ngồi gần
* Vớ d 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho
4 học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau: a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với
b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với Bài tập
* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gồm 25 nam 15 nữ Có cách chän häc sinh cho :
a/ Sè học sinh nam nữ tuỳ ý b/ Phải có nam nữ
c/ Phải có Ýt nhÊt n÷
d/ Sè häc sinh nam không vợt
* Bài 2: Một lớp häc cã 40 häc sinh cÇn cư ban c¸n sù gåm líp tr ëng, líp phã uỷ viên Hỏi có
mấy cách lËp ban c¸n sù líp
* Bài 3: Gia đình ơng A có 11 ngời bạn có cặp vợ chồng ơng muốn mời ngời đến dự tiệc, trong
đó có cặp vợ chồng đợc mời khơng đợc mời Hỏi ơng A có cách mời
* Bài45:Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng
đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh mền núi , cho tỉnh có nam nữ
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi trờng gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11
và học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em đợc chọn
* Bài 6: Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ có 10 điểm phân biệt đờng thẳng thứ hai có 20
(18)* Bài 7: Cho đa giác A A A (n 2,n1 2 2n )nội tiếp đờng tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A ;A ; ;A1 2 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm
1 2n
A ;A ; ;A H·y t×m n
*Bài : Một tổ gồm học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào chỗ ngồi đợc ghi số thứ tự bàn dài.
T×m sè cách xếp học sinh cho:
a/ A B ngồi học sinh lại b/ A B không ngồi cạnh
*Bài : Một học sinh có 12 sách đơi khác có sách mơn tốn, mơn văn,
6 mơn anh văn Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ dài , sách đợc xếp kề môn học xếp kề
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau: a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với
b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với
§2 Các toán nhị thức, phơng trình bất phơng trình Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một sè kiÕn thøc cÇn nhí
1 Hốn vị : Pn n n. 1 2.1
2 Chỉnh hợp:
!
1
!
k n
n A n n n k
n k
0
! 1, n
O A 0 k n
3 Tổ hợp:
!
! !
k n
n C
k n k
,0
O n
C k n Cnk Cnn k Cnk1Cnk Cnk1
4 Nhị Thức nưu tơn:
0
k n
n k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
Tồng có n+1 số hạng bậc số hạng n-k+k=n Số hạng tổng quát Tk1 C ank n k bk
C¸c vÝ dô
I Giải pt, hệ pt, bất phơng trình, hệ bất phơng trình đại số tổ hợp
*VÝ dơ Giải phương trình: a,C1x6.Cx26.Cx39x214x b,C5x2C5x1C5x25
*VÝ dơ Giải phương trình:
5
5 14
x x x
C C C
*VÝ dơ Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình
a, 41 31 2
0
n n n
C C A §S: n=11 b, 2. n 2 3 n 100
n n n n n n
C C C C C C
c, Cn02Cn14Cn2 2 nCnn 243
*VÝ dô P Ax x2 72 6 Ax22Px
*VÝ dơ Giải hệ phương trình 90
5 80
y y
x x
y y
x x
A C A C
§S: x=5 ,y=2
*VÝ dơ Giải bpt: a)
2
3 10
n n
C
n C
b)
1 14
n
n n
A C n
§S: a)
5
3 n
)
2
b n
*VÝ dơ Giải bất phương trình:
4
4 143
)
2 !
n
n
A a
n P
4
3
1
24 )
23
n n
n n
A b
A C
(19)*VÝ dơ Giải bất phương trình: a, 41 31 2
4
x x x
C C A b, 22
1
10 2Ax Ax xCx
§S: a, 5 x 11 b, x 4
Bµi tËp 1 Giải phơng trình sau:
1/
x x
2A 50 A 2/ x x x
4
1 1
C C C
2 T×m k cho c¸c sè C ;C ;Ck7 k 17 k 27 theo thø tù lËp thµnh mét cÊp số cộng. 3 Giải bất phơng trình sau:
1/ C4n 1 C3n 1 5A2n 2 0, n
4
2/
3 n
n n
A 2C 9n
4 Giải hệ phơng trình sau:
1/
y y x x y y x x
2A 5C 90
5A 2C 80 2/
y y y x x x
C : C : C : :
5 Giải phơng trình sau:
1/ 2
x x x x
P A 72 6(A 2P ) 2/ x x x
5
1 14
C C C
3/ 2 2 2 2
n n n n
C 2C 2C C 149 4/ C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x 6. Giải bất phơng trình sau:
1/
x x
x
C
A 14P 2/
4
x x x
5
C C A
4
3/
2 x x x
1
A A C 10
2 x
4/ C2x2 C2x4 C 2x2x 22003 7. Giải PT hÖ PT sau:
1/
y y x x
y y x x
C C
4C 5C 2/
m m m n n n
C : C : C : :
8 Giải bất phơng trình 60 32 )!
(
k n
n A
k n
P
víi Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)
9 Giải hệ phơng tr×nh : : 6:5:2
1
y x y x y
x C C
C (TNPT 2002 - 2003)
10 Giải bất phơng trình 22003
2
2
2
x x x
x C C
C
11 Tìm số n nguyên dơng thoả mÃn bất phơng trình A Cn n
n
n
2
3 §S: n = 4, n = 3
12 Tìm số tự nhiên n thoả mÃn: 22 3 n3100
n n n n n
n
n C C C C C
C
Tìm số tự nhiên n biÕt (KA 2005) 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
1 2
1 3
1 2
1
1
2
n n n n
n n
n C C C n C
C
II Tìm số hạng hệ số số hạng
*VÝ dơ 1.Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển
10
x x
*VÝ dơ Tìm số hạng x31, Trong khai triển
40
x x
*VÝ dơ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển
7
4
x x
(20)*VÝ dô Trong khai triển
28
3 15
n
x x x
Tìm số hạng khơng chứa x biết n n n 79
n n n
C C C
*VÝ dơ Tìm hệ số số hạng chứa x43 khai triển
21
3
x x
*VÝ dô Biết khai triển
3
n
x
Có hệ số số hạng thứ Hãy tính số hạng đứng khai triển
*VÝ dô Cho khai triển
3 n
x x
Biết tổng ba số hạng đầu itên khai triển 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5
*VÝ dơ Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển
15 28 n
x x x
bằng 79 Tìm số hạng khơng chứa x
*VÝ dơ tìm hệ số x y6 khai triển
10
x xy
y
*VÝ dô 10 Trong khai triển
12
3 xy xy Tìm số hạng chứa x y cho số mũ x y số nguyên dương
*VÝ dô 11 Tìm hạng tử số nguyên khai triển 33 219
*VÝ dô 12
a, Cho khai triển 1 x 101 Trong hệ số số hạng Tìm hệ số lớn
b, Cho khai triển 1 2x 30.Tìm hệ số lớn hệ số Bµi tËp
1 BiÕt r»ng (2x)100 a0 a1x a100x100 a) CMR: a2 < a3
b) Với giá trị k ak< ak + (0≤k≤99)
2 Tìm k thuộc {0, 1, … 2005} cho: C2005k đặt GTLN
3 Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: 2 12
n
n n
n A P A
P
4 Tính giá trị biểu thc
)! (
3A
A
n
1 n
n
M n số nguyên dơng BiÕt r»ng: 149
2
2
4
3
2
1
n n n
n C C C
C
5 Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thøc cđa (2 - 3x) 2n. 6 Gi¶ sư (12x)n a0 a1x anxn vµ a0 a1 an 729
Tìm n số lớn số: a0,a1, ,an
7 Giả sử n số nguyên dơng (1x)n a0a1 anxn
Biết k nguyên (0<k<n) cho
24
1
1
k k
k a a
a
TÝnh n? ĐS: n = 10
8 Giả sử n số nguyên dơng (1x)10(x2)x11 a1 a1x10 a11 HÃy tính hệ số a5 ĐS 672 9 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Biết: 7( 3)
3
4
C n
C n
n n
n §S: 495
10 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triĨn nhÞ thøc 1 x2(1 x)8
(21)11 Có hạng tử số nguyên khai triiển 345124 12 Có hạng tử số nguyện khai triển 47 3364
13 Khai triển đa thức P x 1 x9 1x10 1x14 A0 A x1 A x14 14 Tính A9 14 Cho khai triển :
1
2
n x
x
Biết 5
n n
C C số hạng thứ 20n Tùm x n
15 Trong khai triển :
3
n
a b
b a
tìm số hạng chứa a,b có số mũ 16 Tìm hệ số lớn hệ số khai triển
40 3x
17 Biết tổng hệ số khai triển 1 2 xn 6561 Tìm hệ số x4
18 Biết tổng hệ số khai triển 1x2n 1024 Tìm hệ số x12
19 Tìm hệ số x8 khai triển : 13
n
x x
Biết
1
4
n n
n n
C C n
III Chứng minh đẳng thức
*VÝ dơ
a, (§HBK HN - 1998) Chøng minh r»ng: 316C160 315C161 316C162 C1616 216
b, (§HYD TP HCM - 2000) Chøng minh r»ng: b1, Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
b2, C21n C23n C25n C22nn1 C20n C22n C24n C22nn
c, Chøng minh r»ng: 72005C20050 72004.6.C1200572003.6 2C20052 72002.6 3C20053 6 2005C20052005 1
*VÝ dơ
a, (§HAN-CS khèi A - 1998) Chøng minh r»ng:
2
2.1 3.2 4.3 .( 1) n ( 1).2n , ,
n n n n
C C C n n C n n n n
b, (ĐH Hằng Hải - 1997) Chứng minh r»ng:
1 1 3
.4 n ( 1).4 n ( 2).4 n ( 1) n 2n n, ,
n n n n n n n n
n C n C n C n C C C C n C n n
*VÝ dơ
a, (§H Giao thông vận tải - 1996) Chứng minh rằng:
2
0 2 2 ( 1)
2 ( 1)
2 1
n n
n n
n n n n
C C C C
n n
b, (§H Më Hµ Néi - 1999) CMR:
1
0
1 1
, ,
3 3 3( 1)
n n
n n n n
C C C C n n
n n
*VÝ dô
a, Chứng minh Cn mm m 1Cm nm
n
b, Cho n,m,k số nguyên dương m n k m , Chứng minh:C Cnm mk C Cnk n km k c, Cho n nguyên dương Chứng minh rằng: 1
2 2
1
n n n
n n n
C C C
d, Cho n≥2 n nguyên Chứng minh:Cn21 Cn2n
e, Cho n≥2 n nguyên Chứng minh: 2
2
1 1
n n
A A A =T
HD: 2 ! 3 ! !
2! 3! !
n T
n
, 1 1 1 1
1 2
T
n n n
(22)*VÝ dơ (Sử dụng tính chất: CnkCnk1Cnk1) a, Chứng minh
1
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
b, Chứng minh : 22 33
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
c, Cho 4 k n Chứng minh Cnk4Cnk16Cnk24Cnk3Cnk4 Cnk4
d, Cho 1 m n Chứng minh Cnm Cnm11Cnm21 Cmm1Cmm11
*VÝ dô (Khai triển biểu thức hoặc, hai biểu thức hai cách khác sau đồng hệ số )
a, Chứng minh rằng: C C60 nk C C61 nk1 C C66 nk6 Cnk6 b, Chứng minh: 0 2 2
2
n n
n n n n
C C C C
c, Chứng minh. 0 2 2 n n 1n n
n n n n
C C C C
d, Chứng minh rằng: 0. p 1. p p. p
n m n m n m n m
C C C C C C C
HD: a,1x 6 1xn ! 1xn6 ! so sánh xk b,
0
1 n n n k k n k n k
n n
k k
x x C x C x
Hệ số x n
0 2 n
n n n
C C C 2 2
0
1 n n k k
n k
x C x
Hệ số xk 2kn
C
c, 2 2 22
1x n 1 x n 1 x n
d, Xét1x n 1xm=! Hệ số xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển 1xm n Hệ số xp Bµi tËp
1 a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997) Chøng minh r»ng: C100 C101 C102 C1010 210
b, Cho:0 n Chøng minh r»ng: ( 1)n n
n n n n
C C C C
2 (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000)
Chøng minh r»ng: 2 3 n , n ,
n n n n
C C C nC n n n
3 (§HKTQD - 2000).
Chøng minh r»ng: 1.2n 1 2.2n 2 3.2n 3 n , n ,
n n n n
C C C nC n n n
4 (§H LuËt Hµ Néi - 1997)
Chøng minh r»ng: 1 1 ( 1) 1
2 2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
5 (ĐH Đà Nẵng - 2001) Chøng minh r»ng:
2 1
0 2 2
2 ,
2 1
n n
n
n n n n
C C C C n
n n
6 (ĐH Nông nghiệp - 1999)
Chứng minh rằng: 190 191 192 1919 2C 3C 4C 21C 420 7 (Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81)
Chøng minh r»ng: 1 1 ( 1) (2 )!!
3 (2 1)!!
n n
n n n n
n
C C C C
n n
8 (§HQG Tp HCM khèi D - 1997)
Cho: ,
k n k n
Chøng minh r»ng: k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
9 Chøng minh r»ng: k k 1 k 2k
n n n n n n n
C C C C C C C
(23)10 Chøng minh r»ng:
a, C109 4C108 6C107 4C106 C105 C149