Mời các bạn học sinh tham khảo chuyên đề luyện thi đại học: Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh ĐH - Nguyễn Trung Kiên. Để giúp cho các bạn củng cố kiến thức cũ đã học để đạt được điểm cao hơn nhé.
www.VNMATH.com Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình khơng gian tốn khơng khó đề thi TSĐH ln làm cho nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề hy vọng giúp bạn học sinh hiểu rõ chất toán để từ tìm chìa khóa giải triệt để dạng toán Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính tốn ⊻ Trong tam giác vng ABC (vng A) đường cao AH ta ln có: - b = c tan B , c = b tan C , AH = HB.HC - 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AC AB AC AB + AC A B H C ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = b2 + c2 − a2 2bc Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: - S ∆ABC = 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - S = p.r (Trong p chu vi, r bán kính vịng trịn nội tiếp tam giác) - S= abc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com ⊻ Thể tích khối đa diện: - Vchop = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - VLT = B.h Phần 2) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vng với đáy chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến Loại 3: Khối chóp có mặt kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề - Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC Việc xác định chân đường cao yếu tố đặc biệt quan trọng để giải câu hỏi tốn hình khơng gian cổ điển - Phần 3: Các tốn tính thể tích A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Để giải tốt dạng tập em cần nắm dấu hiệu để xác định đường cao sử dụng cơng thức + Vchóp = B.h + VLT = B.h Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , có AB = AD = a, CD = a Góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với đáy ABCD ’’ NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Vì mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với đáy ABCD mà ( SBI ) ( SCI ) có giao tuyến SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Kẻ IH ⊥ BC ta có góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) ˆ = 600 Từ ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a SHI a 3a 2S 2 IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên IH = ∆IBC = 2 BC 3 15 a Từ tính VSABCD = a 5 S A B I D H C Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn B ' C ' , I giao điểm BM B ' C Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao toán là:’’ I nằm mặt bên ( BCC ' B ') vng góc với đáy ( ABC ) ’’ Ta có: - ABCA ' B ' C ' lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC IH ⊥ ( ABC ) I trọng tâm tam giác BB ' C ' ⇒ IH CI 4a = = ⇒ IH = BB ' CB ' 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a VIABC = 1 4a IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 C' A' M B' I O C A H B Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải: +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Ta có: AC = AB + BC = a + 2a = a 3; BM = AB + AM = a + 2a a = Gọi O = AC ∩ BD ;do I giao điểm hai đường trung tuyến AO BM nên trọng tâm tam giác ABD Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: AI = a a ; BI = BM = AO = AC = 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Nhận xét: AI + BI = Do BM ⊥ AI a 2a + = a = AB , suy tam giác AIB vuông I 3 (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) Từ (1) (2) suy BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Điểm N nằm mặt phẳng ( SAC ) vng góc với đáy ( ABCD ) ’’ Do NO đường trung bình tam giác SAC nên ta có: NO / / SA NO = a SA = 2 Do NO đường cao tứ diện ANIB Diện tích tam giác AIB là: S AIB 1 a a a2 = AI BI = = 2 3 1 a 2 a a3 Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB NO = = 3 36 S N M A D I O B C NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao tốn là: ‘’Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ ta có lời giải sau: Gọi O hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) I , H , J hình chiếu O AB, BC , CA Theo định lý ba đường vng góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC Suy ra: SIO, SJO, SHO góc hợp mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) mặt đáy Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600 Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH nên OI = OJ = OH Do O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC tam giác cân A nên AH vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, H thẳng hàng H trung điểm BC Tam giác ABH vng H , ta có: AH = AB − BH = 9a − a = 2a Diện tích tam giác ABC là: S ABC = Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ⇒r= 1 BC AH = 2a.2a = 2a 2 2 ( AB + AC + BC ) = 4a r : bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC S ABC 2a 2 a = = = OH 4a p NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Tam giác SOH vng O , ta có: SO = OH tan 600 = a 1 a 2a 3 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC SO = 2a 2 = 3 S I A B O H J C Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AB = a 3, AC = a Biết đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C khoảng cách từ đỉnh B đến mặt 6a phẳng (C’AC) Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a tính cosin góc tạo mặt 15 phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng đáy ( ABC ) Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C ⇔ C ' A = C ' B = C ' C ’’ C' B' A' N H B C M I A K NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Suy H tâm vòng ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vng A nên H trung điểm BC Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = Ta có: HM = 3a d B /( ACC ') = 15 a AB = ⇒ C ' H = a từ tính CC ' = 2a 2 1 1 a3 Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H dt ( ABC ) = a .a 3.a = 3 2 AC suy I trung điểm AB Tam giác ABC vuông A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo ( ABB ' A ') - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) C ' HKA ' hình chữ nhật Gọi I = HK ∩ AB OI / / = đáy ( ABC ) A ' IK Ta có: cos A ' IK = IK = IK Tính A' I a a 13 IK 13 HK = ; A ' I = IK + A ' K = ⇒ cos A ' IK = = A'I 2 13 Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600 SAB tam giác Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu vng góc H lên mặt a 15 phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = điểm K nằm tam giác SCD Giải: Bài toán cho theo kiểu giả thiết mở Dấu hiệu để tìm đường cao khối chóp là:’’ SAB tam giác Tức SA = SB '' NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com S B C 120° K H E F D A Gọi E trung điểm CD , F trung điểm ED Với giả thiết SA = SB ta suy chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) Ta có: VSABCD = 2VSHCD = HK dt ( SCD ) Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = SF CD; Mà SF = SK + KF ; SK = SH − HK ; KF = HF − HK SH đường cao tam giác SAB suy ra: SH = a 3, HF đường cao tam giác HDE suy ra: HF = a 3 15a Thay số ta có: SF = 10 Vậy: VSABCD = a 3 15a 3a3 2a = 10 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.VNMATH.com Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB = SCB = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Đây toán dễ làm cho học sinh bối rối xác định đường cao hình chóp S K C H A B AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA Hạ SH ⊥ ( ABCD ) AB ⊥ SA Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC hình vng Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a Mặt khác ta có: HK = HC + HS ⇒ SH = HK HC HC − HK =a 1 3a 6a Thể tích khối chóp VSABC = SH S ∆ABC = a = 3 2 Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 10 www.VNMATH.com Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600, tam giác ABC vng C góc BAC =600 Hình chiếu vng góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a ĐS: V = 9a 208 Bài 28: Trong khơng gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo ( ABC ) ( SAB ) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 3a Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC = a M trung điểm AD ( P ) mặt phẳng qua BM song song với SA , cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD 600, SO vng góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO = ĐS: V = a3 Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi K trung điểm AB a) Chứng minh ( SAC ) vng góc với ( SDK ) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) ĐS: V = 2a ; h = 5a 10 Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng ( P ) chứa BC vng góc với AA ' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 12 NGUYỄN TRUNG KIÊN 60 www.VNMATH.com Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC = a ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a a3 ĐS: V = 16 Bài 33: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) a a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên ( SCD ) b) Tính thể tích khối chóp SABCD a a3 ĐS: a ) ; b) Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B ' trung điểm SB, C ' chân đường cao hạ từ A xuống SC Tính thể tích khối chóp SAB ' C ' a3 ĐS: 36 Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B ' C a3 a ĐS: a ) ; b) Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy M N trung điểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc ( SM ; ND ) ĐS: V = a 3a ; cos ϕ = NGUYỄN TRUNG KIÊN 61 www.VNMATH.com Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB = BC = a ; AD = 2a SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN ĐS: a )a ; b) a3 Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB = a ; AC = a hình chiếu vng góc A ' ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc đường thẳng AA ' B ' C ' a3 ĐS: V = ;cos α = Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SB, BC , CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: V = a3 96 Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a góc BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1MB) ĐS: d = a Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SAC ) ĐS: d = 13a 13 Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O , SA vng góc với đáy SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SC Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích khối chóp OAHK NGUYỄN TRUNG KIÊN 62 www.VNMATH.com ĐS: V = 2a 27 Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vng AB = AC = a; AA1 = a Gọi M , N trung điểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 ĐS: V = a3 12 Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm cạnh AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách BM , B1C ĐS: d = a 10 30 Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông A, B , AB = BC = AD =a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB a) Chứng minh tam giác SCD vng b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) a ĐS: h = Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E , I giao điểm AD SMN a) Chứng minh AD vng góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 NGUYỄN TRUNG KIÊN 63 www.VNMATH.com Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a; AA ' = a góc BAD = 600 Gọi M N trung điểm A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) tính thể tích khối chóp ABDMN ĐS: V = 3a 16 Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC ' 2a cho: CK = Mặt phẳng α qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện ĐS: V1 = 2a a3 ;V2 = 3 Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900 , AD = 2a , SA = 2a vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA, AD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp SBCNM theo a ĐS: VSBCNM = a3 Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SC vng góc SM SN với đáy SC = 2a Hai điểm M , N thuộc SB SD cho = = Mặt phẳng MB ND ( AMN ) cắt SC P Tính theo a thể tích khối chóp SAMPN ĐS: VSAMPN = 2a Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , đường cao SA = a M ( ) điểm thay đổi SB , đặt SM = x < x < a Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC N 1) Tứ giác ADMN hình gì? Tính diện tích tứ giác theo a x NGUYỄN TRUNG KIÊN 64 www.VNMATH.com 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp làm hai phần, phần hình chóp SADMN có V thể tích V1 phần cịn lại tích V2 Xác định giá trị x để = V2 ĐS: S ADNM = ( 2a + x ) x2 − a x + a2 ; x = 2a Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao a Mặt phẳng ( A ' BD ) hợp với mặt bên ( ABB ' A ') góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho ĐS: V = 2a Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC ' B ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') a Mặt phẳng ( ABC ') hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = 4a 3 Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ( ACC ' A ') tạo với đáy góc α Tính thể tích khối lăng trụ theo a α a3 ĐS: V = sin α Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác nội tiếp đường trịn tâm O Hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) O Khoảng cách AA ' BC a góc hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') α Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: V = 2a tan 3 tan α α −1 Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A với AB = a, BC = 2a Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt phẳng hợp với góc α Tính thể tích khối lăng trụ cho NGUYỄN TRUNG KIÊN 65 www.VNMATH.com ĐS: V = 3a cot α Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a biết tam giác AO ' C tam giác vuông O ' ( O ' tâm hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích khối hộp ĐS: V = a Bài 58: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SC Biết góc tạo đường thẳng BM ND 600 Tính thể tích khối chóp SABCD ĐS: V = 30a 30a V = 18 Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B có AB = BC = a; AD = 2a , SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SB tạo với ( SAC ) góc 600 Gọi O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O song song với SC cắt SA M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) ĐS: VMBCD 6a a , d M /( SCD ) = = 54 Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a Đường thẳng B ' C tạo với đường thẳng AD góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') góc 300 Tính thể tích khối chóp ACB ' D ' cosin góc tạo AC B ' D ĐS: VACB ' D ' 3a , cos ( AC , B ' D ) = = 27 Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD = 600 Đỉnh a S cách điểm A, B, D Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB NGUYỄN TRUNG KIÊN 66 www.VNMATH.com ĐS: VSABCD = 2a a , R= 12 Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC = 600 Góc mặt phẳng ( A ' BD ) ( ABCD ) 600.Tính thể tích khối chóp C ' A ' AD khoảng cách hai đường thẳng CD ' A ' D theo a a a3 ĐS: V = , d = Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết SD tạo với ( SBC ) góc α Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng ( P ) qua M vng góc với ( SAD) cắt SA, SD, CD N , E , F Tính thể tích khối chóp SMNEF xác định tâm , tính bán cho cos α = kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a ĐS: VSMNEF = 3a 93a , R= Bài 64: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm AD, CD Hình chiếu S ABCD trùng với giao điểm AN BM Tính thể tích chóp SBCNM khoảng cách đường thẳng BM SC biết đường cao SH = 2a ĐS: VSBMNC 2a , = 24 Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy tam giác vng cân B , đường cao SE với E trung điểm cạnh BC SE = CE = 2a Gọi M , N trung điểm SE , CE Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho ACD = α ( 450 < α ≤ 900 ) Gọi H hình chiếu S lên CD a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a α b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a thể tích tứ diện EHMN lớn 160 ĐS: V = − a cos 2α , V = π R = πa 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 67 www.VNMATH.com Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng B, BAC = 60° , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC a , khoảng cách hai đường thẳng A′B AC ( a 3+ ) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân C cạnh huyền a Mặt phẳng ( A ' AB ) vng góc với đáy ABC , AA ' = a , góc A ' AB góc nhọn Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ theo a tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC ) ĐS: VLT = 3a a , d B ,( A ' AC ) = 10 Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a , SA = a , Gọi M , N điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD cho AM = MB; DN = AN ,biết MN vng góc với SM , ∆SMC tam giác cân S Tính thể tích khối chóp SMNCD khoảng cách SA CM ĐS: VSMCND = 11 3a a 93 , d= 192 31 Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 3a, AA′ = a góc A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A′B, AC ĐS: Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, D biết AB Mặt bên SBC tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng BC , SA theo AD = DC = a ĐS: NGUYỄN TRUNG KIÊN 68 www.VNMATH.com Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 , hình chiếu vng góc C1 lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) ĐS: V = 3a , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Góc hợp SC mặt phẳng điểm AC Biết khoảng cách SM AB ( SAB ) = 600 ; M trung a , tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a3 Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân với SB = SC = a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC ĐS: V = a3 Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm BB ', CC ', BC Q điểm cạnh AB cho BQ = a Chứng minh Chứng minh ( MAC ) ⊥ ( NPQ ) tính thể tích khối lăng trụ theo a ĐS: V = a 15 Bài 75: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a Gọi M , N , I trung điểm AA ', AB BC Biết góc tạo (C ' AI ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp NAC ' I khoảng cách hai đường thẳng MN , AC ' NGUYỄN TRUNG KIÊN 69 www.VNMATH.com ĐS: VNAC ' I = a3 a , d= 32 Bài 76: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ; ABC = 600 Mặt bên ( BCB ' C ') hình thoi ( B ' BC < 900 )và vng góc với đáy mặt bên ( ABB ' A ') tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ ĐS: V = 7a3 Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng B có AB = a, BC = a , BB ' = a Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với A ' C cắt CC ', BB ' M , N Tính thể tích khối chóp ABCMN ĐS: V = 3 a Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 5a , AC = 4a SO = 2a SO vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp SMBD khoảng cách hai đường thẳng SA BM 2a ĐS: V = , d= a 3 Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA vng góc với đáy ABCD Gọi M , N trung điểm SA, BC , E giao điểm mặt phẳng ( DMN ) với SB Biết DMN = 300 Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a ĐS: 8a Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a , Tam giác SAO cân S , mặt bên SAD vng góc với đáy ABCD Biết SD hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách SB AC NGUYỄN TRUNG KIÊN 70 www.VNMATH.com ĐS: VSABCD = 3a 3a , d= Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi H tâm mặt ADD ' A ' , K hình chiếu D lên BD ' Tính thể tích tứ diện D ' DHK khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ' A ' B ) ĐS: V = a3 a , d= 36 Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = a 3, ( a > ) góc mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) α với tan α = 13 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 2a Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác đều.Gọi M , N trung điểm BC , C ' D ' Biết MN vng góc với B ' D tính thể tích khối chóp DAMN khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN ) ĐS: VDAMN = 6a3 22 , d= a 24 11 Bài 84: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SB, SD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD biết AM vng góc với CN ĐS: R = 10a 10 Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giácvuông, SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E ; I NGUYỄN TRUNG KIÊN 71 www.VNMATH.com giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) Chứng minh AD vng góc SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI ĐS: V = a3 36 Bài 86: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, BC = a ABC = 1200 Mặt bên SAB tam giác cạnh 2a tạo với mặt đáy góc α Biết hình chiếu vng góc S mặt đáy nằm hình bình hành ABCD cos α = Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách đường thẳng SB AD theo a ĐS: V = 2a 114 , d= 19 Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC trọng tâm G tam giác ABC cạnh bên SB = a 14 Tính thể tích khối chóp SABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 3a ĐS: V = ,d = a Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân SB = SC = a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC 2a3 ĐS: V = Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Gọi M trung điểm BB ' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính khoảng cách AM CC ' theo a ĐS: V = 105a a 21 d= 14 Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , AC ' = 2a Gọi O giao điểm AC BD , E giao điểm A ' O AC ' Tính thể tích khối tứ diện EABD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 72 www.VNMATH.com ĐS: V = a 21 3a ,d = 36 Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BAC = 600 , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A ' B AC ĐS: V = ( ) −1 a khoảng cách hai đường thẳng a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' 3 a Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Gọi M trung điểm BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) ( BA ' C ') vng góc với Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a ĐS: V = 2a , d = a Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C , đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm BB', CC ', BC Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , NP theo a ĐS: V = a 15 a 15 ,d = Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với SAB = SAC = 300 AB = AC = 2a, BC = a, SA = a Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a3 Bài 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD = 600 tam giác SAC , SBD cân S Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết hai mặt phẳng ( SDM ), ( SDN ) vng góc với Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a NGUYỄN TRUNG KIÊN 73 www.VNMATH.com ĐS: V = 6a a , d= Bài 96: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đáy AB, CD Biết AB = 3a, AC = a 7, CD = a Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD ) tạo với đáy góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình thang ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD theo a ĐS: V = 3a Do khn khổ thời gian có hạn nên khơng thể trình bày hồn chỉnh vấn đề hình khơng gian Vì có sai sót mong bạn đọc lượng thứ Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com nguyentrungkien_ntk@yahoo.com HÀ NỘI MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013 NGUYỄN TRUNG KIÊN NGUYỄN TRUNG KIÊN 74 ... V2 47 Phần 4: Các toán khoảng cách không gian A Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để giải nhanh gọn toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng học sinh cần nắm toán tính chất sau ⊻ BÀI TỐN CƠ BẢN... giác cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 21 www.VNMATH.com Cách 1: Coi B đỉnh khối chóp BSAC từ giả thi? ??t ta suy BS = BA = BC... a song song với b sau tính khoảng cách từ điểm b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta vận dụng phương pháp trình bày mục A NGUYỄN TRUNG KIÊN 26 www.VNMATH.com Ví dụ 1) Cho