Đại số tổ hợp Chương III: Chỉnh hợp52899

ĐẠI SỐ TỔ HP Chương III CHỈNH HP Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (1 ≤ k ≤ n), vào k chỗ khác Mỗi cách chọn gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Chỗ thứ có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ có (n – 1) cách chọn (do n – vật), chỗ thứ có n – cách chọn (do n – vật), …, chỗ thứ k có n – (k – 1) cách chọn (do n – (k – 1) vật) Vậy, theo qui tắc nhân, số cách chọn : n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) = n! (n − k)! Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử A kn , ta có : A kn = n! (n − k)! Ví dụ Một nhà hàng có ăn chủ lực, cần chọn ăn chủ lực khác cho ngày, buổi trưa buổi chiều Hỏi có cách chọn ? Giải Đây chỉnh hợp chập phần tử, có : A 52 = 5! = 4.5 = 20 cách chọn (5 − 2)! (Giả sử ăn đánh số 1, 2, 3, 4, 5; ta có cách chọn sau : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)) Ví dụ Trong trường đại học, môn học bắt buộc, có môn tự chọn, sinh viên phải chọn môn môn đó, môn môn phụ Hỏi có cách chọn ? Giải Đây chỉnh hợp chập phần tử Vậy có : DeThiMau.vn A 32 = 3! = cách chọn (3 − 2)! (Giả sử môn tự chọn a, b, c cách chọn theo yêu cầu (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)) Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, tạo số gồm chữ số khác ? Giải Đây chỉnh hợp chập phần tử Vậy coù : A 52 = 5! 5! = = × = 20 số (5 − 2)! 3! (Các số : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54) Bài 35 Chứng minh với n, k ∈ ¥ ≤ k < n A nk = A nk −1 + k A nk −−11 a) A nn ++ 2k + A nn ++1k = k2 A nn + k b) Giaûi a) Ta coù : A nk −1 + k A nk −−11 = (n − 1)! (n − 1) ! + k (n − − k) ! (n − k) ! k ⎡ ⎤ = (n – 1)! ⎢ + ⎥ ⎣ (n − k − 1)! (n − k)(n − k − 1)! ⎦ b) = (n − 1) ! (n − k − 1) ! = n! = A nk (n − k) ! A nn ++ 2k + A nn ++1k = = k ⎞ n (n − 1) ! ⎛ ⎜1 + ⎟ = n − k ⎠ (n − k − 1) ! n − k ⎝ (n + k) ! (n + k) ! + (k − 2) ! (k − 1)! (n + k) ! (k − 2) ! = (n + k) ! (n + k)! + (k − 2) ! (k − 1)(k − 2)! ⎤ ⎡ ⎢⎣1 + k − ⎥⎦ (n + k)!k (n + k) ! k = = A nn + k k2 = k! (k − 2) ! k − Bài 36 Giải phương trình Px A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px) DeThiMau.vn Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 2001 Giải Điều kiện x ∈ ¥ x ≥ Ta có : Px A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px) x! ⎡ x! ⎤ + 72 = ⎢ + 2x !⎥ (x − 2) ! ⎣ (x − 2) ! ⎦ ⇔ x! ⇔ x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] ⇔ (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) ⇔ (x2 – x – 12)(x! – 6) = ⇔ ⎡ x − x − 12 = ⎢ ⎣ x !− = ⇔ ⎡x = ⎢ x = −3 : loaïi ⎢ ⎢⎣ x = ⇔ ⎡x = ⎢x = ⎣ Bài 37 Giải bất phương trình : A 3x + A 2x ≤ 21x Đại học Quốc gia Hà Nội khối B 1998 Giải Điều kiện x ∈ ¥ vaø x ≥ A x + A 2x ≤ 21x ⇔ x! x! +5 ≤ 21x (x − 3) ! (x − 2)! ⇔ x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1) ≤ 21x ⇔ (x – 1)(x – 2) + 5(x – 1) ≤ 21 ⇔ x2 + 2x – 24 ≤ ⇔ (do x ≥ 3) –6 ≤ x ≤ Do x ∈ ¥ x ≥ nên x = 3, x = nghiệâm Bài 38 Tìm số âm dãy số x1, x2, …, xn với DeThiMau.vn A 4n + 143 – với Pn số hoán vị n phần tử xn = Pn + 4Pn Đại học An ninh 2001 Giải Điều kiện n ∈ ¥ \ {0} (n + 4)! 143 (n + 4)(n + 3) 143 n! Ta coù : xn = = – – 4n ! n! 4n ! (n + 2)! Vaäy : xn < ⇔ (n + 4)(n + 3) – 143 0) ⇔ ⇔ 4n2 + 28n – 95 < − 19